Уравнение материального баланса химического реактора

Уравнение материального баланса для элементарного объема проточного химического реактора

Прежде чем рассмотреть отдельные типы химических реакторов в соответствии с приведенной классификацией, составим уравнение материального баланса по произвольному участнику реакции – веществу J – для элементарного объема произвольного проточного химического реактора и элементарного промежутка времени.

Рассмотрим поток жидкости, протекающей через реактор. О ходе химического процесса в реакторе будем судить по изменению молярной концентрации вещества J в жидкости с_J. Так как, в общем случае, в реакторе имеет место то, или иное распределение концентрации с_J по объему, а в каждой произвольно выбранной точке еще и распределение концентрации во времени, то считается, что с_J является функцией четырех переменных: трех пространственных координат х, у, z и времени τ: с_J = с_J(х, у, z, τ).

В соответствии с рассмотренными в § 4.2 требованиями к размеру элементарного объема и значению элементарного промежутка времени выберем в качестве элементарного промежутка времени бесконечно малый интервал dτ (dτ 0), а в качестве элементарного промежутка пространства – параллелепипед с бесконечно малыми сторонами dx, dy и dz и объемом dV = dxdydz (рис. 4.1).

В уравнении материального баланса по веществу J должны быть отражены, как указано выше, все изменения, которые произойдут за время dτ с веществом J при прохождении потоком элементарного объема. Эти изменения могут быть связаны с тремя причинами: конвективным переносом, диффузионным переносом и химической реакцией.

Рис. 4.1. Элементарный объем химического реактора:

1, 1 / – конвективный и 2, 2 / – диффузионный потоки соответственно
на входе в элементарный объем и на выходе из него

Конвективный перенос, или перенос импульса, вызван движением потока со скоростью u в результате какого-либо внешнего воздействия (например, из-за перепада давления, созданного насосом или компрессором). При макроскопическом движении жидкости каждый данный ее участок передвигается как целое с неизменным составом, и в результате происходит чисто механическое перемешивание: хотя состав каждого передвигающегося участка жидкости может оставаться неизменным (если нет химической реакции) в каждой неподвижной точке пространства (неподвижном элементарном объеме), концентрация жидкости будет со временем меняться. Охарактеризовать конвективный перенос можно изменением импульса единицы объема жидкости с, и.

Диффузионный перенос вызван наличием неравномерного распределения вещества J в пространстве. Вследствие выравнивания концентрации молекулярным переносом веществ реакционной смеси из одного участка жидкости в другой также происходит изменение состава внутри элементарного объема. Охарактеризовать диффузионный перенос можно в соответствии с законами Фика изменением диффузионного потока вещества J, равного D grad c_J (D – коэффициент диффузии).

Протекание химической реакции в элементарном объеме – неотъемлемая часть любого химического процесса. Расход или образование вещества J в ходе химической реакции пропорционален скорости реакции w_rJ.

Алгебраическая сумма всех этих трех изменений должна быть равна накоплению (положительному или отрицательному) вещества J в элементарном объеме, т. е. изменению количества вещества J, находящегося внутри элементарного объема, за тот промежуток времени, для которого составляется материальный баланс.

Запишем теперь отдельные составляющие уравнения материального баланса.

Количество вещества, попадающее за время dτ в элементарный объем с конвективным потоком, можно рассматривать как сумму составляющих потока, которые войдут через отдельные грани параллелепипеда. В направлении оси z через грань dx dy за время dτ войдет c_J и_z dx dy dt моль вещества J.

Аналогично через грань dy dz войдет c_J u_x dy dz dτмоль вещества J, а через грань dx dz c_J u_y dx dz dτмоль J.

Суммарно с конвективным потоком в элементарный объем будет внесено

При прохождении элементарного объема произойдет изменение импульса единицы объема (так как в общем случае и с_J и скорость и имеют неравномерное распределение в пространстве). В результате количество вещества J, которое будет вынесено за тот же промежуток времени dτ через противоположные грани параллелепипеда, составит:

· в направлении оси z

· в направлении оси у

· в направлении оси х

Суммарно по всем осям:

где .

