Уравнение мещерского для реактивного движения 10 класс

§ 5.4. Реактивное движение. Уравнение Мещерского. Реактивная сила

Какое движение называется реактивным?

Под реактивным движением понимают движение тела, возникающее при отделении некоторой его части с определенной скоростью относительно тела, например при истечении продуктов сгорания из сопла реактивного летательного аппарата. При этом появляется так называемая реактивная сила, сообщающая телу ускорение.

Наблюдать реактивное движение очень просто. Надуйте детский резиновый шарик и отпустите его. Шарик стремительно взовьется вверх (рис. 5.4). Движение, правда, будет кратковременным. Реактивная сила действует лишь до тех пор, пока продолжается истечение воздуха.

Главная особенность реактивной силы состоит в том, что она возникает без какого-либо взаимодействия с внешними телами. Происходит лишь взаимодействие между ракетой и вытекающей из нее струей вещества.

Сила же, сообщающая ускорение автомобилю или пешеходу на земле, пароходу на воде или винтовому самолету в воздухе, возникает только за счет взаимодействия этих тел с землей, водой или воздухом.

При истечении продуктов сгорания топлива они за счет давления в камере сгорания приобретают некоторую скорость относительно ракеты и, следовательно, некоторый импульс. Поэтому в соответствии с законом сохранения импульса сама ракета получает такой же по модулю импульс, но направленный в противоположную сторону.

Масса ракеты с течением времени убывает. Ракета в полете является телом переменной массы. Для расчета ее движения удобно применить закон сохранения импульса.

Уравнение Мещерского

Выведем уравнение движения ракеты и найдем выражение для реактивной силы. Будем считать, что скорость вытекающих из ракеты газов относительно ракеты постоянна и равна . Внешние силы на ракету не действуют: она находится в космическом пространстве вдали от звезд и планет.

Пусть в некоторый момент времени скорость ракеты относительно инерциальной системы, связанной со звездами, равна (рис. 5.5, а), а масса ракеты равна М. Через малый интервал времени Δt масса ракеты станет равной

где μ — расход топлива(1).

За этот лее промежуток времени скорость ракеты изменится на Δ и станет равной ₁ = + Δ. Скорость истечения газов относительно выбранной инерциальной системы отсчета равна + (рис. 5.5,б), так как до начала сгорания топливо имело ту же скорость, что и ракета.

Запишем закон сохранения импульса для системы ракета — газ:

Раскрыв скобки, получим:

Слагаемым μΔtΔ можно пренебречь по сравнению с остальными, так как оно содержит произведение двух малых величин (это величина, как говорят, второго порядка малости). После приведения подобных членов будем иметь:

Это одно из уравнений Мещерского(2) для движения тела переменной массы, полученное им в 1897 г.

Если ввести обозначение _р = -μ, то уравнение (5.4.1) совпадет по форме записи со вторым законом Ньютона. Однако масса тела М здесь не постоянна, а убывает со временем из-за потери вещества.

Величина _р = -μ носит название реактивной силы. Она появляется вследствие истечения газов из ракеты, приложена к ракете и направлена противоположно скорости газов относительно ракеты. Реактивная сила определяется лишь скоростью истечения газов относительно ракеты и расходом топлива. Существенно, что она не зависит от деталей устройства двигателя. Важно лишь, чтобы двигатель обеспечивал истечение газов из ракеты со скоростью при расходе топлива μ. Реактивная сила космических ракет достигает 1000 кН.

Если на ракету действуют внешние силы, то ее движение определяется реактивной силой и суммой внешних сил. В этом случае уравнение (5.4.1) запишется так:

Принцип реактивного движения основан на том, что истекающие из реактивного двигателя газы получают импульс. Такой же по модулю импульс приобретает ракета.

Вопросы для самопроверки

1. Реактивное движение совершает кальмар (рис. 5.6). Как это ему удается?

