Уравнение медианы и точка пересечения

Урок 1. Медианы треугольника. Точка пересечения медиан

Медианы треугольника. Точка пересечения медиан.

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Теорема. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.

Точка пересечения медиан треугольника является центром тяжести этого треугольника.

Задача 1 Точка пересечения медиан треугольника отстоит от его вершин на расстояния, равные 4, 6 и 8. Найти длины медиан треугольника.

Решение. Пусть в треугольнике АВС AM, BE и CD — медианы, К – точка их пересечения, KС=4, KА=6 и КВ=8.

Так как , то есть на отрезок КА приходится 2 части, а на отрезок КМ – одна часть, то вся медиана АМ состоит из трех равных частей и

Получаем .

Задача 2 Медианы AM и СК треугольника АВС взаимно перпендикулярны и равны соответственно 6 и 9 . Вычислить длины сторон АВ и ВС.

Решение. Пусть медианы АМ и СК треугольника АВС пересекаются в точке Р. Тогда

поэтому и

, .

Вычислим по теореме Пифагора длины отрезков AK и СМ, получаем

, .

Теперь вычислим длины сторон АВ и ВС:

АВ=2АК=10, ВС=2СМ=.

Ответ: 10;.

Тест для самоконтроля.

1. Медиана треугольника делит пополам (выбрать один из вариантов ответов)

1) угол треугольника

2) сторону треугольника

3) две стороны треугольника

2. В каком отношении точка пересечения медиан треугольника делит каждую из медиан треугольника (выбрать правильные варианты ответов).

1) 2:1 считая от основания треугольника

2) 1:2 считая от вершины треугольника

3) 2:1 считая от вершины треугольника

4) 1:2 считая от основания треугольника

5) на две равные части

3. Если в треугольнике АВС проведена медиана АM и Р – точка пересечения медиан треугольника, то какую часть медианы АМ составляет отрезок АР? (выбрать один из вариантов ответов)

4. В треугольнике АВС проведена медиана АM и Р – точка пересечения медиан треугольника. Какую часть медианы АМ составляет отрезок РМ? (выбрать один из вариантов ответов)

5. В треугольнике АВС проведена медиана АM и Р – точка пересечения медиан треугольника. Какую часть отрезка АР составляет отрезок РМ? (выбрать один из вариантов ответов)

Посмотреть правильные ответы.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Точка пересечения медиан треугольника отстоит от его вершин на расстояния, равные 6 см, 8 см и 12 см. Найдите длины медиан треугольника.

2. Медианы ВM и СК треугольника АВС взаимно перпендикулярны и равны соответственно 15 и 36 . Найдите длины сторон АВ и АС.

3. Медианы треугольника равны 6, 9 и 12. На каком расстоянии от вершин находится точка пересечения медиан треугольника?

4. Медианы треугольника равны 9, 12 и 18. Найдите расстояния от середин сторон треугольника до центра тяжести данного треугольника.

5. Центр тяжести треугольника отстоит от середин его сторон на расстояния. Равные 5, 6 и 7. Найдите медианы данного треугольника.

6. Точка пересечения медиан треугольника удалена от середин его сторон на расстояния, равные 2, 3 и 4. На каких расстояниях от вершин треугольника находится эта точка?

Координаты пересечения медиан треугольников

Точка пересечения медиан треугольника

Как найти точку пересечения медиан треугольника, зная координаты его вершин?

Поскольку все медианы треугольника пересекаются в одной точке, достаточно составить уравнения двух медиан и найти координаты их точки пересечения.

Найти координаты точки пересечения медиан треугольника с вершинами в точках A(-4;-1), B(0;-3), C(2;1).

Обозначим середины сторон BC и AC через A₁ и B₁ соответственно. По формулам координат середины отрезка

Составим уравнения медиан AA₁ и BB₁.

Уравнение медианы AA₁ можно найти как уравнение прямой, проходящей через две точки A(-4;-1) и A₁(1;-1).

