Уравнение мещерского для переменной массы

Формула Циолковского

Применим уравнение (2) к движению ракеты, на которую не действуют никакие внешние силы. Полагая $F=0$, получим:

Допустим, что ракета движется прямолинейно в направлении, противоположном скорости газовой струи $v_ <отн>$. Если направление полета принять за положительное, то проекция вектора $v_ <отн>$ на это направление будет отрицательной и равной $-v_ <отн>$. Поэтому в скалярной форме предыдущее уравнение можно записать так $mdv=v_ <отн>dm$. Тогда:

Скорость газовой струи $v_ <отн>$ может меняться во время полета. Однако простейшим и наиболее важным является случай, когда она постоянна. Предположение о постоянстве сильно облегчает решение уравнения (4). В этом случае:

Значение постоянной интегрирования С определяется начальными условиями. Допустим, что в начальный момент времени скорость ракеты равна нулю, а ее масса равна $m_ <0>$. Тогда из предыдущего уравнения получаем:

Последнее соотношение называется формулой Циолковского.

Формула Циолковского позволяет рассчитать запас топлива, необходимый, чтобы сообщить ракете скорость $\upsilon $.

Величина достигаемой ракетой максимальной скорости не зависит от времени сгорания топлива.

Оптимальным путем изменения достигаемой максимальной скорости является увеличение относительной скорости истечения газов.

Для получения первой космической скорости при меньшем соотношении между массой ракеты и требуемой массы топлива целесообразно использование многоступенчатых ракет.

Примеры

Космический корабль двигался с постоянной по величине скоростью $v$. Для изменения направления его полета включается двигатель, выбрасывающий струю газа со скоростью $v_ <отн>$ относительно корабля в направлении, перпендикулярном к его траектории. Определить угол $\alpha $, на который повернется вектор скорости корабля, если начальная масса его $m_ <0>$, а конечная $m$.

Решение:

Ускорение корабля по абсолютной величине равно:

$a=\omega ^ <2>r=\omega v$, причем $v=const$. Поэтому уравнение движения:

$m\frac

Так как $d\alpha =\omega dt$ есть угол поворота за время $dt$, интегрируя наше уравнение, получим:

Ответ: угол поворота вектора скорости равен: $\alpha =\frac > \ln \frac > $

Ракета перед стартом имеет массу $m_ <0>=250$кг. На какой высоте окажется ракета через $t=20$с после начала работы двигателей? Расход топлива равен $\mu =4$кг/с и скорость истечения газов относительно ракеты $v_ <отн>$$=1500$м/с постоянны. Поле тяготения Земли считать однородным.

Дано: $m_ <0>=250$кг, $t=20$с, $\mu =4$кг/с, $v_<отн>=1500$м/с.

Решение:

Запишем уравнение Мещерского в однородном поле тяготения Земли в виде:

где $m=m_ <0>-\mu t$, а $v_ <0>$- скорость ракеты в момент времени $t$. Разделяя переменные получаем:

Решение данного уравнения, удовлетворяющего начальному условию $v_ <0>=0$ при $t=0$, имеет вид:

Учитывая что $H_ <0>=0$ при $t=0$ получим:

Подставляя начальные значения, получаем:

Ответ: через $20$с ракета окажется на высоте $H=3177,5$м.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 06 04 2021

Движение тела с переменной массой

Для начала сформулируем, что такое переменная масса.

Переменная масса – это масса тела, которая может меняться при медленных движениях из-за частичных приобретений или потерь составляющего вещества.

Уравнение движения материальной точки с переменной массой

Чтобы записать уравнение движения для тела с такой массой, возьмем для примера движение ракеты. В основе ее перемещений лежит очень простой принцип: она движется за счет выброса вещества с большой скоростью, а также сильного воздействия, оказываемого на это вещество. В свою очередь выбрасываемые газы также оказывают воздействие на ракету, придавая ей ускорение в противоположном направлении. Кроме того, ракета находится под действием внешних сил, таких, как гравитация Солнца и других планет, земная тяжесть, сопротивление среды, в которой она совершает движение.

Обозначим массу ракеты в какой-либо момент времени t как m ( t ) , а ее скорость как v ( t ) . То количество движения, которая она при этом совершает, будет равно m v . После того, как пройдет время d t , обе эти величины получат приращение (соответственно d m и d v , причем значение d m будет меньше 0 ). Тогда количество движения, совершаемого ракетой, станет равно:

( m + d m ) ( v + d v ) .

Нам необходимо учитывать тот момент, что за время d t также происходит движение газов. Это количество тоже нужно добавить в формулу. Оно будет равно d m г а з v г а з . Первый показатель означает массу газов, которые образуются за указанное время, а второй – их скорость.

Теперь нам нужно найти разность между суммарным количеством движения за время t + d t и количеством движения системы во время t . Так мы найдем приращение данной величины за время d t , которое будет равно F d t (буквой F обозначена геометрическая сумма всех тех внешних сил, которые действуют в это время на ракету).

В итоге мы можем записать следующее:

( m + d m ) ( v + d v ) + d m г а з + v г а з — m v = F d t .

Поскольку нам важны именно предельные значения d m d t , d v d t и их производные, приравняем эти показатели к нулю. Значит, после раскрытия скобок произведение d m · d v может быть отброшено. С учетом сохранения массы получим:

d m + d m г а з = 0 .

Теперь исключим массу газов d m г а з и получим скорость, с которой газы будут покидать ракету (скорость струи вещества), выражающаяся разностью v о т н = v г а з — v . Учитывая эти преобразования, можно переписать исходное уравнение в следующем виде:

d m v = v о т н d m + F d t .

Теперь разделим его на d t и получим:

m d v d t = v о т н d m d t + F .

Уравнение Мещерского

Форма полученного уравнения точно такая же, как у уравнения, выражающего второй закон Ньютона. Но, если там мы имеем дело с постоянной массой тела, то здесь из-за потери вещества она постепенно меняется. К тому же помимо внешней силы нужно учитывать так называемую реактивную силу. В примере с ракетой это будет сила выходящей из нее газовой струи.

Уравнение m d v d t = v о т н d m d t + F впервые вывел русский механик И.В. Мещерский, поэтому оно получило его имя. Также его называют уравнением движения тела с переменной массой.

