Уравнение магнитного потока от тока

Закон электромагнитной индукции

О чем эта статья:

11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Магнитный поток

Прежде, чем разобраться с тем, что такое электромагнитная индукция, нужно определить такую сущность, как магнитный поток.

Представьте, что вы взяли обруч в руки и вышли на улицу в ливень. Чем сильнее ливень, тем больше через этот обруч пройдет воды — поток воды больше.

Если обруч расположен горизонтально, то через него пройдет много воды. А если начать его поворачивать — уже меньше, потому что он расположен не под прямым углом к вертикали.

Теперь давайте поставим обруч вертикально — ни одной капли не пройдет сквозь него (если ветер не подует, конечно).

Магнитный поток по сути своей — это тот же самый поток воды через обруч, только считаем мы величину прошедшего через площадь магнитного поля, а не дождя.

Магнитным потоком через площадь ​S​ контура называют скалярную физическую величину, равную произведению модуля вектора магнитной индукции ​B​, площади поверхности ​S​, пронизываемой данным потоком, и косинуса угла ​α​ между направлением вектора магнитной индукции и вектора нормали (перпендикуляра к плоскости данной поверхности):

Магнитный поток

Ф — магнитный поток [Вб]

B — магнитная индукция [Тл]

S — площадь пронизываемой поверхности [м^2]

n — вектор нормали (перпендикуляр к поверхности) [-]

Магнитный поток можно наглядно представить как величину, пропорциональную числу магнитных линий, проходящих через данную площадь.

В зависимости от угла ​α магнитный поток может быть положительным (α 90°). Если α = 90°, то магнитный поток равен 0. Это зависит от величины косинуса угла.

Изменить магнитный поток можно меняя площадь контура, модуль индукции поля или расположение контура в магнитном поле (поворачивая его).

В случае неоднородного магнитного поля и неплоского контура, магнитный поток находят как сумму магнитных потоков, пронизывающих площадь каждого из участков, на которые можно разбить данную поверхность.

Электромагнитная индукция

Электромагнитная индукция — явление возникновения тока в замкнутом проводящем контуре при изменении магнитного потока, пронизывающего его.

Явление электромагнитной индукции было открыто М. Фарадеем.

Майкл Фарадей провел ряд опытов, которые помогли открыть явление электромагнитной индукции.

Опыт раз. На одну непроводящую основу намотали две катушки: витки первой катушки были расположены между витками второй. Витки одной катушки были замкнуты на гальванометр, а второй — подключены к источнику тока.

При замыкании ключа и протекании тока по второй катушке в первой возникал импульс тока. При размыкании ключа также наблюдался импульс тока, но ток через гальванометр тек в противоположном направлении.

Опыт два. Первую катушку подключили к источнику тока, а вторую — к гальванометру. При этом вторая катушка перемещалась относительно первой. При приближении или удалении катушки фиксировался ток.

Опыт три. Катушка замкнута на гальванометр, а магнит движется вдвигается (выдвигается) относительно катушки

Вот, что показали эти опыты:

1. Индукционный ток возникает только при изменении линий магнитной индукции.
2. Направление тока будет различно при увеличении числа линий и при их уменьшении.
3. Сила индукционного тока зависит от скорости изменения магнитного потока. Может изменяться само поле, или контур может перемещаться в неоднородном магнитном поле.

Почему возникает индукционный ток?

Ток в цепи может существовать, когда на свободные заряды действуют сторонние силы. Работа этих сил по перемещению единичного положительного заряда вдоль замкнутого контура равна ЭДС.

Значит, при изменении числа магнитных линий через поверхность, ограниченную контуром, в нем появляется ЭДС, которую называют ЭДС индукции.

Онлайн-курсы физики в Skysmart не менее увлекательны, чем наши статьи!

Закон электромагнитной индукции

Закон электромагнитной индукции (закон Фарадея) звучит так:

ЭДС индукции в замкнутом контуре равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную контуром.

Математически его можно описать формулой:

Закон Фарадея

Ɛi — ЭДС индукции [В]

ΔФ/Δt — скорость изменения магнитного потока [Вб/с]

Знак «–» в формуле позволяет учесть направление индукционного тока. Индукционный ток в замкнутом контуре всегда направлен так, чтобы магнитный поток поля, созданного этим током сквозь поверхность, ограниченную контуром, уменьшал бы те изменения поля, которые вызвали появление индукционного тока.

Если контур состоит из ​N витков (то есть он — катушка), то ЭДС индукции будет вычисляться следующим образом.

