Уравнение луча в полярной системе координат

Полярная система координат

Для определения положения точки на плоскости можно пользоваться и другими системами координат. В частности широко используется полярная система координат. На плоскости выберем точку и обозначим ее О. Рассмотрим луч с началом в О, а на луче выберем единичный отрезок ОЕ. Точка О называется полюсом, а луч ОЕ называется полярной осью. Положение любой точки М на плоскости, отличной от О определяется парой чисел: расстоянием r = |OM| и величиной угла между лучами ОЕ и ОМ, причем угол ориентирован, т. е. положительное направление против часовой стрелки, а отрицательное – по часовой стрелке. Для точки О считаем r = 0, а угол j не определен.

Для рассматриваемых полярных координат мы имеем r ³ 0, а j Î R. Однако, в нашем случае пары чисел (r, j) и (r, j + 2 к), где к – любое целое число, представляют собой координаты одной и той же точки плоскости. Поэтому выделяют главные значения угла 0 £ j

Например, пара чисел (−3; ) задает точку А с полярными координатами (3; ).

Пример 1. Найдем уравнение прямой, не проходящей через полюс О. Зададим эту прямую числом р, длиной отрезка ОР и углом a, где Р – основание перпендикуляра ОР на прямую, а a –ориентированный угол между лучом ОР и полярной осью.

Если произвольная точка М(r, j) принадлежит данной прямой, то р = rcos (j −a) и обратно.

Поэтому имеем уравнение прямой: .

Пример 2. Луч вращается вокруг своего начала О с постоянной скоростью w. Найти параметрические уравнения траектории точки М, если она начала движение от точки А ¹О, и движется по лучу со скоростью пропорциональной расстоянию |OM|.

Решение. Примем за полярную систему координат начальное положение луча , где точка О будет полюсом. За параметр t примем время. Тогда положение точки М через промежуток t определяется значениями полярных координат r и j, где r изменяется от значения до + ¥. При этом r¢ = lr , а j = wt. Из дифференциального уравнения

Þ Þln — ln = lt Þ .

Рассмотрим согласованную с полярной системой координат прямоугольную декартовую систему. Известна связь между координатами этих систем.

.

Заменяя полярные координаты, получим параметрические уравнения траектории точки М:

РЕШЕНИЕ НУЛЕВОГО ВАРИАНТА

КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

1.Найти уравнение плоскости, проходящей через прямую

перпендикулярно плоскости: 3х – 5 у + 5 z + 3 = 0.

Решение. Искомая плоскость a будет проходить через данную прямую, а следовательно через точку прямой М₀ (2; – 3; – 1). Направляющий вектор заданной прямой и нормальный вектор заданной плоскости параллельны искомой плоскости. Так как векторы и не коллинеарные (их координаты не пропорциональны), то составим уравнение плоскости в виде определителя по точке и двум неколлинеарным векторам:

.

Разложим определитель по первой строке

.

,

a: .

Ответ: .

2.Даны плоскости, заданные в О уравнениями:

a: 2х – 3у + 3 = 0, b: х – у + z +2 = 0.

Найти уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения данных плоскостей и перпендикулярную плоскости b.

Решение. Найдем две общие точки данных плоскостей. Для этого решим систему уравнений:

Пусть у = 0, тогда система примет вид

Отсюда получим, что х = , z = .

Решением системы будет тройка чисел . Искомая точка М₁ . Пусть у = 1, тогда система примет вид

Отсюда получим, что х = 0, z = . Решением системы будет тройка чисел . Искомая точка М₂ .

Из уравнения плоскости b находим ее нормальный вектор .

Для составления уравнения искомой плоскости обратим внимание на то, что точки М₁ и М₂ принадлежат ей, а вектор будет ей параллелен. Поэтому составляем уравнение плоскости по точке М₂ и двум неколлинеарным векторам и . Можно заменить вектор на вектор . Запишем уравнение в виде определителя: . Разложив определитель по первой строке, получим уравнение искомой плоскости,:

.

