Уравнение линии на плоскости уравнение окружности 9 класс

Геометрия. 9 класс

Конспект
Введём уравнение произвольной линии.
В прямоугольной системе координат рассмотрим произвольную линию L.

Уравнение с двумя переменными х и у называется уравнением линии L, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки линии L и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.
Рассмотрим точки М и N в координатной плоскости.
y = f (x) – уравнение линии L, если выполняются условия:
М (х₁; у₁) ∈ L → y₁ = f (x₁)
N (х₂; у₂) ∉ L → y₂ ≠ f (x₂)
Теперь, зная метод координат и геометрические свойства окружности, выведем её уравнение.
Пусть в прямоугольной системе координат дана окружность, где C – центр окружности с координатами x₀ и y₀, а r – её радиус.
Расстояние от произвольной точки М с координатами х и у до точки С вычисляется по формуле:
Точка М лежит на окружности, то есть координаты точки М удовлетворяют этому уравнению. Значит, МС = r, MC₂ = r₂.
В прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса r и с центром (x — x₀) 2 + (y — y₀) 2 = r 2 имеет вид:
Если центр окружности находится в начале координат, то уравнение окружности с центром в начале координат будет выглядеть так:
Теперь выведем уравнение прямой. Снова рассмотрим прямоугольную систему координат.
Докажем, что любая прямая в декартовых координатах имеет уравнение ax + by + c = 0, где а, b, с – некоторые числа, а х и у – переменные координаты точки А, принадлежащей прямой.
Как и при составлении уравнения окружности, обратимся к свойству прямой, равноудаленной от двух данных точек. Пусть h – произвольная прямая на плоскости и точка А с координатами х и у – точка этой прямой. Точки В и С равноудалены от прямой h, точка D – это точка пересечения ВС с прямой h. Поэтому h – срединный перпендикуляр к отрезку ВС. Так как АС = АВ, то AС₂ = АB₂, значит координаты точки А удовлетворяют уравнению (х – хв)² + (у – ув)² = (х – хс)² + (у – ус)², где В (хв; ув) и С (хс; ус)
Следовательно, это уравнение и является уравнением прямой h в прямоугольной системе координат.
После алгебраических преобразований получаем уравнение прямой: ах + bу + с = 0, где a, b, c некоторые числа. Так как В и С различные точки, значит разность их координат не равна нулю.
Таким образом, уравнение прямой в прямоугольной системе координат является уравнением первой степени.

НАШИ ПАРТНЁРЫ

© Государственная образовательная платформа «Российская электронная школа»

Уравнение линии на плоскости. Уравнение окружности.
план-конспект урока по геометрии (9 класс) по теме

Уравнение линии на плоскости. Уравнение окружности

Цели: познакомить учащихся с понятием уравнения линии на плоскости; вывести уравнение окружности и научить записывать уравнение окружности.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Уравнение линии на плоскости.
Уравнение окружности

Цели: познакомить учащихся с понятием уравнения линии на плоскости; вывести уравнение окружности и научить записывать уравнение окружности.

I. Математический диктант (10–15 мин). Или (Самостоятельная работа по карточкам).

1. Найдите координаты середины отрезка AB , если A (–2; 3), B (6; –3).

2. Найдите длину отрезка EH , если E (–3; 8), H (2; –4).

3. Какая фигура состоит из множества всех точек плоскости, каждая из которых равноудалена от двух данных точек?

4. Принадлежит ли точка A (–6; 2) графику функции y = – 0,5 x ?

5. Функция задана уравнением y = 2 x – 3. Какая линия служит графиком этой функции?

6. На окружности радиуса 7 см даны точки А и В , расстояние между которыми равно 13 см. л ежит ли центр окружности на прямой АВ ?

7. Вершины треугольника ABC имеют следующие координаты: А (8; –3); В (5; 1); С (12; 0). Докажите, что B = C .

1. Найдите координаты середины отрезка CD , если C (3; –4), D (–3; 6).

2. Найдите длину отрезка KB , если K (–6; –3), B (2; 3).

3. Прямая l является серединным перпендикуляром к основанию AB треугольника ABC и проходит через вершину C . Определите вид треугольника ABC .

4. Принадлежит ли точка В (2; –8) графику функции y = – 4 x ?

5. Функция задана уравнением y = 5 – x . Какая линия служит графиком этой функции?

6. Какой фигурой является множество точек, равноудаленных от данной точки?

7. Вершины четырехугольника ABCD имеют следующие координаты: А (–3; –1); В (1; 2); С (5; –1), D (1; –4). Докажите, что этот четырехугольник – ромб.

II. Объяснение нового материала.

1. Разобрать пятое задание диктанта, обратив внимание учащихся на то, что им уже известны графики некоторых функций. В частности, графиком линейной функции y = kx + b является прямая линия, а уравнение y = kx + b называется уравнением этой прямой.

2. Вспомнить уравнения параболы и гиперболы и их графики.

3. Понятие уравнения произвольной линии дается в ознакомительном плане. При этом важно добиться понимания учащимися следующего: чтобы установить, что данное уравнение является уравнением данной линии, нужно доказать, что: 1) координаты любой точки линии удовлетворяют данному уравнению и 2) координаты любой точки, не лежащей на данной линии, не удовлетворяют этому уравнению.

4. Введение уравнения окружности радиуса r с центром С в заданной прямоугольной системе координат (рис. 286):

( x – x 0 ) 2 + ( y – y 0 ) 2 = r 2 ,

где C ( x 0 ; y 0 ). Уравнение окружности радиуса r с центром в начале координат О (0; 0) имеет вид: x 2 + y 2 = r 2 .