то есть уравнение прямой AA₁ y= -1.

B(0;-3), B₁(-1;0). Найдём уравнение медианы BB₁.

откуда уравнение прямой BB₁ y= -3x-3.

Координаты точки пересечения прямых AA₁ и BB₁ ищем как решение системы уравнений

Поскольку все медианы медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины, можно найти координаты концов любой медианы, а затем точку, которая делит медиану в отношении 2:1, начиная отсчёт от точки, которая является вершиной треугольника.

Например, в условиях предыдущей задачи — найти координаты точки пересечения медиан треугольника с вершинами в точках A(-4;-1), B(0;-3), C(2;1), —

зная координаты A₁(1;-1), найдём координаты точки M. Точка M пересечения медиан треугольника делит отрезок AA₁ в отношении 2:1, считая от точки A.

Координаты точки пересечения медиан треугольника

Чтобы найти координаты пересечения медиан одного треугольника, воспользуемся свойством центроида, согласно которому он делит каждую медиану на отрезки 2:1. Обозначаем вершины как как A(x₁;y₁), B(x₂;y₂), C(x₃;y₃),

и вычисляем координаты центра треугольника по формуле: x₀ = (x₁ + x₂ + x₃)/3; y₀ = (y₁ + y₂ + y₃)

5) Координаты начала вектора, если известны координаты самого вектора и его конца, можно найти следующим образом:

Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца

вычесть соответствующие координаты начала:

Формула для определения длины вектора, если известны

координаты его начала и конца:

Формула для определения длины вектора,

если известны его координаты:

6) Формула длины отрезка:

Периметр треугольника равен AB + BC + AC. Длина отрезка по координатам его концов рассчитывается по формуле

d = √((x2-x1)²+(y2-y1)²), где d— рассчитываемый отрезок, x1,x2 — абсциссы начала и конца отрезка, y1,y2 — ординаты начала и конца отрезка.

7) Как определить, является ли треугольник равнобедренным:

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника, опущенные на основание, совпадают.

(следствие теоремы косинусов);

· (следствие теоремы косинусов);

· ;

· (теорема о проекциях)

8) Если прямая параллельна оси ОХ и проходит через точку А(2,3), то:

В таком случае прямая будет параллельна оси ординат ОY. Будет иметь вид х=а. В точке А(2; 3) абсцисса равна 2. Значит уравнение прямой имеет вид х=2.

9)Как определить является ли фигура ромбом:

Ромб – это четырёхугольная геометрическая фигура, все стороны которой равны. Противоположные стороны параллелограмма параллельны, а диагонали всегда пересекаются под углом в 90 градусов и делят угол пополам.

Свойства ромба:

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.
Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Параллелограмм, диагонали которого перпендикулярны, является ромбом.

10)Уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно данной прямой:

Через заданную точку плоскости можно провести единственную прямую, перпендикулярную заданной прямой. Однако, через заданную точку трехмерного пространства можно провести бесконечно много прямых, перпендикулярных заданной прямой. Если построить плоскость , проходящую через заданную точку M₁ перпендикулярно к заданной прямой b, то любая прямая, лежащая в этой плоскости и проходящая через заданную точку M₁, перпендикулярна заданной прямой b.

Таким образом, задача о составлении уравнения прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой, имеет практическое значение лишь для случая на плоскости.

11) Способы нахождения углов:

Рассмотрим прямоугольный треугольник:

Задачи на нахождение сторон и углов прямоугольного треугольника решаются по такому алгоритму:

1. Выделяем треугольник, в который входит сторона или угол, который нам нужно найти.

2. Смотрим, какие элементы треугольника нам известны, и с помощью какой тригонометрической функции они между собой связаны.

3. Записываем соотношение, которое связывает между собой эти элементы.

Метод 1 из 3: Посредством двух других углов

1. Сложите известные значения двух углов. Запомните: сумма углов в треугольнике всегда равна 180°. Поэтому, если вы знаете два из трех углов треугольника, то вы легко вычислите третий угол. Первое, что нужно сделать,- это сложить известные значения двух углов. Например, даны углы 80° и 65°. Сложите их: 80° + 65° = 145°.

