Уравнение методом группировки 7 класс

Разложение многочлена способом группировки

О чем эта статья:

Основные понятия

Мы знаем, что слово «множитель» происходит от слова «умножать».

Возьмем, например, число 12. Чтобы разложить его на множители, нужно написать его по-другому, а именно в виде «произведения» множителей.

Число 12 можно получить, если умножить 2 на 6. А 6 можно представить, как произведение 2 и 3. Вот так:

Так выглядит пошаговое разложение на множители. Числа, которые обведены в кружок на картинке — это множители, которые дальше разложить уже нельзя.

Разложение многочлена на множители — это преобразование многочлена в произведение, которое равно данному многочлену.

5 способов разложения многочлена на множители

1. Вынесение общего множителя за скобки.
2. Формулы сокращенного умножения.
3. Метод группировки.
4. Выделение полного квадрата.
5. Разложение квадратного трехчлена на множители.

Способ группировки множителей

Разложение на множители методом группировки возможно, когда многочлены не имеют общего множителя для всех членов многочлена.

Этот способ применяется в тех случаях, когда многочлен удается представить в виде пар слагаемых таким образом, чтобы из каждой пары можно было выделить один и тот же множитель. Этот общий множитель можно вынести за скобку. И тогда исходный многочлен будет представлен в виде произведения, что значительно облегчает задачу.

Разложить на множители методом группировки можно в три этапа:

1. Объединить слагаемые многочлена в группы, которые содержат общий множитель. Для наглядности их можно подчеркнуть.
2. Вынести общий множитель за скобки.
3. Полученные произведения имеют общий множитель в виде многочлена, который нужно вынести за скобки.

Объединить члены многочлена в группы можно по-разному. И не всегда группировка может быть удачной для последующего разложения на множители. В таком случае нужно продолжить эксперимент и попробовать объединить в группы другие члены многочлена.

Чтобы понять эти сложные выражения, применим правило группировки множителей при решении примеров. Рассмотрим два способа.

Пример 1. Разложить на множители методом группировки: up — bp + ud — bd.

up — bp + ud — bd = (up — bp) + (ud — bd)

Заметим, что в первой группе повторяется p, а во второй — d.

Вынесем в первой группе общий множитель p, а во второй общий множитель d.

Получим: p(u — b) + d(u — b).

Заметим, что общий множитель (u — b).

Вынесем его за скобки:

Группировка множителей выполнена.

up — bp + ud — bd = (up + ud) — (bp + bd)

Заметим, что в первой группе повторяется u, а во второй — b.

Вынесем в первой группе общий множитель u, а во второй общий множитель b.

Получим: u(p + d) — b(p + d).

Заметим, что общий множитель (p + d).

Вынесем его за скобки:

Группировка множителей выполнена.

От перестановки мест множителей произведение не меняется, поэтому оба ответа верны:

(u — b)(p + d) = (p + d)(u — b).

Вот так работает алгоритм разложения многочлена на множители способом группировки. Продолжим практиковаться на примерах.

Пример 2. Разложить на множители выражение: c(m — n) + d(m — n).

1. Найдем общий множитель: (m — n)
2. Вынесем общий множитель за скобки: (m — n)(c + d).

Ответ: c(m — n) + d(m — n) = (m — n)(c + d).

Пример 3. Разложить на множители с помощью группировки: 5x — 12z (x — y) — 5y.

5x — 12z (x — y) — 5y = 5x — 5y — 12z (x — y) = 5(x — y) — 12z (x — y) = (x — y) (5 — 12z)

Ответ: 5x — 12z (x — y) — 5y = (x — y) (5 — 12z).

Иногда для вынесения общего многочлена нужно заменить все знаки одночленов в скобках на противоположные. Для этого за скобки выносится знак минус, а в скобках у всех одночленов меняем знаки на противоположные.

Проверим как это на следующем примере.

Пример 4. Произвести разложение многочлена на множители способом группировки: ax 2 — bx 2 + bx — ax + a — b.

1. Сгруппируем слагаемые по два и вынесем в каждой паре общий множитель за скобку:

ax 2 — bx 2 + bx — ax + a — b = (ax 2 — bx 2 ) + (bx — ax) + (a — b) = x 2 (a — b) — x(a — b) + (a — b)

Получили три слагаемых, в каждом из которых есть общий множитель (a — b).

1. Теперь вынесем за скобку (a — b), используя распределительный закон умножения:

x 2 (a — b) + x(b — a) + (a — b) = (a — b)(x 2 + x + 1)

Ответ: ax 2 — bx 2 + bx — ax + a — b = (a — b)(x 2 + x + 1)

Курсы ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Способ группировки в более сложных задачах и уравнениях

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На данном уроке мы решим много различных достаточно сложных задач с применением метода группировки. Мы решим много уравнений и научимся геометрически их моделировать.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений»

Конспект урока «Разложение на множители способом группировки» в 7-м классе

Разделы: Математика

Цели урока

Образовательные:

• повторить и закрепить правило умножения одночлена на многочлен;
• повторить и закрепить правило вынесения общего множителя за скобки;
• изучить способ разложения на множители с помощью группировки;
• закрепить полученные знания с помощью простейших упражнений.

