Численное моделирование возбуждения электромагнитных полей в цилиндрической полости потоком релятивистских электронов
( Numerical Simulation of Electromagnetic Fields Generation in the Cylindrical Cavity by Relativistic Electron Flux
Preprint, Inst. Appl. Math., the Russian Academy of Science)

Егорушкин А.А., Крюков А.А., Скачков М.В.
(A.A.Yegorushkin, A.A.Krukov, M.V.Skachkov)

ИПМ им. М.В.Келдыша РАН

Москва, 2005

Аннотация

Рассмотрен эксперимент, в котором аксиально-симметричный поток релятивистских электронов инжектируется с торца в цилиндрическую камеру (материал – Fe), заполненную воздухом. Математическая модель эксперимента включает двумерные нестационарные уравнения Максвелла в цилиндрических координатах; уравнения для вычисления проводимости воздушной среды в камере; моделирование потока релятивистских электронов методом крупных частиц. При численном интегрировании уравнений Максвелла используется идеология метода квазианалитической интерполяции. В методе крупных частиц расчёт плотности тока основывается на законе сохранения заряда в ячейках. Предложен и реализован подход к распараллеливанию вычислительного алгоритма на многопроцессорной вычислительной технике с распределённой памятью, который принципиально отличается от геометрического распараллеливания и использует тот факт, что моделирование крупных частиц занимает основное расчётное время.

Abstract

The experiment, which is in the axial-symmetric relativistic electron flux injecting from the end face into the cylindrical chamber (material – Fe) filled with the air, is considered. The mathematical model contains the 2-D non-stationary Maxwell equations in cylindrical coordinate system, the equations for computing the air conductivity in the chamber and the particle simulation algorithm for the relativistic electron flux. For integrating the Maxwell equations the quasianalitic interpolation technique is used. The computation of the current density that is realized in the particle simulation algorithm is based on the charge conservation in grid cells. The technique of the parallel computations at multiprocessor with distributed memory is proposed. This technique is different from the geometric method and uses the fact that the particle simulation algorithm occupies the basic time of computations.

Возбуждение электромагнитных полей в полостях технологических объектов, находящихся под воздействием гамма-излучения, определяется комптоновской ионизацией материалов. В результате ионизации возникает поток комптоновских электронов высоких энергий, который, в свою очередь, взаимодействует с молекулами нейтрального газа, заполняющего полости, и образует потоки вторичных электронов. Возникающие при этом электромагнитные колебания влияют на функционирование электронной аппаратуры объектов.

Разработка адекватной математической модели указанных физических процессов и построение вычислительных алгоритмов в сложной геометрии является нетривиальной задачей. В связи с этим актуальными становятся разработка и исследование математических моделей конкретных физических экспериментов, построение численных методик расчёта электромагнитных полей и проведение на их основе численного эксперимента. Численный эксперимент позволит более детально изучать отдельные этапы эволюции физических процессов и путём сравнения с результатами физических экспериментов выбрать адекватную математическую модель.

В настоящей работе рассматривается эксперимент, в котором аксиально-симметричный поток гамма-квантов проникает сквозь торец в цилиндрическую камеру (материал – Fe ), заполненную воздушной средой. Ось потока совпадает с осью камеры. Процесс взаимодействия гамма-квантов с торцом камеры и образование потока комптоновских релятивистских электронов моделируется методом Монте – Карло [1], его описание выходит за рамки настоящей работы. В работе этот поток считается заданным, т. е. в камеру инжектируется аксиально-симметричный пучок релятивистских электронов.

Математическая модель рассматриваемого эксперимента включает три взаимосвязанные подзадачи.

1. Задача для двумерных нестационарных уравнений Максвелла в цилиндрических координатах с граничными и начальными условиями.

2. Вычисление проводимости воздушной среды в камере.

3. Моделирование потока релятивистских электронов методом крупных частиц.

При численной реализации модели были решены следующие проблемы.

Во-первых, в зависимости от интенсивности потока релятивистских электронов возможны процесс лавинной ионизации воздушной среды в камере и, как следствие, большая проводимость. Поэтому численные методики интегрирования уравнений Максвелла и уравнений для вычисления проводимости должны быть адаптированы к этим процессам. В настоящей работе для этой цели используется идеология метода квазианалитической интерполяции [2].

Во-вторых, стандартные процедуры вычисления плотности тока в методе крупных частиц не обеспечивают сохранение заряда в ячейках, что в случае малой проводимости воздушной среды может привести к накоплению фиктивного заряда в расчётной области и заметному искажению электрического поля [3]. Поэтому в работе предлагается методика расчёта плотности тока, основанная на законе сохранения заряда в ячейках.

В-третьих, в силу цилиндрической симметрии расчётной сетки возникает проблема со взвешиванием заряда частиц вблизи оси симметрии. Стандартные процедуры взвешивания не дают удовлетворительного результата в осевых ячейках. Простая интерполяция из соседних не осевых ячеек не годится, так как требуется выполнение закона сохранения заряда в ячейках. В работе предлагается процедура взвешивания, дающая правильный результат в осевых ячейках.

В-четвёртых, предложен и реализован подход к распараллеливанию вычислительного алгоритма, который принципиально отличается от геометрического распараллеливания и использует тот факт, что моделирование крупных частиц занимает основное расчётное время.

§1. Математическая модель

Рассматривается эксперимент, в котором аксиально-симметричный пучок релятивистских электронов инжектируется в цилиндрическую камеру, заполненную нейтральной воздушной средой (рис.1). Ось пучка совпадает с осью камеры. Давление в камере Р=1атм. Математическая модель эксперимента включает следующие взаимосвязанные подзадачи.

SHAPE \* MERGEFORMAT

1. Уравнения Максвелла в цилиндрических координатах с граничными и начальными условиями:

,

,

, (1)

.

2. Уравнения движения релятивистских электронов

(2)

Начальные координаты электронов распределены в плоскости инжекции ( z = 0) равномерно по сечению. Начальные скорости отвечают энергетическому спектру электронов в пучке. Сила ионизационного торможения F_t описывается формулой Бета – Блоха:

(3)

где Р – давление в атм., . Плотность внешнего тока , входящая в уравнения (1), вычисляется по координатам и скоростям электронов методом крупных частиц.

3. Уравнения для вычисления проводимости воздушной среды в камере:

(4)

где n – концентрация электронов проводимости, Q ( t ) – источник вторичной ионизации (вычисляется с использованием метода крупных частиц), u ( P , E ) – подвижность электронов проводимости, a ( P , E ) – скорость вторичной ионизации (значения величин u ( P , E ) и a ( P , E ) посчитаны по методике, изложенной в работе [4], и содержатся в таблицах),

.

