Уравнение менделеева клапейрона и следствия из него

Уравнение Менделеева – Клапейрона. Следствия из этого уравнения

Из уравнений (1.8.1) и (1.8.7) следует, что

Учитывая, что n = N/V и N/N_А = m/μ = ν, получим

, (1.9.2)

где введена постоянная R=kN_A=8,31Дж/мольּК, которую называют универсальной газовой постоянной. Физический смысл ее установим из уравнения (1.9.2):

, (1.9.3)

которое называют уравнением Менделеева – Клапейрона. Для этого запишем уравнение (1.9.3) для двух состояний изобарического процесса:

Откуда находим

(1.9.4)

, (1.9.5)

т. е. постоянная R численно равна работе при изобарическом нагревании на один Кельвин (ΔТ = 1К) одного моля (ν = 1моль) идеального газа. Так как k = R/N_A, то постоянная Больцмана имеет тот же смысл, что и R, только рассчитанная на одну молекулу.

Из уравнения состояния идеального газа (1.9.3) можно получить известные из опыта газовые законы.

1. Полагая в уравнении (1.9.3) ν = const и Т = const, получаем

Отсюда вытекает формулировка закона Бойля – Мариотта (изотермический процесс): при неизменных массе и температуре идеального газа произведение его объема на давление есть величина постоянная.

2. При изобарическом процессе P = const.Также ν = сonst. Поэтому из уравнения состояния (1.9.3) в этом случае

, (1.9.7)

т. е. при неизменных массе и давлении идеального газа отношение объема, занимаемого газом, к его температуре – величина постоянная. Это утверждение известно как закон Гей-Люссака.

3. Пусть процесс протекает при постоянном объеме V=const (по

прежнему ν = сonst). Тогда из (1.9.3)

(1.9.8)

т. е. при неизменных массе и объеме идеального газа отношение давления газа к его температуре есть величина постоянная. Уравнение (1.9.8), называемое уравнением изохорического процесса, выражает известный закон Шарля.

4. Из уравнения (1.9.3), очевидно, также следует объединенный закон

Мариотта – Гей- Люссака

, (1.9.9)

т. е. произведение давления газа на его объем, деленные на абсолютную температуру, для данной массы газа есть величина постоянная.

5. Из уравнения (1.9.3) также следует закон Авогадро, согласно которому при одинаковых давлениях и температурах в равных объемах любого газа содержится одинаковое число молекул. Действительно, пусть имеются два одинаковых объема двух различных газов при одинаковых давлениях и температурах. Для каждого из них можно написать уравнение состояния (1.9.2)

где N₁ и N₂ – число молекул обоих газов. Из этих равенств непосредственно следует, что N₁= N₂. Это и есть закон Авогадро. Из него, очевидно, следует и обратная формулировка: различные газы, но содержащие одинаковое число молекул, будут при одинаковых давлениях и температурах занимать одинаковые объемы. Поэтому моль любого газа при данных давлении и температуре занимает одинаковый объем. В частности, при нормальных условиях (Т₀= 273,15К, Р_атм= 1,01ּ10 5 -Па) моль любого газа занимает объем

.

6. Следствием уравнения идеального газа является и закон Дальтона, утверждающий: давление смеси химически не реагирующих газов равно сумме парциальных давлений отдельных газов. Парциальным давлением называют давление, которое создал бы газ, если бы он находился один в объеме, занятом смесью.

Для доказательства закона Дальтона учтем, что в смеси нескольких газов общее количество молекул равно сумме количеств молекул отдельных газов

(1.9.10)

Подставим (1.9.10) в (1.9.3)

(1.9.11)

Каждое из слагаемых выражения (1.9.11) представляет собой парциальное давление. Поэтому

(1.9.12)

Что и требовалось доказать.

7. Наконец, следствием уравнения Менделеева – Клайперона является закон Амага: объем смеси химически нереагирующих идеальных газов равен сумме их парциальных объемов, т. е.

(1.9.13)

где парциальный объем

(1.9.14)

Как видно из выражения (1.9.14), парциальный объем V_i есть объем, который занимал бы i-й газ, если бы все остальные газы были удалены, а давление Р и температура Т остались неизменными.

Для доказательства найдем из уравнения (1.9.2) идеального газа объем смеси

(1.9.15)

и подставим в него вместо N его выражение из (1.9.15). В результате получим

что и доказывает справедливость закона Амага.

1. Доказать, что молекулы любых газов при одинаковых температурах обладают одинаковой средней кинетической энергией поступательного движения.