5. Не любое уравнение второй степени с двумя переменными задает окружность. Например, уравнение 4 х 2 + у 2 = 4 в прямоугольной системе координат не окружность, а эллипс (с этой фигурой учащиеся знакомились в курсе черчения), уравнение х 2 + у 2 = 0 задает единственную точку – начало координат, а уравнению х 2 + у 2 = –4 не удовлетворяют координаты ни одной точки, поэтому это уравнение не задает никакой фигуры.

III. Закрепление изученного материала (решение задач).

1. р ешить задачу № 959 (а, б, д).

2. Устно решить задачу № 960.

3. р ешить задачу № 961 на доске и в тетрадях.

4. р ешить задачу № 964 на доске и в тетрадях.

а) x = 3, тогда (3 – 3) 2 + ( y – 5) 2 = 25; y 2 – 10 y + 25 = 25;

y 2 – 10 y = 0; y ∙ ( y – 10) = 0; y = 0 или y = 10. Точки А (3; 0) и В (3; 10).

б) y = 5, тогда ( x – 3) 2 + (5 – 5) 2 = 25; x 2 – 6 x + 9 = 25;

x 2 – 6 x – 16 = 0; x 1 = 8; x 2 = –2; точки С (–2; 5) и D (8; 5).

5. Решить задачу № 966 (в, г).

6. Разобрать решение задачи по учебнику на с. 243.

Домашнее задание : изучить материал пунктов 90, 91; вопросы 15–17; решить задачи №№ 962, 963, 965, 966 (а, б), 1000.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Урок геометрии в 8 классе по теме «Уравнения окружности и прямой»

Урок по теме «Уравнения окружности и прямой» в 8 классе сопровождается мультимедийной презентацией, которая используется на этапе актуализации знаний и на этапе проверки самостоятельной р.

ТЕМА: «Уравнение окружности и прямой.» Решение задач.

Повторение уравнений окружности и прямой и применение при решении задач.Совершенствование навыков решения задач методом координат.

Презентация. Уравнение. линии на плоскости.

Презентация к уроку геометрии: «Уравнение линии на плоскости». 9 класс.

Уравнение линии на плоскости

Слайды презентации являются опорными карточками для вывода уравнения окружности на плоскости.Презентацию лучше использовапть при создании проблебной ситуации на уроке.

Урок «Уравнение линии на плоскости»

Презентация к уроку «Уравнение линии на плоскости».

Презентация «Линии и углы в окружности»

Презентация является экономичной с точки зрения времени: выполнение большого количества чертежей на доске с помощью циркуля занимает много времени в отличие от слайдового представления. Это незаменимы.

Урок по геометрии по теме: «Уравнение фигуры. Уравнение окружности»

Презентации по геометрии за 9 класс по теме: » Уравнение фигуры. Уравнение окружности&quot.

Урок геометрии на тему «Уравнение линии на плоскости. Уравнение окружности».

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Тема. Уравнение линии на плоскости. Уравнение окружности.

Цели: познакомить учащихся с понятием уравнения линии на плоскости; вывести уравнение окружности и научить записывать уравнение окружности; развивать пространственное мышление; воспитывать трудолюбие.

Оборудование: презентация, карточки

а) По какой из данных формул можно найти координаты середины отрезка:

A(3;-4), D (-3;6) x =0, y =1 (0;1)

б) Расстояние между двумя точками находится по формуле:

Объяснение нового материала.

При изучении алгебры мы строили графики некоторых функций в прямоугольной системе координат (параболы, гиперболы, прямые), в частности график функции у=х.

Вопрос: Что можно сказать про функцию у=х?

Ответ: графиком этой функции является прямая, проходящая через начало координат О(0;0) и А(2;2).

Координаты любой точки М(х;у), лежащей на прямой ОА, удовлетворяют уравнению у=х (так как ), а координаты любой точки, не лежащей на прямой ОА, этому уравнению не удовлетворяют.

Уравнение у=х является уравнением прямой ОА.

Уравнение с двумя переменными х и у называется уравнением линии L , если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки линии L и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.

Выведем уравнение окружности радиуса r с центром в заданной прямоугольной системе координат.

, точка М лежит на окружности, , , то есть координаты точки М удовлетворяют уравнению.

В прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса r и с центром имеет вид:

Уравнение окружности радиуса r и с центром в начале координат имеет вид:

Замечание: не любое уравнение второй степени с двумя переменными задает окружность

4.Закрепление изученного материала (решение задач)

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 920 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 685 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 582 250 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

91. Уравнение окружности

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 24.10.2017
• 1067
• 0

• 24.10.2017
• 786
• 0

• 24.10.2017
• 1039
• 21

• 24.10.2017
• 925
• 0

• 24.10.2017
• 2309
• 71

• 24.10.2017
• 1256
• 1

• 24.10.2017
• 3834
• 42

• 24.10.2017
• 663
• 1

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 24.10.2017 5239
• DOCX 671.6 кбайт
• 196 скачиваний
• Рейтинг: 5 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Сычевская Лариса Александровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 7 лет и 2 месяца
• Подписчики: 14
• Всего просмотров: 152369
• Всего материалов: 67

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Швеции запретят использовать мобильные телефоны на уроках

Время чтения: 1 минута

В Забайкалье в 2022 году обеспечат интернетом 83 школы

Время чтения: 1 минута

Количество бюджетных мест в вузах по IT-программам вырастет до 160 тыс.

Время чтения: 2 минуты

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.