Уравнение момента для системы частиц

Уравнение моментов для частицы и системы частиц

Закон сохранения момента импульса >>

Уравнение моментов для частицы и системы частиц. dL/dt = M – скорость изменения момента импульса частицы равна моменту силы: dL/dt = [dr/dt,p] + [r,dp/dt] = [r,dp/dt] = [r,F] = M Для системы частиц: dL/dt = Mвнешн – производная по времени от момента импульса системы материальных точек относительно произвольного неподвижного начала равна суммарному моменту всех внешних сил относительно того же начала. dLz/dt = Mz – уравнение моментов относительно неподвижной оси 0Z. Если Mz = 0, то Lz = const.

Слайд 8 из презентации «Момент силы 10 класс»

Размеры: 720 х 540 пикселей, формат: .jpg. Чтобы бесплатно скачать слайд для использования на уроке, щёлкните на изображении правой кнопкой мышки и нажмите «Сохранить изображение как. ». Скачать всю презентацию «Момент силы 10 класс.ppt» можно в zip-архиве размером 235 КБ.

Похожие презентации

«Вещества тела частицы» — Твёрдые жидкие газообразные СОЛЬ ВОДА ГАЗ. Любой предмет, любое живое существо можно назвать телом. Тела состоят из Веществ. Тела. Тела, вещества, частицы. Вещества состоят из мельчайших частиц, невидимых глазом. Загадки. Естественные Искусственные. Первый русский ученый – естествоиспытатель, физик, химик, историк, поэт и художник.

«Частица 7 класс» — Частица как часть речи. Правописание частиц. Проблемные вопросы. Создать ситуацию успеха на уроке. Основополагающий вопрос. Представление результатов исследования. Уметь определять роль частиц в предложении. Что такое ЧАСТИЦА. Какие разряды частиц бывают? Зачем нужны части речи? Употребление и разграничение на письме частиц НЕ и НИ.

«Методы наблюдения и регистрации частиц» — Анод. Вильсон Чарлз Томсон Рис. « ….. воспитание творческих способностей в человеке основывается на развитии самостоятельного мышления» П.П. Капица. Пузырьковая камера. Стеклянная трубка. Методы наблюдения и регистрации элементарных частиц. Газоразрядный счётчик Гейгера. Сцинтилляционный метод. Регистрация сложных частиц затруднена.

«Методы регистрации элементарных частиц» — Пролёт частицы вызывает образование цепочки капель, которые можно сфотографировать. Счетчик Гейгера. Разрядные искры строго локализованы. Треки элементарных частиц в толстослойной фотоэмульсии. Расстояние между пластинами от 1-2 см до 10 см. Метод толстослойных фотоэмульсий. 20-е г.г. Л.В.Мысовский, А.П.Жданов.

«Заряжённые частицы» — Метод толстослойных фотоэмульсий позволяет регистрировать редкие явления. Пузырьковая камера. Метод толстослойных фотоэмульсий. Применение изотопов. Счётчик Гейгера позволяет регистрировать только факт пролета частицы. Изотопы. Счетчик Гейгера. Пузырьковая камера позволяет регистрировать траектории заряженных частиц.

«Момент силы» — Тема урока: «Момент силы». Задача. Сделайте расчет, пользуясь правилом моментов сил. Рычаги в технике, быту и природе.

Уравнение моментов: моменты силы, импульса и инерции

Если линейное перемещение тел описывают в классической механике с помощью законов Ньютона, то характеристики движения механических систем по круговым траекториям вычисляют с помощью специального выражения, которое называется уравнением моментов. О каких моментах идет речь и в чем заключается смысл этого уравнения? Эти и другие вопросы раскрываются в статье.

Момент силы

Всем хорошо известна ньютоновская сила, которая, действуя на тело, приводит к сообщению ему ускорения. Когда же такая сила прилагается к объекту, который закреплен на некоторой оси вращения, то эту характеристику принято называть моментом силы. Уравнение момента силы может быть записано в следующем виде:

Рисунок, поясняющий это выражение, приведен ниже.