Формула Циолковского

Попробуем исключить из уравнения движения ракеты внешние силы, воздействующие на нее. Предположим, что движение ракеты прямолинейно, а направление противоположно скорости газовой струи v о т н . Будем считать направление полета положительным, тогда проекция вектора v о т н является отрицательной. Она будет равна — v о т н . Переведем предыдущее уравнение в скалярную форму:

m d v = v о т н d m .

Тогда равенство примет вид:

d v d m = — v о т н m .

Газовая струя может выходить во время полета с переменной скоростью. Проще всего, разумеется, принять ее в качестве константы. Такой случай наиболее важен для нас, поскольку так уравнение решить намного проще.

Исходя из начальных условий, определим, какое значение приобретет постоянная интегрирования С. Допустим, что в начале пути скорость ракеты будет равна 0 , а масса m 0 . Следовательно, из предыдущего уравнения можем вывести:

C = v о т н ln m 0 m .

Тогда мы получим соотношения следующего вида:

v = v о т н ln m 0 m или m 0 m = e v v о т н .

Это соотношение и является формулой Циолковского.

Она предназначена для расчета запаса топлива, с помощью которого ракета может набрать необходимую скорость. При этом время сгорания топлива не обусловливает величину максимальной скорости ракеты. Чтобы разогнаться до предела, нужно увеличить скорость истечения газов. Для достижения первой космической скорости следует изменить конструкцию ракеты. Она должна быть многоступенчатой, поскольку необходимо меньшее соотношение между требуемой массой топлива и массой ракеты.

Разберем несколько примеров применения данных построений на практике.

Условие: у нас есть космический корабль, скорость которого постоянна. Для изменения направления полета в ней нужно включить двигатель, который выбрасывает газовую струю со скоростью v о т н . Направление выброса перпендикулярно траектории корабля. Определите угол изменения вектора скорости при начальной массе корабля m 0 и конечной m .

Решение

Ускорение по абсолютной величине будет равно a = ω 2 r = ω v , причем v = c o n s t .

Значит, уравнение движения будет выглядеть так:

m d v d t = v о т н d m d t перейдет в m v ω d t = — v о т н d m .

Поскольку d a = ω d t является углом поворота за время d t , то после интеграции первоначального уравнения получим:

a = v о т н v ln m 0 m .

Ответ: искомый угол будет равен a = v о т н v ln m 0 m .

Условие: масса ракеты перед стартом равна 250 к г . Вычислите высоту, которую она наберет через 20 секунд после начала работы двигателя. Известно, что топливо расходуется со скоростью 4 к г / с , а скорость истечения газов постоянна и равна 1500 м / с . Поле тяготения Земли можно считать однородным.

Решение

Начнем с записи уравнения Мещерского. Оно будет иметь следующий вид:

m ∆ v 0 ∆ t = μ v о т н — m g .

Здесь m = m 0 — μ t и v 0 – скорость ракеты в заданный момент времени. Разделим переменные:

∆ v 0 = μ v о т н m 0 — μ t — g ∆ t .

Теперь решим полученное уравнение с учетом первоначальных условий:

v 0 = v о т н ln m 0 m 0 — μ t — g t .

С учетом того, что H 0 = 0 при t = 0 , у нас получится:

H = v о т н t — g t 2 2 + v о т н m 0 μ 1 — μ t m 0 ln 1 — μ t m 0 .

Добавим заданные значения и найдем ответ:

H = v о т н t — g t 2 2 + v о т н m 0 μ 1 — μ t m 0 ln 1 — μ t m 0 = 3177 , 5 м .

Ответ: через 20 секунд высота ракеты будет составлять 3177 , 5 м .

Движение тела с переменной массой. уравнение мещерского. формула циолковского — справочник студента

ТЕМА 3. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

Рассмотрим механическую систему, состоящую из n тел, массы и скорости которых соответственно равны Пусть равнодействующие внутренних сил, действующих на каждое из этих тел, а равнодействующие внешних сил. Запишем второй закон Ньютона для каждого из n тел механической системы:

Складывая эти уравнения, получим

Но так как геометрическая сумма внутренних сил механической системы по третьему закону Ньютона равна нулю, то

Таким образом,производная по времени от импульса механической системы равна геометрической сумме внешних сил, действующих на систему.

В случае отсутствия внешних сил (для замкнутой системы)

Последнее выражение и является законом сохранения импульса.

Импульс замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени при любых движениях тел внутри системы.

Закон сохранения импульса справедлив не только в классической физике. Эксперименты доказывают, что он выполняется и для замкнутых систем микрочастиц (они подчиняются законам квантовой механики) и для любых скоростей движения частиц. Этот закон носит универсальный характер, т.е. закон сохранения импульса — фундаментальный закон природы.

Закон сохранения импульса является следствием определенного свойства симметрии пространства — его однородности. Однородность пространствазаключается в том, что при параллельном переносе в пространстве замкнутой системы тел как целого ее физические свойства и законы движения не изменяются.

Отметим, что, согласно (3.1.1), импульс сохраняется и для незамкнутой системы, если геометрическая сумма всех внешних сил равна нулю.

Движение некоторых тел сопровождается изменением их массы, например масса ракеты уменьшается вследствие истечения газов, образующихся при сгорании топлива, и т.п.

Выведем уравнение движения тела переменной массы на примере движения ракеты. Если в момент времени t масса ракеты m, а ее скорость , то по истечении времени dt ее масса уменьшится на dm и станет равной m-dm, а скорость станет равной . Изменение импульса системы за отрезок времени dt

• где — скорость истечения газов относительно ракеты. Тогда
• Если на систему действуют внешние силы, то , поэтому
• = ,
• или

Второе слагаемое в правой части (3.1.3) называют реактивной силой .

Таким образом, мы получили уравнение движения тела переменной массы

которое впервые было выведено И.В.Мещерским (1859 — 1935).

Применим уравнение (3.1.3) к движению ракеты, на которую не действуют никакие внешние силы. Полагая F=0 и считая, что скорость выбрасываемых газов относительно ракеты постоянна (ракета движется прямолинейно), получим

Значение постоянной интегрирования С определим из начальных условий. Если в начальный момент времени скорость ракеты равна нулю, а ее стартовая масса , то C = u ln . Следовательно,

Это соотношение называется формулой Циолковского.

Формула Циолкоцфвского

Формула Циолковского определяет скорость, которую развивает летательный аппарат под воздействием тяги ракетного двигателя, неизменной по направлению, при отсутствии всех других сил. Эта скорость называется характеристической.

