Уравнение механической волны интенсивность волны вектор умова

ЭНЕРГИЯ ВОЛНЫ. ВЕКТОР УМОВА

ЛЕКЦИЯ №2

МЕХАНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ. АКУСТИКА

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

В широком смысле, под волной понимают процесс распространения в пространстве колебаний или возмущений состояния вещества или поля с течением времени. Математически этот процесс выражается функцией, описывающей распространение в пространстве изменений какой-либо физической величины. Выделяют три типа волн: волны на поверхности жидкости, упругие (иначе механические) и электромагнитные. Рассмотрим механические волны, т.е. процессы распространения механических возмущений в упругой среде.

Механические колебания, возбужденные в какой-либо точке пространства вследствие взаимодействия между упруго связанными частицами среды будут распространяться в ней с некоторой конечной скоростью. Частицы среды последовательно вовлекаются в колебательное движение около своих положений равновесия, но не перемещаются вместе с волной. Таким образом, в волновом процессе не происходит переноса массы. От частицы к частице передается только колебательное движение, а значит, и энергия.Перенос энергии без переноса вещества – это основное свойство всех волн, независимо от их природы.

Волны бывают продольные, если колебания частиц среды происходят вдоль направления распространения, и поперечные, если направление колебаний перпендикулярно вектору скорости волны. Очевидно, что в случае продольных волн в среде возникают деформации сжатия и разрежения, которые в свою очередь приводят к образованию локальных областей сгущения и разрежения вещества, т.е. области повышенного и пониженного давления. Такие волны могут возникать в любых средах: в газах, жидкостях и твердых телах. Поперечные механические волны обусловлены деформациями сдвига. Это означает, что они могут существовать только в твердых телах.

В общем случае, волны представляют собой пространственное образование. Геометрическое место точек (поверхность), до которых колебания дошли к некоторому моменту времени, называется фронтом волны. В зависимости от формы фронта волны бывают: плоские, сферические, цилиндрические и т.д.

Поверхность, точки которой имеют одно и то же значение фазы, называется волновой поверхностью. Волновых поверхностей

бесчисленное множество, а фронт волны всегда один.

УРАВНЕНИЕ БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ

Получим уравнение плоской волны в однородной среде вдоль оси 0х, совпадающей с направлением её распространения. Т.к., в этом случае фронт волны перпендикулярен 0х, то смещения s частиц среды будут зависеть только от координаты х и момента времени t, т.е. уравнение волны будет представлять собой функцию – s = f(x,t). Пред-положим, что в точке 0 (рис.1) частица совершает колебания по гармоническому закону: s = Acosωt. Тогда, очевидно, что колебания в некоторой точке М, удаленной от точки 0 на расстояние 0М = х, будут совершаться по тому же закону, но с некоторым отставанием по времени τ от колебаний в точке 0:

Если обозначить скорость волны через u, то время запаздывания, за которое волна добежит от точки 0 до точки М: τ = х/u, и уравнение колебаний в произвольной точке М на расстоянии х от источника примет вид:

s= A cos ω( t-τ ) = A cos ω( t — ). (2)

Это и есть искомое уравнение плоской бегущей волны. Здесь: А – амплитуда смещения частиц среды от положения равновесия, ω – циклическая частота колебаний частиц, ω( t — ) – фаза колебаний в точке с координатой х, u – скорость плоской волны.

Расстояние между ближайшими частицами среды, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны λ (рис.1).

Длина волны равна расстоянию, на которое распространяется определенная фаза колебаний за период колебаний частиц среды. Тогда λ = u·T = u/ν. Т.к. ω = 2πν, то (2) можно переписать в виде:

s = Acosω( t — ) = Acos2π(vt — ) = Acos(ωt — 2π ). (3)

Покажем, что скорость распространения волны u – это скорость перемещения фиксированного значения фазы. Положим ω( t – ) = С, т.е. const. Выразим х: х = ut — Cu/ω. Продифференцировав это выражение по t, получим: (С, u, ω – величины постоянные для данной среды). Т.е. u – это скорость, с которой перемещается данное значение фазы. По этой причине скорость волны называют также фазовой скоростью.

Скорость распространения механических волн зависит от физических свойств среды. Скорость распространения продольных волн определяется формулой: . Для поперечных волн – . Здесь r – плотность недеформированной среды, Е – модуль Юнга, G – модуль сдвига. Е и G – параметры упругости среды.