Решение. Выражение (1.5.9): с учетом того, что , примет вид: . С другой стороны из формулы (1.9.2) . Поэтому . Запишем последнее равенство для двух различных газов:

Если температуры этих газов одинаковы, то

где

Как видно из доказательства, средняя кинетическая энергия поступательного движения не зависит от массы и внутренней структуры молекулы. Поэтому ее выбирают в качестве меры нагретости

Следует обратить внимание на тот факт, что средние кинетические энергии вращательного и колебательного движений молекулы не могут быть взяты за меру температуры газа, так как эти энергии зависят не только от температуры, но и от параметров, характеризующих структуру молекулы – ее момента инерции и частот колебаний атомов в молекуле.

2. Земная атмосфера состоит из смеси различных газов, которые на уровне моря по объему составляют (при нормальных условиях): азот – 78,09 %, кислород – 20,95 %, аргон – 0,93 %, углекислый газ – 0,03 %, неон – 0,0018 %. Остальными компонентами (водород, гелий, ксенон, криптон, метан и др.) пренебрегают, так как они составляют миллионные доли процента. Найти молярную массу воздуха.

Решение. Пусть взято количество воздуха массы , содержащее молей, где m_i и v_i – масса и число молей i-й компоненты воздуха соответственно. Тогда молярная масса воздуха

Выражая отношения масс через отношение плотностей и объемов , получим

где и V_i – парциальные плотность и объем i-й компоненты воздуха соответственно. Подставляя в последнюю формулу заданные значения

V₄/V = 0,0003, V₅/V = 0,000018, а также, взятые из таблиц, опытные значения (при нормальных условиях) плотностей азота ρ₁= 1,250 кг/м 3 , кислорода

ρ₂= 1,429 кг/м 3 , аргона ρ₃= 1,784 кг/м 3 , углекислого газа ρ₄= 1,977 кг/м 3 , неона ρ₅= 0,900 кг/м 3 воздуха ρ=1,293 кг/м 3 и молярные массы компонентов воздуха μ₁= 28·10 – 3 кг/моль,μ₂= 32·10 – 3 кг/моль, μ₃= 40·10 – 3 кг/моль,μ₄=

= 44·10 – 3 кг/моль, μ₅= 20·10 – 3 кг/моль,получим молярную массу воздуха μ =

= 0,02896 ≈ 29·10 – 3 кг/моль.

Распределение Максвелла

В газе, находящемся в равновесии при температуре T, скорость любой молекулы из-за столкновений непрерывно меняется как по абсолют­ной величине, так и по направлению. Распределение по направлениям движения в состоянии равновесия равновероятно. Если бы это было не так, то в каком-то направлении в газе двигалось бы боль­шее число молекул, чем в другом. В результате возник бы макроскопи­ческий поток газа и газ не находился бы в равновесии.

Иначе обстоит дело с абсолютными значениями скоростей молекул: они не будут равновероятны, т. е. функция плотности вероятности F(υ) принимает неодинаковые значения при различных скоростях молекул. При этом, наибольшее число молекул будет группироваться около некоторой средней скорости, к примеру, около средней квадратичной υ_кв, которая на основании формулы (1.8.7),

. (1.10.1)

Очень большие скорости молекул, по сравнению со средней квадратичной, маловероятны. В самом деле, чтобы молекула могла приобрести при столкновениях очень большую скорость, ей необходимо испытать подряд много таких столкновений, при которых она в основном получает энергию, и почти ни одного столкновения, при котором она ее теряет. Но такие столкновения маловероятны. Поэтому значения функ­ции F(υ) при больших скоростях должны быть малы.

Функция F(υ) в равновесном состоянии газа не должна зависеть от времени. В самом деле, если бы функция распределения зависела от времени, то средняя квадратичная скорость, определяемая по формуле,

,

также зависела бы от времени. Но это противоречит тому, что в состоянии равновесия (T = const), как видно из (1.10.1), υ_кв= сonst.

Таким образом, распределение молекул по скоростям должно иметь максимум около среднего квадратичного значения скорости и убывать до нуля от этого максимального значения в сторону больших скоростей молекул. Найдем, следуя Максвеллу, явный вид этой функции.

Спроектируем скорости всех N молекул газа на ось x. Вероятность того, что произвольно взятая молекула име­ет проекцию скорости, заключенную в интервале (υ_x , υ_x+ dυ_x), будет равна

, (1.10.2)

где – число молекул в газе, которые имеют проекцию скорости, заключенную в интервале (υ_x, υ_x+dυ_x). С другой стороны эта вероятность может быть выражена через плотность вероятности φ(υ_x) (см. формулу А.22 Приложения А)

(1.10.3)

Сравнивая выражения (1.10.2) и (1.10.3) , находим

(1.10.4)

Аналогичные соотношения могут быть записаны для проекций скоростей молекул на оси Y и Z.