Рис. 5.6

(1) Расходом топлива называется отношение массы сгоревшего топлива ко времени его сгорания.

(2) Мещерский И. В. (1859—1935) — профессор Петербургского политехнического института. Его труды по механике тел переменной массы стали теоретической основой ракетной техники.

Движение тела с переменной массой

Для начала сформулируем, что такое переменная масса.

Переменная масса – это масса тела, которая может меняться при медленных движениях из-за частичных приобретений или потерь составляющего вещества.

Уравнение движения материальной точки с переменной массой

Чтобы записать уравнение движения для тела с такой массой, возьмем для примера движение ракеты. В основе ее перемещений лежит очень простой принцип: она движется за счет выброса вещества с большой скоростью, а также сильного воздействия, оказываемого на это вещество. В свою очередь выбрасываемые газы также оказывают воздействие на ракету, придавая ей ускорение в противоположном направлении. Кроме того, ракета находится под действием внешних сил, таких, как гравитация Солнца и других планет, земная тяжесть, сопротивление среды, в которой она совершает движение.

Обозначим массу ракеты в какой-либо момент времени t как m ( t ) , а ее скорость как v ( t ) . То количество движения, которая она при этом совершает, будет равно m v . После того, как пройдет время d t , обе эти величины получат приращение (соответственно d m и d v , причем значение d m будет меньше 0 ). Тогда количество движения, совершаемого ракетой, станет равно:

( m + d m ) ( v + d v ) .

Нам необходимо учитывать тот момент, что за время d t также происходит движение газов. Это количество тоже нужно добавить в формулу. Оно будет равно d m г а з v г а з . Первый показатель означает массу газов, которые образуются за указанное время, а второй – их скорость.

Теперь нам нужно найти разность между суммарным количеством движения за время t + d t и количеством движения системы во время t . Так мы найдем приращение данной величины за время d t , которое будет равно F d t (буквой F обозначена геометрическая сумма всех тех внешних сил, которые действуют в это время на ракету).

В итоге мы можем записать следующее:

( m + d m ) ( v + d v ) + d m г а з + v г а з — m v = F d t .

Поскольку нам важны именно предельные значения d m d t , d v d t и их производные, приравняем эти показатели к нулю. Значит, после раскрытия скобок произведение d m · d v может быть отброшено. С учетом сохранения массы получим:

d m + d m г а з = 0 .

Теперь исключим массу газов d m г а з и получим скорость, с которой газы будут покидать ракету (скорость струи вещества), выражающаяся разностью v о т н = v г а з — v . Учитывая эти преобразования, можно переписать исходное уравнение в следующем виде:

d m v = v о т н d m + F d t .

Теперь разделим его на d t и получим:

m d v d t = v о т н d m d t + F .

Уравнение Мещерского

Форма полученного уравнения точно такая же, как у уравнения, выражающего второй закон Ньютона. Но, если там мы имеем дело с постоянной массой тела, то здесь из-за потери вещества она постепенно меняется. К тому же помимо внешней силы нужно учитывать так называемую реактивную силу. В примере с ракетой это будет сила выходящей из нее газовой струи.

Уравнение m d v d t = v о т н d m d t + F впервые вывел русский механик И.В. Мещерский, поэтому оно получило его имя. Также его называют уравнением движения тела с переменной массой.

Формула Циолковского

Попробуем исключить из уравнения движения ракеты внешние силы, воздействующие на нее. Предположим, что движение ракеты прямолинейно, а направление противоположно скорости газовой струи v о т н . Будем считать направление полета положительным, тогда проекция вектора v о т н является отрицательной. Она будет равна — v о т н . Переведем предыдущее уравнение в скалярную форму:

m d v = v о т н d m .

Тогда равенство примет вид:

d v d m = — v о т н m .

Газовая струя может выходить во время полета с переменной скоростью. Проще всего, разумеется, принять ее в качестве константы. Такой случай наиболее важен для нас, поскольку так уравнение решить намного проще.

Исходя из начальных условий, определим, какое значение приобретет постоянная интегрирования С. Допустим, что в начале пути скорость ракеты будет равна 0 , а масса m 0 . Следовательно, из предыдущего уравнения можем вывести:

C = v о т н ln m 0 m .

Тогда мы получим соотношения следующего вида:

v = v о т н ln m 0 m или m 0 m = e v v о т н .

Это соотношение и является формулой Циолковского.

Она предназначена для расчета запаса топлива, с помощью которого ракета может набрать необходимую скорость. При этом время сгорания топлива не обусловливает величину максимальной скорости ракеты. Чтобы разогнаться до предела, нужно увеличить скорость истечения газов. Для достижения первой космической скорости следует изменить конструкцию ракеты. Она должна быть многоступенчатой, поскольку необходимо меньшее соотношение между требуемой массой топлива и массой ракеты.

Разберем несколько примеров применения данных построений на практике.

Условие: у нас есть космический корабль, скорость которого постоянна. Для изменения направления полета в ней нужно включить двигатель, который выбрасывает газовую струю со скоростью v о т н . Направление выброса перпендикулярно траектории корабля. Определите угол изменения вектора скорости при начальной массе корабля m 0 и конечной m .

Решение

Ускорение по абсолютной величине будет равно a = ω 2 r = ω v , причем v = c o n s t .

Значит, уравнение движения будет выглядеть так:

m d v d t = v о т н d m d t перейдет в m v ω d t = — v о т н d m .

Поскольку d a = ω d t является углом поворота за время d t , то после интеграции первоначального уравнения получим:

a = v о т н v ln m 0 m .

Ответ: искомый угол будет равен a = v о т н v ln m 0 m .

Условие: масса ракеты перед стартом равна 250 к г . Вычислите высоту, которую она наберет через 20 секунд после начала работы двигателя. Известно, что топливо расходуется со скоростью 4 к г / с , а скорость истечения газов постоянна и равна 1500 м / с . Поле тяготения Земли можно считать однородным.

Решение

Начнем с записи уравнения Мещерского. Оно будет иметь следующий вид:

m ∆ v 0 ∆ t = μ v о т н — m g .

Здесь m = m 0 — μ t и v 0 – скорость ракеты в заданный момент времени. Разделим переменные:

∆ v 0 = μ v о т н m 0 — μ t — g ∆ t .

Теперь решим полученное уравнение с учетом первоначальных условий:

v 0 = v о т н ln m 0 m 0 — μ t — g t .

С учетом того, что H 0 = 0 при t = 0 , у нас получится:

H = v о т н t — g t 2 2 + v о т н m 0 μ 1 — μ t m 0 ln 1 — μ t m 0 .

Добавим заданные значения и найдем ответ:

H = v о т н t — g t 2 2 + v о т н m 0 μ 1 — μ t m 0 ln 1 — μ t m 0 = 3177 , 5 м .

Ответ: через 20 секунд высота ракеты будет составлять 3177 , 5 м .

Технологическая карта уроки физики 10 класс по теме Реактивное движение. Уравнение Мещерского

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение города Новосибирска

«Средняя общеобразовательная школа № 194»

Конспект урока по физике

«Реактивное движение. Уравнение Мещерского»

для учащихся 10 класса

Разработал учитель физики

Попова Екатерина Борисовна

Тема урока : Реактивное движение. Уравнение Мещерского.

Тип урока : урок развивающего контроля и рефлексии.

Используемые технологии : развитие исследовательских навыков, информационно-комуникативные, групповые.

Цели урока:

— Формирование умений применять теоретические знания на практике

— и решать задачи с использованием законов Ньютона и закона сохранения импульса;

— способствовать развитию интеллектуальных способностей учащихся;

— умению работать в парах и группах.