2.Вычтите сумму из 180°. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Поэтому третий угол равен: 180° — 145° = 35°.

3. Запишите ответ. Теперь вы знаете, что третий угол равен 35°. Если вы сомневаетесь, просто проверьте ответ. Сумма трех углов должна быть равна 180°: 80° + 65° + 35° = 180°.

Метод 2 из 3: Посредством переменных

1.Запишите задачу. Иногда вместо точных значений двух углов треугольника в задаче даны только несколько переменных, или переменные и значение угла. Например: найдите угол «х», если два других угла треугольника равны 2x и 24°

Сложите все значения (переменные и числа). х + 2x + 24° = 3x + 24

Вычтите сумму из 180°. Приравняйте полученное уравнение к 0. Вот как это делается:

· Найдите х. Для этого обособьте члены с переменной на одной стороне уравнения, а числа – на другой: 156° = 3x. Теперь разделите обе части уравнения на 3, чтобы получить х = 52°. Это означает, что третий угол треугольника равен 52°. Другой угол, данный в условии как 2x, равен: 2*52° = 104°

· Проверьте ответ. Для этого сложите числовые значения всех трех углов (сумма должна быть равна 180°): 52° + 104° + 24° = 180°.

Дата добавления: 2015-09-12 ; просмотров: 34 | Нарушение авторских прав

Точка пересечения медиан треугольника — свойства, формулы и теоремы

Процесс решения задачи по геометрии существенно упрощается при использовании теорем и следствий. Одной из них является утверждение о точке пересечения медиан треугольника, доказательство которой необходимо рассмотреть подробно. Специалисты в математической сфере рекомендуют изучить теоретические аспекты, а затем переходить для их закрепления к практике.

Общие сведения

Перед доказательством теорем необходимо ознакомиться с основными понятиями. Прямой называется совокупность точек, расположенных в одной плоскости, через которые можно провести линию без искажений в пространстве. Отрезок — часть прямой, ограниченной правой и левой границами.

Треугольник (обозначается «Δ») — геометрическая фигура, состоящая из трех сторон и вершин. Предпоследние являются отрезками, а последние — точками, не лежащими на одной прямой и соединяющими стороны между собой. Следует отметить, что треугольники бывают нескольких типов. К ним относятся следующие:

Произвольный.

Равнобедренный.

Равносторонний (правильный).
Первая группа состоит из сторон различной длины. При двух эквивалентных между собой сторонах фигура является равнобедренной. Обязательным условием для третьей группы считается равенство всех сторон. Кроме того, фигуры делятся по типу градусных мер таким образом:

Остроугольные.

Прямоугольные.

Тупоугольные.
Остроугольным называется треугольник, у которого углы (в задачах обозначается символом «∠ «) меньше 90 градусов.
Если у него один из ∠ эквивалентен 90, то этот признак свидетельствует о принадлежности его ко второму типу. Когда у фигуры хотя бы один из ∠ больше 90, тогда он принадлежит к третьему виду.
Понятие дополнительных отрезков
У любого Δ существуют дополнительные отрезки, которые используются при решении задач по геометрии. К ним относятся следующие: медиана, биссектриса и высота. Они существенно отличаются между собой в произвольных треугольниках, а также совпадают в равнобедренных и правильных геометрических телах.
Медиана (М) — некоторый отрезок, исходящий из вершины на середину стороны. Иными словами, любой геометрический элемент, опущенный из вершины на среднюю точку, является медианой. Последних в треугольнике может быть не более трех.
Биссектриса (Б) — часть прямой, которая делит угол на два равных компонента. В любом треугольнике можно провести всего три таких отрезка. Высота (В) — перпендикуляр, опущенный из вершины на противоположную сторону. Следует отметить, что высоты бывают внешними и внутренними. Первые проводятся из вершины на проекцию Δ, а вторые находятся внутри фигуры. В каждом треугольнике можно провести определенное количество дополнительных отрезков:

Произвольный: М — 3, В — 3 и Б — 3. Все они не совпадают между собой.

