Уравнение между прямой и плоскостью в пространстве

Уравнения прямой, виды уравнений прямой в пространстве

Материал этой статьи продолжает тему прямой в пространстве. От геометрического описания пойдем к алгебраическому: зададим прямую при помощи уравнений в фиксированной прямоугольной системе координат трехмерного пространства. Приведем общую информацию, расскажем о видах уравнений прямой в пространстве и их связи между собой.

Уравнение прямой в пространстве: общие сведения

Уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат O x y – это линейное уравнение с переменными x и y , которому отвечают координаты всех точек прямой и не удовлетворяют координаты никаких прочих точек.

Если речь идет о прямой в трехмерном пространстве, все несколько иначе: не существует такого линейного уравнения с тремя переменными x , y , z , которому бы отвечали только координаты точек заданной прямой. В самом деле, уравнение A x + B y + C z + D = 0 , где x , y , z – переменные, а А , В , С и D – некоторые действительные числа ( А , В , С одновременно не равны нулю) – это общее уравнение плоскости. Тогда как же задать прямую линию в прямоугольной системе координат O x y z ? Найдем ответ на этот вопрос в следующих пунктах темы.

Уравнение прямой в пространстве как уравнение двух пересекающихся плоскостей

Когда две плоскости в пространстве имеют общую точку, существует их общая прямая, на которой находятся все общие точки этих плоскостей.

Рассмотрим это утверждение в алгебраическом толковании.

Допустим, в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат O x y z и задано, что прямая a – это линия пересечения двух плоскостей α и β , которые соответственно описываются уравнениями плоскости A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . Поскольку прямая a – это множество общих точек плоскостей α и β , то координаты любой точки прямой a будут одновременно отвечать обоим уравнениям. Никакие прочие точки одновременно удовлетворять условия обоих уравнений не будут.

Таким образом, координаты любой точки прямой a в прямоугольной системе координат станут частным решением системы линейных уравнений вида

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0

Общее же решение системы уравнений _ A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 определит координаты каждой точки прямой a , т.е. по сути задает саму прямую a .

Резюмируем: прямая в пространстве в прямоугольной системе координат O x y z может быть задана системой уравнений двух плоскостей, которые пересекаются:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0

Приведем пример описания прямой линии в пространстве при помощи системы уравнений:

x + 3 y — 2 1 z + 11 3 y + 1 4 z — 2 = 0

Навык определения прямой линии уравнениями пересекающихся плоскостей необходим при решении задач на нахождение координат точки пересечения прямой и плоскости или нахождение координат точки пересечения двух прямых в пространстве.

Подробнее изучить эту тему можно, обратившись к статье об уравнениях прямой в пространстве, уравнениях двух пересекающихся прямых.

Заметим, что существует несколько способов описания прямой в пространстве. В практике прямую чаще задают не двумя пересекающимися плоскостями, а направляющим вектором прямой и точкой, принадлежащей этой прямой. В подобных случаях легче задать канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве. Поговорим о них ниже.

Параметрические уравнения прямой в пространстве

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ , где x 1 , y 1 , z 1 – координаты некой точки прямой; а x , а y и a z (одновременно не равны нулю) – координаты направляющего вектора прямой. а · λ – некий параметр, принимающий любые действительные значения.

Любое значение параметра λ позволяет, используя параметрические уравнения прямой в пространстве, определить тройку чисел ( x , y , z ) , соответствующую некой точке прямой (отсюда и название такого вида уравнений). Например, пусть λ = 0 , тогда из параметрических уравнений прямой в пространстве получим координаты:

x = x 1 + a x · 0 y = y 1 + a y · 0 z = z 1 + a z · 0 ⇔ x = x 1 y = y 1 z = z 1

Рассмотрим конкретный пример:

Пусть прямая задана параметрическими уравнениями вида x = 3 + 2 · a x y = — 2 · a y z = 2 + 2 · a z .

Заданная прямая проходит через точку М 1 ( 3 , 0 , 2 ) ; направляющий вектор этой прямой имеет координаты 2 , — 2 , 2 .

Продолжение изучения этой темы можно найти в статье о параметрических уравнениях прямой в пространстве.

Канонические уравнения прямой в пространстве

Если разрешить каждое из параметрических уравнений прямой

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ относительно параметра λ , возможно просто перейти к каноническим уравнениям прямой в пространстве x — x 1 a x = y — y 1 a y = z — z 1 a z .

Канонические уравнения прямой в пространстве задают прямую, которая проходит через точку М 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) , и у которой направляющий вектор равен a → = ( a x , a y , a z ) . Например, задана прямая, описываемая каноническим уравнением x — 1 1 = y 2 = z + 5 7 . Эта прямая проходит через точку с координатами ( 1 , 0 , — 5 ) , ее направляющий вектор имеет координаты ( 1 , 2 , — 7 ) .