После вычитания выражения (4.2) из (4.1) получим (с учетом того, что для несжимаемой жидкости div u = 0) изменение количества вещества в элементарном объеме в результате конвективного переноса за время dτ:

Аналогично получим член уравнения материального баланса, описывающий изменение количества вещества J в результате диффузионного переноса. Диффузионный поток на входе в параллелепипед через грань dxdy (в направлении оси z)в соответствии с первым законом Фика равен

При прохождении потока через элементарный объем произойдет изменение градиента концентрации dc_J/dz на величину (d 2 c_J /dz 2 )dz,следовательно, диффузионный поток на выходе из параллелепипеда через противоположную грань составит

Изменение количества вещества J в результате диффузионного переноса через все грани параллелепипеда за время dτ

(4.4)

Расход вещества на химическую реакцию (или его образование в ходе химической реакции) внутри элементарного объема dV заэлементарный промежуток времени dτ пропорционален скорости реакции w_rJ (она определяется концентрацией вещества Jc_J,установившейся внутри элементарного объема), объему dV ивремени dτ:

. (4.5)

Следует отметить, что в соответствии с формальным правилом о знаках при составлении кинетических уравнений (см. §3.2) ∆n_J,хрположительно, если вещество J – реагент, и отрицательно, если J – продукт. Поэтому для сохранения физического смысла в уравнение материального баланса член ∆n_J,хрдолжен всегда входить со знаком «минус».

Накопление вещества J за время dτ внутри элементарного объема может произойти в результате приращения концентрации с_J при изменении времени на величину dτ. Это изменение концентрации равно (дc_j/дτ)dτ. Соответственно накопление вещества в элементарном объеме dV

(4.6)

Таким образом, уравнение материального баланса по веществу J в соответствии с выражениями (4.3)–(4.6) можно записать как:

или, сократив все его члены на dFdx,

(4.7)

Уравнение (4.7) достаточно полно описывает химический процесс, протекающий в любом химическом реакторе (при его выводе не было принято никаких допущений об его применимости только к какому-то одному определенному типу химических реакторов). В нем отражен перенос импульса (первый член уравнения), диффузионный перенос (второй член) и протекание химической реакции (третий член).

Уравнение (4.7) вместе с уравнением теплового баланса, учитывающим явления теплопереноса в элементарном объеме реактора, составят полную математическую модель реактора. Таким образом, будет решен вопрос и о небольшом числе уравнений, составляющих математическую модель, и об ее полноте.

Однако уравнение (4.7) слишком сложно для решения (дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных). Следовательно, реальный путь создания математических моделей, пригодных для решения практических инженерных задач по расчету и проектированию химических реакторов, заключается в упрощении математической модели, которое можно провести для различных частных случаев.

В соответствии с такой концепцией рассмотрим математические модели различных типов реакторов:

· реакторов для гомогенных процессов, работающих в изотермическом режиме;

Материальный баланс реактора

Основные понятия

Для расчета материального баланса необходимо повторить ряд фундаментальных понятий.

Количество вещества (N)определяется совокупностью структурных элементов (атомов молекул, ионов и т.п.). Количество вещества изме­ряют в молях. Молемназывает такое количество вещества, в котором содержится столько же структурных элементов (или их групп), сколько в 12 граммах (точно) изотопа углерода С₁₂. Это число называют посто­янной Авагадро.Постоянная Авагадро равна приблизительно 6,02252 ∙ 10 23 моль -1 (или 6,02252 ∙ 10 26 киломоль -1 ) структурных элемен­тов.

В промышленных круп­нотоннажных производствах количество вещества часто предпочитают измерять не в молях, а в киломолях.Киломоль в тысячу раз больше, чем моль.