3.Найти каноническое уравнение прямой, проходящей через точку А(6; 2; 3) перпендикулярно плоскости, проходящей через точки В (1; 4; 4), С (0; 2; 4), D (1; 3; 3).

Решение. Найдем уравнение плоскости (BCD) по трем точкам B, C, D

,

.

Разложив определитель по первой строке, получим уравнение плоскости (BCD):

.

Нормальный вектор плоскости (BCD) будет направляющим вектором искомой прямой. Составим канонические уравнения прямой по точке А(6; 2; 3) и направляющему вектору :

.

Ответ: .

4. Даны прямые, заданные в О уравнениями:

ℓ₁: и ℓ₂: .

Найти уравнение плоскости, проходящей через первую прямую параллельно второй прямой.

Решение. Согласно условию задачи точка М₀ (– 1; – 1; 4), принадлежащая первой прямой, лежит в искомой плоскости. Кроме этого имеем два вектора: , направляющий вектор прямой ℓ₁ и , направляющий вектор прямой ℓ₂, которые параллельны искомой плоскости и не параллельны между собой. Составим уравнение плоскости

a: .

Раскрываем определитель по первой строке:

= – 3(х + 1) + 6(у +1) – 12(z – 4) = – 3х + 6у – 12z +51.

Следовательно, – 3х + 6у – 12z +51 = 0 и получаем уравнение плоскости a: х –2у + 4z – 17 = 0.

5. Вычислить расстояние от точки P (-1; 1; -2) до плоскости, проходящей через точки, заданные в О : А (1; 4; 4), B (0; 2; 4), C (1; 3; 3).

Решение. Найдем уравнение плоскости (АВС) по трем заданным точкам:

.

Разложив определитель по первой строке, получим:

.

Следовательно, = 0 уравнение плоскости (АВС).

Воспользуемся известной формулой для вычисления расстояния от точки до плоскости

.

Ответ: .

Тест

Отметьте номер правильного ответа в бланке ответов

Задания	Варианты ответов
А1	Написать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки М1(1; – 2; 1) и М2(3; 1; – 1)	1) 2) 3) 4) 5) =0
A2	Найти расстояние от точки М0 (–1; 2) до прямой ℓ:	1) 2) 3) 2 4) 5 5)
A3	Найти расстояние между прямыми ℓ1: и ℓ2:	1) 2) 5 3) 4) 5) 6
А4	Найти косинус угла между прямыми ℓ1 и ℓ2, если ℓ1 : и ℓ2:	1) 2) 3) 4) 5) 0
А5	Найти уравнение касательной к окружности в точке	1) 2) 3) 4) 5)
А6	Две стороны квадрата лежат на прямых ℓ1 : и ℓ2: . Вычислить его площадь	1) 64 2) 81 3) 16 4) 49 5) 25
А7	В О заданы точки: А(1; 0), В(0; 1), С(1; 2) Найти общее уравнение прямой (ВС).	1) 2) х + у – 1=0 3) у = х +1 4) 5) х – у + 1=0
А8	В О заданы точки: А(1; 0), В(0; 1), С(1; 2) Найти общее уравнение медианы (АМ) треугольника АВС.	1) 2)х– у+1=0 3)х+3у –3=0 4) 3х+у – 3=0, 5)
А9	В О заданы точки: А(1; 1), В(0; 2), С(2; 4) Найти общее уравнение биссектрисы угла ÐАВС.	1) х – у = 0, 2) 2х+3у – 1 =0, 3) х = 2, 4) у – 2 = 0, 5) у = 2х.
А10	В О заданы точки: А(1; 1),В(0; 2), С(2; 4). Вычислить расстояние от точки А до биссектрисы угла В в треугольнике АВС.	1) 1, 2) -2, 3) 4, 4) 0, 5) 2.
А11	В О заданы точки:А(1; 1), В(0; 2), С(2; 4). Вычислить площадь треугольника АВВ1 , где ВВ1 — биссектриса угла В в треугольнике АВС.	1) 2, 2) , 3) , 4) -1, 5) 3
А12	В О заданы плоскости a:х-у+z = -3, b: 2x-3z+4=0 найти уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения данных плоскостей и ^ a.	1)х – у — 8z=19; 2)21x — 3y — 24z+19=0; 3)x — 3y+5z — 21=0; 4) x+3y — 5z — 21=0; 5) 21x — 3y+24z+19=0
A13	Уравнение прямой имеет вид, если она проходит через точку В(4,2,-3) и перпендикулярна плоскости ACD, где A(1,-1,1), C(0,2,4), D(1,3,3), (O ).	1)21x-3y+24z+19=0;2) 3) ; 4)х – у – z +3=0; 5)
А14	Уравнение плоскости ACD имеет вид, где A(1,-1,1),C(0,2,4), D(1,3,3), (O ).	1) 3х – у + 2z – 6 =0, 2) 3х + у + 2z + 6 =0, 3) у + 2z – 6 =0, 4) 3х + 2z – 6 =0, 5) 3х – у -2z – 6 =0
A15	Найти расстояние от точки B(4,2,-3) до плоскости ACD, где A(1,-1,1),C(0,2,4), D(1,3,3), (O ).	1) 2, 2) , 3) 3, 4) , 5)