Важно отметить, что функции имеют совершенно одинаковый вид из-за равновероятности всех направлений движения молекул и отличаются только обозначением аргумента.

Запишем далее вероятность того, что случайно взятая молекула имеет проекции скорости, заключенные в интервалах (υ_x, υ_x + dυ_x), (υ_y, υ_y + dυ_y) и (υ_z, υ_z + dυ_z) или, то же самое, что эта молекула движется в направлении, близком к направлению, определяемом вектором . Пo определению вероятности, она равна

(1.10.5)

где – число молекул, компоненты скорости которых лежат в указанных выше интервалах. Если обозначить совместную плотность вероятности проекций скорости молекул через , то та же вероятность (1.10.5), может быть представлена в виде

(1.10.6)

Из выражений (1.10.5) и (1.10.6) следует, что

(1.10.7)

Чтобы дать наглядное представление о функции вводят в рассмотрение так называемое пространство скоростей, по трем осям которого откладываются значения проекций υ_x,υ_y,υ_z скорости каждой молекулы. В пространстве скоростей каждой молекуле, имеющей проекции υ_x,υ_y,υ_z, будет соответствовать точка, совпадающая с концом век­тора скорости молекулы, проведенного из начала координат. Тогда ясно, что представляет собой число скоростных точек которые попали в элементарный объем , лежащий около точки с координатами (рис. 10), а отношение этого числа к объему dV дает значение плотности их в точке с координатами υ_x,υ_y,υ_z. Таким образом, на основании (1.10.7), представляет собой объемную плотность вероятности скоростных точек в пространстве скоростей.

Функция для равновесного состояния не зависит от времени. Также эта функция не может зависеть от направления вектора скорости молекул, определяемого проекциями υ_x,υ_y,υ_z, т. к. в состоянии равновесия все направления равновероятны. Она может за­висеть только от длины вектора скорости, т. е. ,

где .

Наряду с введенными функциями φ и f, рассмотрим распределе­ние молекул F(υ) по абсолютной величине скорости. Распределение F(υ)определяется вероятностью того, что величина скорости молекулы заключена в пределах от υ до υ + dυ независимо от направления, т. е.

, (1.10.8)

где – число молекул, величина скорости которых находится в интервале (υ , υ + dυ).

Функции F(υ) и f(υ) жестко связаны друг с другом. Для определения этой связи обратимся к пространству скоростей. Очевидно, в этом пространстве число скоростных точек, попадающих в шаровой слой между сферами радиусов υ и υ+dυ, объем которого , равно . Число же точек в единице объема пространства скоростей, согласно (1.10.7), равно Nf(υ). Поэтому число скоростных точек в объеме dV₁

(1.10.9)

Подставив из выражения (1.10.9) в (1.10.8), получим требуемую связь:

(1.10.10)

Далее Максвелл предположил, что события, заключающиеся в попадании проекций υ_x, υ_y, υ_z скорости данной молекулы в интервалы

(υ_x, υ_x + dυ_x), (υ_y, υ_y + dυ_y) и (υ_z, υ_z + dυ_z)соответственно, явля­ются независимыми событиями. Тогда, согласно теореме умножения, совместная вероятность этих событий равна произведению их вероятностей, т. е.

(1.10.11)

На основании формул (1.10.6) и (1.10.3), равенство (1.10.11) можем переписать в виде:

(1.10.12)

Разделив обе части (1.10.12) на и учитывая, что , получим

. (1.10.13)

Прологарифмируем последнее равенство

. (1.10.14)

Дифференцируя выражение (1.10.14) на компоненте скорости υ_x , получим

. (1.10.15)

Учитывая, что , производная

(1.10.16)

Это позволяет записать соотношение (1.10.15) в виде

(1.10.17)

Аналогичные выражения могут быть получены при дифференцировании (1.10.14) по двум другим компонентам скорости υ_y и υ_z:

(1.10.18)

(1.10.19)

Правые части этих равенств равны друг другу, так как левые части их одинаковы. Правая часть (1.10.17) не зависит от υ_y и υ_z. Значит, от них не зависит и левая часть. Аналогично, правая часть (1.10.18) не зависит от υ_x и υ_z, откуда следует независимость и левой части от этих величин. Но тогда и правая часть (1.10.17) не зависит от υ_х. Это возможно только в том случае, если

