Уравнение медианы ае и ее длину

Примечание: дробные числа записывайте
через точку, а не запятую.

Округлять до -го знака после запятой.

Уравнение медианы треугольника

Как составить уравнение медианы треугольника по координатам его вершин?

Медиана соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Следовательно, при решении задачи составления уравнения медианы нужно:

1. Найти координаты середины отрезка по координатам его концов.
2. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки: найденную середину отрезка и противолежащую вершину.

Дано: ΔABC, A(3;1), B(6;-3), C(-3;-7).

Найти уравнения медиан треугольника.

Обозначим середины сторон BC, AC, AB через A₁, B₁, C₁.

Уравнение медианы AA₁ будем искать в виде y=kx+b.

Найдём уравнение прямой, проходящей через точки A(3;1) и A₁(1,5;-5). Составляем и решаем систему уравнений:

Отсюда k= 4; b= -11.

Уравнение медианы AA₁: y=4x-11.

2) Аналогично, координаты точки B₁ — середины отрезка AC

Можно в уравнение y=kx+b подставить координаты точек B(6;-3) и B₁(0;-3) и найти k и b. Но так как ординаты обеих точек равны, уравнение медианы BB₁ можно найти ещё быстрее: y= -3.

3) Координаты точки C₁ — середины отрезка BC:

Отсюда уравнение медианы CC₁ : y=0,8x-4,6.

Уравнение медианы ае и ее длину

1) Расчет длин сторон:
АВ = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √169 = 13,
BC = √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √500 = 22.36067977,
AC = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √985 = 31.38470965.

2) Уравнение сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты.
Ха Уа Хв Ув Хс Ус
-5 -7 7 -2 11 20

. Это уравнение в каноническом виде. В общем виде оно будет таким:
АВ: 5х — 12у — 59 = 0.
В виде уравнения с коэффициентом:
у = (5/12)х — (59/12), или у = 0.416667х — 4.9167.
Угловой коэффициент равен:
Кав = (Ув-Уа) / ( Хв-Ха)= 5/12 = 0.416667.

Аналогично находим уравнение стороны ВС:
ВС: 22х — 4у — 162 = 0
Можно сократить на 2:
ВС: 11х — 2у — 81 = 0.
В виде уравнения с коэффициентом:
у = (11/2)х — (81/2), или у = 5.5х — 40.5 .
Угловой коэффициент равен:
Квс = (Ус-Ув) / ( Хс-Хв ) = 11/2 = 5,5.

3) Угол Ψ между прямыми АВ и ВС в радианах.
Это угол В, его определяем по теореме косинусов:
cos В= ( АВ²+ВС²-АС²) / ( 2*АВ*ВС) = -0.543537
B = 2.145441 радиан = 122.9247 градусов.

4) Уравнение высоты СD и ее длина.
СD: (Х-Хс) / ( Ув-Уа) = (У-Ус) / ( Ха-Хв).
В каноническом виде:

В общем виде CD: -12x — 5y + 232 = 0 или с положительным коэффициентом при х:
CD: 12x + 5y — 232 = 0.

Длина высоты CD:
CD = 2S / BA .
Находим площадь треугольника :
S = (1/2)*|(Хв-Ха)*(Ус-Уа)-(Хс-Ха)*(Ув-Уа)| = 122.
Тогда CD = 2*122 / 13 = 18.76923.

5) Уравнение медианы АЕ и координаты точки К пересечения этой медианы с высотой СD .
Находим координаты точки Е как средней между точками В и С:
Е((7+11)/2=9; (-2+20)/2=9) = (9; 9).
Уравнение АЕ: или в общем виде 16х — 14у — 18 = 0.
Можно сократить на 2:
АЕ: 8х — 7у — 9 = 0.

Координаты точки К пересечения медианы АЕ с высотой СD находим решением системы уравнений этих прямых:
8х — 7у — 9 = 0 40х — 35у — 45 = 0
12x + 5y — 232 = 0 84х + 35у — 1624 = 0
——————————-
124х — 1669 = 0
Хк = 1669 / 124 = 13.45968.
Ук = (8х — 9) / 7 = 14.09677.

6) Уравнение прямой L, которая проходит через точку К параллельно стороне АВ.
У прямой L коэффициент к = 5/12 = 0.416667 (как и у прямой АВ).
Подставляем координаты точки К:
14.09677 = 0.416667*13.45968 + в.
Отсюда находим «в»:
в = 14.09677 — 0.416667*13.45968 = 8.488575.
Получаем у равнение прямой L:
у = 0.416667х + 8.488575.

7) Координаты точки F(X_F Y_F), которая находится симметрично точке А относительно прямой СD.
Так как прямая СD — это перпендикуляр к стороне АВ, то точка D — центр симметрии.
Координаты D(18.2189349; 2.6745562).
xF = 2*xD — xA = 2*18.2189349 — (-5) = 41.4378698,
yF = 2*yD — yA = 2*2.6745562 — (-7) = 12.349112.