Здесь видно, что сила F¯ направлена к вектору L¯ под углом Φ. Сам же вектор L¯ полагается направленным от оси вращения (указана стрелкой) к точке приложения F¯.

Приведенная выше формула представляет собой произведение двух векторов, поэтому величина M¯ также является направленной. Куда будет повернут момент силы M¯? Это можно определить по правилу правой руки (четыре пальца направлены вдоль траектории от конца вектора L¯ к концу F¯, а отставленный палец большой показывает направление M¯).

На рисунке выше выражение для момента силы в скалярном виде примет форму:

Если внимательно всмотреться в рисунок, то можно увидеть, что L*sin(Φ) = d, тогда имеем формулу:

Величина d является важной характеристикой при вычислении момента силы, поскольку она отражает эффективность приложенной F к системе. Эту величину принято называть рычагом силы.

Физический смысл M заключается в способности силы совершить вращение системы. Эту способность может ощутить на себе каждый, если будет открывать дверь за ручку, толкая ее около петель, или же попробует открутить гайку коротким и длинным ключом.

Равновесие системы

Понятие о моменте силы оказывается очень полезным, когда рассматривают равновесие системы, на которую действуют несколько сил, и которая имеет ось или точку вращения. В таких случаях применяют формулу:

То есть система будет находиться в равновесии, если сумма всех моментов сил, приложенных к ней, нулевая. Заметим, что в этой формуле присутствует знак вектора над моментом, то есть при решении следует не забывать учитывать знак этой величины. Общепринятым правилом считается, что действующая сила, которая вращает систему против часовой стрелки, создает положительный M_i¯.

Ярким примером задач рассматриваемого типа являются проблемы с равновесием рычагов Архимеда.

Момент импульса

Это еще одна важная характеристика движения по окружности. В физике ее описывают произведением количества движения на рычаг. Уравнение момента импульса имеет такой вид:

Здесь p¯ — вектор импульса, r¯ — вектор, соединяющий вращающуюся материальную точку с осью.

Поясняющий это выражение рисунок приведен ниже.

Здесь ω — угловая скорость, которая дальше появится в уравнении моментов. Заметим, что направление вектора T¯ находится по тому же правилу, что и M¯. На рисунке выше T¯ по направлению будет совпадать с вектором угловой скорости ω¯.

Физический смысл величины T¯ является таким же, как и характеристики p¯ в случае линейного движения, то есть момент импульса описывает количество вращательного движения (запасенную кинетическую энергию).

Момент инерции

Третья важная характеристика, без которой невозможно составить уравнение движения вращающегося объекта, — это момент инерции. Появляется он в физике в результате математических преобразований формулы для момента импульса материальной точки. Покажем, как это делается.

Представим величину T¯ в следующем виде:

T¯ = r¯*m*v¯, где p¯ = m*v¯

Пользуясь связью между угловой и линейной скоростями, можно переписать это выражение следующим образом:

T¯ = r¯*m*r¯*ω¯, где v¯ = r¯*ω¯

Последнее выражение запишем в виде:

Величина r 2 *m — это момент инерции I для точки массой m, которая совершает круговое движение вокруг оси на расстоянии от нее r. Этот частный случай позволяет ввести общее уравнение момента инерции для тела произвольной формы:

I — это аддитивная величина, смысл которой заключается в инерционности вращающейся системы. Чем больше I, тем труднее раскрутить тело, и необходимо приложить значительные усилия, чтобы его остановить.

Уравнение моментов

Мы рассмотрели три величины, название которых начинается со слова «момент». Это сделано было намеренно, поскольку все они связаны в одно выражение, получившее название уравнения 3 моментов. Выведем его.

Рассмотрим выражение для момента импульса T¯:

Найдем, как изменяется величина T¯ во времени, имеем:

Учитывая, что производная угловой скорости равна таковой для скорости линейной, деленной на r, а также раскрывая величину I, приходим к выражению:

dT¯/dt = m*r 2 *1/r*dv¯/dt = r*m*a¯, где a¯ = dv¯/dt — линейное ускорение.

Заметим, что произведение массы на ускорение — это не что иное, как действующая внешняя сила F¯. В итоге получаем:

Мы пришли к интересному выводу: изменение момента импульса равно моменту действующей внешней силы. Это выражение принято записывать в несколько иной форме:

M¯ = I*α¯, где α¯ = dω¯/dt — угловое ускорение.

Это равенство называется уравнением моментов. Оно позволяет рассчитать любую характеристику вращающегося тела, зная параметры системы и величину внешнего воздействия на нее.

Закон сохранения T¯

Полученный в предыдущем пункте вывод свидетельствует о том, что если внешний момент сил будет равен нулю, то момент импульса меняться не будет. В таком случае запишем выражение:

Эта формула носит название закона сохранения величины T¯. То есть любые изменения внутри системы суммарный момент импульса не меняют.

Этот факт используется фигуристами и балеринами во время их выступлений. Также его применяют, если необходимо выполнить поворот вокруг своей оси искусственного спутника, движущегося в космосе.

Лекция 7 Момент импульса 29/03/2014 Алексей Викторович Гуденко. — презентация

Презентация была опубликована 7 лет назад пользователемВалерий Осьмаков

Похожие презентации

Презентация на тему: » Лекция 7 Момент импульса 29/03/2014 Алексей Викторович Гуденко.» — Транскрипт:

1 Лекция 7 Момент импульса 29/03/2014 Алексей Викторович Гуденко

2 План лекции Момент импульса частицы и системы частиц относительно точки и оси. Момент силы. Уравнение моментов. Закон сохранения момента импульса для частицы и системы частиц. Частица в центральном поле сил. Примеры решения задач. Скамья Жуковского.

3 Демонстрации Движение в поле центральных сил Скамья Жуковского Униполярный индуктор Выливаем воду из бутылки

4 Момент импульса L = r x p Момент импульса частицы относительно точки 0 (полюса): L = [rp] L = prsinθ = pd d = rsinθ – плечо импульса p относительно точки 0.

6 Момент импульса системы частиц Момент импульса системы частиц относительно полюса равен сумме моментов импульсов этих частиц относительно того же полюса: L = ΣL i = Σ[r i p i ] Момент импульса L системы частиц складывается из её собственного момента импульса L в системе центра масс и момента [r c p], обусловленного движением системы частиц как целого: L = L + [r c p] (аналог теоремы Кёнига)

7 Доказательство L = L + [r c p] (аналог теоремы Кёнига) В СЦМ r i ‘ = r i – r c ; v i ‘ = v i – v c L’ = m i [r i ‘,v i ‘] = m i [r i – r c,v i – v c ] = m i [r i,v i ] – m i [r i,v c ] – m i [r c,v i ] + m i [r c,v c ] = L – [r c,p] L = L’ + [r c,p] — момент импульса системы складывается из её собственного момента импульса L’ и момента импульса тела [r c,p] как целого.

8 Пример: момент импульса обруча L = L + rp c = mvr + mv 0 r = mr 2 ω + mv 0 r Если обруч катится без проскальзывания, то v = ωr = v 0 : L = 2mv 0 r = 2mr 2 ω

9 Момент силы M = r x F Момент силы F относительно точки 0 (полюса): M = [rF] L = prsinθ = pd d = rsinθ – плечо импульса p относительно точки 0. Момент силы не изменится, если точку приложения силы F перенести вдоль линии её действия.

