Уравнения Максвелла
Уравнения Максвелла — это 4 уравнения, которые описывают, как электрические и магнитные поля распространяются и взаимодействуют; т.е. эти уравнения (правила или даже законы) описывают процессы/взаимодействия электромагнетизма.
Эти правила описывают, как проходит управление поведением электрических и магнитных полей. Уравнения Максвелла показывают, что электрический заряд (положительный и отрицательный):
- Порождает электрическое поле (также если заряд изменяется со временем, то он вызывает появление электрического поля).
- В дальнейшем он вызывает появление магнитного поля.
Уравнения Максвелла в дифференциальной форме
Уравнение 1: Закон Гаусса или Теорема Гаусса
Дивергенция электрического поля равняется плотности заряда. Существует вязь между электрическим полем и электрическим зарядом.
Дивергенция в физике показывает, насколько данная точка пространства является источником или потребителем потока поля.
Очень кратко: Электрические поля расходятся от электрических зарядов: электрический заряд создаёт поле вокруг себя и, таким образом, действует как источник электрических полей. Это можно сравнить с краном, который является источником воды.
Ещё закон Гаусса говорит о том, что отрицательные заряды действуют как сток для электрических полей (способ, как вода стекает через отверстие стока). Это означает, что линии электрического поля имеют начало и поглощаются при электрическом заряде.
Заряды с одинаковым знаком отталкиваются друг от друга, а противоположные заряды притягиваются друг к другу (если есть два положительных заряда, они будут отталкиваться; а если есть один отрицательный и один положительный, они будут притягиваться друг к другу).
Уравнение 2: Закон электромагнитной индукции (Закон Фарадея)
Можно создать электрическое поле, изменив магнитное поле.
Очень кратко: Закон Фарадея гласит, что изменяющееся магнитное поле внутри контура вызывает индуцированный ток, который возникает из-за силы или напряжения внутри контура. Это значит:
- Электрический ток порождает магнитные поля, а эти магнитные поля (вокруг цепи) вызывают электрический ток.
- Изменяющееся во времени магнитное поле вызывает распространение электрического поля.
- Циркулирующее во времени электрическое поле вызывает изменение магнитного поля во времени.
Уравнение 3: Закон Гаусса для магнетизма
Дивергенция магнитного потока любой замкнутой поверхности равна нулю. Магнитного монополя не существует.
Закон Гаусса для магнетизма утверждает (очень кратко):
- Магнитных монополей не существует.
- Расхождение полей B или H всегда равно нулю в любом объёме.
- На расстоянии от магнитных диполей (это круговой ток) магнитные поля текут по замкнутому контуру.
Уравнение 4: Закон Ампера
Магнитное поле создаётся с помощью тока или изменяющегося электрического поля.
Очень кратко: Электрический ток порождает магнитное поле вокруг тока. Изменяющийся во времени электрический поток порождает магнитное поле.
Уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной форме
Вспомним сначала в дифференциальной форме и следом будет в интегральной форме.
Уравнение 1: Закон Гаусса (Теорема Гаусса)
Это же уравнение в интегральной форме:
Поток вектора электрической индукции D через любую замкнутую поверхность равняется сумме свободных зарядов, охваченных этой поверхностью. Электрическое поле создаётся нескомпенсированными электрическими зарядами (это те, что создают вокруг себя своё собственное электрическое поле).
Уравнение 2: Закон электромагнитной индукции (Закон Фарадея)
И это же уравнение в интегральной форме:
Циркуляция вектора напряжённости Е вихревого электрического поля (по любому замкнутому контуру) равняется скорости изменения магнитного потока через площадь контура (S) с противоположным знаком.
Уравнение 3: Закон Гаусса для магнетизма
И это же уравнение в интегральной форме:
Силовые линии магнитного поля замкнуты, т.к. поток вектора индукции В магнитного поля через любую замкнутую поверхность равняется нулю.
Уравнение 4: Закон Ампера
И это же уравнение в интегральной форме:
Циркуляция вектора напряжённости Н магнитного поля по замкнутому контуру равняется алгебраической сумме токов, которые пронизывают этот контур. Магнитное поле создаётся не только током проводимости, но и переменным электрическим полем.
Уравнения Максвелла
Вы будете перенаправлены на Автор24
Значение уравнений Максвелла
Уравнения Дж. Максвелла создают основу для предложенной им теории электромагнитных явлений, которая объяснила все известные в то время эмпирические факты, некоторые эффекты предсказала. Главным выводом теории Максвелла стало положение о существовании электромагнитных волн, которые распространяются со скоростью света.
Уравнения, предложенные Максвеллом, в электромагнетизме играют роль подобную роли законов Ньютона в классической механике. Они явились обобщением экспериментальных законов и продолжением идей ученых (Кулона, Ампера, Фарадея и др.) изучавших электромагнетизм до Максвелла.
Сам Максвелл предложил двадцать уравнений в дифференциальной форме с двадцатью неизвестными величинами. В современном виде мы имеем систему уравнений Максвелла благодаря немецкому физику Г. Герцу и англичанину О. Хэвисайду. С помощью этих уравнений можно описать все электромагнитные явления.