(1.10.20)

Умножим обе части (1.10.20) на υ_хdυ_х. В результате будем иметь

(1.10.21)

(1.10.22)

. (1.10.23)

(1.10.24)

Из-за равной вероятности направлений движения молекул точно такой же вид имеют функции и . Для нахождения двух постоян­ных С и С₂, необходимо располагать двумя уравнениями для искомой функции φ. Первое уравнение – это условие нормировки плотности вероятности :

. (1.10.25)

Второе уравнение – это связь средней кинетической энергии поступательного движения молекулы с температурой:

(1.10.26)

Как было выяснено ранее, очень большие скорости моле­кул должны быть маловероятными. Это возможно только в том случае, если постоянная в формуле (1.10.24) отрицательна, т. е.

. (1.10.27)

В выражении (1.10.25) максимально возможная проекция на ось Х скорости молекул, находящихся при температуре T, положена равной бесконечности, что физически нереально. Однако увеличение интервала интегрирования сверх некоторой максимальной скорости не приведет к заметной ошибке ввиду того, что функция (1.10.27) быстро убывающая.

Подставляя (1.10.27) в (1.10.25) и интегрируя (см. формулу (B.2) приложения B), получим

(1.10.28)

Откуда находим и, следовательно,

(1.10.29)

Чтобы воспользоваться равенством (1.10.26) для нахождения постоянной С₁учтем, что

, (1.10.30)

так как ввиду равновероятности направлений движения молекул = = . Поэтому достаточно вычислить средний квадрат одной из компонент скорости (см. (B.3) приложения B):

. (1.10.31)

Используя формулы (1.10.31), (1.10.30) и (1.10.26), находим

(1.10.32)

Подстановка постоянной (1.10.32) в (1.10.29) дает

(1.10.33)

Точно такие же формулы будут справедливы и для других проекций скорости молекул. Поэтому функция (1.10.13)

, (1.10.34)

а функция распределения по абсолютным значениям скорости (1.10.10)

. (1.10.35)

Как это мы уже отмечали при выводе распределений (1.10.33–1.10.35) по скоростям, Максвеллом было сделано предположение: проекции скорости молекул статистически независимы. Это предположение им не было доказано или обосновано. В дальнейшем американским физиком-теоретиком Д. Гиббсом было доказано, что условие независимости компонент скорости имеет место тогда, когда кинетическая энергия квадратична по компонентам импульсов; последнее справедливо всегда, за исключением случая релятивистских скоростей частиц.

Очень важно отметить, что при доказательстве распределения Максвелла (1.10.33–1.10.35) не делалось никаких предположений относительно структуры молекул, сил взаимодействия между ними, поэтому они справедливы не только для газов, но и для жидкостей, для твердых тел и, даже, для броуновских частиц, если при этом возможно классическое описание.

Как доказывается в статистической физике, классический способ изложения применим, если температура Т равновесного состояния системы частиц значительно больше так называе­мой температуры вырождения

, (1.10.36)

где h и k – постоянные Планка и Больцмана, m₀ – масса частицы, n – концентрация частиц.

Систему частиц, находящуюся при температуре T 3 огром­но и имеет порядок 10 29 Z, где Z – валентность металла. Вычисления по формуле (1.10.36) дают T_B

10 4 K. Поэтому при условиях близким к нормальным электронный газ в метал­лах является вырожденным и к нему непримени­ма статистика Максвелла. Она, как доказывается в квантовой физике, должна быть заменена на статистику Ферми – Дирака.

Однако электроны, эмитируемые с раскаленного металла в вакуум, образуют электронный газ, скорости частиц которого уже будут распределены по закону Максвелла, т. к. их концентрация n значительно меньше, чем в металле, и соотношение (1.10.36) будет выполнено.

В качестве второго примера рассмотрим водород, который при нормальных условиях имеет концентрацию n₀=2,7·10 25 м –3 . Вычисления по формуле (1.10.36) дают T_B = 0,06 K. Так как все газы при нормальных условиях имеют одну и ту же концентрацию n₀=2,7·10 25 м –3 , а массу молекул большую, чем масса молекулы водорода, то условие (1.10.36) будет выполнено и, таким образом, ко всем газам применима статистика Максвелла. Более того, непосред­ственным расчетом нетрудно показать, что к некоторым газам (углекислый газ, воздух, азот и др.), находящимся при низких температу­рах Т в жидком или твердом состоянии, распределения скоростей поступательного движения молекул, определяемые формулами (1.10.33–1.10.35), можно применять, т. е. в этом случае условие (1.10.36) будет выполнено.