Основные свойства волн: прямолинейность распространения в однородной среде, отражение и преломление на границе раздела сред, дисперсия, интерференция и дифракция.

ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ

Аналогично тому, как уравнение колебаний является решением дифференциального уравнения, описывающего процесс колебаний, так и уравнение волны представляет собой решение дифференциального уравнения, описывающего процесс распространения волн в среде. Это дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных называется волновым. Найдем его вид. Запишем первые и вторые производные уравнения волны (2) по переменным t и х:

; ;

; ; (4)

; . (5)

В трехмерном случае:

.

СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ

Рассмотрим в качестве примера проявления волновых свойств механизм образования стоячих волн. Они возникают в результате наложения (интерференции) двух встречных плоских когерентных волн с одинаковой амплитудой. Например, волны падающей и этой же волны отраженной от границы раздела сред. Запишем уравнения двух плоских волн, движущихся навстречу друг другу в виде (3).

s ₁= Acos(ωt – 2π ) = А(cosωt cos2π + sinωt sin2π ) . (6)

s₂ = Acos(ωt + 2π ) = А(cosωt cos2π – sinωt sin2π ). (7)

Складывая эти равенства, получим уравнение результирующего процесса – уравнение стоячей волны:

(8)

Из (8) видно, что в каждой точке среды происходит колебание той же частоты ω, что и у интерферирующих волн. Однако амплитуда колебаний каждой частицы зависит от координаты точки среды, в которой она расположена: А_х = 2А cos2π . В точках, где аргумент 2π = ±nπ (при n = 0, 1, 2…) и |cos2π | = 1, амплитуда имеет максимальное значение –2А. Эти точки называются пучностями стоячей волны. В точках, где аргумент 2π = ±(n + )π, амплитуда минимальна и равна нулю, т.к. в этом случае cos2π = 0. Эти точки называются узлами стоячей волны.

На рис.2 показано как меняется расположение частиц среды в стоячей волне в течение периода.

ЭНЕРГИЯ ВОЛНЫ. ВЕКТОР УМОВА

Последовательное вовлечение в колебательное движение частиц среды означает, что волна передает от частицы к частице некоторую механическую энергию. Перенос энергии волнами количественно характеризуется вектором плотности потока энергии. Найдем выражение для энергии, переносимой плоской волной. Для этого рассмотрим некоторый объем V среды, все частицы которой вовлечены волной в колебательное движение (рис.3). В момент времени t каждая частица массой m₀ имеет определенные значения смещения и скорости. Однако, как мы установили ранее, полная механическая энергия частицы от этого не зависит и равна Е_м = , где m₀ – масса одной частицы. Полагая, что все частицы среды одинаковы, а их число в объеме V равно N, получим для энергии этого объема:

, (9)

где m = m₀·N масса вещества в объеме V. Разделив правую и левую часть этого равенства на V , получим количество энергии в единице объема волны. Эта величина называется объемной плотностью энергии:

, (10)

где ρ = m / V – плотность вещества среды, в которой распространяется волна. Объемная плотность энергии измеряется в Дж / м 3 .

Определим энергию, переносимую волной через площадку площадью S перпендикулярную (рис.3). За время t волна удалится от S на расстояние Δl = u·t и вовлечет в колебательное движение частицы в объеме V = S·u·t, перенеся при этом через площадку S энергию W = w∙V = w∙S∙ut.

Количество энергии, перенесенное через площадку S за единицу времени называется потоком энергии волны:

Ф = = w∙ S∙u. (11)

Поток энергии измеряется в Дж / с = Вт.

Количество энергии переносимое через единицу площади за единицу времени называется интенсивностью (или плотностью потока) энергии волны и измеряется в Вт / м 2 или Дж / (с·м 2 ):

. (12)

Т.к. скорость величина векторная, а w скалярная, то справа в этом равенстве стоит вектор. Это означает, что и левая величина дол-жна быть векторной, т.е. интенсивность энергии волны в направлении переноса – это некий вектор:

. (13)

Эта величина для упругих волн называется вектором Умова, который определяет количество энергии переносимое механической волной через единицу площади за единицу времени в направлении .

ЭФФЕКТ ДОПЛЕРА

Эффектом Доплера называют изменение частоты колебаний, воспринимаемых наблюдателем (приёмником волны) вследствие движения источника волны и наблюдателя относительно среды.

