Уравнения Максвелла для электромагнитного поля — основные законы электродинамики
Система уравнений Максвелла обязана своим названием и появлением Джеймсу Клерку Максвеллу, сформулировавшему и записавшему данные уравнения в конце 19 века.
Максвелл Джемс Кларк (1831 — 1879) был известным британским физиком и математиком, профессором Кембриджского университета в Англии.
Он практически объединил в своих уравнениях все накопленные к тому времени экспериментально полученные результаты касательно электричества и магнетизма и придал законам электромагнетизма четкую математическую форму. Основные законы электродинамики (уравнения Максвелла) были сформулированы в 1873 году.
Максвелл развил учение Фарадея об электромагнитном поле в стройную математическую теорию, из которой вытекала возможность волнового распространения электромагнитных процессов. При этом оказалось, что скорость распространения электромагнитных процессов равна скорости света (величина которой была уже известна из опытов).
Это совпадение послужило для Максвелла основанием к тому, чтобы высказать идею об общей природе электромагнитных и световых явлений, т.е. об электромагнитной природе света.
Созданная Джеймсом Максвеллом теория электромагнитных явлений нашла первое подтверждение в опытах Герца, впервые получившего электромагнитные волны.
В итоге эти уравнения сыграли главную роль в формировании точных представлений классической электродинамики. Уравнения Максвелла могут быть записаны в дифференциальной или интегральной форме. Практически они описывают сухим языком математики электромагнитное поле и его связь с электрическими зарядами и токами в вакууме и в сплошных средах. К данным уравнениям можно добавить выражение для силы Лоренца, в этом случае мы получим полную систему уравнений классической электродинамики.
Чтобы понимать некоторые математические символы, использующиеся в дифференциальных формах уравнений Максвелла, для начала определим такую занятную вещь, как оператор набла.
Оператор набла (или оператор Гамильтона) — это векторный дифференциальный оператор, компоненты которого являются частными производными по координатам. Для нашего реального пространства, которое является трехмерным, адекватна прямоугольная система координат, для которой оператор набла определяется следующим образом:
где i, j и k – единичные координатные векторы
Оператор набла, будучи применен к полю тем или иным математическим образом, дает три возможные комбинации. Данные комбинации именуются:
Градиент — вектор, своим направлением указывающий направление наибольшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля), а по величине (модулю) равный скорости роста этой величины в этом направлении.
Дивергенция (расхождение) — дифференциальный оператор, отображающий векторное поле на скалярное (то есть, в результате применения к векторному полю операции дифференцирования получается скалярное поле), который определяет (для каждой точки), «насколько расходится входящее и исходящее из малой окрестности данной точки поле», точнее, насколько расходятся входящий и исходящий потоки.
Ротор (вихрь, ротация) — векторный дифференциальный оператор над векторным полем.
Теперь рассмотрим непосредственно уравнения Максвелла в интегральной (слева) и дифференциальной (справа) формах, содержащие в себе основные законы электрического и магнитного полей, включая электромагнитную индукцию.
Интегральная форма: циркуляция вектора напряженности электрического поля по произвольному замкнутому контуру прямо пропорциональна скорости изменения магнитного потока через площадь, ограниченную этим контуром.
Дифференциальная форма: при всяком изменении магнитного поля возникает вихревое электрическое поле, пропорциональное скорости изменения индукции магнитного поля.
Физический смысл: всякое изменение магнитного поля во времени вызывает появление вихревого электрического поля.
Интегральная форма: поток индукции магнитного поля через произвольную замкнутую поверхность равен нулю. Это означает, что в природе нет магнитных зарядов.
Дифференциальная форма: поток силовых линий индукции магнитного поля из бесконечного элементарного объёма равен нулю, так как поле вихревое.
Физический смысл: источники магнитного поля в виде магнитных зарядов в природе отсутствуют.
Интегральная форма: циркуляция вектора напряженности магнитного поля по произвольному замкнутому контуру прямо пропорциональна суммарному току, пересекающему поверхность, охватываемую этим контуром.
Дифференциальная форма: вокруг любого проводника с током и вокруг любого переменного электрического поля существует вихревое магнитное поле.
Физический смысл: протекание тока проводимости по проводникам и изменения электрического поля во времени приводят к появлению вихревого магнитного поля.
Интегральная форма: поток вектора электростатической индукции через произвольную замкнутую поверхность, охватывающую заряды, прямо пропорционален суммарному заряду, расположенному внутри этой поверхности.
Дифференциальная форма: поток вектора индукции электростатического поля из бесконечного элементарного объема прямо пропорционален суммарному заряду, находящемуся в этом объёме.
Физический смысл: источником электрического поля является электрический заряд.
Система данных уравнений может быть дополнена системой так называемых материальных уравнений, которые характеризуют свойства заполняющей пространство материальной среды:
Уравнения Максвелла
Уравнения Максвелла — это 4 уравнения, которые описывают, как электрические и магнитные поля распространяются и взаимодействуют; т.е. эти уравнения (правила или даже законы) описывают процессы/взаимодействия электромагнетизма.