,

V — конечная (после выработки всего топлива) скорость летательного аппарата; I — удельный импульс ракетного двигателя (отношение тяги двигателя к секундному расходу массы топлива); M1 — начальная масса летательного аппарата (полезная нагрузка + конструкция аппарата + топливо). M2 — конечная масса летательного аппарата (полезная нагрузка + конструкция);

Эта формула была выведена К. Э. Циолковским в рукописи «Ракета» 10 мая 1897 года.

Однако первыми уравнение движения тела с переменной массой решили английские исследователи У. Мур, а также П. Г. Тэйт и У. Дж. Стил из Кембриджского университета соответственно в 1810—1811 гг. и в 1856 году.

Формула Циолковского может быть получена путём интегрирования дифференциального уравнения Мещерского для материальной точки переменной массы:

, в котором m — масса точки; V — скорость точки; u — относительная скорость, с которой движется отделяющаяся от точки часть её массы. Для ракетного двигателя эта величина и составляет его удельный импульс I

Для многоступенчатой ракеты конечная скорость рассчитывается как сумма скоростей, полученных по формуле Циолковского отдельно для каждой ступени, причем при расчёте характеристической скорости каждой ступени к её начальной и конечной массе добавляется суммарная начальная масса всех последующих ступеней.

M1i — масса заправленной i-ой ступени ракеты; M2i — масса i-ой ступени без топлива; Ii — удельный импульс двигателя i-ой ступени; M0 — масса полезной нагрузки; N — число ступеней ракеты.

Тогда формула Циолковского для многоступенчатой ракеты может быть записана в следующем виде:

Отличие реальной скорости ракеты от характеристической

Поскольку в условиях реального полёта на ракету кроме тяги двигателей действуют и другие силы, скорость, развиваемая ракетами в этих условиях, как правило, ниже характеристической из-за потерь, вызываемых силами гравитации, сопротивления среды и др.

В таблице 1 приведён баланс скоростей ракеты Сатурн V при выводе корабля Аполлон на траекторию полёта к Луне.

Как видно из таблицы 1, гравитационная составляющая является наибольшей в общей величине потерь. Гравитационные потери возникают из-за того, что ракета, стартуя вертикально, не только разгоняется, но и набирает высоту, преодолевая тяготение Земли, и на это также расходуется топливо. Величина этих потерь вычисляется по формуле:

,

где g(t) и γ(t) — местное ускорение гравитации и угол между вектором силы тяги двигателя и местным вектором гравитации, соответственно, являющиеся функциями времени по программе полёта. Как видно из таблицы 1, наибольшая часть этих потерь приходится на участок полёта первой ступени.

Это объясняется тем, что на этом участке траектория отклоняется от вертикали в меньшей степени, чем на участках последующих ступеней, и значение близко к максимальному значению — 1.

Аэродинамические потери вызваны сопротивлением воздушной среды при движении ракеты в ней и рассчитываются по формуле:

,

где A(t) — сила лобового аэродинамического сопротивления, а m(t) — текущая масса ракеты. Основные потери от сопротивления воздуха также приходятся на участок работы 1-й ступени ракеты Сатурн V, так как этот участок проходит в нижних, наиболее плотных слоях атмосферы.

Корабль должен быть выведен на орбиту со строго определёнными параметрами, для этого система управления на активном участке полёта разворачивает ракету по определённой программе, при этом направление тяги двигателя отклоняется от текущего направления движения ракеты, а это влечёт за собой потери скорости на управление, которые рассчитываются по формуле:

,

где F(t) — текущая сила тяги двигателя, m(t) — текущая масса ракеты, а α(t) — угол между векторами тяги и скорости ракеты.

Наибольшая часть потерь на управление ракеты Сатурн V приходится на участок полёта 2-й ступени, поскольку именно на этом участке происходит переход от вертикального полёта в горизонтальный, и вектор тяги двигателя в наибольшей степени отклоняется по направлению от вектора скорости ракеты.

Использование формулы Циолковского при проектировании ракет

Выведенная в конце XIХ века, формула Циолковского и сегодня составляет важную часть математического аппарата, используемого при проектировании ракет, в частности, при определении их основных массовых характеристик.

Путём несложных преобразований формулы получаем следующее уравнение:

Это уравнение дает отношение начальной массы ракеты к её конечной массе при заданных значениях конечной скорости ракеты и удельного импульса. Введём следующие обозначения:

M0 — масса полезного груза; Mk — масса конструкции ракеты; Mt — масса топлива.

Масса конструкции ракеты в большом диапазоне значений зависит от массы топлива почти линейно: чем больше запас топлива, тем больше размеры и масса ёмкостей для его хранения, больше масса несущих элементов конструкции, мощнее (следовательно, массивнее) двигательная установка. Выразим эту зависимость в виде:

Уравнение (1) может быть записано в виде:

что путём элементарных преобразований приводится к виду:

Эта форма уравнения Циолковского позволяет рассчитать массу топлива, необходимого для достижения одноступенчатой ракетой заданной характеристической скорости, при заданных массе полезного груза, значении удельного импульса и значении коэффициента .

Разумеется, эта формула имеет смысл, только когда значение, получающееся при подстановке исходных данных, положительно. Поскольку экспонента для положительного аргумента всегда больше 1, числитель формулы всегда положителен, следовательно, положительным должен быть знаменатель этой формулы:

Это неравенство является критерием достижимости одноступенчатой ракетой заданной скорости при заданных значениях удельного импульса и коэффициента .

Если неравенство не выполняется, заданная скорость не может быть достигнута ни при каких затратах топлива: с увеличением количества топлива будет возрастать и масса конструкции ракеты и отношение начальной массы ракеты к конечной никогда не достигнет значения, требуемого формулой Циолковского для достижения заданной скорости.

Пример расчёта массы ракеты

Требуется вывести искусственный спутник Земли массой т на круговую орбиту высотой 250 км. Располагаемый двигатель имеет удельный импульс м/c. Коэффициент — это значит, что масса конструкции составляет 10 % от массы заправленной ракеты (ступени).

Определим массу ракеты-носителя.

Первая космическая скорость для выбранной орбиты составляет 7759,4 м/с, к которой добавляются предполагаемые потери от гравитации 600 м/c (это, как можно видеть, меньше, чем потери, приведённые в таблице 1, но и орбита, которую предстоит достичь — вдвое ниже), характеристическая скорость, таким образом, составит м/c (остальными потерями в первом приближении можно пренебречь). При таких параметрах величина . Неравенство (4), очевидно, не выполняется, следовательно, одноступенчатой ракетой при данных условиях достижение поставленной цели невозможно.