Список литературы

1. А.Д. Александров, Н.Ю. Нецветаев. Геометрия. — М.: Наука, 1990.

2. Л.С. Атанасян, В.Т. Базылев. Геометрия. Ч. 1. — М.: Просвещение, 1986.

3. В.Т. Базылев, К.И. Дуничев и др. Геометрия. — Ч. 1. — М.: Просвещение, 1974.

4. В.Т. Базылев, К.И. Дуничев и др. Под ред. В.Т. Базылева. Сборник задач по геометрии. — М.: Просвещение, 1980.

5. Беклемишева Л.А. и др. Сборник задач по аналитической геометрии: Уч.пособие. –М. 2003.

6. Бортаковский А.С., Пантелеев А.В. Аналитическая геометрия в примерах и задачах: Учебное пособие. –М.: Высшая школа, 2005.

7. А.Л. Вернер, Б.Е. Кантор, С.А. Франгулов. Геометрия, ч.1.- С. Петербург, 1997.

8. Л.С. Атанасян, В.А. Атанасян. Сборник задач по геометрии. Ч. 1. — М.: Просвещение, 1973.

9. Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. –М., 2004. –464 с.

10. Ефимов Н.В. Высшая геометрия: Учебник для вузов. –.М.: Физматлит, 2003. –584 с.

11. Жаферов А.Ф. Геометрия: в 2-х частях. Ч.1. –Новосибирск: Сиб.унив.изд-во, 2002. –271 с.

12. Жаферов А.Ф. Геометрия: в 2-х частях. Ч.2. –Новосибирск: Сиб.унив.изд-во, 2003. –267 с.

13. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. –М.: МГУ, 1980. –320 с.

14. Д.В. Клетеник. Сборник задач по аналитической геометрии. — М.: Наука, 1964.

15. А.В. Погорелов. Геометрия. — М.: Наука, 1984.

16. О.Н. Цубербиллер. Сборник задач по аналитической геометрии. — М.: Наука, 1966.

Виктор Анатольевич Долженков

Елена Георгиевна Соловьева

Игорь Викторович Горчинский

Лицензия ИД № 06248 от 12.11.2001 г.

Подписано в печать Формат 60х84/16. Печать офсетная.

Полярные координаты — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Полярные координаты. параметрические уравнения линии

Полярные координаты

Основная идея метода координат состоит в том, что положение точки на плоскости однозначно определяется с помощью двух чисел. Конкретный геометрический смысл этих чисел дает ту или иную систему координат. Наиболее важной после прямоугольной системы, исключительно употреблявшейся нами до сих пор, является полярная система координат, к рассмотрению которой мы и переходим.