Молярной массой (М)называют отношение массы вещества к коли­честву вещества. Иначе говоря, молярная масса — это масса одного моля или киломоля и ее несложно рассчитать с помощью таблицы Д.И.Менделеева. Молярная масса измеряется в г/моль или кг/кмоль.

Молярный объем (V_m)— это отношение объема вещества к количест­ву вещества. Иначе говоря, молярный объем — это объем одного моля или киломоля газообразного вещества, взятый при нормальных условиях. Для идеального га­за при н. у. молярный объем составляет 22,4 л/моль или м 3 /кмоль.

Используя молярную массу и молярный объем можно пересчитать количество молей соответственно в массу или объем вещества по формулам:

где G_i – масса i-го вещества (кг), V_i – объем (м 3 ), M_i — молярная масса (кг/кмоль), V_m -молярный объем (м 3 /кмоль).

В химико-технологических расчетах используют различные способы выражения концентрации веществ, перечислим наиболее распространенные из них.

Мольная доля (Z_мольн.) – это отношение количества молей одного из компонентов смеси ( N_i) к общему количеству молей всей смеси (∑N_i):

Объемная доля (Z_об.) – это отношение объема одного из компонентов смеси (V_i) к общему объему всей смеси (∑V_i):

Для идеальных газов при нормальных условиях мольные и объемные доли численно совпадают.

Массовая доля (Z_масс.) – это отношение массы одного из компонентов смеси (G_i) к общей массе всей смеси (∑G_i):

Численно мольные, объемные и массовые доли выражаются в долях единицы, при умножении их на 100% можно получитьмольные, объемные и массовые проценты, соответственно.

Алгоритм расчета материального баланса реактора

Материальный баланс составляют на основании закона сохранения массы вещества:

Материальный баланс может быть представлен в виде уравнений или таблицы (табл. 4.1.1), левую часть которой называют приходной и записывают в нее все сырьевые потоки, поступающие в ХТС или реактор. Правая часть именуется расходной, в нее записывают все потоки, покидающие ХТС или реактор, в том числе потоки продуктов (целевых и побочных), непрореагировавшего сырья и потери.

Чаще всего материальный баланс рассчитывают в единицах массы (кг или т), однако в качестве промежуточной единицы расчета лучше использовать киломоли. Для модельной реакции (3.2)

,

где А, В – исходные реагенты; C, D – продукты реакции, a, b, c, d – стехиометрические коэффициенты, а в скобках записано присутствующее в смесях инертное вещество I, схему движения потоков можно представить в следующем виде:

Рисунок 4.1.1 – Схема движения потоков через реактор

Таблица 4.1.1 — ­ Обобщенная форма таблицы материального баланса реактора

Парциальные мольные потоки веществ (кмоль в единицу времени) обозначим буквой N, массовые (килограмм в единицу времени)– буквой G.

Потоки снабдим индексами. Первый индекс обозначит вещество. Ноль будет обозначать смесь. Второй индекс будет соответствовать номеру потока (смеси). Например, N_A1 обозначает мольный поток вещества A в составе первой (начальной) смеси, G_C2 – массовый поток вещества C во второй (конечной) смеси. G₀₁,– массовый поток первой смеси, а N₀₂ – мольный поток второй смеси.

Учтем, что материальный баланс проточного реактора рассчитывают почти всегда при стационарном режиме, когда все параметры процесса во времени не изменяются (поэтому в условии задачи о стационарном режиме обычно вообще не упоминают). Таким образом, можно составить уравнения по каждому веществу, описывающие изменение его количества в ходе реакции:

ΔN_A, ΔN_B, ΔN_C, ΔN_D – изменения количества молей веществ в результате реакции (приращения), которые связаны между собой следующим соотношением:

, (4.1.12)

т. е. через приращение одного вещества, обычно ключевого компонента, можно выразить изменение количества остальных веществ, участвующих в реакции (количество инертного вещества остается неизменным), например:

; ; . (4.1.13)

Суммарные мольные потоки на входе и на выходе из реактора рассчитываются по уравнениям:

Массовые потоки по каждому веществу определяются с учетом молярной массы по формуле (4.1.1). Суммарные массовые потоки на входе и на выходе из реактора рассчитываются по уравнениям:

При необходимости рассчитываются объемные потоки (в случае протекания газовых реакций) и концентрации веществ (мольные, объемные или массовые доли).

По результатам материального баланса можно определить значение критериев эффективности протекания химико-технологического процесса и рассчитать тепловой баланс реактора.

Материальный и тепловой балансы химического процесса (стр. 1 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3

МАТЕРИАЛЬНЫЙ И ТЕПЛОВОЙ БАЛАНСЫ ХИМИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА

Материальный и тепловой балансы химического процесса: составляются на основе законов сохранения массы и энергии.

Уравнения материального и теплового балансов служат ос­новой расчета реакционного объема аппарата (при заданной степени превращения) или степени превращения в реакторе (при заданных условиях). При расчете чаще всего пользуются выражением общего баланса, составленного по одному из ис­ходных веществ, участвующих в химическом процессе. Вид уравнения зависит от типа реактора, в котором протекает про­цесс химического превращения веществ. Материальный баланс представляет собой основу для вывода зависимости связи ме­жду степенью превращения, скоростью и временем химического процесса, которая является необходимым элементом его расчета и носит название характеристического уравнения реактора. Если химическое превращение вещества протекает в неизотер­мических условиях, тепловой баланс процесса следует рассмат­ривать совместно с его материальным балансом.

1. Общий материальный баланс реакционной системы равен сумме материальных балансов по каждому из реагирующих веществ:

где М — общее количество реакционной смеси, кмоль; t — время реакции, с;. D Мобщ — изменение общего количества реакционной смеси, кмоль×с-1.

2. Общее уравнение материального баланса для i-ro вещества, участвующего в реакции:

где Mi — количество i-го вещества в системе, кмоль; DMi — изменение коли­чества i-го вещества, кмоль×с-1; ri —скорость химической реакции, выражен­ная по i-му веществу, кмоль×м-3×с-1; V — реакционный объем, м3.

3. Уравнения материального баланса для различных типов. химических реакторов.

Периодически действующий реактор идеального смешения:

где Ci — концентрация i-го вещества в системе, кмоль×м-3.

Непрерывнодействующий реактор идеального смешения:

,

где , —концентрация i-го вещества в системе на входе в реактор и выходе из него, соответственно, кмоль×м-3; ri — скорость химической реак­ции по i-му веществу в системе, кмоль×м-3×с-1.

Каскад n непрерывнодействующих реакторов идеального смешения:

,

.где ,- концентрация i-ro вещества в системе на выходе из п-го реактора, кмоль×м-3; rin —скорость реакции по i-му веществу в n-м реакторе, кмоль×м-3×с-1

Непрерывнодействующий реактор идеального вытеснения:

где S — площадь поперечного сечения потока реагирующей системы, м2; L — длина реактора, м.

Полунепрерывнодействующий реактор идеального смешения:

По i-му веществу для этого реактора имеем:

где , — концентрация i-го вещества в системе на входе в реактор и выходе из него, соответственно, кмоль×м-3; —скорость химической реакции по i-му веществу в системе на выходе из реактора, кмоль×м-3×с-1.

4. Общий вид уравнения теплового баланса:

где U — внутренняя энергия реакционной системы, кДж-кмоль»1; / — энталь­пия системы, кДж×кмоль-1; . — коэффициент теплопередачи, Вт(м2×К)-1; F — площадь поверхности теплопередачи, м2; Тр — температура реакции, К или °С; Тх—температура теплоносителя (хладоагента), К или °С; р — дав­ление в системе, Па.

5. Уравнения теплового баланса для различных типов хими­ческих реакторов.

Периодически действующий реактор идеального смешения при V = const:

где сu — удельная теплоемкость смеси реагирующих веществ при постоянном объеме, кДж(кмоль×К)-1; DHr — тепловой эффект реакции, кДж×кмоль-1.

Непрерывнодействующий реактор идеального смешения с внешним теплообменом:

,

где u0 — объемная скорость подачи реагирующих веществ, м3×с-1; Со — начальная концентрация реагирующих веществ, кмоль×м-3; х — степень превращения; То—начальная температура реакционной смеси, К или °С; Т1 — конечная температура реакционной смеси, К или °С; ср — удельная теплоемкость смеси реагирующих веществ при постоянном давлении, кДж(кг×К)-1

Непрерывнодействующий реактор идеального вытеснения с внешним теплообменом при постоянных температуре и соста­ве по поперечному сечению потока:

где S — площадь поперечного сечения, м2; Rr — гидравлический радиус, м..

Непрерывнодействующий реактор идеального смешения, работающий в автотермическом режиме:

Адиабатический yепрерывнодействующий реактор идеального вытеснения с теплообменом между реагентом и продуктами реакции (система теплообменник — реактор):

где =С0(DНr)/(rcp),

u0rcp(T0—)+KF((T1—T0),

где — разность температур в адиабатическом реакторе при х = 1;.. Т0 — температура исходной смеси на входе в реактор, К или °С; — температура исходной смеси на входе в теплообменник, К или oС.

Непрерывнодействующий реактор идеального вытеснения с внутренним теплообменом между исходными веществами и ре­акционной смесью (при подогреве исходных веществ):

где Ti— температура реакционной смеси во внутреннем подогревателе, К или °С.

Пример 2-1. В реакторе идеального смешения происходят следующие реакции:

где D — целевой продукт реакции; СRа = CSo = СТo = CDo = 0 — начальные концентрации промежуточных и конечных продуктов.

Начальная концентрация исходного вещества СА = 1 кмоль × м-3; текущие концентрации веществ (в кмоль × м-3); СА = 0,44; Св=1,06; СR = 0,05; CS = 0,33; СT = 0,14. Скорость подачи исходных веществ u0 = 5 × 10-3 м3 × с-1.

Определить производительность реактора GB по веществу В:

Решение. Составляем материальный баланс для реактора смешения. На основании стехиометрических соотношений реакций (а) и (г); (а) и (б); (а), (б), (в) и (г); (г) запишем:

CBo-CB = (3/2)CT + 2C’R+ C’S + CD, (3)

Комбинируя уравнения (1), (2), (4) и (5), а также (2) — (5), получаем:

CAo-CA = CR + CS + CD, (6)
CBo-CB=(3/2)CT + 2CR + 3CS-2CD. (7)

Из уравнения (6) определяем концентрацию продукта D:

CD = 1 — (0,44 + 0,05 + 0,33) = 0,18 кмоль × м-3.

Тогда производительность по продукту D будет равна:

Из уравнения (7) определяем концентрацию исходного вещества В

СВо= (3/2) 0,14 + 2 × 0,05 — 2 × 0,18+ 1,06 = 2 кмоль × м-3,

а затем производительность по веществу В:

Пример 2-2. В реакторе идеального смешения, работающем в адиабатических условиях, происходят реакции:

2R®S, (в)
где R — продукт реакции.

Начальные концентрации исходных веществ и продуктов (в кмоль × м-3): САо = 0,1; СВо=0,3; CRo = CDa = СРо =CSo = 0. Текущие концентрации взаимодействующих веществ (в кмоль х м-3): СА = 0,016; СР = 0,028; CS = 0,012; CD = 0,034.

Тепловой эффект реакции —DНr= 1,5 × 108 Дж (кмоль × В) -1. Плотность смеси r = 860 кг× м-3, теплоемкость смеси ср = = 2,85 × 103 Дж(кг×К)-1, скорость подачи u0 = 2,6×10-2×м3 ×с-1.

Определить производительность реактора по продукту R и температуру на выходе реактора, если начальная температура 12 °С (285 К).