— формировать научное мировоззрение, представления о роли физики в жизни общества и его технических достижений.

Технологическая карта урока

Приветствует учащихся. Визуально проверяя готовность учащихся к уроку (наличие принадлежностей на уроке)

Личностные: сознательное отношение к непрерывному образованию как условию успешной профессиональной и общественной деятельности

А.С. Пушкиным написаны следующие строки: «О сколько нам открытий трудных

Готовит просвещенья дух

И опыт, сын ошибок трудных,

И гений парадоксов друг.

И случай, бог изобретатель».

Мы часто вспоминаем на наших уроках эти слова. Можете сказать, почему?

Да, действительно любому открытию предшествуют многочисленные опыты и ошибки. Но без знания (просвещения) невозможно сделать открытие.

Поделитесь ситуацией, когда вы говорили: «Я сделал открытие».

Каждый человек в своем стремление к знаниям достигая истины. Это и есть его открытие. И сегодня, я надеюсь, вы совершите открытия

· Рассказывают о своих открытиях

Регулятивные УУД: сопоставлять полученный результат деятельности с поставленной заранее целью;

Познавательные УУД: : выходить за рамки учебного предмета и осуществлять целенаправленный поиск возможности широкого переноса средств и способов действия;

представлять публично результаты индивидуальной деятельности, как перед аудиторией;

Личностные: ориентация на реализацию позитивных жизненных перспектив, инициативность, креативность, готовность и способность к личностному самоопределению

Любую задачу в механике можно решить, используя законы Ньютона. На предыдущих уроках, используя законы Ньютона мы вывели закон сохранения импульса.

· Сформулируйте его пожалуйста.;

· Запишите математическую формулу закона;

· Каково условие применения закона СИ?

· Работа с тестом из 5 вопросов. Самопроверка.

· Учащиеся формулируют ответы

· Черновики сдают учителю. Выполняют самопроверку и выставляют оценку;

Регулятивные УУД: организовывать эффективный поиск ресурсов, необходимых для достижения поставленной цели;

Познавательные УУД: анализировать и преобразовывать проблемно-противоречивые ситуации;

воспринимать критические замечания как ресурс собственного развития;

Личностные: готовность и способность к образованию, в том числе самообразованию

Постановка учебной задачи

· Что общего между кальмаром и ракетой?

· Какое движение называют реактивным?

· Назовите области применения реактивного движения;

· Работа в парах. С лодки, движущейся со скоростью 2м\с, человек бросает весло массой 5кг с горизонтальной скоростью 8м\с по направлению движения лодки. С какой скоростью стала двигаться лодка после броска, если её масса вместе с массой человека равна 200кг?

· Можно ли такое движение назвать реактивным?

· Рассмотрим ситуацию, когда человек каждую секунду выбрасывает следующее весло с той же скоростью. Рассчитайте скорость лодки после следующих трех бросков.

· Проведем мысленный эксперимент. Заменим лодку с человеком на ракету, а весло на струю газа.

· Как рассчитать скорость движения ракеты в любой момент времени?

· Какие величины необходимы для этого определить?

· Сформулируем цель нашего сегодняшнего урока?

· Цель урока – вывести уравнение движения ракеты

· Используют один вид движения — реактивный;

· Ракеты и скоростные самолеты;

· Выполняют расчеты, сообщают ответы на каждом этапе;

· Ведут записи в тетради;

· выдвигают идеи для решения проблемы;

· формулируют вопрос: как связать изменение массы ракеты и скорость ее движения;

· Как записать уравнение движения ракеты в общем виде?

Регулятивные УУД: сопоставлять имеющиеся возможности и необходимые для достижения цели ресурсы;

Познавательные УУД: критически оценивать и интерпретировать информацию с разных позиций;

развернуто, логично и точно излагать свою точку зрения с использованием адекватных (устных и письменных) языковых средств;

Личностные: готовность к научно-техническому творчеству, владение достоверной информацией о передовых достижениях и открытиях мировой и отечественной науки

Этап построения проекта выхода из затруднения

· Какую математическую зависимость физических величин мы должны определить для решения данной проблемы?