Эти правила описывают, как проходит управление поведением электрических и магнитных полей. Уравнения Максвелла показывают, что электрический заряд (положительный и отрицательный):
- Порождает электрическое поле (также если заряд изменяется со временем, то он вызывает появление электрического поля).
- В дальнейшем он вызывает появление магнитного поля.
Уравнения Максвелла в дифференциальной форме
Уравнение 1: Закон Гаусса или Теорема Гаусса
Дивергенция электрического поля равняется плотности заряда. Существует вязь между электрическим полем и электрическим зарядом.
Дивергенция в физике показывает, насколько данная точка пространства является источником или потребителем потока поля.
Очень кратко: Электрические поля расходятся от электрических зарядов: электрический заряд создаёт поле вокруг себя и, таким образом, действует как источник электрических полей. Это можно сравнить с краном, который является источником воды.
Ещё закон Гаусса говорит о том, что отрицательные заряды действуют как сток для электрических полей (способ, как вода стекает через отверстие стока). Это означает, что линии электрического поля имеют начало и поглощаются при электрическом заряде.
Заряды с одинаковым знаком отталкиваются друг от друга, а противоположные заряды притягиваются друг к другу (если есть два положительных заряда, они будут отталкиваться; а если есть один отрицательный и один положительный, они будут притягиваться друг к другу).
Уравнение 2: Закон электромагнитной индукции (Закон Фарадея)
Можно создать электрическое поле, изменив магнитное поле.
Очень кратко: Закон Фарадея гласит, что изменяющееся магнитное поле внутри контура вызывает индуцированный ток, который возникает из-за силы или напряжения внутри контура. Это значит:
- Электрический ток порождает магнитные поля, а эти магнитные поля (вокруг цепи) вызывают электрический ток.
- Изменяющееся во времени магнитное поле вызывает распространение электрического поля.
- Циркулирующее во времени электрическое поле вызывает изменение магнитного поля во времени.
Уравнение 3: Закон Гаусса для магнетизма
Дивергенция магнитного потока любой замкнутой поверхности равна нулю. Магнитного монополя не существует.
Закон Гаусса для магнетизма утверждает (очень кратко):
- Магнитных монополей не существует.
- Расхождение полей B или H всегда равно нулю в любом объёме.
- На расстоянии от магнитных диполей (это круговой ток) магнитные поля текут по замкнутому контуру.
Уравнение 4: Закон Ампера
Магнитное поле создаётся с помощью тока или изменяющегося электрического поля.
Очень кратко: Электрический ток порождает магнитное поле вокруг тока. Изменяющийся во времени электрический поток порождает магнитное поле.
Уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной форме
Вспомним сначала в дифференциальной форме и следом будет в интегральной форме.
Уравнение 1: Закон Гаусса (Теорема Гаусса)
Это же уравнение в интегральной форме:
Поток вектора электрической индукции D через любую замкнутую поверхность равняется сумме свободных зарядов, охваченных этой поверхностью. Электрическое поле создаётся нескомпенсированными электрическими зарядами (это те, что создают вокруг себя своё собственное электрическое поле).
Уравнение 2: Закон электромагнитной индукции (Закон Фарадея)
И это же уравнение в интегральной форме:
Циркуляция вектора напряжённости Е вихревого электрического поля (по любому замкнутому контуру) равняется скорости изменения магнитного потока через площадь контура (S) с противоположным знаком.
Уравнение 3: Закон Гаусса для магнетизма
И это же уравнение в интегральной форме:
Силовые линии магнитного поля замкнуты, т.к. поток вектора индукции В магнитного поля через любую замкнутую поверхность равняется нулю.
Уравнение 4: Закон Ампера
И это же уравнение в интегральной форме:
Циркуляция вектора напряжённости Н магнитного поля по замкнутому контуру равняется алгебраической сумме токов, которые пронизывают этот контур. Магнитное поле создаётся не только током проводимости, но и переменным электрическим полем.
Электромагнетизм Максвелла
Вы будете перенаправлены на Автор24
Начала теории электромагнитного поля заложил М. Фарадей. Максвелл математически ее завершил.
Одной из самых важных идей, которую предложил Максвелл, стала идея о симметрии во взаимной зависимости электрического и магнитного полей:
Так изменяющееся со временем магнитное поле $(\frac<\partial \vec><\partial t>)$ возбуждает электрическое поле, то следует ждать, что изменяющееся электрическое поле $(\frac<\partial \vec
Открытие тока смещения $(\frac<\partial \vec
Уравнения Максвелла в интегральной форме
Совокупность фундаментальных уравнений электромагнетизма – это уравнения Максвелла в неподвижных средах. В интегральной форме совокупность уравнений Максвелла записывается в виде:
где $\rho$ — плотность сторонних зарядов; $\ vec j$ — плотность токов проводимости.