Расчёт для двуступенчатой ракеты. Разделим пополам характеристическую скорость, что составит характеристическую скорость для каждой из ступеней двуступенчатой ракеты. м/c. На этот раз , что удовлетворяет критерию достижимости (4), и, подставляя в формулы (3) и (2) значения, для 2-й ступени получаем: т; т; полная масса 2-й ступени составляет т. Для 1-й ступени к массе полезной нагрузки добавляется полная масса 2-й ступени, и после соответствующей подстановки получаем: т; т; полная масса 1-й ступени составляет т; общая масса двуступенчатой ракеты с полезным грузом составит т. Аналогичным образом выполняются расчёты для бо́льшего количества ступеней. В результате получаем: Стартовая масса трёхступенчатой ракеты составит т. Четырёхступенчатой — т. Пятиступенчатой — т.

На этом примере видно, как оправдывается многоступенчатость в ракетостроении — при той же конечной скорости ракета с бо́льшим числом ступеней имеет меньшую массу.

Следует отметить, что эти результаты получены в предположении, что коэффициент конструктивного совершенства ракеты остаётся постоянным, независимо от количества ступеней. Более тщательное рассмотрение показывает, что это — сильное упрощение.

Ступени соединяются между собой специальными секциями — переходниками — несущими конструкциями, каждая из которых должна выдерживать суммарный вес всех последующих ступеней, помноженный на максимальное значение перегрузки, которую испытывает ракета на всех участках полёта, на которых переходник входит в состав ракеты. С увеличением числа ступеней их суммарная масса уменьшается, в то время как количество и суммарная масса переходников возрастают, что ведёт к снижению коэффициента , а, вместе с ним, и положительного эффекта многоступенчатости. В современной практике ракетостроения более четырёх ступеней, как правило, не делается.

Такого рода расчёты выполняются на самом первом этапе проектирования — при выборе варианта компоновки ракеты, но и на последующих стадиях проектирования, по мере детализации конструкции, формула Циолковского постоянно используется при поверочных расчётах, когда характеристические скорости пересчитываются, с учётом сложившихся из конкретных деталей соотношений начальной и конечной массы ракеты (ступени), конкретных характеристик двигательной установки, уточнения потерь скорости после расчёта программы полёта на активном участке, и т. д., чтобы контролировать достижение ракетой заданной скорости.

Формула Циолковского: использование и пример :

Формула Константина Эдуардовича Циолковского выражает максимальную скорость летательного аппарата, которой он достигает во время полета при реактивном движении. Она получается при интегрировании уравнения Мещерского.

Формула Циолковского

Эта формула выражает скорость ракеты, переданную газами от сожженного топлива.

Уравнение Мещерского и формула Циолковского неразрывно связаны — уравнение Мещерского описывает массу материальной точки, которая изменяется со временем, в то время как при реактивном движении ракеты постоянно идет уменьшение ее массы из-за сгорания топлива.

Изменение скорости при изменяющейся массе (уменьшающейся в нашем случае) движущегося тела — вот что подразумевает под собой реактивное движение. Формула Циолковского основывается именно на нем.

Для решения ряда задач теоретической механики в области реактивного движения используют уравнение Мещерского (основное уравнение материальной точки переменной массы) и формулу Циолковского (формула конечной скорости летательного аппарата), которые называются основными соотношениям теории реактивного движения.

Основой при проектировании и планировании в области космических полетов является именно формула Циолковского, вывод которой стал настоящим прорывом для освоения космоса.

Задачи Циолковского

Для того, чтобы разрешить проблему межпланетных перелетов, К. Э. Циолковский рассмотрел в качестве средства перелета ракету. Он вывел формулу, с помощью которой можно получить зависимость массы летательного аппарата с топливом и скорости отдаления продуктов сгорания используемого топлива ракеты относительно нее. Покажем две его задачи:

• Исследование движения тела с переменной массы с действующей на него одной реактивной силы.
• Исследование движение тела в однородном поле силы тяжести переменной массы вблизи поверхности Земли.

Предисловие

Для всех космических полетов изначальной и основополагающей стала формула Циолковского для скорости ракеты, вывод которой представлен ниже.

Для начала необходимо приняв ее, грубо говоря, за материальную точку.

На нее будут действовать силы притяжения Земли и других небесных тел (в момент взлета сила гравитации Земли будет, конечно же, наиболее сильной), сила сопротивления воздуха с одной стороны и противоположно им направленная реактивная сила, возникающая из-за выброса сгоревшего газа у основания тела. Ракета с большой силой выбрасывает эти газы, которые сообщают ей ускорение, направленное противоположно стороне выброса. Теперь необходимо представить эти рассуждения в виде формулы.

Сам принцип полета ракеты достаточно простой. С большой скоростью из ракеты вырывается газ, полученный при сгорании топлива, который сообщает самой ракете определенную силу, которая действует противоположно направлению движения. Так как считается, что внешние силы не действуют на ракету, то система будет замкнутой, и импульс ее не зависит от времени.

Уравнение Мещерского

Одним из основных примеров движения тела с изменяющейся массой является ракета с одной ступень, масса которой изменяется только из-за сжигания топлива, содержащегося в ней. Масса такой ракеты складывается из неизменяющейся (сама ракета и ее полезная нагрузка) и изменяющейся (топливо). Такой пример является упрощенной моделью.

Однако в современном ракетостроении используются многоступенчатые ракеты. Принцип их работы заключается в том, что благодаря большому объему ступеней они способны перевозить и использовать после взлета гораздо большее количество топлива.

После его сгорания, ракете сообщается значительный импульс (гораздо больший, чем тот, которого можно добиться, используя одну ступень), а ставшие ненужными части открепляются от основы, уменьшая общий вес на 80-90%.

Тем не менее, для расчета параметров многоступенчатой ракеты необходимо сложить показатели каждой из ее составляющей.

Дифференциальное уравнение Мещерского описывает движение материальной точки с переменной массой.

(m+dm)(υ+dυ) + dm′ υ′ — mυ = Fdt — в момент времени dt (разность между силой в момент времени t и dt+t и будет приращением).

Где m и υ зависят от времени, dt — какое-то время полета. За его образуется сила перемещения газа — dm′ υ′, dm′ — масса образованного из топлива газа. F — равнодействующая сила.