Возьмем на плоскости точку О, которую назовем полюсом. Проведем из полюса О направленную полупрямую Ох, называемую полярной осью (рис. 41).

Пусть М — произвольная точка плоскости. Соединим точку М с полюсом О отрезком ОМ. Длина отрезка ОМ = р называется полярным радиусом точки М, а угол

Точка М с полярными координатами риф записывается следующим образом: М (р, ф), причем на первом месте ставится полярный радиус р, а на втором — полярный угол ф.

Что касается значений, принимаемых полярными координатами, то достаточно, очевидно, рассматривать значения р от 0 до и значения ф от 0 до , при этом, как мы условились, угол ф отсчитывается от полярной оси против хода часовой стрелки. Однако в некоторых вопросах приходится рассматривать углы, большие , а также отрицательные углы, т. е. углы, отсчитываемые от полярной оси по направлению движения часовой стрелки.

Связь между прямоугольными и полярными координатами

Рассмотрим переход от полярных координат к прямоугольным и обратно.

Предположим, что полюс полярной системы совпадает с началом прямоугольной системы координат Оху, а полярная ось является положительной полуосью Ох (рис. 42).

Тогда для произвольной точки М имеем

Считая угол ф острым, из прямоугольного треугольника АОМ находим

Полученные формулы справедливы для любого угла ф. Так выражаются прямоугольные координаты точки М через ее полярные координаты. Далее, из этого же прямоугольного треугольника АОМ получаем

Так выражаются полярные координаты точки через ее прямоугольные координаты.

Заметим, что при определении полярного угла ф по tg ф нужно учитывать знаки координат х и у.

Ранее мы видели, что линии могут быть заданы с помощью уравнений, связывающих их текущие прямоугольные координаты. Покажем теперь на простейшем примере, что линии могут определяться и уравнениями относительно полярных координат.

Пример:

Рассмотрим кривую , где а — некоторое положительное число. Эта кривая называется спиралью Архимеда. Для ее построения составляем таблицу соответственных значений ф и р:

По этой таблице наносим точки и соединяем их линией, уточняя, если в этом есть необходимость, положение промежуточных точек (рис. 43).

Параметрические уравнения линии

Иногда бывает удобнее вместо уравнения линии, связывающего прямоугольные координаты , рассматривать так называемые параметрические уравнения линии, дающие выражения текущих координат х и у в виде функций от некоторой переменной величины t (параметра). Параметрические уравнения играют важную роль, например, в механике, где координаты х и у движущейся точки М (х, у) рассматриваются как функции времени (уравнения движения).

Пример:

Выведем параметрические уравнения окружности.

Пусть М — произвольная точка окружности радиуса R с центром в начале координат (рис. 44). В определяемом ею прямоугольном треугольнике АОМ обозначим угол хОМ через t. Тогда, очевидно, будут иметь место равенства

Это и есть параметрические уравнения окружности.

Чтобы получить обычное уравнение окружности, нужно исключить параметр t. Для этого возводим уравнения (1) в квадрат и складываем их:

Пример:

Выведем параметрические уравнения эллипса.

Эллипс с полуосями а и b можно рассматривать как равномерно сжатую вдоль вертикального диаметра окружность радиуса а, где коэффициент сжатия k = b/a. Пусть М (х, у) — точка эллипса, N (X, У) — соответствующая точка окружности (рис. 45), где

За параметр t примем угол, образованный радиусом ON окружности с положительным направлением оси Ох: . Используя формулы (2), имеем

Таким образом, параметрические уравнения эллипса с полуосями а и b есть

Исключив из уравнений (3) параметр получим каноническое уравнение эллипса

Имея параметрические уравнения линии, можно по точкам построить ее.

Пример:

Решение:

Составляем таблицу значений:

Нанося точки с соответствующими координатами (х, у) на плоскость Оху и соединяя их линией, получим искомую кривую (рис. 46).

Эта кривая— парабола. В самом деле, исключив параметр t из уравнений (4), получим т. е. каноническое уравнение параболы.