§2. Численное интегрирование уравнений Максвелла и уравнения для вычисления проводимости воздушной среды

Для разностной аппроксимации системы уравнений (1) используется вариант явной схемы «крест». Вводится равномерная сетка по времени и равномерная прямоугольная пространственная сетка , . Взаимное расположение на пространственной сетке компонент поля и плотности тока показано на рис.2. Электрическое поле определено в целые моменты времени , магнитное поле и плотность тока – в полуцелые моменты времени .

SHAPE \* MERGEFORMAT

SHAPE \* MERGEFORMAT

SHAPE \* MERGEFORMAT

SHAPE \* MERGEFORMAT

SHAPE \* MERGEFORMAT

SHAPE \* MERGEFORMAT

Пространственные производные заменяются центрально-симметричными разностными соотношениями

,

,

,

.

При интегрировании по времени используется идеология метода квазианалитической интерполяции [2]. Для аппроксимации дифференциального уравнения с начальным условием

,

вводится вспомогательная функция так, что:

,

— точное решение вспомогательной задачи:

решив которую получим

.

Тогда есть решение задачи Коши:

Интегрируя это уравнение и аппроксимируя интеграл по времени, получим разностную запись исходного уравнения

. (5)

Такой метод обеспечивает первый порядок аппроксимации по D t в пределе . Большая проводимость характерна для задач о распространении сильноточных релятивистских пучков в плотных газах ( P > 1атм.). При малой проводимости используется аппроксимация

.

Была рассчитана следующая тестовая задача:

– наименьший положительный нуль функции Бесселя .

Метод квазианалитической интерполяции используется также при интегрировании уравнения (4):

.

Необходимость в использовании квазианалитической интерполяции диктуется тем обстоятельством, что при E > 100 СГСЕ значение a велико.

§3. Моделирование потока релятивистских электронов методом крупных частиц

Численное интегрирование уравнений движения (2) проводится по методу, аналогичному методу Бориса [5]:

,

,

,

,

, ,

.

Здесь компоненты поля билинейно интерполированы с узлов пространственной сетки на координаты частиц. В алгоритме на каждом шаге по времени проводится проверка неравенства

.

В случае нарушения этого неравенства электрон считается поглотившимся и его дальнейшее движение не рассматривается. Метод Бориса был выбран в связи с тем, что он полностью учитывает тот факт, что магнитное поле изменяет направление движения электрона, но не изменяет его энергию.

Метод крупных частиц, использованный для вычисления плотности тока , входящей в уравнения (1), имеет несколько особенностей.

3.1. Расчёт плотности тока в узлах расчётной сетки базируется на законе сохранения заряда в ячейках и основывается на методике работы [3]. Соблюдение закона сохранения заряда в ячейках особенно важно обеспечить в случае малой проводимости воздушной среды. В этом случае метод крупных частиц, не обеспечивающий сохранение заряда в ячейках, может привести к накоплению фиктивного заряда в расчётной области и заметному искажению электрического поля.

Стандартные процедуры вычисления плотности тока в узлах пространственной сетки имеют следующий вид:

, (6)

где – объём ячейки; – заряд и скорость частицы с номером k ; – координаты k -й частицы; – форм-факторы, которые представляют собой долю заряда или объёма частицы, переданную ячейке по каждому из двух направлений z и r .

. (7)

Эти процедуры не обеспечивают сохранение заряда в ячейках.

В работе предлагается другой алгоритм вычисления плотности тока, аналогичный алгоритму из [3]. В этом алгоритме производится подсчёт заряда, перенесённого каждой частицей через границу пространственной ячейки за один шаг по времени. Полученные значения суммируются по частицам, делятся на площадь границы и приравниваются к плотности тока в узле расчётной сетки на границе ячейки.

Подсчёт заряда, перенесённого одной частицей через границу ячейки за один шаг по времени, проводится следующим образом. Предположим, что частица находится в ячейке , как показано на рис.3. Размеры частицы не превышают размеров ячейки, поэтому заряд частицы передаётся только ячейке и соседним с ней ячейкам. Предположим также, что частица не может пройти за один шаг по времени больше половины ячейки ( ). Тогда в предыдущий момент времени заряд частицы распределялся между теми же 9 ячейками с индексами , , , , , , , , . Пусть – форм-факторы рассматриваемой частицы в ячейке в момент времени . Тогда заряд, вынесенный частицей из ячейки через верхнюю или нижнюю границу, суть

;

заряд, вынесенный из ячейки через правую или левую границу, есть

.

Предложенные формулы расчёта не являются единственно возможными. Они представляют собой полусумму результатов, полученных для двух вариантов движения частицы: смещение сначала параллельно оси z , а затем вдоль радиального направления до конечного положения частицы; смещение сначала вдоль радиального направления, а затем параллельно оси z (см. рис.3).

Для сглаживания электромагнитных шумов предложенный алгоритм вычисления плотности тока необходимо дополнить процедурой усреднения тока по характерному промежутку времени пролёта частицей пространственной ячейки [3]:

,

где – усреднённая плотность тока на предыдущем шаге по времени, , h – характерный размер пространственной ячейки, – характерная скорость движения частиц (для релятивистских электронов ).

3.2. В силу цилиндрической симметрии возникает трудность, связанная с распределением заряда частиц вблизи оси. Кроме требования сохранения заряда частицы (7) форм-факторы должны обеспечивать правильный расчёт плотности тока в плоскости инжекции :

, (8)

где – плотность входного тока в плоскости инжекции; – площадь сечения j -й ячейки плоскостью ; суммирование ведётся по частицам, инжектируемым в камеру в момент времени .

Начальные координаты электронов распределены в плоскости инжекции равномерно по r . Поэтому заряды инжектируемых частиц вычисляются по формуле:

,

где N – число частиц, инжектируемых в одну ячейку за один шаг по времени. В пределе при заряд частицы имеет вид

,

и в соотношении (8) суммирование заменяется интегрированием:

. (9)

В предположении, что в пределах ячейки , из (8) и (9) получается необходимое условие

, (10)

которому должна удовлетворять неотрицательная функция .

Рассмотрим два стандартных форм-фактора.

1. Взвешивание по модели CIC с равномерно заряженными крупными частицами.

2. Линейное взвешивание.

Здесь s – размер частицы. Функции и удовлетворяют условиям (7) и (10) для ненулевых ячеек, независимо от размера частиц. Эти условия линейные, поэтому линейная комбинация и также будет удовлетворять им. Для нулевой ячейки отношение интеграла в условии (10) к площади ячейки имеет вид:

, .

Из этих уравнений видно, что если в качестве искомой функции взять , то условия (7) и (10) будут выполнены для всех ячеек.

Ниже приведены расчетные данные для плоскопараллельного пучка (частицы движутся в направлении оси z ).

Использовались частицы размера hr и hr /2, , в плоскопараллельном пучке. Как видно из графика относительной погрешности, точность модели зависит не только от числа частиц, но и от координат ячейки и размеров частиц. При удалении от оси симметрии, относительная погрешность быстро падет. Уменьшение размера частиц приводит к возрастанию погрешности во всех ячейках.