Решение. Составляем уравнения материального и теплового баланса. Из стехиометрических соотношений уравнений реакции (а), (б) и (в) следует:

Тогда из уравнений (1) и (3) получим:

= 0,026 кмоль • м -3.

Из уравнений (2) и (3) находим:

СB = СВо — (СAо — СA) — 2СР = 0,30 — (0,1 —0,016) —2 • 0,028 =

= 0,160 кмоль • м -3.

Таким образом, производительность реактора по продукту R:

GR = CRu0 = 0,026 • 2,6 •10 -2 = 6,76•10 -4 кмоль • с -1.

где QP = (—DНr) (CBo —CB) u0 — тепловой поток, который выделяется в результате реакций; QH = cppu0 DT— тепловой поток, который затрачивается на нагревание реакционной смеси при адиабатических условиях работы реактора идеального смешения.

Из уравнения (4) после преобразования получаем:

Следовательно, температура на выходе из реактора равна 285 + 8,6 = 393,6 К или 20,6 °С.

Пример 2-3. В реакторе идеального вытеснения, работающем т адиабатических условиях, происходит жидкофазная реакция первого порядка

Константа скорости реакции kA (в с -1):

Начальные концентрации веществ (в кмоль×м-3): СAо=4,5; СB = 0. Тепловой эффект реакции—DHr=2×107 Дж(кмоль×А)-1, теплоемкость реакционной смеси ср:=2,2×103 Дж(кг×К)-1, плотность реакционной смеси r = 850 кг×м-3, температура исходной смеси Т0 = 300 К, скорость подачи uо= 10-3 м3 × с-1, объем реактора V = 5 м3.

Определить производительность реактора по продукту В и температуру смеси на выходе.

Решение. Тепловой баланс:

где QP = (—DHr) (СAо—CA) uо — тепловой поток, который выделяется в результате реакции; QH = срruо (Tк — Т0) — тепловой поток, который затрачивается на нагревание исходных веществ и продуктов реакции; Тк — температура реакционной смеси на выходе из реактора; Т0 — температура исходной смеси, подаваемой в реактор.

Характеристическое уравнение для необратимой реакции первого порядка, протекающей в реакторе идеального вытеснения:

, (1)

Так как процесс протекает при адиабатических условиях, константа скорости реакции будет изменяться по ходу реакции. Используем метод конечных разностей:

, (2)
где ki = 1013ехр(—1,2-104 Ti-1).

Для определения концентрации вещества А на выходе из реактора проводим последовательные приближения по Ti при шаге DT = 2 К. Тогда из уравнения материального баланса

определяем для каждого значения Тi соответствующее значение и по уравнению (2) рассчитываем сумму до значения i = n, при котором t= V/V0 =5/(1 •=5 × 103 с. Расчеты сведены в табл. 2-1. Из табл. 2-1 получаем при Ti=23 = 344 К:

c.

Тогда производительность реактора по продукту В:

= 1/2 (4,500 — 0,386) •= 2,06 •кмоль • с.

Пример 2-4. Установка состоит из следующих последовательно соединенных реакторов: идеального смешения (V1 = 2 м3), идеального вытеснения (V2 = 2 м3) и идеального смешения (V3 = 3 м3). Начальная концентрация вещества САo = = 1 кмоль • м -3, скорость подачи uо = 5×10-2 м3×с-1, скорость реакции (-rA) =5,1 • 10-3CA0,28. В начальный момент времени продукт в системе отсутствует. Плотность реакционной смеси не меняется.

Определить концентрацию исходного вещества после каждого реактора и рассчитать графически производительность установки по продукту, если известно, что 1 моль исходного вещества дает 2 моль продукта.

Решение. Составляем материальный баланс по веществу А для 1-го реактора смешения:

Для нахождения времени пребывания в реакторе идеального вытеснения интегрируем кинетическое уравнение:

,

Составляем материальный баланс по веществу А для 2-го реактора смешения:

.