· Определим величины в первоначальный момент времени;

· Определим величины через промежуток времени Δ t ;

· Запишем формулу ЗСИ для системы «ракета-газ»

· Выведем уравнение движения ракеты в общем виде

· Выдвигают идеи о зависимости скорости от времени;

· Что такое реактивная сила;

· Ввести переменную массу;

· Использовать закон сохранения импульса

Регулятивные УУД: задавать параметры и критерии, по которым можно определить, что цель достигнута;

Познавательные УУД: искать и находить обобщенные способы решения задач;

точно и емко формулировать как критические, так и одобрительные замечания в адрес других людей в рамках деловой и образовательной коммуникации, избегая при этом личностных оценочных суждений;

Личностные: заинтересованность в научных знаниях об устройстве мира; готовность и способность к образованию, в том числе самообразованию

Этап реализация построенного проекта и решения исходной задачи

Вывод уравнения движения тела переменной массы рассмотрим на примере движения простейшей ракеты. Будем рассматривать ракету как достаточно малое тело, положение центра масс которого не изменяется по мере сгорания топлива. В этом случае ее можно считать материальной точкой переменной массы, положение которой совпадает с центром масс. Будем считать, что вылетающая из ракеты частица газа массой Δ m взаимодействует с ней только в момент отделения. Примем также, что изменение массы ракеты происходит непрерывно, без скачков, т.е. существует производная массы по времени, которая характеризует быстроту изменения массы Δ m /Δ t . Пусть в момент времени t ракета с топливом имеет массу m , скорость относительно неподвижной системы отсчета (Земли) υ и импульс ……(p =m υ). За время Δ t от ракеты отделяется некоторая масса газа Δ m , скорость которой относительно ракеты u. Относительно выбранной нами неподвижной системы отсчета ее скорость будет u +υ, а импульс p? Масса ракеты станет …. , скорость …. , а импульс….. ?

В общем случае на ракету будут действовать внешние силы, в числе которых силы гравитационного притяжения Земли, Солнца и планет, а также сила сопротивления среды, в которой она движется. В соответствии с основным законом динамики изменение импульса системы (ракета– выбрасываемые газы) равно импульсу результирующей внешних сил (запишем) . Раскрыв скобки и, пренебрегая произведением Δ m Δ υ, как бесконечно малой величиной высшего порядка, получим: m Δ u + Δ m υ = F Δ t . Разделив последнее соотношение на Δ t , получим уравнение ? Это уравнение динамики тела переменной массы впервые было получено профессором Петербургского политехнического института И.В. Мещерским и носит его имя.

Учащиеся работают совместно с учителем над формулой Мещерского, ведут записи в тетради

Регулятивные УУД: сопоставлять полученный результат деятельности с поставленной заранее целью;

Познавательные УУД: распознавать и фиксировать противоречия в информационных источниках;

осуществлять деловую коммуникацию как со сверстниками, так и со взрослыми;

Личностные: готовность к научно-техническому творчеству, владение достоверной информацией о передовых достижениях и открытиях мировой и отечественной науки

1. Может ли ракета двигаться в пустоте?

2. Может ли парусная лодка приводиться в движение с помощью компрессора, установленного на ней, если струя воздуха направлена на паруса? Что произойдёт, если поток воздуха будет направлен мимо парусов?
3. Как возникает реактивная сила?
4. Осьминоги и каракатицы перемещаются со скоростью до 60 км в час, периодически выбрасывая вбираемую в себя воду. По какому принципу перемещаются эти животные?