• В описанном выше выражении приращения массы ракеты и газа и скорости устремляется к нулю, поэтому выражение принимает следующий вид:
• mdυ = υ′′dm + Fdt,
• причем υ′′ равняется разности скорости газа и скорости и является скоростью истечения газа.

— уравнение по форме начинает совпадать со вторым законом Ньютона — F = ma = m

Оно и называется уравнением Мещерского.

Вывод формулы Циолковского

Необходимо вывести формулу, описывающую движение тела с переменной массой. Формула Циолковского таковой и является. Вывод представлен ниже.

1. В данных вычислениях считается, что на движущееся тело не действуют внешние силы, то есть F = 0.
2. Тогда mdυ = υ′′dm
3. Так как воздействие внешних сил на летящую ракету равно нулю, то она движется прямолинейно, а скорость движения противоположно направлена скорости выхода газа. Соответственно, υ = -υ′′
4. Получается выражение, которое необходимо проинтегрировать.

Необходимо найти константу. Для этого достаточно подставить в уравнение начальные условия — скорость равна нулю, а масса — сумме массы топлива и массы ракеты (m0 + m)

Вообще говоря, m в формуле складывается из двух параметров — из полезной нагрузки и конструкции ракеты. Полезной нагрузкой называется общая масса груза и экипажа.

Подставляем найденную константу в формулу. В результате и получается выражение искомой формулы.

Это и есть один из вариантов формулы Циолковского для скорости. Однако иногда необходимо принять во внимание именно массу. Поэтому ее иногда записывают следующим образом:

Данная формула используется для расчета массы топлива, которая требуется для развития определенной скорости при заданных условиях.

Рассмотрю далее небольшую задачу. Предположим, ракете необходимо развить первую космическую скорость для вращения по орбите Земли. Тогда для этого необходимо в первую очередь рассчитать массу топлива, конечно же. Тогда ее очень просто выразить из формулы Циолковского.

Релятивистская механика

Все вышеописанные формулы могут применяться только в том случае, когда скорость ракеты много меньше скорости света (υ

Движение тела с переменной массой

Для начала сформулируем, что такое переменная масса.

Переменная масса – это масса тела, которая может меняться при медленных движениях из-за частичных приобретений или потерь составляющего вещества.

Уравнение движения материальной точки с переменной массой

Чтобы записать уравнение движения для тела с такой массой, возьмем для примера движение ракеты. В основе ее перемещений лежит очень простой принцип: она движется за счет выброса вещества с большой скоростью, а также сильного воздействия, оказываемого на это вещество.

В свою очередь выбрасываемые газы также оказывают воздействие на ракету, придавая ей ускорение в противоположном направлении.

Кроме того, ракета находится под действием внешних сил, таких, как гравитация Солнца и других планет, земная тяжесть, сопротивление среды, в которой она совершает движение.

Обозначим массу ракеты в какой-либо момент времени t как m(t), а ее скорость как v(t). То количество движения, которая она при этом совершает, будет равно mv. После того, как пройдет время dt, обе эти величины получат приращение (соответственно dm и dv, причем значение dm будет меньше 0). Тогда количество движения, совершаемого ракетой, станет равно:

Нам необходимо учитывать тот момент, что за время dt также происходит движение газов. Это количество тоже нужно добавить в формулу. Оно будет равно dmгазvгаз. Первый показатель означает массу газов, которые образуются за указанное время, а второй – их скорость.

Теперь нам нужно найти разность между суммарным количеством движения за время t+dt и количеством движения системы во время t. Так мы найдем приращение данной величины за время dt, которое будет равно Fdt (буквой F обозначена геометрическая сумма всех тех внешних сил, которые действуют в это время на ракету).

В итоге мы можем записать следующее:

Поскольку нам важны именно предельные значения dmdt, dvdt и их производные, приравняем эти показатели к нулю. Значит, после раскрытия скобок произведение dm·dv может быть отброшено. С учетом сохранения массы получим:

• dm+dmгаз=0.
• Теперь исключим массу газов dmгаз и получим скорость, с которой газы будут покидать ракету (скорость струи вещества), выражающаяся разностью vотн=vгаз-v. Учитывая эти преобразования, можно переписать исходное уравнение в следующем виде:
• dmv=vотнdm+Fdt.
• Теперь разделим его на dt и получим:
• mdvdt=vотнdmdt+F.

Уравнение Мещерского

Форма полученного уравнения точно такая же, как у уравнения, выражающего второй закон Ньютона. Но, если там мы имеем дело с постоянной массой тела, то здесь из-за потери вещества она постепенно меняется. К тому же помимо внешней силы нужно учитывать так называемую реактивную силу. В примере с ракетой это будет сила выходящей из нее газовой струи.

Уравнение mdvdt=vотнdmdt+F впервые вывел русский механик И.В. Мещерский, поэтому оно получило его имя. Также его называют уравнением движения тела с переменной массой.

Формула Циолковского

Попробуем исключить из уравнения движения ракеты внешние силы, воздействующие на нее. Предположим, что движение ракеты прямолинейно, а направление противоположно скорости газовой струи vотн. Будем считать направление полета положительным, тогда проекция вектора vотн является отрицательной. Она будет равна -vотн. Переведем предыдущее уравнение в скалярную форму:

1. mdv=vотнdm.
2. Тогда равенство примет вид:
3. dvdm=-vотнm.

Газовая струя может выходить во время полета с переменной скоростью. Проще всего, разумеется, принять ее в качестве константы. Такой случай наиболее важен для нас, поскольку так уравнение решить намного проще.

Исходя из начальных условий, определим, какое значение приобретет постоянная интегрирования С. Допустим, что в начале пути скорость ракеты будет равна 0, а масса m0. Следовательно, из предыдущего уравнения можем вывести:

Тогда мы получим соотношения следующего вида:

v=vотн lnm0m или m0m=evvотн.

Это соотношение и является формулой Циолковского.

Она предназначена для расчета запаса топлива, с помощью которого ракета может набрать необходимую скорость. При этом время сгорания топлива не обусловливает величину максимальной скорости ракеты.

Чтобы разогнаться до предела, нужно увеличить скорость истечения газов. Для достижения первой космической скорости следует изменить конструкцию ракеты.

Она должна быть многоступенчатой, поскольку необходимо меньшее соотношение между требуемой массой топлива и массой ракеты.

Разберем несколько примеров применения данных построений на практике.