Параметрические уравнения циклоиды

Определение: Циклоидой называется кривая, описываемая точкой окружности, катящейся без скольжения по прямой линии (рис. 47).

Выведем параметрические уравнения циклоиды, приняв прямую за ось Ох, предполагая, что радиус катящейся окружности равен айв начальном положении движущаяся точка М совпадает с началом координат. За параметр t примем угол поворота (в радианах) подвижного радиуса МС окружности относительно вертикального радиуса КС, где К — точка касания окружности с осью Ох (рис. 47). Так как качение окружности происходит без скольжения, то, очевидно, имеем

Отсюда на основании рис. 47 для координат текущей точки М циклоиды получаем следующие выражения:

Таким образом, параметрические уравнения циклоиды есть

Полярная система координат

Определение 1. Рассмотрим плоскость с прямоугольной декартовой системой координат Оху . Пусть М(х, у) – точка на плоскости, M ≠ 0. Полярными координатами точки М называются числа r − длина ее радиус-вектора (полярный
радиус) и ϕ − угол, образованный радиус-вектором с положительным направлением оси Ох (полярный угол), . Точка О при этом называется
полюсом, а полуось Ох – полярной осью.
Замечание. Зависимость между прямоугольными (х, у) и полярными ( , ) r ϕ
координатами точки М задается в виде: (1)

Рис.1. Полярные координаты точки.
Полярный полюс О и полярную ось можно выбрать на плоскости и не вводя
прямоугольную систему координат:

Пример 1.

Построим на плоскости линию, заданную уравнением:
− лемниската.
Решение.

Вычислим значения r при различных значениях ϕ :

Проводим лучи из начала координат под углами ϕ к оси Ох и на них откладываем
отрезки длины r , получим :

Рис.3. Лемниската

Пример 2.

а) Построим кривую − кардиоида. Рассуждая, как в примере 1 получим:




Замечание. Если в определении 1 отбросить требование 0 ≤ ϕ 0, то формулы (1) будут задавать непрерывное отображение точек плоскости (O, r, ϕ) на точки плоскости (x, O, y).

При этом, если r > 0, то векторы сонаправлены, если r

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

4.4. Уравнение линии в полярных координатах

По существу, уравнение линии в полярной системе координат представляет собой функцию полярного радиуса от полярного угла (аргумента). При этом полярный угол учитывается в радианах (!) и непрерывно принимает значения от до (иногда следует рассмотреть до бесконечности, или же в ряде задач для удобства от до ). Каждому значению угла «фи», которое входит в область определения функции , соответствует единственное значение полярного радиуса.

Полярную функцию можно сравнить со своеобразным радаром – когда луч света, исходящий из полюса, вращается против часовой стрелки и «прорисовывает» линию.

«Дежурным» примером полярной кривой является Архимедова спираль . На следующем рисунке изображен её первый виток – когда полярный радиус вслед за полярным углом принимает значения от 0 до :
Далее, пересекая полярную ось в точке , спираль продолжит раскручиваться, бесконечно далеко удаляясь от полюса. Но подобные случаи на практике встречаются довольно редко; более типичная ситуация, когда на всех последующих оборотах мы «пройдёмся по той же самой линии», которая получена в диапазоне .
В первом же примере мы сталкиваемся и с понятием области определения полярной функции: поскольку полярный радиус неотрицателен , то отрицательные углы у функции рассматривать нельзя.

! Примечание: в ряде случаев принято использовать обобщённые полярные координаты, где радиус может быть отрицательным, и такой подход мы вкратце изучим чуть позже

Кроме спирали Архимеда, есть множество других известных кривых, но искусством, как говорится, сыт не будешь, поэтому я подобрал примеры, которые очень часто встречаются в реальных практических заданиях.

Сначала простейшие уравнения и простейшие линии:

Уравнение вида задаёт луч, исходящий из полюса. Действительно, вдумайтесь, если значение угла всегда (каким бы ни было «эр») постоянно, то какая это линия?