Рассмотрим простейший случай, когда источник волны и наблюдатель движутся вдоль соединяющей их прямой. Скорость распространения волны в рассматриваемой среде будем считать равной u, скорость источника – , скорость наблюдателя (приёмника) – , частота колебаний источника – ν_0, период колебаний источника – Т = 1/ ν₀. Все скорости определены относительно среды. Скорость источника будем считать положительной, если он движется по направлению к приёмнику, и отрицательной, если источник удаляется от приёмника. Аналогичное правило знаков скоростей примем и для приёмника.

В исходном состоянии источник находится в начале координат (точка 0), а приёмник в точке А. Скорость распространения колебаний зависит только от свойств среды, поэтому при неподвижном источнике за одну секунду волна пройдет в направлении к приемнику расстояние u. На этом расстоянии уложится ν₀ колебаний. Соответственно, длина волны – λ₀ = u / ν₀ (рис.4а).

Пусть наблюдатель неподвижен и находится на расстоянии u от источника, а источник волны движется с постоянной скоростью по направлению к наблюдателю. Будем считать, что

Лекция №10. Механические волны

6.5. Волновой перенос энергии и его характеристики: поток, плотность потока, интенсивность

Пусть в некоторой среде распространяется в направлении оси 0х плоская продольная волна $$S=Acos(ωt-kx+φ)$$ . Выделим в среде элементарный объем ΔV , настолько малый, чтобы скорость движения и деформацию во всех точках этого объема можно было считать одинаковыми и равными. Выделенный объем обладает кинетической энергией $$K=<1 \over 2>mv^2$$ . Если масса $$m=ρΔV$$ , а $$v=<∂S \over ∂t>$$ , то

Потенциальная энергия упругой деформации рассматриваемого объема

где $$k=$$ ; $$l_0$$ − первоначальная длина рассматриваемого объема; $$ε=<Δl \over l_0>$$ − относительная деформация объема; $$ΔV=$$ − первоначальный объем. Используя формулу (6.4.8) и, учитывая, что $$ε=<∂S \over ∂x>$$ , получим

Тогда полная энергия упругой волны

Определим плотность энергии, разделив (6.5.4) на объем ΔV

Продифференцируем уравнение плоской продольной волны (6.2.8) по времени t и по координате х и подставим выражения в формулу (6.5.5) учтя, что $$k^2υ^2=ω^2$$

Среднее значение квадрата синуса равно 1/2. Соответственно среднее по времени значение плотности энергии в каждой точке среды равно

Таким образом, плотность энергии и среднее значение плотности энергии пропорциональны плотности среды ρ , квадрату частоты ω и квадрату амплитуды волны А .

Количество энергии, переносимое волной через некоторую поверхность в единицу времени, называется потоком энергии через эту поверхность. Поток энергии Ф через данную поверхность равен энергии dW переносимой за время dt

Ф измеряется в ваттах.

Для характеристики распространения энергии в разных точках пространства вводится векторная величина, называема плотностью потока энергии. Плотность потока энергии численно равна потоку энергии через единичную площадку ΔS , помещенную в данной точке перпендикулярно к направлению, в котором переносится энергия. Направление вектора плотности потока энергии совпадает с направлением переноса энергии.

Если через площадку ΔS , перпендикулярную к направлению распространения волны, переносится энергия ΔW за время Δt , то плотность потока энергии равна

Рассмотрим объем цилиндра с основанием ΔS и высотой υΔt ( υ − фазовая скорость волны). В случае малого объема цилиндра, плотность энергии во всех точках цилиндра можно было считать одинаковой и поэтому энергию можно найти как произведение плотности энергии ω на объем ΔV=ΔSυΔt

Подставив выражение (6.5.10) в последнее выражение, получим

где j − вектор плотности потока энергии, называемый вектором Умова.

Интенсивность волны равна

Данное выражение справедливо для волны любого вида.

Определим поток энергии через поверхность S . Для этого разобьем поверхность на элементарные участки dS . За время dt через площадку dS пройдет энергия dW . Объем цилиндра, где вычисляется энергия, равен $$dV = υdtdScosϕ$$ . Тогда в этом объеме содержится энергия

где d S = n dS ; n − единичный вектор нормали к поверхности dS .