Равнобедренный: М — 2, В — 2, Б — 2 и М=В=Б=1 (совпадают между собой). Всего элементов: 2+2+2+3*1=9.

Правильный: М=В=Б=3. Общее количество элементов: 3.
Во втором случае М, В и Б совпадают между собой только один раз, а в последнем — полное сходство, поскольку медианы являются биссектрисами и высотами. Их точка пересечения — центр треугольника. Далее следует перейти к непосредственному доказательству теорем.
Теорема о взаимном пересечении
Первую базовую теорему, которую следует разобрать, имеет такую формулировку: медианы любого треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром фигуры. Ее доказательство осуществляется по такому алгоритму:

Начертить произвольный ΔSTU. Провести в нем медианы SS’ и TT’. Обозначить точку их пересечения «F».

Доказывать утверждение нужно от противного, т. е. предположить, что медианы не пересекаются, т. е. являются параллельными отрезками (SS’||TT’).

Из этого утверждения следует, что сторона фигуры ST является их секущей.

Следовательно, ∠S+∠T=360. Однако это противоречит свойству градусных мер углов треугольника, которые должны быть не более 180. Исходя из этого, предыдущая гипотеза не подтверждается.

На основании вывода из четвертого пункта теорема доказана полностью.
Аналогично можно доказать, что медиана UU’ также пересекается с SS’ и TT’ в точке F. Для этой цели необходимо начертить еще один треугольник с таким же обозначением, т. е. ΔSTU.
После этого выполнить все пять пунктов алгоритма, но для медиан SS’ и UU’. Затем сопоставить два доказательства для получения общей формулировки.
Утверждения о соотношении
Однако для решения задач одной теоремы о пересечении медиан недостаточно. Математики доказали несколько других утверждений, которые могут быть полезными при нахождении неизвестных величин. Первая из них гласит, что точка, в которой пересекаются медианы, пропорционально делит медианы 2:1 относительно вершины. Для доказательства утверждения необходимо воспользоваться такой методикой:
Следующим полезным утверждением является формула, позволяющая найти длину медианы. Она в словесном эквиваленте звучит таким образом: длина равна квадратному корню из суммы половины квадратов двух других сторон, не принадлежащих ей, без четвертой части квадрата стороны, на которую она опущена. Для доказательства рекомендуется использовать такой алгоритм:

Начертить ΔSTU с медианой SS’=М (опущена на UT), обозначив его стороны s=US, t=ST и u=UT.

По свойству медианы: US’=0.5*UT.

Образовались два треугольника ΔUSS’ и ΔTSS’.

Для нахождения M необходимо к каждому Δ применить теорему косинусов. В результате этого получатся такие соотношения: s^2=M^2+(u/2)^2-2M(u/2)cos(∠U) и t^2=M^2+(u/2)^2-2M(u/2)cos(Pi-∠U).

Выполняя математические операции по раскрытию скобок и складывая между собой полученные соотношения, получается искомая формула: M=[(s^2)/2 + (t^2)/2 — (u^2)/4]^(1/2).