2.3. Для сглаживания флуктуаций плотности тока, вызванных дискретной структурой пучка, целесообразно распределять начальные координаты и скорости частиц с использованием последовательности точек, равномерно распределённых в трёхмерном единичном кубе. При этом обычные случайные числа не годятся из-за их большой дисперсии при малой выборке. Удовлетворительные результаты даёт использование обращённых двоичных, троичных и пятеричных дробей [6].

Последовательность точек равномерно заполняет трёхмер-ный куб; последовательность точек равномерно заполняет квадрат.

Опишем подробно процедуру инжекции крупных частиц в камеру в момент времени .

Пусть J – число ячеек в плоскости инжекции . Ячейки и частицы имеют кольцевую форму (см. рис.4). Координаты частиц в плоскости инжекции распределены равномерно по r :

,

где N – число точек в пределах одной j -й ячейки. Число инжектируемых частиц увеличивается пропорционально номеру ячейки, т. е. с координатой стартует j +1 частиц. Таким образом, в j -й ячейке стартует частиц. Линейное относительно j увеличение числа частиц в j -й ячейке отвечает цилиндрической симметрии задачи и связано с пропорциональным j увеличением площади ячейки кольцевой формы (см. рис.4).

Начальные энергии и направления вылета электронов в j -й ячейке разыгрываются с использованием чисел . Косинус полярного угла вылета является решением уравнения

, (11)

где – нормированная плотность распределения электронов по . Азимутальный угол вылета электрона считается равномерно распределённым:

.

Начальная энергия электрона находится в результате решения уравнения:

, (12)

где – нормированная плотность распределения электронов по E при фиксированном . Здесь

,

P – число шагов по времени между повторами в последовательности точек . Интегральные уравнения (11), (12) решаются независимо методом Ньютона и составляются таблицы и , которые многократно используются в алгоритме при задании начальных энергий и направлений вылета электронов.

В связи с тем, что скорости электронов имели три компоненты, уравнения движения (2) интегрировались в декартовых координатах. Для расчёта плотности тока производился переход в цилиндрическую систему координат (в силу аксиальной симметрии угловая координата не использовалась). Начальные координаты электронов в декартовой системе координат имели вид:

,

т. е. все частицы стартовали с одного луча. Такое описание применимо в аксиальной симметрии, когда точки на окружности равноправны.

Алгоритм по численному моделированию потока релятивистских электронов методом крупных частиц исследовался на следующих тестах: свободное движение (в отсутствие поля) однородного плоскопараллельного потока; пучок, расходящийся из точки, и пучок, сходящийся в точке (рис.5); деформация однородного плоскопараллельного потока электронов с фиксированными энергиями в заданном электромагнитном поле без учёта самосогласования (требование постоянства энергий электронов позволяет аналитически решить уравнения движения частиц и получить точную картину деформации пучка); свободное движение моноэнергетического пучка частиц, направления движения которых имеют распределение, равномерное по заданному телесному углу . В тестовых расчётах были получены достаточно точные ( .

§4. Параллельная реализация вычислительного алгоритма на многопроцессорной вычислительной системе с распределённой памятью

Рассматриваемая в настоящей работе численная методика, реализующая метод крупных частиц, включает два основных блока:

1) решение уравнений Максвелла (1) сеточным методом и расчёт проводимости (4);

2) решение уравнений движения крупных частиц (2) (электронов пучка) и вычисление плотности тока пучка .

В процессе работы программы на каждом временном шаге блоки обмениваются данными. Этими данными являются массивы значений компонент электромагнитного поля, заполняемые в первом блоке и используемые во втором для решения уравнений движения электронов пучка, и плотность тока пучка , вычисляемая во втором блоке и используемая в первом для решения уравнений Максвелла.

Просматриваются два основных подхода к распараллеливанию численной методики.

Первый подход – традиционное геометрическое распараллеливание. Расчётная область разбивается на подобласти, в каждой из которых за исключением границ задача решается самостоятельно. Эффективность распараллеливания существенно зависит от равномерности загрузки процессоров, обслуживающих разные подобласти. В связи с этим при реализации этого подхода возникает следующая трудность. Двум основным блокам численной методики требуются разные затраты временных ресурсов, которые отличаются на порядки. А именно, на моделирование движения частиц и их взвешивание на сетке требуется значительно больше времени, чем на разностное решение уравнений Максвелла. Это объясняется тем, что число крупных частиц много больше числа узлов пространственной расчётной сетки. В связи с этим равномерность загрузки процессоров жёстко связана с равномерностью распределения крупных частиц пучка в расчётной области. Однако в практических задачах ситуация усложняется тем, что пучок далеко не всегда занимает всю расчётную область. Он может находиться в некоторой её части и изменяться в пространстве и во времени (расширяться, сжиматься, деформироваться и т.п.).

Авторами настоящего препринта реализован второй подход к распараллеливанию численной методики, который использует тот факт, что моделирование крупных частиц занимает основное расчётное время. Число крупных частиц, приходящееся на одну пространственную ячейку, является дополнительной размерностью задачи. Поэтому если это число составляет сотни или тысячи единиц, то распараллеливание резонно проводить «по частицам», т.е. разделить всю совокупность крупных частиц на списки и распределить их по процессорам. Фактически это означает распараллеливание только второго блока численной методики, отвечающего за вычисление плотности тока пучка . При таком распараллеливании равномерность загрузки процессоров обеспечивается подобием списков частиц. Каждый процессор вычисляет плотность тока пучка во всей расчётной области, опираясь на свой список крупных частиц. Подобие списков достигается тем, что все процессоры решают одну и ту же задачу с одинаковыми функциями начальных распределений и источников крупных частиц.

Организация обменных операций при распараллеливании «по частицам» принципиально отличается от геометрического распараллеливания. В геометрическом распараллеливании обмены осуществляются между двумя процессорами, обслуживающими соседние пространственные подобласти. В распараллеливании «по частицам» используются коллективные обмены.

Опишем схему организации обменов во втором подходе более детально. Пусть M – число процессоров, пронумерованных от 0 до ( M – 1). 0-ой процессор назовём головным ( root ). В головном процессоре реализуется первый блок численной методики, отвечающий за решение уравнений Максвелла. Выходными данными первого блока являются компоненты электромагнитного поля в узлах пространственной сетки, которые после вычисления на данном временном шаге распределяются по всем процессорам. Второй блок численной методики реализуется во всех процессорах, включая головной. Полный список крупных частиц пучка заранее разделён на M подобных списков, пучок расслаивается при этом на M одинаковых пучков. Процессор с номером i вычисляет плотность тока , созданную i -м пучком. После вычисления производится сбор и суммирование результатов в головном процессоре:

.