Закон Фарадея для контура из N витков

Ɛi — ЭДС индукции [В]

ΔФ/Δt — скорость изменения магнитного потока [Вб/с]

N — количество витков [-]

Сила индукционного тока в замкнутом проводящем контуре с сопротивлением ​R​:

Закон Ома для проводящего контура

Ɛi — ЭДС индукции [В]

I — сила индукционного тока [А]

R — сопротивление контура [Ом]

Если проводник длиной l будет двигаться со скоростью ​v​ в постоянном однородном магнитном поле с индукцией ​B​ ЭДС электромагнитной индукции равна:

ЭДС индукции для движущегося проводника

Ɛi — ЭДС индукции [В]

B — магнитная индукция [Тл]

v — скорость проводника [м/с]

l — длина проводника [м]

Возникновение ЭДС индукции в движущемся в магнитном поле проводнике объясняется действием силы Лоренца на свободные заряды в движущихся проводниках. Сила Лоренца играет в этом случае роль сторонней силы.

Движущийся в магнитном поле проводник, по которому протекает индукционный ток, испытывает магнитное торможение. Полная работа силы Лоренца равна нулю.

Количество теплоты в контуре выделяется либо за счет работы внешней силы, которая поддерживает скорость проводника неизменной, либо за счет уменьшения кинетической энергии проводника.

Изменение магнитного потока, пронизывающего замкнутый контур, может происходить по двум причинам:

• вследствие перемещения контура или его частей в постоянном во времени магнитном поле. Это случай, когда проводники, а вместе с ними и свободные носители заряда, движутся в магнитном поле
• вследствие изменения во времени магнитного поля при неподвижном контуре. В этом случае возникновение ЭДС индукции уже нельзя объяснить действием силы Лоренца. Явление электромагнитной индукции в неподвижных проводниках, возникающее при изменении окружающего магнитного поля, также описывается формулой Фарадея

Таким образом, явления индукции в движущихся и неподвижных проводниках протекают одинаково, но физическая причина возникновения индукционного тока оказывается в этих двух случаях различной:

• в случае движущихся проводников ЭДС индукции обусловлена силой Лоренца
• в случае неподвижных проводников ЭДС индукции является следствием действия на свободные заряды вихревого электрического поля, возникающего при изменении магнитного поля.

Правило Ленца

Чтобы определить направление индукционного тока, нужно воспользоваться правилом Ленца.

Академически это правило звучит следующим образом: индукционный ток, возбуждаемый в замкнутом контуре при изменении магнитного потока, всегда направлен так, что создаваемое им магнитное поле препятствует изменению магнитного потока, вызывающего индукционный ток.

Давайте попробуем чуть проще: катушка в данном случае — это недовольная бабуля. Забирают у нее магнитный поток — она недовольна и создает магнитное поле, которое этот магнитный поток хочет обратно отобрать.

Дают ей магнитный поток, забирай, мол, пользуйся, а она такая — «Да зачем сдался мне ваш магнитный поток!» и создает магнитное поле, которое этот магнитный поток выгоняет.

Поток вектора магнитной индукции

Магнитный поток Φ через площадку S (поток вектора магнитной индукции) – это скалярная величина:

Φ = B S cos α = B n S = B → S → с углом между n → и B → , обозначаемым α , n → является нормалью к площадке S .

Формула магнитного потока

Φ равняется количеству линий магнитной индукции, пересекающих площадку S , как показано на рисунке 1 . Поток магнитной индукции по формуле принимает положительные и отрицательные значения. Его знак зависит от выбора положительного направления нормали к площадке S . Зачастую положительное направление нормали связано с направлением обхода контура током. За такое направление берут поступательное перемещение правого винта во время его вращения по току.

В чем измеряется магнитный поток

В случае неоднородности магнитного поля S не будет плоской, а плоскость может быть разбита на элементарные площадки d S , рассматриваемые в качестве плоских, поле которых также считается однородным. Определение магнитного потока d Φ производится через эту поверхность. Запись примет вид:

d Φ = B d S cos α = B → d S → .

Нахождение полного потока через поверхность S :

Φ = ∫ S B d S cos α = ∫ S B → d S → .

Основной единицей измерения магнитного потока в системе СИ считаются веберы ( В б ) . 1 В б = 1 Т л 1 м 2 .

Связь магнитного потока и работы сил магнитного поля

Элементарная работа δ A , совершаемая силами магнитного поля, выражается через элементарное изменение потока вектора магнитной индукции d Φ :

Если проводник с током совершает конечное перемещение, сила тока постоянна, то работа сил поля равняется:

A = I Φ 2 — Φ 1 с Φ 1 , обозначаемым потоком через контур в начале перемещения, Φ 2 является потоком через контур в конце перемещения.

Теорема Гаусса для магнитного поля

Значение суммарного магнитного потока через замкнутую поверхность S равняется нулю:

Выражение ∮ B → d S → = 0 является справедливым для любых магнитных полей. Данное уравнение считается аналогом теоремы Остроградского-Гаусса в электростатике в вакууме:

Запись ∮ B → d S → = 0 говорит о том, что источник магнитного поля – это не магнитные заряды, а электрические токи.

