Уравнение методом вариации произвольных постоянных онлайн

Задача Коши онлайн

Данная задача возникает при поиске частного решения дифференциального уравнения. Наш онлайн калькулятор, построенные на основе системы Wolfram Alpha, позволяет найти решение задачи Коши для различных типов дифференциальных уравнений. Чтобы начать работу, необходимо ввести данные своей задачи (дифференциальное уравнение и начальные условия) в калькулятор.

Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения:

при заданных начальных условиях:

При постановке задачи Коши, указываются так называемые начальные условия, позволяющие однозначно выделить искомое частное решение из общего. Эти условия включают в себя значения функции и всех её производных до включительно (где -порядок дифференциального уравнения), заданные в одной и той же точке .

Поясним вышесказанное на конкретном примере. Пусть нам требуется найти частное решение дифференциального уравнения:

удовлетворяющее начальным условиям:

Первым делом, используя различные методы (Бернули, вариации произвольной постоянной Лагранжа), сначала находим общее решение данного дифференциального уравнения:

Теперь, для поиска частного решения, нам необходимо использовать заданные начальные условия. Для этого, находим производную функции полученной ранее:

Далее, поставляем начальные условия в функцию и её производную :

Решая полученную систему уравнений получаем значения произвольных постоянных и :

Подставляем полученные результаты в общее решение дифференциального уравнения, в результате получаем искомое частное решение:

Другие полезные разделы:

Оставить свой комментарий:

Мы в социальных сетях:
Группа ВКонтакте | Бот в Телеграмме

Метод вариации произвольной постоянной решения линейных неоднородных уравнений

Пример №1 . Найдём общее решение уравнения y» + 4y’ + 3y = 9e -3 x . Рассмотрим соответствующее однородное уравнение y» + 4y’ + 3y = 0. Корни его характеристического уравнения r 2 + 4r + 3 = 0 равны -1 и -3. Поэтому фундаментальная система решений однородного уравнения состоит из функций y₁ = e — x и y₂ = e -3 x . Решение неоднородного уравнения ищем в виде y = C₁(x)e — x + C₂(x)e -3 x . Для нахождения производных C’₁, C’₂ составляем систему уравнений (8)
C′₁·e -x +C′₂·e -3x =0
-C′₁·e -x -3C′₂·e -3x =9e -3x
решая которую, находим , Интегрируя полученные функции, имеем
Окончательно получим

Пример №2 . Решить линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами методом вариации произвольных постоянных:

y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

Решение:
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = e rx . Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 — 4·1·8 = 4

Корни характеристического уравнения: r₁ = 4, r₂ = 2
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y₁=e 4x , y₂=e 2x
Общее решение однородного уравнения имеет вид: y =C₁·e 4x +C₂·e 2x
Поиск частного решения методом вариации произвольной постоянной.
Для нахождения производных C’_i составляем систему уравнений:
C′₁·e 4x +C′₂·e 2x =0
C′₁(4e 4x ) + C′₂(2e 2x ) = 4/(2+e -2x )
Выразим C’₁ из первого уравнения:
C’₁ = -c₂e -2x
и подставим во второе. В итоге получаем:
C’₁ = 2/(e 2x +2e 4x )
C’₂ = -2e 2x /(e 2x +2e 4x )
Интегрируем полученные функции C’_i:
C₁ = 2ln(e -2x +2) — e -2x + C * ₁
C₂ = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * ₂

Поскольку y =C₁·e 4x +C₂·e 2x , то записываем полученные выражения в виде:
C₁ = (2ln(e -2x +2) — e -2x + C * ₁) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) — e 2x + C * ₁ e 4x
C₂ = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * ₂)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * ₂ e 2x
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) — e 2x + C * ₁ e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * ₂ e 2x
или
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) — e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * ₁ e 4x + C * ₂ e 2x

Найдем частное решение при условии:
y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

Подставляя x = 0, в найденное уравнение, получим:
y(0) = 2 ln(3) — 1 + ln(3) + C * ₁ + C * ₂ = 3 ln(3) — 1 + C * ₁ + C * ₂ = 1 + 3ln3
Находим первую производную от полученного общего решения:
y’ = 2e 2x (2C₁ e 2x + C₂ -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
Подставляя x = 0, получим:
y’(0) = 2(2C₁ + C₂ +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C₁ + 2C₂ +10 ln(3) -4 = 10ln3

Получаем систему из двух уравнений:
3 ln(3) — 1 + C * ₁ + C * ₂ = 1 + 3ln3
4C₁ + 2C₂ +10 ln(3) -4 = 10ln3
или
C * ₁ + C * ₂ = 2
4C₁ + 2C₂ = 4
или
C * ₁ + C * ₂ = 2
2C₁ + C₂ = 2
Откуда: C₁ = 0, C * ₂ = 2
Частное решение запишется как:
y = 2e 4x ·ln(e -2x +2) — e 2x + e 2x ·ln(2e 2x +1) – 2x·e 2x + 2·e 2x

Уравнение методом вариации произвольных постоянных онлайн

Для того чтобы решить линейное дифф. ур-ние с постоянными коэф. онлайн, зайдите на страницу калькулятора:

Рассмотрим сначала пример с однородным уравненим:

Для этого в форму нужно ввести вот такое выражение:

Вы получите такое подробное решение:

Далее, рассмотрим пример с неоднородным дифференциальным уравнением:

Указанный пример можно ввести в форму калькулятора так:

-2*y’ + y» = (1 + x^2)*exp(x)

После Вы получите подробный ответ:

Тэги: пример уравнение

© Контрольная работа РУ — примеры решения задач