Затем происходит переход на следующий временной слой и алгоритм повторяется. Следует отметить, что такая схема организации обменов возможна благодаря тому, что частицы взаимодействуют друг с другом только на макро-уровне – через поле. Столкновения частиц не учитываются.

§5. Исходные данные и результаты расчётов

Результаты вычислительного эксперимента получены при следующих значениях исходных данных. Цилиндрическая камера (см. рис.1) имеет высоту H = 50 см и радиус R = 12,5 см . Плотность входного тока в плоскости инжекции z = 0 имеет вид:

,

где = 0,0525 СГСЕ/нс – амплитуда; график функции изображён на рис.6; = 12 см ; – функция Хевисайда. Нормированная плотность распределения электронов по косинусу полярного угла вылета в любой точке плоскости инжекции имеет вид, изображённый на рис.7. Табличным способом задана нормированная плотность распределения инжектируемых электронов по энергии при фиксированном значении . В качестве примера на рис.8 приведены графики функции при трёх различных значениях параметра . Крестики соответствуют , треугольники – , квадратики – .

Основной расчёт проводился на 64 процессорах многопроцессорной вычислительной системы МВС-1000М и занял 220 мин. При этом на хранение текущей информации о координатах, импульсах и зарядах крупных частиц потребовалось по 150 Мбайт оперативной памяти на каждом процессоре. Таким образом, если бы тот же расчёт целиком проводить на одном процессоре, то потребовалось бы около 10 Гбайт оперативной памяти. Такой объём оперативной памяти не мог быть выделен одному процессору. Для оценки эффективности распараллеливания вычислительного алгоритма был проведён расчёт задачи на 32 процессорах. Общее время вычислений оказалось равным 410 мин, что указывает на то, что эффективность распараллеливания вычислений не менее 90%.

На рис.9 показаны линии уровня максимального по времени модуля z -компоненты напряжённости электрического поля . Видно, что на оси z есть два локальных максимума этой величины. Один из них достигается в плоскости инжекции , другой – на противоположном торце камеры . На боковой поверхности камеры, т.е. при , имеем .

На рис.10 изображены зависимости от времени z -компоненты напряжённости электрического поля в двух указанных точках экстремума величины . Наибольшее значение достигается в точке . Качественно эти зависимости представляют собой наложение «мелких» высокочастотных собственных резонаторных колебаний поля в камере на импульс, порождённый действием внешнего тока (см. рис.6). В других точках камеры зависимость от времени имеет тот же качественный вид, причём с увеличением z от 0 до H величина импульса уменьшается от положительного значения до отрицательного.

На рис.11 показаны линии уровня максимального по времени модуля напряжённости магнитного поля . Здесь в плоскости инжекции в окрестности см имеется одна точка максимума этой величины. Значения монотонно убывают до 0 вдоль любой кривой, пересекающей каждую линию уровня в одной точке и соединяющей точку максимума с любой точкой на оси камеры .

На рис.12 приведены зависимости от времени напряжённости магнитного поля в двух точках и . В других точках камеры зависимость от времени этой величины имеет тот же качественный вид: наложение «мелких» высокочастотных собственных резонаторных колебаний поля в камере на импульс, порождённый действием внешнего тока (см. рис.6). При этом величина импульса во всех точках камеры отрицательна, как изображено на рис.12.

Приведённые результаты вычислительного эксперимента сравнивались с предварительными результатами физического эксперимента. Сравнение показало на удовлетворительное совпадение амплитуд электрического поля, полученных в физическом эксперименте, с результатами численных расчётов.

Авторы выражают признательность к. ф.-м. н. М. Е. Жуковскому за предоставленные исходные данные для вычислительного эксперимента, постоянное внимание и помощь в работе.

1. М.Е.Жуковский, С.В.Подоляко, Р.В.Усков. Алгоритм расчёта простран-ственного и спектрального распределений электронов, порождённых при взаимодействии проникающего излучения с объектами. М.: Ин. прикл. матем. им. М.В.Келдыша РАН, 2004, препр. №89, 16с.

2. В.Я.Арсенин, Г.Д.Васильков. О разностных схемах для дифференциаль-ных уравнений с диссипативными членами. – М.: Ин. прикл. матем. им. М.В.Келдыша АН СССР, 1981, препр. №17, 20с.

3. М.В.Скачков. О проблеме шумов и сохранения заряда в методе крупных частиц. // Матем. моделирование, 2000, т.12, №9, с.96-108.

4. А.В.Березин и др. О математических моделях вторичной ионизации. М.: Ин. прикл. матем. им. М.В.Келдыша РАН, 2002, препр. №29, 20с.

5. J.P.Boris. Relativistic Plasma Simulation-Optimization of a Hybrid Code // Proc. Fourth. Conf. Num. Sim. Plasmas, Naval Res. Lab., Wash D.C., 2-3 November 1970, p.3-67.

6. Ч.Бэдсэл, А.Ленгдон. Физика плазмы и численное моделирование. М.: Электроатомиздат, 1989, 455с.

Первое уравнение Максвелла.

Первое уравнение Максвелла — это обобщение закона Ампера и Био-Саварра для токов смещения. Звучит следующим образом: циркуляция вектора напряженности магнитного поля по замкнутому контуру равна полному току, пронизывающему этот контур.

В современном обозначении записывается

Т.о. физический смысл первого уравнения Максвелла состоит в том, что магнитное поле в некоторой области пространства связано не только с токами проводимости, протекающими в этой области, но и с изменением электрического поля во времени в этой области(токами смещения).

Это означает, что циркуляция вектора по контуру L равна сумме токов проводимости и смещения.

Подставляя 1.10, 1.11 в 1.9, получим

Уравнение 1.12 называют первым уравнением Максвелла в интегральной форме.

Получим дифференциальную форму уравнения Максвелла. Для этого воспользуемся уравнением Стокса, которое преобразует контурный интеграл в поверхностный:

Применим уравнение 1.13 к левой части уравнения 1.12. Получим

Уравнение 1.14 справедливо, если равны подынтегральные функции, то есть

Уравнение 1.15 есть первое уравнение Максвелла в дифференциальной форме.

Для изотропных сред

Подставим в 1.15

Дифференциальная форма первого уравнения Максвелла используется в том случае, когда производные поля по координатам пространства непрерывны. Интегральная форма 1.12 такого ограничения не имеет.

§1.3. Второе уравнение Максвелла.

Второе уравнение Максвелла— это обобщение закона индукции Фарадея для диэлектрической среды в свободном пространстве

где Ф – поток магнитной индукции, пронизывающий проводящий контур и создающий в нем ЭДС. ЭДС создается не только в проводящем контуре, но и в некотором диэлектрическом контуре в виде электрического тока смещения.

(1.17)

Физический смысл второго уравнения Максвелла состоит в том, что электрическое поле в некоторой области пространства связано с изменением магнитного поля во времени в этой области. То есть переменное магнитное поле возбуждает вихревое электрическое поле.