Уравнение Клапейрона-Менделеева

Что такое уравнение Клапейрона-Менделеева

Идеальный газ — это газ, в котором пренебрегают взаимодействием молекул газа между собой.

Идеальными считают разреженные газы. Особенно близкими к идеальным считают гелий и водород.

Идеальный газ — это упрощенная математическая модель, которая широко применяется для описания свойств и поведения реальных газов при атмосферном давлении и комнатной температуре.

Давление, объем и температура — это основные параметры состояния системы, и они связаны друг с другом. Соотношение, при котором определяется данная связь, называется уравнением состояния данного газа.

Существует эквивалентная макроскопическая формулировка идеального газа — это такой газ, который одновременно будет подчиняться закону Бойля-Мариотта и Гей-Люссака, то есть:

p V = c o n s t * T

В представленном выше уравнении состоянии газа под const подразумевается количество молей.

Свойства классического и квазиклассического идеального газа описываются уравнением состояния идеального газа, которое называется уравнением Менделеева-Клапейрона, ниже представлена формула Менделеева-Клапейрона.

p V = m M R T = n R T , где m — масса газа, M — молярная масса газа, R = 8 , 314 Д ж / ( м о л ь * К ) — универсальная газовая постоянная, T — температура (К), n — количество молей газа.

Таким образом давление и объем прямо пропорциональны количеству молей и температуре.

Также уравнение Клапейрона-Менделеева можно записать в ином виде:

p V = N k T , где N — это количество молекул газа массой m , k = 1 , 38 * 10 — 23 Д ж / К — постоянная Больцмана, которая определяет «долю» газовой постоянной, приходящуюся на одну молекулу и определяется по формуле:

N = m N A M , где

N A = 6 . 02 * 10 23 м о л ь — 1 ; — это постоянная Авогадро.

Какое значение имеет универсальная газовая постоянная

Универсальная газовая постоянная (R) — это величина, которая является константой, численно равная работе расширения одного моля идеального газа в изобарном процессе при увеличении температуры на 1 K.

Значение данной константы находится как произведение постоянной Больцмана ( k = 1 , 38 * 10 — 23 Д ж / К ) на число Авогадро ( N A = 6 . 02 * 10 23 м о л ь — 1 \) . Таким образом универсальная газовая постоянная принимает следующее значение: R = 8 , 314 Д ж / ( м о л ь * К ) .

Постоянную Больцмана используют в формулах, описывающих изучаемое явление или поведение рассматриваемого объекта с микроскопической точки зрения, тогда как универсальная газовая постоянная более удобна при расчетах, касающихся макроскопических систем, когда число частиц задано в молях.

Связь с другими законами состояния идеального газа

С помощью уравнения состояния идеального газа можно исследовать процессы, в которых масса и один трех макропараметров (давление, температура или объем) — остаются неизменными.

Количественные зависимости между двумя параметрами газа при фиксированном третьем параметре называют газовыми законами, которые связывают эти параметры.

Изопроцессы — это термодинамические процессы, во время протекания которых количество вещества и один из макропараметров состояния: давление, объем, температура или энтропия — остается неизменным.

В зависимости от того, какой параметр остается неизменным различают разные процессы, которые выражаются законами, являющимися следствием уравнения состояния газа:

• изотермический процесс (T=const);
• изохорный процесс (V=const);
• изобарный процесс (p=const).

Изотермический процесс (T=const)

Процесс изменения состояния термодинамической системы при постоянной температуре называют изотермическим.

Для поддержания температуры газа постоянной необходимо, чтобы он мог обмениваться теплотой с большой системой — термостатом. Им может служить атмосферный воздух, если температура его заметно не меняется на протяжении всего процесса.

Согласно уравнению Клапейрона-Менделеева, в любом состоянии с неизменной температурой произведение давления газа на объем одно и то же, то есть постоянно:

Этот закон был открыт экспериментально английским ученым Бойлем и несколько позднее французским ученым Мариоттом. Именно поэтому он называется закон Бойля-Мариотта.

Закон Бойля-Мариотта справедлив для любых газов, а также для смеси газов (например, для воздуха).

Зависимость давления газа от объема при постоянной температуре изображается графической кривой — изотермой. Изотерма для различных температур представлена в координатах pV на рис.1. и представляет собой гиперболу.

Рис.1. Изотерма в pV — координатах.