Условие: у нас есть космический корабль, скорость которого постоянна. Для изменения направления полета в ней нужно включить двигатель, который выбрасывает газовую струю со скоростью vотн. Направление выброса перпендикулярно траектории корабля. Определите угол изменения вектора скорости при начальной массе корабля m0 и конечной m.

• Решение
• Ускорение по абсолютной величине будет равно a=ω2r=ωv, причем v=const.
• Значит, уравнение движения будет выглядеть так:
• mdvdt=vотнdmdt перейдет в mvωdt=-vотнdm.
• Поскольку da=ωdt является углом поворота за время dt, то после интеграции первоначального уравнения получим:
• a=vотнvlnm0m.
• Ответ: искомый угол будет равен a=vотнvlnm0m.

Условие: масса ракеты перед стартом равна 250 кг. Вычислите высоту, которую она наберет через 20 секунд после начала работы двигателя. Известно, что топливо расходуется со скоростью 4 кг/с, а скорость истечения газов постоянна и равна 1500 м/с. Поле тяготения Земли можно считать однородным.

Решение

1. Рисунок 2
2. Начнем с записи уравнения Мещерского. Оно будет иметь следующий вид:
3. m∆v0∆t=μvотн-mg.
4. Здесь m=m0-μt и v0 – скорость ракеты в заданный момент времени. Разделим переменные:
5. ∆v0=μvотнm0-μt-g∆t.
6. Теперь решим полученное уравнение с учетом первоначальных условий:
7. v0=vотнlnm0m0-μt-gt.
8. С учетом того, что H0=0 при t=0, у нас получится:
9. H=vотнt-gt22+vотнm0μ1-μtm0ln1-μtm0.
10. Добавим заданные значения и найдем ответ:
11. H=vотнt-gt22+vотнm0μ1-μtm0ln1-μtm0=3177,5 м.
12. Ответ: через 20 секунд высота ракеты будет составлять 3177,5 м.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Движение тела с переменной массой. Уравнение Мещерского. Формула Циолковского

Под переменнои̌ массой будем понимать массу тел, которая при медленном движении тел меняется за счет потери или приобретения вещества.

Выведем уравнение движения материальнои̌ точки с переменнои̌ массой на примере движения ракеты. Принцип действия ракеты очень прост. Ракета с большой скоростью выбрасывает вещество (газы), воздействуя на нᴇᴦο с большой силой.

Выбрасываемое вещество с той же, но противоположно направленнои̌ силой в свою очередь действует на ракету и сообщает ей ускорение в противоположном направлении. На ракету действуют внешние силы: сила земнои̌ тяжести, гравитационное притяжение Солнца и планет, а так сила сопротивления среды, в которой движется ракета.

Пусть m(t) — масса ракеты в произвольный момент времени t , а v(t) — её скорость в тот момент. Количество движения ракеты в ϶тот момент времени будет mv . Спустя время dt масса и скорость ракеты получат приращение dm и dv (величина dm отрицательна). Количество движения ракеты станет равным (m+dm)(v+dv) . Сюда надо добавить количество движения газов, образовавшихся за время dt . Оно равно dm_ <газ>v_ <газ>, где dm_ <газ>— масса газов, образовавшихся за время dt , а v_ <газ>— их скорость. Вычитая ᴎɜ суммарного количества движения в момент t+dt количество движения системы в момент времени t , найдем приращение величины за время dt . Эᴛο приращение равно Fdt , где F — геометрическая сумма всœех внешних сил, действующих на ракету. Таким образом:

Уравнение Мещерского

По форме уравнение (3) совпа с уравнением, выражающим второй закон Ньютона. При ϶том масса тела m здесь не постоянна, а меняется во времени из-за потери вещества. К внешней силе F добавляется дополнительный член v_ <отн>frac

Формула Циолковского

Применим уравнение (2) к движению ракеты, на которую не действуют никакие внешние силы. Полагая F=0 , получим:

Допустим, что ракета движется прямолинейно в направлении, противоположном скорости газовой струи v_ <отн>. Если направление полета принять за положительное, то проекция вектора v_ <отн>на ϶то направление будет отрицательнои̌ и равнои̌ -v_ <отн>. По϶тому в скалярнои̌ форме предыдущее уравнение можно записать так mdv=v_ <отн>dm . Тогда:

Значение постояннои̌ интегрирования С определяется начальными условиями. Допустим, что в начальный момент времени скорость ракеты равна нулю, а её масса равна m_ <0>. Тогда ᴎɜ предыдущᴇᴦο уравнения получаем:

Последнее соотношение называется формулой Циолковского.

• Формула Циолковского позволяет рассчитать запас топлива, необходимый, чтобы сообщить ракете скорость upsilon .
• Величина достигаемой ракетой максимальнои̌ скорости не зависит от времени сгорания топлива.
• Для получения первой космической скорости при меньшем соотношении между массой ракеты и требуемой массы топлива целесообразно использование многоступенчатых ракет.

Примеры

Космический корабль двигался с постояннои̌ по величине скоростью v Важно сказать, что для изменения направления ᴇᴦο полета включается двигатель, выбрасывающий струю газа со скоростью v_ <отн>относительно корабля в направлении, перпендикулярном к ᴇᴦο траектории. Определить угол alpha , на который повернется вектор скорости корабля, если начальная масса ᴇᴦο m_ <0>, а конечная m .

1. Дано: v , v_ <отн>, m_ <0>, m .
2. Найти: alpha -?
3. Решение:
4. Ускорение корабля по абсолютнои̌ величине равно:
5. a=omega ^ <2>r=omega v , причем v=const . По϶тому уравнение движения:
6. mfrac
   =v_ <отн>frac
   переходит в: mvomega dt=-v_ <отн>dm .
7. Так как dalpha =omega dt есть угол поворота за время dt , интегрируя наше уравнение, получим:
8. Ответ: угол поворота вектора скорости равен: alpha =frac >ln frac >

• Дано: m_ <0>=250 кг, t=20 с, mu =4 кг/с, v_<отн>=1500 м/с.
• Найти: H -?
• Решение:
• Рисунок 2.
• Запишем уравнение Мещерского в однородном поле тяготения Земли в виде:
• где m=m_ <0>-mu t , а v_ <0>— скорость ракеты в момент времени t . Разделяя переменные получаем:
• Решение данного уравнения, удовлетворяющᴇᴦο начальному условию v_ <0>=0 при t=0 , имеет вид:
• Учитывая что H_ <0>=0 при t=0 получим:
• Подставляя начальные значения, получаем:
• H=v_ <отн>t-frac ><2>+frac m_ <0>>(1-frac> )ln (1-frac> )=3177,5 м
• Ответ: через 20 с ракета окажется на высоте H=3177,5 м.