Поток энергии через элементарную поверхность dS

Поток энергии через поверхность S равен

6.6. Фазовая и групповая скорости волн

Скорость распространения волны есть скорость перемещения фазы и называется фазовой скоростью. Фазовая скорость равна

Если в среде распространяется одновременно несколько волн, то колебания частиц среды оказываются геометрической суммой колебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельности, и к ним применим принцип суперпозиции волн: при распространении в линейной среде (т. е. среде снеизменяющимися свойствами) нескольких волн, каждая из них распространяется так, как будто другие волны отсутствуют, а результирующее смещение частицы среды равно геометрической сумме смещений, которые получают частицы, участвуя в каждом из слагающих волновых процессов.

Используя принципа суперпозиции, любая волна может быть представлена в виде волнового пакета. Волновым пакетом называется суперпозиция волн, мало отличающихся друг от друга по частоте, занимающая в каждый момент времени ограниченную область пространства. Простейший волновой пакет двух распространяющихся вдоль положительного направления оси Х гармонических волн с одинаковыми амплитудами, близкими частотами и волновыми числами, причем

Эта волна отличается от гармонической тем, что ее амплитуда

медленно изменяющаяся функция координаты х и времени t .

За скорость распространения волнового пакета принимают скорость перемещения максимума амплитуды волны. При условии, что $$tdω-xdk=const$$ , получим

где υ_гр – групповая скорость. Рассмотрим связь между групповой и фазовой скоростями. Учитывая, что волновое число $$k=<2π \over λ>$$ и $$dk=-<2π \over λ^2>dλ=-dλ$$ , получим

В теории относительности доказывается, что групповая скорость υ_гр ≤ c , в то время как для фазовой скорости ограничений не существует.

6.7. Интерференция упругих волн

Для того чтобы рассмотреть интерференцию волн, введем понятие когерентности . Согласованное протекание во времени и пространстве нескольких колебательных или волновых процессов связано с понятием когерентности. Волны называются когерентными , если разность их фаз остается постоянной во времени. При наложении в пространстве двух или нескольких когерентных волн в разных его точках получается усиление или ослабление результирующей волны в зависимости от соотношения между фазами этих волн. Это явление называется интерференцией волн, и заключается в том, что колебания в одних точках усиливают, а в других ослабляют друг друга.

Рассмотрим наложение двух когерентных сферических волн, возбуждаемых точечными источниками $$S_1$$ и $$S_2$$ , колеблющимися с одинаковыми амплитудой, частотой, нулевой начальной фазой и постоянной разностью фаз. Запишем уравнения колебаний:

где $$r_1$$ и $$r_2$$ − расстояния от источников волн до рассматриваемой точки.

Амплитуда результирующей волны равна (сложение одинаково направленных колебаний)

Так как разность начальных фаз $$(ϕ_1-ϕ_2)=<2π \over λ>(r_2-r_1)=<2π \over λ>Δ=const$$ , то результат наложения двух волн в различных точках зависит от величины $$Δ=r_2-r_1$$ , называемой разностью хода волн.

В точках, где выполняется условие

Так как квадрат амплитуды колебаний пропорционален интенсивности волны, то получаем

То есть наблюдается усиление интенсивности (увеличение амплитуду) результирующей волны или интерференционный максимум.

2) В точках, где выполняется условие

То есть наблюдается ослабление интенсивности (уменьшение амплитуды) результирующей волны или интерференционный минимум.

Таким образом, в результате наложения двух когерентных волн в среде возникают колебания, амплитуда которых различна в разных точках среды, при этом в каждой точке среды получается или максимум амплитуды, или минимум амплитуды, или ее промежуточное значение − в зависимости от значения разности расстояний точки до когерентных источников. Интерференция света приводит к перераспределению энергии волны между соседними областями, хотя в среднем для больших областей энергия остается неизменной.

6.8. Стоячие волны

Рассмотрим интерференцию стоячих волн. Стоячие волны − это волны, образующиеся при наложении двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу с одинаковыми частотами и амплитудами.

Запишем уравнение двух плоских волн, распространяющихся вдоль оси Х в противоположных направлениях

Сложив вместе эти уравнения и преобразовав результат по формуле для суммы косинусов, получим уравнение стоячей волны

Из данного уравнения видно, что в каждой точке стоячей волны происходят колебания той же частоты, что и у встречных волн, причем амплитуда зависит от координаты х

Точки, в которых амплитуда колебаний достигает максимального значения и координаты которых удовлетворяют условию

где m = 0, 1, 2, … называются пучностями стоячей волны.

Точки, в которых амплитуда колебаний обращается в нуль и координаты которых удовлетворяют условию

где m = 0, 1, 2, … называются узлами стоячей волны.