Уравнения Максвелла в сжатой форме отображают всю систему сведений об электромагнитном поле. Смысл уравнений Максвелла:
- Первые два уравнения показывают, что переменные электрические поля возбуждают электрические поля и наоборот (1, 2).
- Поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность всегда — ноль. Отражение отсутствия магнитных зарядов (3).
- Это известная в электростатике теорема Гаусса (4).
Уравнения Максвелла (1) и (2) означают, что электрическое и магнитное поля нельзя рассматривать как независимые. Изменение с течением времени одного поля ведет к появлению другого. Имеет смысл только совокупность электрического и магнитного полей.
Готовые работы на аналогичную тему
В случае стационарности полей ($\vec E = const$ и $\vec B=const$) уравнения Максвелла создают две группы несвязанных уравнений:
Получается, что электрическое и магнитное поля независимы друг от друга.
Уравнения Максвелла нельзя получить, они являются аксиомами электродинамики. Получены они обобщением экспериментальных данных. Данные постулаты имеют в электромагнетизме такое же значение, как законы Ньютона в механике.
Дифференциальная форма уравнений Максвелла
Уравнения Максвелла можно записать в локальном (дифференциальном) виде:
$\mathrm<\nabla >\vec
Из уравнений (9)-(12) следует, что электрическое поле возникает в связи с двумя причинами:
- Источником электрического поля служат электрические заряды (сторонние и связанные). Это следует из уравнения (12).
- Поле $\vec E$ возникает всегда, когда изменяется во времени магнитное поле (закон электромагнитной индукции Фарадея).
Те же самые уравнения свидетельствуют о том, что магнитное поле порождают перемещающиеся электрические заряды (токи) или переменные электрические поля, или то и другое одновременно. Это следует из уравнений (10).
Роль уравнений Максвелла в локальном виде:
- в том, что они являются основными законами электромагнитного поля;
- при их решении могут быть найдены сами поля $\vec E$ и $\vec B$.
Уравнения Максвелла в локальной форме вместе с уравнением движения зарядов под действием силы Лоренца:
$\frac
образуют фундаментальную систему уравнений. Данная система является достаточной для характеристик всех явлений электромагнетизма, в которых отсутствуют квантовые эффекты.
Граничные условия для уравнений Максвелла
Рассматриваемые уравнения в интегральном виде имеют большую общность, чем дифференциальные, поскольку они являются справедливыми, если имеются поверхности разрыва, где свойства вещества и полей изменяются скачком.
Дифференциальные уравнения Максвелла полагают, что все параметры пространства и времени изменяются непрерывно.
Достигнуть такой же общности для дифференциальных уравнений можно, если добавить к ним граничные условия. На границе веществ должны выполняться:
Первое и последнее условия соответствуют случаям отсутствия сторонних зарядов и токов проводимости на границе раздела. Записанные выше граничные условия справедливы для постоянных и переменных полей.
Материальные уравнения
Уравнения Максвелла не содержат параметров, которые бы характеризовали индивидуальные свойства среды. Поэтому эти фундаментальные соотношения дополняют материальными уравнениями.
Материальные уравнения сложные и у них отсутствует общность и фундаментальность уравнений Максвелла. Самыми простыми они являются, если электромагнитные поля слабые и медленно изменяются в пространстве и времени. Тогда для изотропных веществ, не сегнетоэлектриков и не ферромагнетиков, материальные уравнения можно представить как:
$\vec D=\epsilon \epsilon_0 \vec E$, $\vec B=\mu \mu_0 \vec H$, $\vec j=\sigma (\vec E+\vec E’)$ (14),
где $=\epsilon, \mu, \sigma $ — известные постоянные, которые характеризуют электрические и магнитные свойства вещества. $\vec E’$ — напряженность поля сторонних сил, вызванная химическими и тепловыми процессами.
Характеристики уравнений Максвелла
Перечислим характеристики рассматриваемых нами уравнений:
- Данные уравнения являются линейными. Они имеют только первые производные полей по времени и координатам пространства и первые степени плотности токов и плотности зарядов. Линейность уравнений связана с принципом суперпозиции.
- В уравнения Максвелла включено уравнение непрерывности, которое отражает сохранение заряда в замкнутой системе.
- Данные уравнения релятивистски инвариантны. Факт инвариантности уравнений Максвелла по отношению к преобразований Лоренца подтвержден множеством экспериментов.
- Рассматриваемые нами тождества не симметричны в отношении электрических и магнитных полей. Это вызвано наличием электрических зарядов и отсутствием магнитных зарядов.
Из уравнений Максвелла следует вывод о существовании электромагнитного поля без электрических зарядов и токов. Изменение его состояния при этом имеет волновой характер. Поля этого вида называют электромагнитными волнами. В вакууме электромагнитные волны распространяются со скоростью света.
Теория Максвелла предсказала существование электромагнитных волн и дала возможность определить все их свойства.
http://www.uznaychtotakoe.ru/uravneniya-maksvella/
http://spravochnick.ru/fizika/elektromagnetizm/elektromagnetizm_maksvella/