В помощь раздолбаю

По всем вопросам, предложениям: http://vk.com/id3286133, 223256325, Наташа.

Билет №1. Вычисление скорости и ускорения при движении материальной точки вдоль плоской кривой.

Билет №2. Описание состояния частицы в классической механике. Второй закон Ньютона как уравнение движения.

Билет №3. Закон сохранения импульса. Третий закон Ньютона.

Билет №4. Центр масс. Закон движения центра масс.

Билет №5. Движение тела с переменной массой: уравнение Мещерского, реактивная сила, формула Циолковского.

Билет №6. Неупругие столкновения нерелятивистских частиц. Порог реакции.

Билет №7. Диаграмма скоростей для упругого столкновения частицы с неподвижной частицей. Максимальный угол рассеяния.

Билет №8. Механическая работа. Кинетическая и потенциальная энергии. Закон сохранения механической энергии. Общефизический закон сохранения энергии.

Билет №9. Связь между кинетическими энергиями в различных системах отсчета

Билет №10. Законы сохранения при абсолютно упругом и абсолютно неупругом ударах.

Билет №11. Энергия и импульс релятивистской частицы. Энергия покоя. Уравнение движения релятивистской частицы.

Билет №12. Принципы относительности. �нварианты специальной теории относительности.

Билет №13. Преобразования Лоренца. Относительность понятия одновременности.

Билет №14. Замедление времени в релятивистской механике.

Билет №15. Сокращение длин в релятивистской механике.

Билет №16. Сложение скоростей в релятивистской механике.

Билет №17. Пороговая энергия рождения частиц при неупругом столкновении релятивистских частиц.

Билет №18. Свободные гармонические колебания. Примеры гармонических осцилляторов. Фазовые траектории гармонического осциллятора.

Билет №19. Физический маятник. Приведённая длина.

Билет №20. Гармонический осциллятор с вязким трением. Коэффициент затухания, логарифмический декремент затухания, добротность осциллятора. Фазовые траектории осциллятора с затуханием.

Билет №21. Параметрическое возбуждение колебаний (качели, см. задачу 5.56).

Билет №22. Вынужденные колебания гармонического осциллятора под действием периодических толчков (фазовые траектории).

Билет №23. Вынужденные колебания гармонического осциллятора под действием синусоидальной силы. Амплитудно-частотная характеристика осциллятора. Резонанс.

Билет №24. Понятие о плоских волнах. Длина волны, амплитуда, частота и волновое число.

Билет №25. Момент импульса системы материальных точек (тела) относительно точки и относительно оси. Уравнение моментов. Закон сохранения момента импульса.

Билет №26. Закон всемирного тяготения. Консервативность гравитационного поля. Теорема Гаусса (без вывода) и её применения (шар, сфера, цилиндр, или плоскость).

Билет №27. Движение тел в поле центральных гравитационных сил. Константы (интегралы) движения. Связь момента импульса материальной точки с секториальной скоростью.

Билет №28. Законы Кеплера.

Билет №29. Задача двух тел. Приведённая масса.

Билет №30. Критерии финитности и инфинитности движения в поле центральной гравитационной силы. Виды траекторий тела. Первая и вторая космические скорости.

Билет №31. Связь длины полуосей орбиты с интегралами движения в центральном гравитационном поле.

Билет №32. Момент инерции тела относительно оси. Связь моментов инерции тела относительно трёх пересекающихся в одной точке взаимно перпендикулярных осей.

Билет №33. Соотношение Гюйгенса—Штейнера. Примеры вычисления моментов инерции тел.

Билет №34. Уравнения плоского движения твёрдого тела. Качение. Скатывание с наклонной плоскости.

Билет №35. Уравнения, описывающие общее движение твёрдого тела. Мгновенная ось вращения.

Билет №36. Регулярная прецессия гироскопа.

Билет №37. Относительное, переносное и кориолисово ускорения. Силы инерции.

Билет №38. Уравнения движения частицы в неинерциальной системе отсчёта.

Билет №39. Относительное движение материальной точки в гравитационном поле Земли с учётом её вращения.

Билет №40. Отклонение траектории движения падающего тела от направления отвеса.

Билет №41. Упругие и пластические деформации. Закон Гука.

Билет №42. Поперечные деформации, коэффициент Пуассона. Модуль всестороннего сжатия.

Билет №43. Одностороннее сжатие.

Билет №44. Деформация сдвига, модуль сдвига.

Билет №45. Плотность энергии упругой деформации.

Билет №46. Скорость распространения продольных упругих возмущений в стержне.

Билет №47. Стационарное течение идеальной жидкости. Уравнение Бернулли.

Билет №48. Стационарное течение вязкой жидкости в трубе. Формула Пуазейля.

Билет №49. Ламинарное и турбулентное течение жидкости. Физический смысл числа Рейнольдса.

Бесплатный конструктор сайтов — uCoz

Движение тел переменной массы. Основы теоретической космонавтики

• .
• Реферат подготовил судент: Перов Виталий Группа:1085/3
• Санкт-Петербургский Государственный Политехнический Университет
• Санкт-Петербург 2005г.
• Зарождение космонавтики

Моментом зарождения космонавтики можно условно назвать первый полёт ракеты, продемонстрировавший возможность преодолевать силу земного притяжения. Первая ракета открыла перед человечеством огромные возможности.

Много смелых проектов было предложено. Один из них — возможность полёта человека. Однако, этим проектам было суждено воплотится в реальность только спустя многие годы. Своё практическое применение ракета нашла только в сфере развлечений.

Люди не раз любовались ракетными фейерверками, и, вряд ли кто-нибудь тогда мог представить себе её грандиозное будущее.

Рождение космонавтики, как науки, произошло в 1987 году. В этом году была опубликована магистерская диссертация И.В Мещерского, содержащая фундаментальное уравнение динамики тел переменной массы.

Уравнение Мещерского дало космонавтике «вторую жизнь»: теперь в распоряжении ракетостроителей появились точные формулы, которые позволяли создавать ракеты основываясь не на опыте предыдущих наблюдении, а на точных математических расчетах.

Общие уравнения для точки переменной массы и некоторые частные случаи этих уравнений уже после их опубликования И. В. Мещерским «открывались» в XX веке многими учёными западной Европы и Америки (Годар, Оберт, Эсно-Пельтри, Леви-Чивита и др.).

Случаи движения тел, когда их масса меняется можно указать в самых различных областях промышленности.

Наибольшую известность в космонавтики получило не уравнение Мещерского, а уравнение Циолковского. Оно представляет собой частный случай уравнения Мещерского.

К. Э. Циолковского можно назвать отцом космонавтики. Он был первым, кто увидел в ракете средство для покорения человеком космоса. До Циолковского на ракету смотрели как на игрушку для развлечений или как на один из видов оружия. Заслуга К. Э.

Циолковского состоит в том, что он теоретически обосновал возможность покорения космоса при помощи ракет, вывел формулу скорости движения ракеты, указал на критерии выбора топлива для ракет, дал первые схематические чертежи космических кораблей, привёл первые расчеты движения ракет в поле тяготения Земли и впервые указал на целесообразность создания на орбитах вокруг Земли промежуточных станций для полётов на другие тела Солнечной системы.

Уравнения движения тел с переменной массой являются следствиями законов Ньютона. Тем не менее, они представляют большой интерес, главным образом, в связи с ракетной техникой.

Принцип действия ракеты очень прост. Ракета с большой скоростью выбрасывает вещество (газы), воздействуя на него с большой силой.

Выбрасываемое вещество с той же, но противоположно направленной силой, в свою очередь, действует на ракету и сообщает ей ускорение в противоположном направлении.

Если нет внешних сил, то ракета вместе с выброшенным веществом является замкнутой системой. Импульс такой системы не может меняться во времени. На этом положении и основана теория движения ракет.

Основное уравнение движения тела переменной массы при любом законе изменения массы и при любой относительной скорости выбрасываемых частиц было получено В. И. Мещерским в его диссертации 1897 г. Это уравнение имеет следующий вид:

– вектор ускорения ракеты, –– вектор скорости истечения газов относительно ракеты, M- масса ракеты в данный момент времени, –– ежесекундный расход массы, — внешняя сила.

По форме это уравнение напоминает второй закон Ньютона, однако, масса тела m здесь меняется во времени из-за потери вещества. К внешней силе F добавляется дополнительный член, который называется реактивной силой.

1. Уравнение Циолковского
2. Если внешнюю силу F принять равной нулю, то, после преобразований, получим уравнение Циолковского:
3. V=u ln (m0/m)
4. Отношение m0/m называется числом Циолковского, и часто обозначается буквой z.

Скорость, рассчитанная по формуле Циолковского, носит название характеристической или идеальной скорости. Такую скорость теоретически имела бы ракета при запуске и реактивном разгоне, если бы другие тела не оказывали на неё никакого влияния.

Как видно из формулы, характеристическая скорость не зависит от времени разгона, а определяется на основе учёта только двух величин: числа Циолковского z и скорости истечения u.

Для достижения больших скоростей необходимо повышать скорость истечения и увеличивать число Циолковского. Так как число z стоит под знаком логарифма, то увеличение u даёт более ощутимый результат, чем увеличение z в то же количество раз.

К тому же большое число Циолковского означает, что конечной скорости достигает лишь небольшая часть первоначальной массы ракеты.

Естественно, такой подход к проблеме увеличения конечной скорости не совсем рационален, ведь надо стремится выводить в космос большие массы, при помощи ракет с возможно меньшими массами. Поэтому конструкторы стремятся прежде всего к увеличению скоростей истечения продуктов сгорания из ракет.

Числовые характеристики одноступенчатой ракеты

При анализе формулы Циолковского было выяснено, что число z=m0/m является важнейшей характеристикой ракеты.

Разделим конечную массу ракеты на две составляющие: полезную массу Мпол, и массу конструкции Мконстр.

К полезной относят только массу контейнера, который требуется запустить с помощью ракеты для выполнения заранее запланированной работы.

Масса конструкции – вся остальная масса ракеты без топлива(корпус, двигатели, пустые баки, аппаратура). Таким образом M= Мпол + Мконстр ; M0= Мпол + Мконстр + Мтопл

Обычно оценивают эффективность транспортировки груза при помощи коэффициента полезной нагрузки р. р= M0/ Мпол. Чем меньшим числом выражен этот коэффициент, тем большую часть от общей массы составляет масса полезного груза

Степень технического совершенства ракеты характеризуется конструктивной характеристикой s.

. Чем большим числом выражается конструктивная характеристика, тем более высокий технический уровень у ракеты-носителя.

Можно показать, что все три характеристики s, z и p связаны между собой следующими уравнениями:

Достижение очень больших характеристических скоростей одноступенчатой ракеты требует обеспечения больших чисел Циолковского и ещё больших по величине конструктивных характеристик (т.к всегда s>z).

Так, например при скорости истечения продуктов сгорания u=5км/с для достижения характеристической скорости 20км/с требуется ракета с числом Циолковского 54,6.

Создать такую ракету в настоящее время невозможно, но это не значит, что скорость 20км/с не может быть достигнута при помощи современных ракет. Такие скорости обычно достигаются при помощи одноступенчатых, т.е составных ракет.

Когда массивная первая ступень многоступенчатой ракеты исчерпывает при разгоне все запасы топлива, она отделяется. Дальнейший разгон продолжает другая, менее массивная ступень, и к ранее достигнутой скорости она добавляет ещё некоторую скорость, а затем отделяется. Третья ступень продолжает наращивание скорости, и т.д.

Согласно формуле Циолковского, первая ступень в конце разгона достигнет скорости

, где . Вторая ступень увеличит скорость ещё на , где . Полная характеристическая скорость двухступенчатой ракеты будет равна сумме скоростей, сообщаемых каждой ступенью в отдельности: . Если скорости истечения из ступеней одинаковы, то , где Z= — число Циолковского для двухступенчатой ракеты.

Нетрудно доказать, что в случае 3-x ступенчатой ракеты число Циолковского будет равно Z=

Итак, предыдущая задача достичь скорости 20км/с легко решается с помощью 3-х ступенчатой ракеты. Для неё число Циолковского будет также равно 54,6, однако, числа Циолковского для каждой ступени (при условии их равенства между собой) будут равны 3.79, что является вполне достижимым для современной техники.

Основы космонавтики / А. Д. Марленский

Люди русской науки: Очерки о выдающихся деятелях естествознания и техники / под редакцией С. И. Вавилова.