Изохорный процесс (V=const)

Процесс изменения состояния термодинамической системы при постоянном объеме называют изохорным.

Из уравнения состояния следует, что отношение давлений газа данной массы при постоянно объеме равно отношению его абсолютных температур:

p 1 p 2 = T 1 T 2

Газовый закон был установлен экспериментально в 1787 г. французским физиком Ж. Шарлем и носит название закона Шарля: давление данной массы газа при постоянном объеме прямо пропорционально абсолютной температуре.

Так, если в качестве одного из состояний газа выбрать состояние газа при нормальных условиях, тогда

p = p 0 T T 0 = p 0 γ T

Коэффициент γ называют температурным коэффициентом давления газа. Он одинаков для всех газов.

Зависимость давления газа от температуры при постоянном объеме изображается графически прямой, которая называется изохорой (Рис.2).

Рис.2 Изображение изохоры в pT-координатах.

Изобарный процесс (p=const)

Процесс изменения состояния термодинамической системы при постоянном давлении называют изобарным.

Из уравнения Клапейрона-Менделеева вытекает, что отношение объемов газа данной массы при постоянном давлении равно отношению его абсолютных температур.

V 1 V 2 = T 1 T 2

Если в качестве второго состояния газа выбрать состояние при нормальных условиях (нормальном атмосферном давлении, температуре таяния льда) следует:

V = V 0 T T 0 = V 0 α T

Этот газовый закон был установлен экспериментально в 1802 г французским ученым Гей-Люссаком.

Закон Гей-Люссака: объем данной массы газа при постоянном давлении прямо пропорционален абсолютной температуре.

Коэффициент α называют температурным коэффициентом объемного расширения газов.

Зависимость объема газа от температуры при постоянном давлении изображается графической прямой, которая называется изобарой (Рис.3).

Рис. 3. Изобара в VT-координатах.

Использование универсального уравнения для решения задачи

В реальности проводятся различные физико-химические процессы. Рассмотрим каким образом уравнение состояния идеального газа и законы, связанные с ним находят применение для решения физических и химических задач.

Определить давление кислорода в баллоне объемом 1 м 3 при температуре t = 27 C o . Масса кислорода 1 кг.

Так как в уравнении даны объем и температура — два из трех макроскопических параметров, а третий (давление) нужно определить, то мы можем использовать уравнение Клапейрона-Менделеева:

p V = n R T = m M R T

Не забываем перевести температуру в Кельвины:

T = t + 273 = 27 + 273 = 300 K

Молярная масса кислорода известна из таблицы Менделеева:

M ( O 2 ) = 2 * 16 = 32 г / м о л ь = 32 * 10 — 3 к г / м о л ь

Выразим из уравнения состояния давления и поставим все имеющиеся данные:

p = n R T V = m R T M V = 1 * 8 . 31 * 300 32 * 10 — 3 * 1 = 77 . 906 П а = 78 к П а

Ответ: p = 78 кПа.

Каким может быть наименьший объем баллона, содержащего кислород массой 6,4 кг, если его стенки при t = 20 C o выдерживают p = 1568 Н / с м 2 ?

Используем уравнение Менделеева-Клапейрона, из которого выражаем объем кислорода, который нужно найти:

p = n R T V = m R T M V

Молярная масса кислорода предполагается равной:

M ( O 2 ) = 2 * 16 = 32 г / м 3

Не забываем перевести температуру в Кельвины:

T = t + 273 = 20 + 273 = 293 K

Переводим давление: p = 15680000 Па

Выражаем из уравнения Клапейрона-Менделеева объем и подставляем значения, данные в условиях задачи:

V = n R T p = m R T M p = 6 . 4 * 8 . 31 * 293 15680000 * 32 * 10 — 3 = 3 . 1 * 10 — 2 м 3 = 31 л .

Используя уравнение состояния идеального газа, доказать, что плотность любого газа равна половине плотности водорода ( ρ Н 2 ) , взятого при тех же условиях, умноженной на относительную молекулярную массу этого газа M_r, то есть ρ = ρ Н 2 * M r 2 .

Согласно уравнению Менделеева-Клапейрона:

p = n R T V = m R T M V

Плотность — это величина, характеризующая массу некоторого объема и находится по формуле:

ρ = m V и л и V = m ρ

Тогда p m ρ = n R T = m R T M

Откуда выражаем плотность газа:

Для водорода эта формула запишется следующим образом:

ρ H 2 = p M H 2 R T

По условию задачи водород и любой другой газ находятся при одинаковых условиях, откуда следует, что:

ρ H 2 M H 2 = p R T

Поставим последнее выражение в выражение для плотности любого газа:

ρ = M * ρ H 2 M H 2

Молярная масса водорода, исходя из таблицы Менделеева равна 2 г/моль и тогда. Молекулярная масса численно равная молярной и представляет собой массу молекулы в атомных единицах, поэтому в дальнейшем мы совершили переход к молекулярной массе.