Развивающие:

• познакомить учащихся с историческим материалом (фрагменты биографии Эйлера);
• использовать полученные знания и умения для решения кроссворда;
• применение способа группировки для вычисления числовых выражений и для решения уравнений.

Воспитательные:

• развитие внимания и аккуратности;
• умение слушать и анализировать выступления одноклассников.

Оборудование

• доска, мел, экран;
• сканер для проверки домашней работы;
• мультимедийный проектор и ноутбук.

Дидактические средства

• карточки на печатной основе;
• Алгебра: Учебник для 7 кл. ср.шк./ Ю.Н. Макарычев -М.: Просвещение,2005;
• Компьютерная презентация, созданная с использованием материалов Фестиваля педагогических идей «Открытый урок» Филимоновой Ирины Владимировны.

Тип урока: объяснение и закрепление нового материала (первый урок по данной теме).

Ход урока

I. Оргмомент

Проверьте, все ли приготовили к уроку: учебник, тетрадь, письменные принадлежности, дневник.

Запишите новое домашнее задание: № 757, № 763, № 769, п. 29.

II. Проверка домашнего задания

На доске записать решение № 738(б, в) и № 781(а) — 2 ученика;

В это время с помощью проектора проверяем заранее отсканированные № 738(а, г) и № 743.

Вопросы отвечающим: что такое одночлен, что называется многочленом, как умножить одночлен на многочлен, как умножить многочлен на многочлен.

III. Объяснение нового материала

Что мы сделали в последнем действии № 743? (Разложили на множители)

Что для этого сделали? (Вынесли общий множитель за скобки)

Этот множитель может быть любым. (Работа с ЗЕЛЕНОЙ карточкой)

• 18а +ха = а(18+х)
• 18 (а+b) + x (а+b) = (а+b) (18+x)

Сравните знакомый слайд с новым:

Для разложения на множители мы сгруппировали по два одночлена и вынесли в каждой группировке общий множитель за скобки.

Потренируемся на примерах. (Учитель пишет на доске)

1. x(b+c)+ 3b+3c
2. mx+my+6x+6y
3. xy+2y — 2x — 4

IV. Первичное закрепление

Решение № 755(б, в), № 756(б, в) на доске (по очереди выходят решать 4 ученика)

1. y(a-c)+5a — 5c
2. p(c- d)+q — p
3. 9x+ay+9y+ax
4. 7a — 7b + an — bn

V. Исторический экскурс (Презентация)

Известный математик (1707 — 1783 гг.) родился в Швейцарии. В 1727 г. двадцатилетним юношей он был приглашен в Петербургскую Академию наук. Этот математик был соратником Ломоносова. В Петербурге он попадает в круг выдающихся ученых математиков, физиков, астрономов, получает широкую возможность для создания и издания своих трудов (их у него было более 800, и заняли они 72 тома). Среди его работ — первые учебники по решению уравнений. Старшеклассники учатся по учебникам, прообразы которых создал этот ученый. Его считают великим учителем математики. Последние в научном мире он работал слепым, но продолжал работать, диктовал труды своим ученикам. Однако в научном мире он больше известен как физик, который построил точную теорию движения луны с учетом притяжения не только Земли, но и Солнца.

Фамилию этого ученого вы узнаете, если правильно решите следующие пять заданий : разложите на множители способом группировки (Ученики решают эти задания, находят буквы в таблице результатов. Читают слово: Эйлер).

Устали? Вот интересное задание. Расшифруйте ребус.

VI. А теперь применим способ группировки для вычисления числовых выражений.

Не забудьте поставить себе оценку в оценочный лист.

VII. (Второй урок) Закрепление полученных знаний.

Решение №758 и 761 на доске с подробными комментариями.

VIII. Решение текстовой задачи на повторение.

По условию задачи известно, что удой от стада увеличился на 1340 л, поэтому составляем уравнение:

15(х+60) — 12,8 х = 1340;

15х +900 — 12,8х = 1340;

Тогда 200+60 = 260 (коров)

Ответ: в стаде стало 260 коров.

Оцените себя:

• правильно составлено математическая модель задачи — 2 балла;
• правильно составлено уравнение — 1 балл;
• правильно решено уравнение — 2 балла;
• выполнено следующее действие после уравнения — 1 балл.

IX. Подведение итогов.

• Что сегодня на уроке мы повторили?
• Что вы для себя усвоили?
• Чему научились?
• Отметьте в оценочной карточке ваше отношение к уроку:
  • Я доволен уроком, мне очень понравилось.
  • Мне понравилось на уроке, но в моих знаниях есть пробелы.
  • Урок прошел для меня даром, ни чего нового я на нем не узнал. Все, это я знаю.
  • Я не доволен уроком, ничего не понял и как решать примеры я не знаю.