Получим второе уравнение Максвелла в интегральной форме

Уравнение 1.19 – второе уравнение Максвелла в интегральной форме.

Воспользуемся уравнением Стокса 1.13, преобразуем левую часть уравнения 1.19:

Уравнение 1.20 есть второе уравнение Максвелла в дифференциальной форме.

максвелла уравнения

МАКСВЕЛЛА УРАВНЕНИЯ

1. Краткая история

2. Каноническая форма

3. Максвелла уравнения в интегральной форме

4. Общая характеристика Максвелла уравнений

5. Максвелла уравнения для комплексных амплитуд

6. Алгебраические Максвелла уравнения

7. Материальные уравнения

8. Граничные условия

9. Двойственная симметрия Максвелла уравнений

10. Максвелла уравнения в четырёхмерном представлении

11. Лоренц-инвариантность Максвелла уравнений

12. Лагранжиан для электромагнитного поля

13. Единственность решений Максвелла уравнений

14. Классификация приближений Максвелла уравнений

15. Максвелла уравнения в различных системах единиц

Максвелла уравнения — ур-ния, к-рым подчиняется (в пределах применимости классической ыакроскопич. электродинамики, см. Электродинамика классическая), электромагнитное поле в вакууме и сплошных средах.

1. Краткая история

Установлению M. у. предшествовал ряд открытий законов взаимодействий заряженных, намагниченных и токонесущих тел (в частности, законов Кулона, Био — Савара, Ампера). В 1831 M. Фарадей (M. Faraday) открыл закон эл—магн. индукции и примерно в то же время ввёл понятие электрич. и магн. полей как самостоят, физ. субстанций. Опираясь на фарадеевское представление о поле и введя ток смещения, равнозначный по своему магн. действию обычному электрич. току, Дж. К. Максвелл (J. С. Maxwell, 1864) сформулировал систему ур-ний, названную впоследствии ур-ниями Максвелла. M. у. функционально связывают электрич. и магн. поля с зарядами и токами и охватывают собой все известные закономерности макроэлектромагнетизма. Впервые о M. у. было доложено на заседании Лондонского Королевского общества 27 окт. 18(34. Первоначально Максвелл прибегал к вспомогат. механич. моделям «эфира», но уже в «Трактате об электричестве и магнетизме» (1873) эл—магн. поле рассматривалось как самостоят, физ. объект. Физ. основа M. у.- принцип близкодействия, утверждающий, что передача эл—магн. возмущений от точки к точке происходит с конечной скоростью (в вакууме со скоростью света с). Он противопоставлялся ньютоновскому принципу дальнодействия, сводящемуся к мгновенной передаче воздействий на любое расстояние Матем. аппаратом теории Максвелла послужил векторный анализ, представленный в инвариантной форме через кватернионы Гамильтона. Сам Максвелл считал, что его заслуга состоит лишь в матем. оформлении идей Фарадея.

2. Каноническая форма

Канонич. форма записи, принятая ныне, принадлежит Г. Герцу (H. Hertz) и О. Хевисайду (О. Heaviside) и основана на использовании не кватернионных, а векторных полей: напряжённости электрического поля E, напряжённости магнитного поля H, векторов электрической индукции D и магнитной индукции В. M. у. связывают их между собой, с плотностью электрического заряда и плотностью электрического тока J, к-рые рассматриваются как источники:

Здесь использована Гаусса система единиц (о записи M. у. в др. системах см. в разделе 15). Входящие в (1) — (4) величины E, D, j являются истинными, или полярными, векторами (а величина r — истинным скаляром), поля H к В — псевдовекторами, или аксиальными векторами. Все эти величины предполагаются непрерывными (вместе со всеми производными) ф-циями времени t и координат Следовательно, в ур-ниях (1) — (4) не учитывается ни дискретная структура электрич. зарядов и токов, ни квантовый характер самих полей. Учёт дискретности истинных источников может быть произведён даже в доквантовом (классич.) приближении с помощью Лоренца — Максвелла уравнений.

3. Максвелла уравнения в интегральной форме

Используя Гаусса — Остроградского формулу и С такса формулу, ур-ниям (1) — (4) можно придать форму интегральных:

Криволинейные интегралы в (1a), (2a) берутся по произвольному замкнутому контуру (их наз. циркуляция-ми векторных полей), а стоящие в правых частях поверхностные интегралы — по поверхностям, ограниченным этими контурами (опирающимся на них), причём направление циркуляции (направление элемента контура) связано с направлением нормали к S (вектор) правовинтовым соотношением (если в качестве исходного выбрано пространство с правыми системами координат). В интегралах по замкнутым поверхностям (S) в (3а), (4а) направление вектора элемента площади совпадает с наружной нормалью к поверхности; V — объём, ограниченный замкнутой поверхностью S.

M. у. в форме (1a) — (4a) предназначаются не только для изучения топологич. свойств эл—магн. полей, но и являются удобным аппаратом решения конкретных задач электродинамики в системах с достаточно высокой симметрией или с априорно известными распределениями полей. Кроме того, в матем. отношении эта система ур-ний содержательнее системы (1) — (4), поскольку пригодна для описания разрывных, нодиффе-ренцируемых распределений полей. Но в отношении физ. пределов применимости обе системы ур-ний равнозначны, т. к. любые скачки полей в макроэлектродинамике должны рассматриваться как пределы микромасштабно плавных переходов, с тем чтобы внутри них сохранялась возможность усреднения ур-ний Лоренца — Максвелла. С этими оговорками резкие скачки можно описывать и в рамках M. у. (1) — (4), прибегая к аппарату обобщённых функций.

Наконец, M. у. в интегральной форме облегчают физ. интерпретацию MH. эл—магн. явлений и поэтому нагляднее сопоставляются с теми экспериментально установленными законами, к-рым они обязаны своим происхождением. Так, ур-ние (1a) есть обобщение Био — Савара закона (с добавлением к току максвелловского смещения тока).

Ур-ние (2a) выражает закон индукции Фарадея; иногда его правую часть переобозначают через «магн. ток смещения»

где— плотность «магн. тока смещения», Ф В — магн. поток. Ур-ние (За) связывают с именем Гаусса , установившим соленоидальность поля В, обусловленную отсутствием истинных магн. зарядов. Впрочем вопрос о существовании магнитных монополей пока остаётся открытым. Но соответствующее обобщение M. у. произведено (Хевисайд, 1885) на основе принципа двойственной симметрии M. у. (см. в разделе 9), для чего в (2) и (2a) наряду с магн. током смещения вводится ещё и «истинный» магн. ток (процедура, обратная проделанной когда-то Максвеллом с электрич. током в первом ур-нии), а в ур-ние Гаусса (3), (За) — магн. заряд

где — плотность магн. заряда. Фактически все экспериментальные установки для регистрации ожидаемых магнитных монополей основаны на этом предположении. Наконец, ур-ние (4a) определяет поле свободного электрич. заряда; его иногда называют законом Кулона (Ch. A. Coulomb), хотя, строго говоря, оно не содержит утверждения о силе взаимодействия между зарядами, да и к тому же справедливо не только в электростатике, но и для систем с произвольным изменением поля во времени. На тех же основаниях иногда и ур-нпе (Ia) связывают с именем Ампера (A. Ampere).