Примечание: в обобщённой полярной системе координат данное уравнение задаёт прямую, проходящую через полюс.

Уравнение вида определяет… догадайтесь с первого раза – если для любого угла «фи» радиус остаётся постоянным? Фактически это определение окружности с центром в полюсе радиуса .

Например, . Для наглядности найдём уравнение этой линии в прямоугольной системе координат. Используя полученную ранее формулу , проведём замену:

Возведём обе части в квадрат:
– уравнение окружности с центром в начале координат радиуса 2, что и требовалось проверить.

А теперь оценИте удобство – с окружностью значительно выгоднее работать именно в полярных координатах по причине предельной простоты уравнения .

Рассмотрим более содержательные задачи на построение:

Задача 116

Построить линию

Решение: в первую очередь найдём область определения. Так как полярный радиус неотрицателен, то должно выполняться неравенство . Можно вспомнить школьные правила решения тригонометрических неравенств, но в простых случаях как этот,
я советую более быстрый графический метод решения:

– Посмотрим на график функции (см. Приложение Тригонометрия). Что означает неравенство ? Оно означает, что нас устраивает тот кусок графика, который не ниже оси абсцисс , а именно, его часть на отрезке . И, соответственно, интервал не подходит. Таким образом, область определения нашей функции: , то есть график расположен справа от полюса (по терминологии декартовой системы – в правой полуплоскости).

В полярных координатах часто бывает смутное представление о том, какую линию определяет то или уравнение, поэтому чтобы её построить, необходимо найти принадлежащие ей точки – и чем больше, тем лучше. Обычно ограничиваются десятком-другим (а то и меньшим количеством). Проще всего, конечно же, взять табличные значения угла.

Для бОльшей ясности к отрицательным значениям угла я буду «прикручивать» один оборот (левая колонка), и в силу чётности косинуса соответствующие положительные значения можно заново не считать (справа):

Изобразим полярную систему координат и отложим найденные точки, при этом одинаковые значения «эр» удобно откладывать за один раз, делая парные засечки циркулем по рассмотренной ранее технологии:

В принципе, линия отчётливо прорисовывается, но чтобы стопроцентно подтвердить догадку, давайте найдём её уравнение в декартовой системе координат. Можно применить недавно выведенные формулы , но я расскажу вам о более хитром приёме.

Обе части уравнения искусственно домножаем на «эр»: и используем более компактные формулы перехода:

Выделяя полный квадрат, приводим уравнение к понятному виду:

– уравнение окружности с центром в точке , радиуса 2.

Коль скоро по условию требовалось просто выполнить построение и всё, плавно соединяем найденные точки линией. Ничего страшного, если получится немного неровно, вы же не обязаны были знать, что это окружность 😉

Почему мы не рассмотрели значения угла вне промежутка ?

Ответ прост: нет смысла. Ввиду периодичности функции нас ждёт бесконечный «бег» по построенной окружности.

Несложно провести нехитрый анализ и прийти к выводу, что уравнение вида задаёт окружность диаметра с центром в точке .

Образно говоря, все такие окружности «сидят» на полярной оси и обязательно проходят через полюс. Если же , то весёлая компания перекочует налево – на продолжение полярной оси (подумайте, почему).

Похожая задача для самостоятельного решения:

Задача 117

Построить линию и найти её уравнение в декартовой системе координат.

Систематизируем порядок решения задачи:

Находим область определения функции, для этого удобно посмотреть на синусоиду (Приложение Тригонометрия), чтобы сразу же понять, где синус неотрицателен.

На втором шаге рассчитываем полярные координаты точек, используя табличные значения углов; проанализируйте, нельзя ли сократить количество вычислений?

На третьем шаге откладываем точки в полярной системе координат и аккуратно соединяем их линией.

И, наконец, находим уравнение линии в декартовой системе координат.

Примерный образец решения в конце книги.

Общий алгоритм и технику построения в полярных координатах мы детализируем и существенно ускорим совсем скоро, но перед этим познакомимся ещё с одной распространённой линией: