Медиана треугольника
Определение . Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны (рис 1).
Поскольку в каждом треугольнике имеется три вершины, то в каждом треугольнике можно провести три медианы.
На рисунке 1 медианой является отрезок BD .
Утверждение 1 . Медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади ( равновеликих треугольника).
Доказательство . Проведем из вершины B треугольника ABC медиану BD и высоту BE (рис. 2),
и заметим, что (см. раздел нашего справочника «Площадь треугольника»)
Поскольку отрезок BD является медианой, то
что и требовалось доказать.
Утверждение 2 . Точка пересечения двух любых медиан треугольника делит каждую из этих медиан в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.
Доказательство . Рассмотрим две любых медианы треугольника, например, медианы AD и CE , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 3).
Обозначим середины отрезков AO и CO буквами F и G соответственно (рис. 4).
Теперь рассмотрим четырёхугольник FEDG (рис. 5).
Сторона ED этого четырёхугольника является средней линией в треугольнике ABC . Следовательно,
Сторона FG четырёхугольника FEDG является средней линией в треугольнике AOC . Следовательно,
Отсюда вытекает, что точка O делит каждую из медиан AD и CE в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.
Следствие . Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Доказательство . Рассмотрим медиану AD треугольника ABC и точку O , которая делит эту медиану в отношении 2 : 1 , считая от вершины A (рис.7).
Поскольку точка, делящая отрезок в заданном отношении, является единственной, то и другие медианы треугольника будут проходить через эту точку, что и требовалось доказать.
Определение . Точку пересечения медиан треугольника называют центроидом треугольника.
Утверждение 3 . Медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников (рис. 8).
Доказательство . Докажем, что площадь каждого из шести треугольников, на которые медианы разбивают треугольник ABC , равна площади треугольника ABC. Для этого рассмотрим, например, треугольник AOF и опустим из вершины A перпендикуляр AK на прямую BF (рис. 9).
Уравнение медианы треугольника
Как составить уравнение медианы треугольника по координатам его вершин?
Медиана соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Следовательно, при решении задачи составления уравнения медианы нужно:
- Найти координаты середины отрезка по координатам его концов.
- Составить уравнение прямой, проходящей через две точки: найденную середину отрезка и противолежащую вершину.
Дано: ΔABC, A(3;1), B(6;-3), C(-3;-7).
Найти уравнения медиан треугольника.
Обозначим середины сторон BC, AC, AB через A1, B1, C1.
Уравнение медианы AA1 будем искать в виде y=kx+b.
Найдём уравнение прямой, проходящей через точки A(3;1) и A1(1,5;-5). Составляем и решаем систему уравнений:
Отсюда k= 4; b= -11.
Уравнение медианы AA1: y=4x-11.
2) Аналогично, координаты точки B1 — середины отрезка AC
Можно в уравнение y=kx+b подставить координаты точек B(6;-3) и B1(0;-3) и найти k и b. Но так как ординаты обеих точек равны, уравнение медианы BB1 можно найти ещё быстрее: y= -3.
3) Координаты точки C1 — середины отрезка BC:
Отсюда уравнение медианы CC1 : y=0,8x-4,6.
Все формулы медианы треугольника
Медиана — отрезок |AO|, который выходит из вершины A и делит противолежащею сторону c пополам.
Медиана делит треугольник ABC на два равных по площади треугольника AOC и ABO.
M — медиана, отрезок |AO|
c — сторона на которую ложится медиана
a, b — стороны треугольника
γ — угол CAB
Формула длины медианы через три стороны, ( M ):
Формула длины медианы через две стороны и угол между ними, ( M ):
http://www.treugolniki.ru/uravnenie-mediany-treugolnika/
http://www-formula.ru/mediantriangles