4. Общая характеристика Максвелла уравнений

Совокупность M. у. (1) — (4) составляет систему из восьми (двух векторных и двух скалярных) линейных дифференц. ур-ний 1-го порядка для четырёх векторов Источники (скаляри вектор) не могут быть заданы произвольно; применяя операцию к ур-нию (1) и подставляя результат в (4), получаем:

или в интегральной форме:

Это ур-ние непрерывности для тока, содержащее в себе закон сохранения заряда для замкнутых изолнров. областей,- один из фундам. физ. принципов, подтверждаемых в любых экспериментах.

Ур-ния (1) — (4) распадаются на два самостоят, «блока»: ур-ния (1) и (4), содержащие векторы и источники и ур-ния (2) и (3) — однородные ур-ния для не содержащие источников. Ур-ння (2) и (3) допускают получение общего решения, в к-ромвыражаются через т. H. потенциалы электромагнитного поляПри этом ур-ние (3) «почти следует» из (2), т. к. операция (у), применённая к (2), даёт что отличается от (3) только константой, определяемой нач. условиями. Аналогично ур-ние (4) «почти следует» из (1) и ур-ния непрерывности (5).

Система M. у. (1) — (4) не является полной: по существу, она связывает 4 векторные величины двумя векторными ур-ниями. Её замыкание осуществляется путём добавления соотношений, связывающих векторы 1-го «блока»с векторами 2-го «блока» Эти соотношения зависят от свойств сред (материальных сред), в к-рых происходят эл—магн. процессы, и наз. материальными ур-ниями (см. раздел 7).

5. Максвелла уравнения для комплексных амплитуд

В силу линейности системы (1) — (4) для её решений справедлив суперпозиции принцип .Часто оказывается удобным фурье-представление общего решения (1) — (4) как ф-ции времени (см. Фурье преобразование). Записывая временной фактор в виде , для комплексных фурье-амплитуди т. д.) получаем систему ур-ний

Система (1б) — (4б) в нек-ром смысле удобнее (1) — (4), ибо упрощает применение к эл—динамич. системам, обладающим временной дисперсией (см. раздел 7), т. е. зависимостью параметров от частоты

6. Алгебраические Максвелла уравнения

Если распространить (в силу линейности M. у.) фурье-разложение и на зависимость полей от пространственных координат, т. е. представить общее решение ур-ний (1) — (4) в виде суперпозиции плоских волн типа (k — волновой вектор), то для фурье-компонентов нолейk и т. д.) получим систему алгебраич. ур-ний:

Такое сведение M. у. к набору ур-ний для осцилляторов (осцилляторов поля) составляет важный этап перехода к квантовой электродинамике, где эл—магн. поле рассматривается как совокупность фотонов, характеризуемых энергиями и импульсами Однако и в макроэлектродинамике представления (1в) — (4в) оказываются иногда вполне адекватными физ. сущности процессов: напр., при выделении откликов высокодобротных систем (см. Объёмный резонатор) или при изучении «механизма формирования» мод со сложной пространственной структурой из набора плоских волн и т. п. Наконец, M. у. в форме (1в) — (4в) удобны для описания свойств эл—динамич. систем, обладающих не только временной, но и пространственной дисперсией, если последняя задаётся в виде зависимости параметров от волнового вектора k.

7. Материальные уравнения

В макроэлектродинамике материальные связи, характеризующие эл—магн. свойства сред, вводятся феноменологически; они находятся либо непосредственно из эксперимента, либо на основании модельных представлений. Существуют два способа описания: в одном векторы E и H считаются исходными и материальные ур-ния задаются в виде D = D(E , H) и В = В( Е,Н), в другом — за исходные берутся векторы 2-го «блока» E и В, и соответствующие материальные связи представляются иначе: D = D(E,В), H= H(E, В). Оба описания совпадают для вакуума, где материальные уравнения вырождаются в равенства D = E и B = H.

Рассмотрим простейшую модель среды, характеризуемую мгновенным, локальным поляризац. откликом на появляющиеся в ней поля E и H. Под действием поля E в такой среде возникает электрич. поляризация (см. Поляризации вектор), а под действием поля H — магн. поляризация . Чаще её наз. намагниченностью и обозначают М.

Материальные ур-ния для таких сред имеют вид

При этом индуцированные в среде электрич. заряды наз. связанными или поляризац. зарядами с плотностью , а токи, обусловленные их изменениями,- поляризац. токами с плотностью:

Эти понятия были перенесены и на магн. поля, что можно выразить в виде системы ур-ний, аналогичной

и только потом выяснилось, что истинными источниками намагничивания среды оказались электрич. токи , а не магн. заряды. Поэтому терминология сложилась на основе физически некорректной системы

тогда как следовало бы принять беззарядовые ур-ния

что равносильно замыканию исходных M. у. (1) — (4) с помощью материальных связей

Из (6) и (7a) следует, что 2-й вариант представления материальных соотношений, в к-ром постулируются в качестве исходных векторы E и B, физически предпочтительнее.

В модели Лоренца — Максвелла усреднение микрополя Нмикро, произведённое с учётом вклада со стороны индуциров. полей, приводит к ур-ниям (9) и соответственно = В. Однако обычно параметры сред вводятся с помощью ур-ний (7), что облегчает двойственную симметризацию ф-л (подробнее см. в разделе 9). Напр., скалярные восприимчивости сред (c e , c m ) определяются соотношениями

Простейшие модели сред характеризуются пост, значениямиВ случае вакуума0.

Классификация разл. сред ооычно основывается на материальных ур-ниях типа (10) и их обобщениях. Если проницаемости e и m не зависят от полей, то M. у. (1) — (4) вместе с материальными ур-ниями (10) остаются линейными, поэтому о таких средах говорят как о линейных средах. При наличии зависимостейсреды наз. нелинейными: решения M. у. в нелинейных средах не удовлетворяют принципу суперпозиции. Если проницаемости зависят от координат то говорят о неоднородных средах, при зависимости от времени — о нестац попарных средах (иногда такие эл—динамич. системы наз. параметрическими). Для анизотропных сред скаляры e, m в (10) заменяются на тензоры: (по дважды встречающимся индексам производится суммирование). Важное значение имеют также эффекты запаздывания и нелокальности отклика среды на внеш. поля.

Значение индуциров. поляризации Р е , напр, в момент г, может определяться, вообще говоря, значениями полей во все предыдущие моменты времени, т. е.