Отметим, что одно или два числа из чисел а x , а y и а z в канонических уравнениях прямой могут быть равны нулю (все три числа не могут быть равны нулю, поскольку направляющий вектор не может быть нулевым). В таком случае запись вида x — x 1 a x = y — y 1 a y = z — z 1 a z является формальной (поскольку в знаменателях одной или двух дробей будут нули) и понимать ее нужно как:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ , где λ ∈ R .

Если одно из чисел а x , а y и a z канонического уравнения прямой равно нулю, то прямая лежит в какой-то из координатных плоскостей, или в плоскости, ей параллельной. Если два из чисел а x , а y и a z равны нулю, то прямая или совпадает с какой-либо из координатных осей, или параллельна ей. К примеру, прямая, описываемая каноническим уравнением x + 4 3 = y — 5 2 = z + 2 0 , лежит в плоскости z = — 2 , параллельной координатной плоскости O x y , а координатная ось O y описывается каноническими уравнениями x 0 = y 1 = z 0 .

Графические иллюстрации подобных случаев, составление канонических уравнений прямой в пространстве, примеры решения типовых задач, а также алгоритм перехода от канонических уравнений к другим видам уравнений прямой в пространстве рассмотрены в статье о канонических уравнениях прямой в пространстве.

Угол между прямой и плоскостью

Формула вычисления угла между прямой и плоскостью

Если в пространстве заданы направляющий вектор прямой L

и уравнение плоскости

A x + B y + C z + D = 0,

то угол между этой прямой и плоскостью можно найти используя формулу

Вывод формулы для вычисления угла между прямой и плоскостью

Из уравнения прямой можно найти направляющий вектор прямой

Из уравнения плоскости вектор нормали плоскости имеет вид

Из формул скалярного произведения векторов найдем косинус угла между нормалью к плоскости и направляющим вектором прямой

Так как φ = 90° — ψ , то синус угла между прямой и плоскостью sin φ = cos ψ .

Расписав скалярное произведение векторов и модуль векторов через их координаты, получим формулу для вычисления угла между прямой и плоскостью.

Пример вычисления угла между прямой и плоскостью

Найти угол между прямой

и плоскостью x — 2 y + 3 z + 4 = 0.

Из уравнения прямой найдем направляющий вектор прямой

Из уравнения плоскости найдем вектор нормали плоскости

Воспользовавшись формулой, найдем угол между прямой и плоскостью

= | 2 — 12 — 9 | √ 4 + 36 + 9 · √ 1 + 4 + 9 = |-19| √ 49 · √ 14 = 19 7√ 14

Ответ: sin φ = 19 7√ 14 .

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Угол между прямой и плоскостью онлайн

С помощью этого онлайн калькулятора можно найти угол между прямой и плоскостью. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления угла между прямой и плоскостью введите элементы уравнения и плоскости в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить». Теоретическую часть смотрите ниже.

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Угол между прямой и плоскостью − теория, примеры и решения

В данной статье мы рассмотрим задачу определения угла φ между прямой L, заданной каноническим уравнением

(1)

и плоскостью P, заданной общим уравнением

где q=(m, l, p) направляющий вектор прямой L, а n=(A, B, C) нормальный вектор плоскости P.

Нормальный вектор плоскости n и направляющий вектор прямой q могут составить острый угол, прямой угол и тупой угол.

Вариант 1. Угол ψ между нормальным вектором плоскости n и направляющим вектором прямой q острый (Рис.1):ψ Вариант 2. Угол ψ между нормальным вектором плоскости n и направляющим вектором прямой q:ψ=90°. Тогда имеем:

Вариант 3. Угол ψ между нормальным вектором плоскости n и направляющим вектором прямой q тупой (Рис.2):ψ>90°.

Поскольку угол φ между прямой и плоскостью всегда меньше или равно 90°, то

Из определения скалярного произведения векторов имеем:

(6)

Из уравнений (5) и (6) можно найти синус угла φ

(7)

(8)

Из формулы (8) можно найти угол между прямой L и плоскостью P.

Пример 1. Найти угол между прямой L:

(9)

(10)

Направляющий вектор прямой L имеет вид q=(m, p, l)=(1, 3, 2). Нормальный вектор плоскости P имеет вид n=(A, B, C)=(2, 6, 1).

Поскольку угол φ между прямой L и плоскостью P является дополнительным к углу ψ между направляющим вектором прямой q=(m,p,l) и нормальным вектором плоскости n=(A,B,C), то cosψ=sinφ. Из определения скалярного произведения (q,n)=|q||n|cosψ. Тогда для угла между прямой L и плоскостью P получим следующую формулу:

.

(11)

Подставляя значения A, B, C, m, p, l в (11), получим: