Уравнение линий на плоскости 9 класс

Геометрия. 9 класс

Конспект
Введём уравнение произвольной линии.
В прямоугольной системе координат рассмотрим произвольную линию L.

Уравнение с двумя переменными х и у называется уравнением линии L, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки линии L и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.
Рассмотрим точки М и N в координатной плоскости.
y = f (x) – уравнение линии L, если выполняются условия:
М (х₁; у₁) ∈ L → y₁ = f (x₁)
N (х₂; у₂) ∉ L → y₂ ≠ f (x₂)
Теперь, зная метод координат и геометрические свойства окружности, выведем её уравнение.
Пусть в прямоугольной системе координат дана окружность, где C – центр окружности с координатами x₀ и y₀, а r – её радиус.
Расстояние от произвольной точки М с координатами х и у до точки С вычисляется по формуле:
Точка М лежит на окружности, то есть координаты точки М удовлетворяют этому уравнению. Значит, МС = r, MC₂ = r₂.
В прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса r и с центром (x — x₀) 2 + (y — y₀) 2 = r 2 имеет вид:
Если центр окружности находится в начале координат, то уравнение окружности с центром в начале координат будет выглядеть так:
Теперь выведем уравнение прямой. Снова рассмотрим прямоугольную систему координат.
Докажем, что любая прямая в декартовых координатах имеет уравнение ax + by + c = 0, где а, b, с – некоторые числа, а х и у – переменные координаты точки А, принадлежащей прямой.
Как и при составлении уравнения окружности, обратимся к свойству прямой, равноудаленной от двух данных точек. Пусть h – произвольная прямая на плоскости и точка А с координатами х и у – точка этой прямой. Точки В и С равноудалены от прямой h, точка D – это точка пересечения ВС с прямой h. Поэтому h – срединный перпендикуляр к отрезку ВС. Так как АС = АВ, то AС₂ = АB₂, значит координаты точки А удовлетворяют уравнению (х – хв)² + (у – ув)² = (х – хс)² + (у – ус)², где В (хв; ув) и С (хс; ус)
Следовательно, это уравнение и является уравнением прямой h в прямоугольной системе координат.
После алгебраических преобразований получаем уравнение прямой: ах + bу + с = 0, где a, b, c некоторые числа. Так как В и С различные точки, значит разность их координат не равна нулю.
Таким образом, уравнение прямой в прямоугольной системе координат является уравнением первой степени.

НАШИ ПАРТНЁРЫ

© Государственная образовательная платформа «Российская электронная школа»

Геометрия

План урока:

Уравнение линии в координатах

Если какое-то уравнение содержит две переменные – х и у, то какие-то пары значений этих чисел будут являться его решением, а какие-то нет. Однако каждой такой паре чисел можно сопоставить точку на координатной плоскости. Все вместе такие точки могут образовать линию, которую можно обозначить буквой L. В таком случае исходное уравнение называют уравнением линии L.

Мы уже рассматривали некоторые уравнения линий на плоскости, когда изучали графики функций. Если некоторую функцию у = у(х) рассматривать как уравнение, то тогда график функции у(х) будет той самой линией, которая задается уравнением. Например, парабола может быть задана уравнением у = х 2 .

Однако уравнение линии не обязательно выглядит как функция. Наиболее простой задачей является определение факта, принадлежит ли та или иная точка той линии, которая задана уравнением.

Задание. Какие из точек А (2;1), В (3; 2), С (– 2; 5) и D(0; 0) принадлежат линии, заданной уравнением:

Решение. Надо просто подставить координаты точек в уравнение и посмотреть, превратится ли оно при этом в верное равенство. Сначала подставляем точку А (2; 1):

Получилось верное равенство, значит, А принадлежит заданной линии. Теперь подставляем координаты В (3; 2):

Равенство неверное, следовательно, В на заданной линии не лежит. Проверяем третью точку С (– 2; 5):

Получили, что и С не является частью линии. Проверяем последнюю точку D (0; 0):

Справедливость равенства означает, что D принадлежит линии.

Использование координат и уравнений линии порождает две обратные друг другу задачи:

1) по заранее заданному уравнению определить геометрический вид линии;

2) для заданной геометрической фигуры, построенной на координатной плоскости, найти уравнение линии.

Геометрия занимается в первую очередь решением второй задачи. Первая же задача рассматривается по большей части в курсе алгебры при изучении графиков функций.