что при преобразовании Фурье по времени приводит к зависимости [соответственноi]. Такие среды наз. средами с временной (частотной) дисперсией или просто диспергирующими средами. Аналогичная связь устанавливается и для нелокальных взаимодействий, когда отклик в точке г зависит от значения полей, строго говоря, во всех окружающих точкахно обычно всё-таки в пределах нек-рой конечной её окрестности: При преобразовании Фурье по г это приводит к появлению зависимостей такие среды наз. средами с пространственной дисперсией (см. Дисперсия пространственная).

В проводящих средах входящая в M. у. (1) — (5) плотность тока состоит из двух слагаемых: одно по-прежнему является сторонним токомобусловленным заданным перемещением электрич. зарядов под действием сторонних сил (обычно неэлектрич. происхождения), а другое — током проводимостизависящим от полей, определяемых системой M. у., и связанным с ними материальными ур-ниями вида В простейшем случае эта зависимость сводится к локальному Ома закону,

где — электропроводность (проводимость) среды. Иногда в (11) вводят обозначение, благодаря к-рому различают системы с заданными токами и системы с заданными полями (напряжениями). Для синусоидальных во времени полей, подчинённых ур-ниям (1б) — (4б) и материальным связям (10) и (11), вводится комплексная диэлектрич. проницаемость, объединяющая (10) и (11),, мнимая часть к-рой обусловлена проводимостью и определяет диссипацию энергии эл—магн. поля в среде. По аналогии вводится комплексная магн. проницаемость, мнимая часть к-рой обусловливает потери, связанные с перемагничиванием среды. Комплексные проницаемости в общем случае зависят от частоты w и волнового вектораэти зависимости не могут быть произвольными: причинности принцип связывает их действительные и мнимые части Крамерса — Кронига соотношениями.

В общем случае вид материальных ур-ний зависит также и от системы отсчёта, в к-рой эти ур-ния рассматривают. Так, если в неподвижной системе К среда характеризуется простейшими ур-ниями (10), то в инер-циальной системе К’ , движущейся относительно К с пост, скоростью и, появляется анизотропия:

где индексыобозначают продольные и поперечные ксоставляющие векторов. В рамках алгебраич. M. у. (1в) — (4в) материальные ур-ния (12) могут быть переписаны в виде

что можно трактовать как наличие временной и пространственной дисперсии. Исследование процессов с материальными связями типа (12) составляет предмет электродинамики движущихся сред. Заметим, что хотя характеристики е и m удобно симметризуют материальные ур-ния, их введение не является непременным условием замыкания M. у. Соответствующей перенормировкой допустимо свести описание магн. поля к одно-векторному, т. е. сделать но при этом даже для изотропной среды диэлектрич. проницаемость становится тензором, она различна для вихревых и потенциальных полей. Физически это связано с неоднозначностью модельного представления диполь-ных моментов, во всяком случае приони могут равноправно интерпретироваться и как зарядовые, и как токовые.

8. Граничные условия

Поскольку M. у. справедливы для любых (в рамках применимости макроэлектродинамики) неоднородных сред, то в областях резкого изменения их параметров иногда можно игнорировать тонкую структуру распределения полей в переходном слое и ограничиться «сшиванием» полей по разные стороны от него, заменяя тем самым переходный слой матем. поверхностью — границей, лишённой толщины. Если внутри переходной области имелись заряды с объёмной плотностьюили токи с объёмной плотностьюто при сжатии слоя в поверхность сохраняются их интегральные значения ·- вводятся поверхностные заряды r пов и поверхностные токи

— толщина переходного слоя.

Применение M. у. и ур-ния непрерывности приводит к следующим граничным условиям:

Здесь индексы 1 и 2 характеризуют поля по разные стороны от границы, а— единичный вектор нормали к поверхности, направленный из среды 1 в среду 2. Правила (1г) — (5г) пригодны для перехода через любые поверхности, независимо от того, совпадают ли они с границами раздела сред или проходят по однородным областям, поэтому их иногда наз. поверхностными M. у.

Иногда граничные условия (1г) — (5г) порождают краевые условия, т. е. задают не правила перехода через границу, а сами поля на ней. Напр., внутри идеального проводника в силу (11) (иначе возник бы ток неограниченной плотности), поэтому на границе раздела диэлектрик — идеальный проводник в согласии с (2г)Такие границы наз. идеальными электрич. стенками. Аналогично вводится понятие идеальной магн. стенки, на к-рой Если структура полей по одну сторону от границы универсальна, т. е. не зависит от распределения полей по др. сторону, то краевые условия могут состоять в задании не самих полей, а лишь связей между ними, напр. где Z — нек-рая скалярная или тензорная ф-ция координат границы (— тангенциальный компонент). К условиям такого рода относится, в частности, Леонтовича граничное условие для синусоидально меняющихся во времени полей на поверхности хороших проводников.

9. Двойственная симметрия Максвелла уравнений

Двойственная симметрия M. у. имеет место для любой формы их записи. Она состоит в инвариантности M. у. относительно линейных преобразований нолей, производимых по след, правилам:

Здесь— произвольный угл. параметр; в частности, при= О получаются тождественные преобразования, а при — стандартные преобразования перестановочной двойственности (операция ): замена даёт в областях, свободных от источников, новое решение M. у. При этом, однако, оно меняет местами ур-ния

и, следовательно, там, где раньше были распределены электрич. источники, возникают источники магнитные

. Поэтому с точки зрения двойственной симметрии M. у. задание материальных связей в виде представляется вполне удобным. Дуально-симметричные M. у. обладают рядом достоинств, по крайней мере в чисто методич. плане. Так, напр., они симметризуют скачки тангенциальных компонентов магн. и электрич. полей и, если задание ff Tall на поверхности идеальной электрич. стенки эквивалентно заданию поверхностного электрич. тока, то задание Я 1а „ на идеальной магн. стенке сводится к заданию магн. поверхностного тока:

Таким сведением задач с заданнымиполями к задачам с заданными токами широко пользуются в теории дифракции волн, в частности в дифракции радиоволн.

Принцип перестановочной двойственности является представителем класса дискретных преобразований (см. Симметрия ),оставляющих инвариантными M. у. Такого же сорта преобразованиями являются, в частности, операция обращения времени

последовательно осуществляемые комбинации операций

10. Максвелла уравнения в четырёхмерном представлении

Придавая времени t смысл четвёртой координаты и представляя её чисто мнимой величиной (см. Минковского пространство-время ),можно заключить описание электромагнетизма в компактную форму. Эл—магн. поле в 4-описании может быть задано двумя антисимметричными тензорами

где— Леви-Чивиты символ ,лат. индексы пробегают значения 1, 2, 3, 4, а греческие — 1, 2, 3. В 4-век-торе тока объединены обычная плотность тока j e и плотность электрич. заряда

аналогично вводят 4-вектор магн. тока.