Дан бесконечно длинный прямой проводник с током I , недалеко от которого имеется квадратная рамка. По ней проходит ток с силой I ‘ . Сторона рамки равна a . Она располагается в одной плоскости с проводом, как показано на рисунке 2 . Значение расстояния от ближайшей стороны рамки до проводника равняется b . Найти работу магнитной силы при удалении рамки из поля. Считать токи постоянными.

Индукция магнитного поля длинного проводника с током в части, где расположена квадратная рамка, направляется на нас.

Следует учитывать нахождение рамки с током в неоднородном поле, что означает убывание магнитной индукции при удалении от провода.

За основу возьмем формулу магнитного потока и работы, которая их связывает:

A = I ‘ Φ 2 — Φ 1 ( 1 . 1 ) , где I ‘ принимают за силу тока в рамке, Φ 1 – за поток через квадратную рамку при расстоянии от ее стороны к проводу равняющимся b . Φ 2 = 0 . Это объясняется тем, что конечное положение рамки вне магнитного поля, как дано по условию. Отсюда следует, запись формулы ( 1 . 1 ) изменится:

A = — I ‘ Φ 1 ( 1 . 2 ) .

Перейдем к нормали n → и выберем ее направление к квадратному контуру относительно нас, используя правило правого винта. Отсюда следует, что для всех элементов поверхности, ограниченной при помощи контура квадратной рамки, угол между нормалью n → и вектором B → равняется π . Запись формулы потока через поверхность рамки на расстоянии х от провода примет вид:

d Φ = — B d S = — B · a · d x = — μ 0 2 π I l d x x ( 1 . 3 ) , значение индукции магнитного поля бесконечно длинного проводника с током силы I будет:

B = μ 0 2 π x I l ( 1 . 4 ) .

Отсюда следует, что для нахождения всего потока из ( 1 . 3 ) потребуется:

Φ 1 = ∫ S — μ 0 2 π I l d x x = — μ 0 2 π I l ∫ b b + a d x x = — μ 0 2 π I l · ln b + a b ( 1 . 5 ) .

Произведем подстановку формулы ( 1 . 5 ) в ( 1 . 2 ) . Искомая работа равняется:

A = I ‘ μ 0 2 π I l · ln b + a b .

Ответ: A = μ 0 2 π I I ‘ l · ln b + a b .

Найти силу, действующую на рамку, из предыдущего примера.

Для нахождения искомой силы, действующей на квадратную рамку с током в поле длинного провода, предположим, что под воздействием магнитной силы рамка смещается на незначительное расстояние d x . Это говорит о совершении силой работы, равной:

δ A = F d x ( 2 . 1 ) .

Элементарная работа δ A может быть выражена как:

δ A = I ‘ d Φ ( 2 . 2 ) .

Произведем то же с силой, применяя формулы ( 2 . 1 ) , ( 2 . 2 ) . Получаем:

F d x = I ‘ d Φ → F = I ‘ d Φ d x ( 2 . 3 ) .

Используем выражение, которое было получено в примере 1 :

d Φ = — μ 0 2 π I l d x x → d Φ d x = — μ 0 2 π I l x ( 2 . 4 ) .

Произведем подстановку d Φ d x в ( 2 . 3 ) . Имеем:

F = I ‘ μ 0 2 π I l x ( 2 . 5 ) .

Каждый элемент контура квадратной рамки находится под воздействием сил (силы Ампера). Отсюда следует, что на рамку действует 4 силы, причем на стороны A B и D C равные по модулю и противоположные по направлению. Выражение принимает вид:

F A B → + F D C → = 0 ( 2 . 6 ) , то есть их сумма равняется нулю. Тогда значение результирующей силы, приложенной к контуру, запишется:

F → = F A D → + F B C → ( 2 . 6 ) .

Используя правило левой руки, получаем направление этих сил вдоль одной прямой в противоположные стороны:

F = F A D — F B C ( 2 . 7 ) .

Произведем поиск силы F A D , действующей на сторону A D , применив формулу ( 2 . 5 ) , где x = b :

F A D = I ‘ м 0 2 π I l b ( 2 . 8 ) .

Значение F B C будет:

F B C = I ‘ μ 0 2 π I l b + a ( 2 . 9 ) .

Для нахождения искомой силы:

F = I ‘ μ 0 2 π I l b — I ‘ μ 0 2 π I l b + a = I I ‘ μ 0 l 2 π 1 b — 1 b + a .

Ответ: F = I I ‘ μ 0 l 2 π 1 b — 1 b + a . Магнитные силы выталкивают рамку с током до тех пор, пока она находится в первоначальной ориентации относительно поля провода.