ρ = M r * ρ H 2 2

Вывод: плотность любого газа равна половине плотности водорода ( ρ Н 2 ) , взятого при тех же условиях, умноженной на относительную молекулярную массу этого газа M_r, то есть ρ = ρ Н 2 * M r 2 .

Рассмотрим несколько задач на законы, связанные с уравнение Клапейрона-Менделеева, то есть на изотермические, изохорные, изобарные процессы.

При уменьшении давления газа в 2,5 раза его объем увеличился на 12 л. Какой объем занимал газ в начальном состоянии, если температура на протяжении всего процесса оставалась постоянной?

По условию задачи температура в ходе всего процесса оставалась постоянной, откуда следует, что у нас изотермический процесс, и мы можем воспользоваться для решения законом Бойля-Мариотта.

p 1 V 1 = p 2 V 2 , г д е p 1 – давление газа в начальном состоянии (до расширения), V 1 — объем газа в начальном состоянии, p 2 = p 1 2 . 5 — давление газа в конечном состоянии (после расширения), V 2 = V 1 + ∆ V — объем газа в конечном состоянии.

Откуда можем найти начальный объем:

p 1 V 1 = p 1 2 . 5 ( V 1 + ∆ V ) = p 1 2 . 5 V 1 + p 1 2 . 5 ∆ V

V 1 ( p 1 — p 1 2 . 5 ) = p 1 2 . 5 ∆ V

p 1 2 . 5 V 1 ( 2 . 5 — 1 ) = p 1 2 . 5 ∆ V

V 1 = ∆ V 1 , 5 = 8 л

Ответ: первоначальный объем газа был равен 8 л.

Газ находится в баллоне при температуре 400 К. До какой температуры нужно нагреть газ, чтобы его давление увеличилось в 1,5 раза?

Так как нагревание газа по условиям данной задачи происходит при постоянном объеме, значит перед нами изохорный процесс.

При изохорном процессе:

p 1 T 1 = p 2 T 2

T 2 = p 2 T 1 p 1

p 2 p 1 = 1 . 5 T 2 = 1 . 5 * T 1 = 1 . 5 * 400 = 600 K

При 27°C объем газа равен 600 мл. Какой объем займет газ при 57°C, если давление будет оставаться постоянным?

Так как давление по условию остается постоянным, то можем использовать закон Гей-Люссака.

V 1 V 2 = T 1 T 2

V_2 – искомый объем

Для правильного расчета необходимо перевести температуры из Цельсий в Кельвины:

T 1 = 273 + 27 = 300 K

T 2 = 273 + 57 = 330 K

T 2 V 1 T 1 = V 2

V 2 = ( 600 * 330 ) / 300 = 660 м л

Газ в трубе плавильной печи охлаждается от температуры t 1 = 1150 ° С д о t 2 = 200 ° С . Во сколько раз увеличивается плотность газа при этом? Давление газа не меняется.

Так как по условию задания давления газа не изменяется, значит перед нами изобарный процесс. Для решения воспользуемся законом Гей-Люссака:

V 1 V 2 = T 1 T 2

Перейдем к абсолютной температуре:

T 1 = 1150 + 273 = 1423 K

T 2 = 200 + 273 = 473 K

Масса газа: m = ρ 1 V 1 = ρ 2 V 2

Использование этих формул приводит к следующему:

Уравнение менделеева клапейрона и следствия из него

Уравнение Менделеева-Клапейрона — уравнение состояния для идеального газа, отнесенное к 1 молю газа. В 1874 г. Д. И. Менделеев на основе уравнения Клапейрона объединив его с законом Авогадро, используя молярный объем V_m и отнеся его к 1 молю, вывел уравнение состояния для 1 моля идеального газа:

pV = RT , где R — универсальная газовая постоянная,

R = 8,31 Дж/(моль . К)

Уравнение Клапейрона-Менделеева показывает, что для данной массы газа возможно одновременно изменение трех параметров, характеризующих состояние идеального газа. Для произвольной массы газа М, молярная масса которого m: pV = (М/m) . RT. или pV = N_АkT,

где N_А — число Авогадро, k — постоянная Больцмана.

С помощью уравнения состояния идеального газа можно исследовать процессы, в которых масса газа и один из параметров — давление, объем или температура — остается постоянным, а изменяются только остальные два и получить теоретически газовые законы для этих условий изменения состояния газа.

Такие процессы называют изопроцессами. Законы, описывающие изопроцессы, были открыты задолго до теоретического вывода уравнения состояния идеального газа.

Изотермический процесс — процесс изменения состояния системы при постоянной температуре. Для данной массы газа произведение давления газа на его объем постоянно, если температура газа не меняется. Это закон Бойля — Мариотта.

Для того, чтобы температура газа оставалась в процессе неизменной, необходимо, чтобы газ мог обмениваться теплотой с внешней большой системой — термостатом. Роль термостата может играть внешняя среда (воздух атмосферы). Согласно закону Бойля-Мариотта, давление газа обратно пропорционально его объему: P₁V₁=P₂V₂=const. Графическая зависимость давления газа от объема изображается в виде кривой (гиперболы), которая носит название изотермы. Разным температурам соответствуют разные изотермы.

Изобарный процесс — процесс изменения состояния системы при постоянном давлении. Для газа данной массы отношение объема газа к его температуре остается постоянным, если давление газа не меняется. Это закон Гей-Люссака. Согласно закону Гей-Люссака, объем газа прямо пропорционален его температуре: V/T=const. Графически эта зависимость в координатах V-T изображается в виде прямой, выходящей из точки Т=0. Эту прямую называют изобарой. Разным давлениям соответствуют разные изобары. Закон Гей-Люссака не соблюдается в области низких температур, близких к температуре сжижения (конденсации) газов.

Изохорный процесс — процесс изменения состояния системы при постоянном объеме. Для данной массы газа отношение давления газа к его температуре остается постоянным, если объем газа не меняется. Этот газовый закон Шарля. Согласно закону Шарля, давление газа прямо пропорционально его температуре: P/T=const. Графически эта зависимость в координатах P-Т изображается в виде прямой, выходящей из точки Т=0. Эту прямую называют изохорой. Разным объемам соответствуют разные изохоры. Закон Шарля не соблюдается в области низких температур, близких и температуре сжижения (конденсации) газов.

Итак, из закона pV = (М/m) . RT выводятся следующие законы:

p = const => V/T = const — закон Гей — Люссака .

V= const => p/T = const — закон Шарля

Если идеальный газ является смесью нескольких газов, то согласно закону Дальтона, давление смеси идеальных газов равно сумме парциальных давлений входящих в нее газов. Парциальное давление — это такое давление, которое производил бы газ, если бы он один занимал весь объем, равный объему смеси.

Некоторых, возможно, интересует вопрос, каким образом удалось определить постоянную Авогадро N_A = 6,02·10 23 ? Значение числа Авогадро было экспериментально установлено только в конце XIX – начале XX века. Опишем один из таких экспериментов.

В откачанный до глубокого вакуума сосуд объемом V = 30 мл поместили навеску элемента радия массой 0,5 г и выдержали там в течение одного года. Было известно, что за секунду 1 г радия испускает 3,7·10 10 альфа-частиц. Эти частицы представляют собой ядра гелия, которые тут же принимают электроны из стенок сосуда и превращаются в атомы гелия. За год давление в сосуде выросло до 7,95·10 -4 атм (при температуре 27 о С). Изменением массы радия за год можно пренебречь. Итак, чему равна N_A?

Сначала найдем, сколько альфа-частиц (то есть атомов гелия) образовалось за один год. Обозначим это число как N атомов:

N = 3,7·10 10 · 0,5 г · 60 сек · 60 мин · 24 час · 365 дней = 5,83·10 17 атомов.

Запишем уравнение Клапейрона-Менделеева PV = nRT и заметим, что число молей гелия n = N/N_A. Отсюда:

N_A = NRT = 5,83 . 10 17 . 0,0821 . 300 = 6,02 . 10 23

PV 7,95 . 10 -4 . 3 . 10 -2

В начале XX века этот способ определения постоянной Авогадро был самым точным. Но почему так долго (в течение года) длился эксперимент? Дело в том, что радий добывается очень трудно. При его малом количестве (0,5 г) радиоактивный распад этого элемента дает очень мало гелия. А чем меньше газа в замкнутом сосуде, тем меньшее он создаст давление и тем большей будет ошибка измерения. Понятно, что ощутимое количество гелия может образоваться из радия только за достаточно долгое время.