Система уравнений Максвелла
Систему уравнений Максвелла составляют:
Выражения (1)-(4) называют полевыми уравнениями, они применимы для описания всех макроскопических электромагнитных явлений. Иногда уравнения системы Максвелла группируют в пары, первую пару составляют из второго и третьего уравнения, вторую пару — из первого и четвертого уравнений. При этом говорят, что в первую пару уравнений входят только основные характеристики поля ($\overrightarrow
Каждое из векторных уравнений (1) и (2) эквивалентно трем скалярным уравнениям. Эти уравнения связывают компоненты векторов, которые находятся в левой и правой частях выражений. Так, в скалярном виде уравнение (1) представляется как:
Готовые работы на аналогичную тему
В скалярном виде уравнение (2) запишем как:
Третье уравнение из системы Максвелла в скалярном виде:
Четвертое уравнение в скалярной форме примет следующий вид:
Для того чтобы рассмотреть конкретную ситуацию, систему уравнений (1)-(4) дополняют следующими материальными уравнениями, которые учитывают электромагнитные свойства среды:
Необходимо отметить, что существует целый ряд явлений, в которых материальные уравнения существенно отличны от уравнений (5), например, если речь идет о нелинейных явлениях. В таких случаях получение материальных уравнений составляет отдельную научную задачу.
Физический смысл уравнений Максвелла
Уравнение (1) системы указывает на то, что двумя возможными источниками магнитного поля являются токи проводимости ($\overrightarrow
Уравнение (2) является законом электромагнитной индукции и отображает тот факт, что переменное магнитное поле — один из источников возникновения электрического поля.
Следующим источником электрического поля служат электрические заряды, что и отображает уравнение (4), которое является, по сути, законом Кулона.
Уравнение (3) означает, что линии магнитной индукции не имеют источников (они либо замкнуты, либо уходят в бесконечность), что приводит к выводу об отсутствии магнитных зарядов, которые создают магнитное поле.
Материальные уравнения (5) — это соотношения между векторами поля и токами. Диэлектрические свойства среды заключены в диэлектрической проницаемости ($\varepsilon $). Магнитные свойства, которые описывает намагниченность, учтены в магнитной проницаемости ($\mu $). Проводящие свойства среды сосредоточены в удельной проводимости ($\sigma $).
Уравнения поля линейны и учитывают принцип суперпозиции.
Границы применимости уравнений Максвелла
Система уравнений Максвелла ограничена следующими условиями:
Материальные тела должны быть неподвижны в поле.
Постоянные $\varepsilon ,\ \mu ,\sigma $ могут зависеть от координат, но не должны зависеть от времени и векторов поля.
В поле не должно находиться постоянных магнитов и ферромагнитных тел.
Если существует необходимость учета движения среды, то уравнения системы Максвелла оставляют неизменными, а движение учитывается в материальных уравнениях, которые становятся зависимыми от скорости среды и существенно усложняются. Кроме прочего материальные уравнения перестают быть соотношениями между парами величин, как в (5). Например, плотность тока проводимости становится зависимой от индукции магнитного поля, а не только от напряженности электрического поля.
Магнитное поле постоянных магнитов, например, можно описать, используя систему Максвелла, если известна намагниченность. Но, если заданы токи, то в присутствии ферромагнетиков описать поле при помощи данных уравнений не получится.
Задание: Докажите, что из уравнений Максвелла следует закон сохранения заряда.
Решение:
В качестве основания для решения задачи используем из системы Максвелла уравнение:
Проведем операцию дивергирования в обеих частях выражения (1.1):
Для выражения (1.2) в соответствии с теоремой равенстве нулю дивергенции ротора имеем:
Рассмотрим второе слагаемое в правой части. Мы можем поменять порядок дифференцирования, так как время и пространственные координаты независимы, то есть записать:
В соответствии с системой Максвелла мы знаем, что источниками электрических полей служат заряды или:
Что позволяет нам записать уравнение (1.4) в виде:
Что дает нам закон сохранения заряда, который записан в виде:
Данное уравнение называют уравнением непрерывности тока, оно содержит в себе закон сохранения заряда, что совершенно очевидно, если выражение (1.8), записать в интегральной форме:
тогда если области замкнуты и изолированы получаем:
Что требовалось доказать.
Задание: Покажите, что уравнения $rot\overrightarrow
Решение:
За основу решения примем уравнение:
Возьмём дивергенцию от обеих частей уравнения:
В соответствии с теоремой равенстве нулю дивергенции ротора имеем:
Соответственно, получаем, что
Выражение $div\overrightarrow=const$ не противоречит тому, что $div\overrightarrow=0$.
Мы получили, что уравнения $rot\overrightarrow
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 01 03 2021
МА́КСВЕЛЛА УРАВНЕ́НИЯ
В книжной версии
Том 18. Москва, 2011, стр. 574-576
Скопировать библиографическую ссылку:
МА́КСВЕЛЛА УРАВНЕ́НИЯ, основополагающие уравнения классич. макроскопич. электродинамики, описывающие закономерности электромагнитных явлений в сплошной среде или вакууме (в пренебрежении квантовыми явлениями). Теория электромагнитного поля была разработана Дж. К. Максвеллом в 1856–73. В М. у. обобщены ранее установленные опытные законы электрич. и магнитных явлений, и эти законы объединены с концепцией М. Фарадея об электромагнитном поле, обеспечивающем взаимодействие между удалёнными заряженными телами (т. н. теория близкодействия). В оригинальном изложении Максвелла было сознательно приведено избыточное число уравнений; при этом Максвелл использовал математич. аппарат кватернионов Гамильтона. Совр. форму М. у. с использованием векторного исчисления придали Г. Р. Герц и О. Хевисайд . М. у. связывают векторные полевые величины (являющиеся функциями координат и времени) с источниками электромагнитного поля – распределёнными в пространстве и изменяющимися во времени электрич. зарядами и токами. М. у. имеют вид (дифференциальная форма М. у. в СИ): $$\textrm
http://spravochnick.ru/fizika/uravneniya_maksvella/
http://bigenc.ru/physics/text/2167197