Утверждение доказано.
Теорема имеет следствие, представленное в виде соотношения, позволяющее выявить взаимосвязь между сторонами и медианами. Оно имеет такой вид: (М)^2 + (М~~)^2 + (М )^2=3/4(s^2+t^2+u^2).~~
~~Координаты точки~~
При решении задач очень часто необходимо находить координаты точки пересечения медиан произвольного ΔSTU. Доказательство или выведение этой формулы является очень сложным. Однако математики решили данную проблему. Они предлагают использовать уже готовое соотношение, состоящее из двух компонентов:
Вышеописанные формулы рекомендуется применять, когда требуется определить координаты точек без чертежа. Специалисты на ранних этапах обучения рекомендуют размещать треугольник в прямоугольной декартовой системе координат. После этого отмечать каждую вершину с заданными координатами, а затем проводить медианы.
~~Для нахождения величины абсциссы и ординаты нужно из искомой точки опускать перпендикуляры на последние.~~
Нахождение координаты будет очень простым и удобным. Кроме того, в интернете существует множество приложений для этих целей. Они называются онлайн-калькуляторами.
Иногда встречаются задания со следующей формулировкой: выведите формулы, выражающие координаты точки пересечения медиан, с исходными данными (вершинами или сторонами). Для этого рекомендуется просто подставить искомые значения в соответствующие формулы нахождения абсциссы и ординаты.
~~Полезные свойства~~
Математики для облегчения учебы вывели важные свойства медианы. К ним относятся следующие:

Точка пересечения является центром вписанной и описанной окружностей, почему ее еще и называют симметрией фигуры.

~~Точки соприкосновения медиан со сторонами образуют средние линии искомого треугольника. Их всего три.~~

~~Подобие фигур относительно исходной.~~

~~Медианы делят произвольный треугольник на шесть подобных.~~

Отрезок, опущенный на гипотенузу, делит ее на два радиуса описанной окружности.
На координатной плоскости, руководствуясь первым свойством, чертится треугольник. После этого требуется провести две медианы, обозначив общую точку (где они пересекаются). Далее необходимо поставить в нее иголку циркуля, и начертить окружность вокруг фигуры. Затем в искомом круге проводится диаметр D.
В результате у вписанной окружности величина радиуса должна соответствовать значению D/4. На основании этого необходимо полагать, что построение выполнено правильно. В противном случае допущена некоторая неточность.
Используя второе свойство, можно найти следующие параметры: площадь, стороны и другие элементы фигуры. В любых задачах допускается подобное дополнительное построение. Однако специалисты рекомендуют его применять только при необходимости, а не загромождать чертеж.
Третье и четвертое свойства применяются для подсчета площадей подобных фигур. Коэффициент подобия зависит от количества проведенных медиан:
Последние цифры являются коэффициентом подобия. В прямоугольном треугольнике медиана, опущенная из прямого угла, делит ее на две равные части-радиусы описанной окружности.
Таким образом, сведения о медианах в треугольнике расширяет возможности расчета некоторых параметров фигуры.
Точка пересечения медиан треугольника
Как найти точку пересечения медиан треугольника, зная координаты его вершин?
Поскольку все медианы треугольника пересекаются в одной точке, достаточно составить уравнения двух медиан и найти координаты их точки пересечения.
Найти координаты точки пересечения медиан треугольника с вершинами в точках A(-4;-1), B(0;-3), C(2;1).
Обозначим середины сторон BC и AC через A₁ и B₁ соответственно. По формулам координат середины отрезка
Составим уравнения медиан AA₁ и BB₁.
Уравнение медианы AA₁ можно найти как уравнение прямой, проходящей через две точки A(-4;-1) и A₁(1;-1).
то есть уравнение прямой AA₁ y= -1.
B(0;-3), B₁(-1;0). Найдём уравнение медианы BB₁.
откуда уравнение прямой BB₁ y= -3x-3.
Координаты точки пересечения прямых AA₁ и BB₁ ищем как решение системы уравнений
Поскольку все медианы медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины, можно найти координаты концов любой медианы, а затем точку, которая делит медиану в отношении 2:1, начиная отсчёт от точки, которая является вершиной треугольника.
Например, в условиях предыдущей задачи — найти координаты точки пересечения медиан треугольника с вершинами в точках A(-4;-1), B(0;-3), C(2;1), —
зная координаты A₁(1;-1), найдём координаты точки M. Точка M пересечения медиан треугольника делит отрезок AA₁ в отношении 2:1, считая от точки A.

источники:
http://b4.cooksy.ru/articles/koordinaty-peresecheniya-median-treugolnikov
http://www.treugolniki.ru/tochka-peresecheniya-median/