Магнитный поток простыми словами

Вероятно, термин «поток» ассоциируется у вас с потоком воды. Если бы вы хотели описать этот поток количественно, то имели бы в виду определенное количество воды, протекающей через поперечное сечение в определенной точке. Такой поток может нести большое или малое количество воды в зависимости от скорости воды и площади этого поперечного сечения.

Магнитный поток — это физическая величина, тесно связанная с явлением электромагнитной индукции. Это сложная величина, довольно абстрактная. Но, как вы правильно догадались, его название берет свое начало в гидродинамике. Здесь, однако, нет потока материи через поверхность, есть только векторы магнитной индукции B , «пронзающие» поверхность и иногда «скользящие» по ней.

Представьте себе однородное магнитное поле, описываемое вектором магнитной индукции B . Мы помещаем плоскую поверхность с полем S в это поле совершенно произвольным образом, то есть под любым углом по отношению к вектору B (рис. 1). Теперь определим вектор B , перпендикулярный плоскости поверхности. Пусть длина этого вектора равна величине поверхности.

Рис. 1. Плоская поверхность в магнитном поле. Красным цветом обозначен вектор S, представляющий эту поверхность.

Потоком вектора магнитной индукции Ф_B через поверхность S называется скалярное произведение векторов B и S .

Итак можно дать следующее определение термину «магнитный поток»:

Магнитный поток — это поток вектора магнитной индукции B через некоторую поверхность. Для бесконечно малого участка равен произведению модуля | B | на площадь участка dS и косинус угла α между B и нормалью n к плоскости участка. Для поверхности конечных размеров находится как сумма (интеграл) по её малым фрагментам.

Зависимости магнитного потока

Используя формулу, можно увидеть, что магнитный поток зависит от трех переменных: магнитного поля B, площади S и угла α.

Магнитный поток линейно зависит от B и S. Например, если увеличить площадь S, но оставить магнитное поле B и угол α прежними, то магнитный поток будет больше. Поэтому большая площадь означает большой поток, а маленькая площадь — маленький магнитный поток.

Если, с другой стороны, увеличить магнитное поле B, то магнитный поток также увеличится. Сильное магнитное поле приводит к большому потоку, слабое поле — к малому магнитному потоку.

В целом, чем больше магнитное поле B или площадь S, тем больше магнитный поток.

Ситуация с углом α немного сложнее. Представьте, что ваша поверхность перпендикулярна магнитному полю, тогда ваш угол α = 0 ° . Здесь у вас самый большой магнитный поток. Если теперь шаг за шагом увеличивать угол, магнитный поток уменьшается. Когда вы достигаете α = 90 ° , магнитный поток равен нулю, потому что магнитное поле параллельно поверхности. После этого он снова начинает увеличиваться.

Единица измерения и обозначение магнитного потока

Магнитное поле B имеет единицу Тесла (T), а площадь — единицу квадратный метр м 2 .

Поток является скалярной величиной и его единицей измерения является вебер (Вб): 1 Вб = 1 Т * м 2 , то есть [Ф] = Т * м 2 . Обозначается магнитный поток как Ф (символ формулы — греческая фи).

Примеры

Приведенные ниже примеры дадут вам лучшее понимание того, что представляет собой новая концепция и аналогия с потоком воды.

1. В случае, показанном на рис. 2, поток магнитного поля с магнитной индукцией B через поверхность S составляет: Ф_B = B * S и при этом его значение максимально, так как:

Рис. 2. Поверхность перпендикулярна силовым линиям магнитного поля. Векторы B и S параллельны

2. А в каком случае при ненулевой магнитной индукции Ф_B = 0 ?

Рис. 3. Поверхность параллельна силовым линиям магнитного поля. Векторы B и S перпендикулярны

Определение магнитного потока показывает, что это тот случай, когда:

потому что cos 90 ° = 0.

На рис. 3 мы видим, как в этой ситуации располагается плоская поверхность относительно векторов магнитной индукции.

Обратите внимание, что Ф_B можно представить как произведение В и S_⟂, где S_⟂ = S * cos α. Аналогично, вы всегда можете рассчитать величину потока магнитного поля, умножив составляющую магнитной индукции, перпендикулярную поверхности, на величину площади поверхности (см. рис. 4а. и 4б.).

Как можно рассчитать поток магнитного поля, если поле неоднородно и/или поверхность искривлена? Мы делим поверхность, через которую мы должны вычислить поток, на такие маленькие участки, что можно считать, что они плоские и поле однородное. Все это для того, чтобы можно было применить определение потока. Поэтому мы вычисляем небольшие «потоки» и суммируем их. Описанная процедура называется вычислением поверхностного интеграла, который записывается в виде:

Вычислять такие интегралы совсем не обязательно, но полезно понимать смысл такой процедуры.