В этих обозначениях M. у. допускают компактное 4-мерное представление:

Взаимной заменой векторов поля и индукции в ф-лах (13),(14) вводятся тензоры индукции эл—магн. поля

через к-рые также могут быть записаны M. у.:

Любая пара тензорных ур-ний, содержащая в правых частях оба 4-тока (электрич. и мат.), тождественна системе M. у. Чаще используют пару ур-ний (15 а), (18), при этом материальные ур-ния сводятся к функциональной связи между тензорами (последний чаще обозначают через.

Из антисимметрии тензоров поля, индукции и M. у. в форме (17) — (18) следует равенство нулю 4-дивергенций 4-токов:

к-рое представляет собой 4-мерную запись ур-ний непрерывности для электрич. (магн.) зарядов. T. о., 4-векторы токов являются чисто вихревыми, и соотношения (17), (18) можно рассматривать как их представление в виде 4-роторов соответствующих тензоров. Наряду с представленным здесь вариантом часто используется также 4-мерное описание, в к-ром временная координата (обычно с индексом О) берётся действительной, но 4-мерному пространству приписывается гипербодич. сигнатура в таком пространстве приходится различать ко- и контравариантные компоненты векторов и тензоров (см. Ковариантность и контравариантность).

11. Лоренц-инвариантность Максвелла уравнений

Все экспериментально регистрируемые эл—динамич. явления удовлетворяют относительности принципу .Вид M. у. сохраняется при линейных преобразованиях, оставляющих неизменным интервал и составляющих 10-мерную Пуанкаре группу: 4 трансляции, 3 пространственных (орто-) поворота и 3 пространственно-временных (орто-хроно-) поворота, иногда называемых ло-ренцевыми вращениями. Последние соответствуют перемещениям системы отсчёта вдоль осей x a с пост, скоростямиВ частности, для получается простейшая разновидность Лоренца преобразований:

, где Соответственно поля преобразуются по правилам:

Релятивистски-ковариантная запись M. у. позволяет легко находить инвариантные комбинации полей, токов и потенциалов (4-скаляров или инвариантов Лоренца группы), сохраняющихся, в частности, при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой. Во-первых, это чисто полевые инварианты (см. Инварианты электромагнитного поля ).Во-вторых, это токовые (источниковые) инварианты:

В-третьих, это потенциальные инварианты:

где— магн. потенциалы (получающиеся из А е и преобразованием перестановочной двойственности), источниками к-рых являются магн. токи j m и заряды. И, наконец, многочисл. коыбиниров. инварианты типаи им подобные. Число таких комбиниров. инвариантов (квадратичных, кубичных и т. д.) по полям н источникам неограниченно.

12. Лагранжиан для электромагнитного поля

M. у. могут быть получены из наименьшего действия принципа, т. е. их можно совместить с Эйлера — Лаг-ранжа уравнениями, обеспечивающими вариационную акстремальность ф-ции действия:

здесь — лагранжиан ,являющийся релятивистски-инвариантной величиной; интегрирование ведётся по 4-мерному объёму V, (t 2 — t 1 ) с фиксиров. границами. В качестве обобщённых координат принято обычно использовать потенциалы А a и f. Поскольку лагран-жев формализм должен давать полное (замкнутое) динамич. описание системы, то при его построении нужно принимать во внимание материальные ур-ния. Они фигурируют как зависимости связанных зарядов и токов от полей В и Е·

В результате лагранжиан принимает вид инвариантной комбинации полей, потенциалов и источников:

А ур-ния Эйлера — Лагранжа для нек-рой обобщённой координаты получают приравниванием нулю соответствующих вариационных производных:

Для приходим к (4), для- к ур-нию (1) в соответствующих обозначениях. Вариационный подход позволяет придать теории универсальную форму описания, распространяемую и на описания динамики любых взаимодействий, даёт возможность получать ур-ния для комбиниров. динамич. систем, напр, электромеханических. В частности, для систем с сосредоточенными параметрами, характеризуемых конечным числом степеней свободы, соответствующие ур-ния наз. ур-ниями Лагранжа — Максвелла.

13. Единственность решений Максвелла уравнений

Различают теоремы единственности для стационарных и нестационарных процессов. Условия единственности нестационарных решений извлекаются из Пойн-тинга теоремы, где источники считаются заданными ф-циями координат и времени. Если бы они порождали два разл. поля, то разность этих полей в вакууме (или в любой линейной материальной среде) вследствие принципа суперпозиции была бы решением однородных M. у. Для обращения этой разности в нуль и, следовательно, получения единств, решения достаточно удовлетворить след, трём условиям. 1) На поверхности S, окружающей область V, где ищется поле, должны быть заданы тангенциальные составляющие поля Е тан или поля Н тан либо соотношения между ними импедансного типа: (п — нормаль к S) со значениями Z, исключающими приток энергии извне. К таковым относятся, в частности, условия излучения (см. Зоммерфельда условия излучения ),к-рым удовлетворяют волны в однородной среде на больших расстояниях от источников. Во всех случаях поток энергии для разностного поля вообще исчезает или направлен наружу (из объёма). 2) В нач. момент времени должны быть заданы все поля всюду внутри V. 3) Плотность энергии электромагнитного поля HB) должна быть положительна (вакуум, среды с . Эта частная теорема единственности обобщается на среды с нелокальными связями, а также на нек-рые виды параметрич. сред. Однако в нелинейных средах, где принцип суперпозиции не работает, никаких общих утверждений о единственности не существует.

В стационарных режимах нач. условия выпадают, и теоремы единственности формулируются непосредственно для установившихся решений. Так, в электростатике достаточно задать все источники r e ст , все полные заряды на изолиров. проводниках или их потенциалы, чтобы при соответствующих условиях на бесконечности (нужное спадание поля) решение было бы единственным. Аналогичные теоремы устанавливаются для магнитостатики и электродинамики пост, токов в проводящих средах.

Особо выделяется случай синусоидальных во времени процессов, для к-рых формулируют след, признаки, достаточные для получения единств, решения: 1) задание источников задание E тан или Н тан на ограничивающей объём V поверхности S или соответствующих импедансных условий, обеспечивающих отсутствие потока вектора Пойнтинга внутрь V; 3) наличие малого поглощения внутри V или малой утечки энергии через S для исключения существования собств. колебаний на частоте

14. Классификация приближений Максвелла уравнений

Классификация приближений M. у. обычно основывается на безразмерных параметрах, определяющих и критерии подобия для эл—магн. полей. В вакууме таким параметром является отношение , где — характерный масштаб изменения полей (либо размер области, в к-рой ищется решение), — характерный временной масштаб изменения полей.

а) а = 0 — статич. приближение, статика.

Система M. у. распадается на три.

Материальная связь в простейшем случае имеет вид . Это система M. у. для электростатики, в к-рой источниками служат заданные распределения плотности электрич. заряда и сторонней поляризации . В однородной среде эл—статич. потенциал f определяется Пуассона уравнением