Уравнение окружности

Попытаемся составить уравнение окружности, про которую нам известен ее радиус (обозначим его буквой r) и координаты центра окруж-ти(х₀; у₀). Пусть некоторая точка М с координатами (х; у) лежит на окруж-ти. Тогда, по определению окруж-ти, расстояние между С и М равно радиусу r:

Но расстояние между точками М и С может быть вычислено по формуле

Если же точка М НЕ лежит на окруж-ти, то длина отрезка МС не будет равна r, и потому координаты М не будут удовлетворять уравнению (1). Получается, что (1) как раз и является уравнением окруж-ти.

Задание. Составьте уравнение окружности, имеющей радиус 5, если ее центр находится в точке (6; 7), и проверьте, лежат на ней точки H(2; 10)и Р(3; 8).

Решение. Сначала запишем уравнение окруж-ти в общем виде

Это и есть уравнение окруж-ти. При желании можно раскрыть скобки в правой части, но делать это необязательно. Теперь будем подставлять в полученное уравнение координаты точек Н и Р:

Проверка показала, что Н находится на окруж-ти, а Р – нет.

Задание. Начертите окружность, заданную уравнением

Именно эти значения и являются параметрами окруж-ти, которые нужны нам для ее построения. Ее центр находится в точке (х₀; у₀), то есть в (1; – 2), радиус равен r, то есть 2. В итоге выглядеть она будет так:

Особый случай представляет окруж-ть, центр которой находится в начале координат, то есть в точке (0; 0). В этом случае параметры x₀ и y₀ окруж-ти равны нулю, и уравнение

Например, окруж-ть с радиусом 4, если ее центр совпадает с началом координат, описывается уравнением:

Если при подстановке координат точки в уравнение получилось неверное равенство, то возможны два случая: либо точка находится внутри окруж-ти, либо она находится вне нее. Заметим, что в уравнении окруж-ти

левая часть представляет собой квадрат расстояния между точкой (х; у) и центром окруж-ти (х₀; у₀). Если оно больше квадрата радиуса, то точка находится вне окруж-ти, а если меньше – то внутри нее.

Задание. Определите для точек M(3; 4), N(2; 3), F(4; 4), лежат ли они на окруж-ти

внутри нее или за пределами окруж-ти.

Решение.Снова подставляем координаты точек в уравнение окруж-ти:

Это ошибочное равенство, ведь в реальности левая часть больше:

Это значит, что F(4; 4) лежит вне окруж-ти. Убедиться в правильности сделанных выводов можно, построив заданную окруж-ть и отметив точки M, N и F:

Рассмотрим несколько более сложных задач по данной теме.

Задание.Запишите уравнение окружности с центром С(– 4; 2), и окруж-ть проходит через точку А(0; 5).

Решение. В данном случае радиус окруж-ти явно не указан, и его надо найти. Подставим в уравнение окруж-ти известные нам данные:

Задание. Даны точки К (– 2; 6) и М (2; 0). Запишите уравнение окруж-ти, в которой КМ будет являться диаметром.

Решение. Для составления уравнения нужно знать радиус окруж-ти и координаты ее центра. Обозначим центр буквой С. Ясно, что центр окруж-ти делит любой ее диаметр пополам, на два одинаковых радиуса, то есть является серединой диаметра. То есть С – середина КМ, а потому для поиска координат С используем формулы:

Итак, координаты центра теперь известны, это (0; 3). Чтобы найти радиус, поступим также, как и в предыдущей задаче – подставим координаты точек С и, например, К, в уравнение окруж-ти

Обратите внимание, что нам необязательно вычислять радиус, ведь для уравнении окруж-ти нужна его величина, возведенная в квадрат, и мы ее нашли. Теперь можем записать уравнение окончательно

Задание. Дано уравнение окружности

(x — 2) 2 + (y — 4) 2 = 9

Найдите точки этой окруж-ти, абсцисса которых равна 2.

Решение. Напомним, что абсцисса – это координат х точки. Она нам уже известна, х = 2. Остается только найти ординату, то есть координату у. Для этого подставим известное нам значение абсциссы в уравнение и решим его:

Обратите внимание, что у квадратного уравнения нашлось сразу 2 корня, они соответствуют двум точкам, (2; 1) и (2; 7).

Ответ: (2; 1) и (2; 7).

Задание. Составьте уравнение окружности, проходящей через точки D(3; 8), L(6; 7) и K(7; 0).