Учащиеся, формируя логические цепочки, решают качественные задачи

Регулятивные УУД: организовывать эффективный поиск ресурсов, необходимых для достижения поставленной цели;

Познавательные УУД: использовать различные модельно-схематические средства для представления выявленных в информационных источниках противоречий;

развернуто, логично и точно излагать свою точку зрения с использованием адекватных (устных и письменных) языковых средств;

Личностные: заинтересованность в научных знаниях об устройстве мира и общества; готовность и способность к образованию, в том числе самообразованию

Самоанализ и самоконтроль (этап самостоятельной работы)

· Выполните задание 16 из упражнения 10.

В случае затруднения можете обратиться к параграфу 5.7 Примеры решения задач. Задача №5 стр312

· Контролирую работу класса, в случае необходимости оказываю помощь, одновременно оцениваю работу учащихся и выявляю ошибки

· Учащиеся решают задачу по образцу, но с расширенными данными;

· Осуществляют самоконтроль и оценивают работу

Регулятивные УУД: сопоставлять имеющиеся возможности и необходимые для достижения цели ресурсы;

Познавательные УУД: критически оценивать и интерпретировать информацию с разных позиций;

при осуществлении групповой работы быть как руководителем, так и членом проектной команды в разных ролях (генератором идей, критиком, исполнителем, презентующим и т. д.);

Личностные: ориентация на реализацию позитивных жизненных перспектив, инициативность, креативность, готовность и способность к личностному самоопределению

Этап включения в систему знаний и повторения

· Посмотрите видеофрагмент «Реактивные двигатели»;

· Прочтите параграф 5.5 и ответьте на вопросы к нему;

· Работа в группах. Представим в виде обобщающей и систематизирующей схемы информацию о законе сохранения импульса;

· Если следовать логике изучения физики, что мы будем изучать на следующем уроке?

· Фронтальная работа по вопросам «с продолжением»;

· Построение обобщенной схемы;

· Предлагают варианты тем для изучения

Регулятивные УУД: задавать параметры и критерии, по которым можно определить, что цель достигнута;

Познавательные УУД: осуществлять развернутый информационный поиск и ставить на его основе новые (учебные и познавательные) задачи;

согласовывать позиции членов команды в процессе работы над общим решением;

Личностные: сознательное отношение к непрерывному образованию как условию успешной профессиональной и общественной деятельности

· Ну, что же сегодня на уроке мы продуктивно поработали! Наш урок подходит к завершению. В атмосфере и обстановке, в которой мы с вами работали, каждый чувствовал себя по-разному. Проанализируйте свое состояние и заполните пробелы

1.На уроке я работал……..потому что………

2.Своей работой на уроке я………

3.Урок для меня показался…….

6.Материал урока мне был………

ответьте на вопросы:

Что я делал? С какой целью? Почему я это делаю так? Какой результат я получил?

· Отлично! А теперь оцените себя. Но за собой я оставляю право корректировать вашу оценку, если в этом будет необходимость.

· А сейчас перейдем к домашнему заданию;

· Хочу закончить урок на поэтической волне:

Во всем мне хочется дойти

В работе, в поисках пути,

В сердечной смуте.

До сущности протекших дней.

До оснований, до корней,

Все время схватывая нить

Жить, думать, чувствовать, любить,

· Сегодня мы с вами сделали много маленьких открытий – дошли до истины, до сущности, «до их причины». Так дерзайте, открывайте новые истины. Попутного вам ветра в паруса.

Можно использовать мобильный класс или приложение

Можно просто на листочках

· Учащиеся заполняют карточки;

· Формулируют ответы на вопросы;

· Заполняют оценочные листы;

· Записывают домашнее задание

Регулятивные УУД: сопоставлять полученный результат деятельности с поставленной заранее целью;

Познавательные УУД: критически оценивать и интерпретировать информацию с разных позиций;

осуществлять деловую коммуникацию как со сверстниками, так и со взрослыми;

Личностные: готовность к научно-техническому творчеству, владению достоверной информацией о передовых достижениях и открытиях мировой и отечественной науки