Решение. Эта задача сложнее предыдущих и потребует громоздких вычислений. Нам надо найти радиус окруж-ти r и ее центр (х₀; у₀). Запишем для точки D(3; 8) уравнение окруж-ти:

Далее раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата разности (это необходимо для упрощения дальнейших расчетов):

В итоге нам удалось составить три уравнения, которые содержат три переменные: r, х₀ и у₀.Вместе они образуют систему уравнений, которую можно попробовать решить:

Далее можно, например, вычесть из (2) уравнение (3):

Нам удалось найти одно из интересующих нас чисел, у₀. С помощью (5) легко найдем и х₀:

x₀ = 7y₀ — 18 = 7*3 — 18 = 21 — 18 = 3

Итак, центр окруж-ти находится в точке (3; 3). Осталось найти радиус окруж-ти. Для этого подставим в уравнение окруж-ти вычисленные нами координаты центра, а также координаты одной из точек из условия, например, K(7; 0):

Радиус окруж-ти равен 5. Теперь мы можем окончательно записать уравнение окруж-ти

Чтобы убедиться в правильности найденного решения, можно подставить в полученное уравнение координаты трех точек из условия и посмотреть, обращают ли они его в верное равенство. Вместо этого мы для наглядности просто построим в координатной плоскости получившуюся окруж-ть и отметим на ней точки из условия:

Ответ: (х – 3) 2 + (у – 3) 2 = 25

Уравнение прямой

Пусть на координатной плоскости построена произвольная прямая m. Для составления его уравнения отметим две точки А(х₁; у₁) и В(х₂; у₂) так, чтобы прямая m оказалась серединным перпендикуляром для отрезка АВ:

Тогда, согласно свойству серединного перпендикуляра,про любую точку М(х; у), лежащую на m, можно сказать, что она равноудалена от А и В, и наоборот, любая точка, НЕ лежащая на m, НЕ равноудалена от А и В. Это означает, что для точки M, если она лежит на m, должно выполняться равенство:

Квадратные корни равны, если одинаковы их подкоренные выражения, поэтому

Заметим, что так как точки А и В – различные, то хотя бы одна из разностей (2х₂ – 2х₁) и (2у₂ – 2у₁) будет не равна нулю, поэтому в (2) хотя бы один их коэффициентов а и b точно ненулевой. Это означает, что уравнение (2) является уравнением первой степени. Заметим, что (2) называют общим уравнением прямой, так как оно описывает любую прямую на плоскости. При более глубоком изучении геометрии вы познакомитесь с множеством других видов уравнений прямой (нормальным, каноническим, тангенциальным, параметрическим и т. п.).

В последнем примере коэффициент с равен нулю, поэтому его просто не записали.

Заметим важный аспект – одна и та же прямая может описываться различными уравнениями вида (2). Например, пусть уравнение прямой выглядит так:

Это уравнение равносильно предыдущему, хотя у них и различны коэффициенты а, b и c. Это значит, что однозначно определить эти коэффициенты при решении задач в большинстве случаев невозможно. Поэтому удобней рассмотреть два отдельных случая.

1) Если коэффициент b в уравнении прямой (2) не равен нулю, то его можно привести к виду:

Из курса алгебры мы помним, что ее графиком как раз является прямая. В большинстве случаев уравнение прямой удобно записывать именно в таком виде. Напомним, что число k называется угловым коэффициентом прямой.Поэтому (3) так и называют – уравнением прямой с угловым коэффициентом. В качестве примера подобных уравнений можно привести:

Каждое из них описывает вертикальную прямую, параллельную оси Оу.

Задание. Прямая задана уравнением

Постройте ее на координатной плоскости

Решение. Для построения прямой надо всего лишь найти две различные точки, лежащие на ней, и соединить их. Мы будем брать произвольные значения координаты х, подставлять их в уравнение и находить соответствующее им значение координаты у. Подставим х = 1:

Получили другую точку (– 1; – 1). Осталось отметить эти две точки на и соединить их:

Задание. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки D(1; 10) и Е(– 1; – 4).

Решение. Задачу можно решить разными способами.

Способ 1 – универсальный и более сложный.

В общем виде уравнение прямой выглядит так:

Нам надо найти коэффициенты а, b и c. Для этого просто подставляем координаты известных точек в уравнение. Начнем с координат D:

Нам удалось выразить коэффициента двумя различными выражениями (1) и (2). Так как в них одинаковы левые части, то можно приравнять и правые части:

Мы можем взять любое значение коэффициента с (кроме нуля), и при этом получатся различные, но равносильные друг другу уравнения. Удобно взять с = 3, тогда в уравнении исчезнут дроби:

Это и есть ответ задания.

Далее рассмотрим более простой способ, который, однако, может потребовать анализа различных вариантов.

Уравнение прямой может иметь либо вид

если прямая является графиком линейной функции, либо вид

если прямая параллельна оси Оу. Во втором случае у всех точек прямой абсцисса должна быть одинакова, однако у точек D(1; 10) и Е(– 1; – 4) она различна, поэтому ее точно можно описать уравнением

Надо найти коэффициенты k и d. Подставим в уравнение координаты D(1; 10):

Итак, уравнение можно записать так:

Задание. Запишите уравнение прямой, если ей принадлежат точки:

Подставим сюда уже известное нам значение d:

В (1) и (2) мы выразили d с помощью разных выражений, которые теперь можно приравнять:

То, что коэффициент k оказался нулевым, означает, что прямая параллельна оси Ох.

в) Попытаемся сделать те же действия, что и в двух предыдущих примерах, подставляя точки в уравнение у = kx + d:

На этот раз мы не смогли найти коэффициент k, а вместо этого получили ошибочное равенство. То есть уравнение просто не имеет решений. Что же это значит? Из этого факта следует, что в этом примере уравнение прямой НЕ может иметь вид

Значит, оно имеет другой вид:

Действительно, у обеих точек (2; 7) и (2; 8) одинаковы абсциссы. Это значит, что прямая, проходящая через них, вертикальная. Коэффициент С как раз равен значению этой абсциссы, так что уравнение выглядит так:

Ответ а) у = 1,5х + 3; б) у = 8; в) х = 2.

Задание. Найдите площадь треугольника MON, изображенного на рисунке, если известно, что M и N лежат на прямой, задаваемой уравнением:

Решение. ∆MON – прямоугольный, и для вычисления его площади нужно найти длины OM и ON. По рисунку видно, что М лежит на оси Ох, то есть у неё ордината нулевая:

Зная это, легко найдем и абсциссу М, ведь координаты М при их подстановке в уравнение прямой должны давать верное равенство:

Далее рассмотрим точку N. Она уже лежит на Оу, а потому у нее нулевой оказывается абсцисса:

Напомним, что площадь прямоугольного треугольника может быть вычислена по формуле:

Задачи на пересечение двух фигур

Метод координат помогает находить точки, в которых пересекаются те или иные геометрические фигуры. В большинстве случаев надо просто составить систему из уравнений, задающих эти фигуры, и найти их общее решение. В курсе алгебры мы уже рассматривали как решение простых, в основном линейных систем, так и решение более сложных, нелинейных систем. Рассмотрим несколько задач на эту тему.

Задание. Две прямые заданы уравнениями:

Определите, в какой точке они пересекаются.

Решение. Если точка пересечения прямых существует, то ее координаты являются решением каждого из двух уравнений. Таким, образом, нам надо просто решить систему:

Мы нашли единственное решение системы – это пара чисел (3; – 2). Эта же пара определяет координаты искомой нами точки.

Задание. Найдите точки пересечения окруж-ти и прямой, если они задаются уравнениями

Решаем квадратное уравнение, используя дискриминант:

Мы нашли два различных значения у. Это значит, что прямая пересекается с окруж-тью в двух различных точках, а найденные нами числа – их ординаты. Отметим, что возможны случаи, когда корень только один (и тогда у окруж-ти с прямой одна общая точка, то есть они касаются), и когда корней вовсе нет (тогда окруж-ть и прямая не пересекаются). В нашем же примере осталось найти абсциссы точек. Для этого используем уравнение (3):

Получили в итоге пары точек (3; 8) и (6; 7), в которых заданная окруж-ть и прямая пересекаются.

Ответ: (3; 8) и (6; 7).

Задание. Две окруж-ти заданы уравнениями:

Для ее решения сначала раскроем скобки в обоих уравнениях и приведем подобные слагаемые:

Нам удалось выразить у через х. Теперь снова запишем одно из исходных уравнений окруж-ти, но заменим в нем у с помощью только что найденного выражения:

Мы нашли абсциссы точек пересечения окруж-тей, теперь можно вернуться к (1), чтобы найти и ординаты:

Получили точки (5; 2) и (4; 3).

В конце решим одну задачу чуть более высокого уровня сложности.

Задание. К окруж-ти радиусом 5, чей центр совпадает с началом координат, построена касательная в точке (3; 4). Составьте уравнение этой касательной.

Решение. Сначала составим уравнение окруж-ти. Так как ее центр находится в начале координат, а радиус имеет длину 5, то оно примет вид:

Нам надо найти коэффициенты k и d, а для этого надо составить какие-нибудь уравнения с этими переменными. Нам известно, что касательная проходит через точку (3; 4), а потому эти координаты можно подставить в (2):

Обратите внимание, что мы получили квадратное уравнение относительно переменной х. Если бы нам были известны k и d, то мы смогли бы его решить, и тогда мы определили бы точки пересечения прямой и окруж-ти. В этой задаче k и d нам неизвестны, но мы знаем, что окруж-ть и прямая касаются, то есть имеют ровно одну общую точку. Но тогда и квадратное уравнение (4) должно иметь только одно решение! Это означает, что его дискриминант равен нулю. Сначала выпишем коэффициенты квадратного уравнения, используемые при вычислении дискриминанта:

Теперь у нас есть два уравнения, (3) и (5), которые содержат только переменные k и d. Осталось лишь совместно решить их. Для этого подставим (3) в (5):

В рамках урока мы выяснили, как выглядят уравнения окруж-ти и прямой, а также научились решать несколько типовых заданий, в которых эти уравнения необходимо использовать. Хотя формулы, используемые при этом, могут показаться слишком сложными, главное – просто набить руку в их применении, решая как можно больше задач.

Урок геометрии на тему «Уравнение линии на плоскости. Уравнение окружности».

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Тема. Уравнение линии на плоскости. Уравнение окружности.

Цели: познакомить учащихся с понятием уравнения линии на плоскости; вывести уравнение окружности и научить записывать уравнение окружности; развивать пространственное мышление; воспитывать трудолюбие.

Оборудование: презентация, карточки

а) По какой из данных формул можно найти координаты середины отрезка:

A(3;-4), D (-3;6) x =0, y =1 (0;1)

б) Расстояние между двумя точками находится по формуле:

Объяснение нового материала.

При изучении алгебры мы строили графики некоторых функций в прямоугольной системе координат (параболы, гиперболы, прямые), в частности график функции у=х.

Вопрос: Что можно сказать про функцию у=х?

Ответ: графиком этой функции является прямая, проходящая через начало координат О(0;0) и А(2;2).

Координаты любой точки М(х;у), лежащей на прямой ОА, удовлетворяют уравнению у=х (так как ), а координаты любой точки, не лежащей на прямой ОА, этому уравнению не удовлетворяют.

Уравнение у=х является уравнением прямой ОА.

Уравнение с двумя переменными х и у называется уравнением линии L , если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки линии L и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.

Выведем уравнение окружности радиуса r с центром в заданной прямоугольной системе координат.

, точка М лежит на окружности, , , то есть координаты точки М удовлетворяют уравнению.

В прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса r и с центром имеет вид:

Уравнение окружности радиуса r и с центром в начале координат имеет вид:

Замечание: не любое уравнение второй степени с двумя переменными задает окружность

4.Закрепление изученного материала (решение задач)

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 924 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 582 188 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

91. Уравнение окружности

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 24.10.2017
• 1067
• 0

• 24.10.2017
• 786
• 0

• 24.10.2017
• 1039
• 21

• 24.10.2017
• 925
• 0

• 24.10.2017
• 2309
• 71

• 24.10.2017
• 1256
• 1

• 24.10.2017
• 3834
• 42

• 24.10.2017
• 663
• 1

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 24.10.2017 5235
• DOCX 671.6 кбайт
• 196 скачиваний
• Рейтинг: 5 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Сычевская Лариса Александровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 7 лет и 2 месяца
• Подписчики: 14
• Всего просмотров: 152365
• Всего материалов: 67

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Швеции запретят использовать мобильные телефоны на уроках

Время чтения: 1 минута

Профессия педагога на третьем месте по популярности среди абитуриентов

Время чтения: 1 минута

РДШ организовало сбор гуманитарной помощи для детей из ДНР

Время чтения: 1 минута

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Минпросвещения упростит процедуру подачи документов в детский сад

Время чтения: 1 минута

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.