10 Уравнение моментов для частицы и системы частиц. dL/dt = M – скорость изменения момента импульса частицы равна моменту силы: dL/dt = [dr/dt,p] + [r,dp/dt] = [r,dp/dt] = [r,F] = M Для системы частиц: dL/dt = M внешнее – производная по времени от момента импульса системы материальных точек относительно произвольного неподвижного начала равна суммарному моменту всех внешнееих сил относительно того же начала. dL z /dt = M z – уравнение моментов относительно неподвижной оси 0Z. Если M z = 0, то L z = const

11 Закон сохранения момента импульса относительно точки (оси) Если момент импульса внешнееих сил относительно неподвижного начала равен нулю, то момент импульса относительно того же начала остаётся постоянным. Если момент импульса внешнееих сил относительно какой либо неподвижной оси равен нулю, то момент импульса относительно той же оси остаётся постоянным.

12 Движение частицы в центральном поле сил Центральная сила зависит только от расстояния r до силового центра и направлена вдоль r : F = F(r)r/r Центральная сила не создаёт момента, т.к. плечо центральной силы относительно центра поля равно нулю. В поле центральной силы для частицы L = const. 1. Траектория частицы – плоская кривая, перпендикулярная L и проходящая через силовой центр Секториальная скорость частицы dS/dt = L/2m = const: за равные промежутки времени радиус-вектор заметает равные площади (закон площадей).

13 Связь импульса с секториальной скоростью dS = ½ [rdr] = ½ [rv]dt σ = dS/dt = ½ [rv] – секториальная скорость L =2mσ σ = L/2m Если сила, действующая на точку центральная, то 1. Траектория – плоская кривая, перпендикулярная L и проходит через силовой центр 2. За равные промежутки времени радиус –вектор заметает одинаковые площади σ = L/2m = const

14 Задача про конический маятник (M z = 0) 1. Обычный конический маятник – шарик движется в горизонтальной плоскости 2. Необычный конический маятник (см. рис) V 0 = ? M z = 0 L z = constsinθmv 0 = mv v 0 = (2g/cosθ) 1/2 Закон сохранения энергии: ½mv 0 2 = ½ mv 2 + mgcosθ v 0 = (2g/cosθ) 1/2

15 Примеры L = const 2mr 1 v 1 = 2mr 2 v 2 r 1 2 ω 1 = r 2 2 ω 2 ω

1/r 2 шайба+стержень – система не замкнутая, но М внешнее = 0 L = const (относительно т. 0)

17 Уравнение момента импульса для вращения вокруг неподвижной оси. Момент инерции. При вращении частицы по окружности: L = mvr = mr 2 ω Для системы частиц L = Σm i r 2 ω = Iω I – момент инерции системы относительно оси равен сумме масс частиц на квадраты расстояний до оси вращения: I = Σm i r 2 При вращении системы момент её импульса относительно оси вращения равен произведению момента инерции относительно оси на угловую скорость: L = Iω Основное уравнение динамики вращательного движения относительно неподвижной оси: d(Iω)/dt = M. Основное уравнение динамики вращательного движения относительно неподвижной оси: d(Iω)/dt = M. Если момент внешнееих сил M относительно оси вращения равен нулю, то вращательный импульс сохраняется: Iω = const

18 Пульсар – быстро вращающийся объект: T = c (плотность ядерного вещества) Плотность вещества ρ

г/см 3 – (плотность ядерного вещества) Плотность Солнца ρ 0

1,4 г/см 3 Период обращения Солнца T 0 = 25,5 суток. Если Солнце сожмётся до пульсара, то период его вращения будет: T T 0 (ρ 0 /ρ) 2/3 = 1, с = 1,3 мс. ν

1000 об/с (!) Радиус такого пульсара r

19 Скамья Жуковского. С помощью одних только внутренних движений можно повернуть лабораторию на любой угол (!) при неизменном расположении тел в лаборатории.

21 И всё-таки он вертится!

22 Как изменяется скорость и чему равна работа демонстратора на скамье Жуковского L = const ω 2 /ω 1 = I 1 /I 2 = (I 0 + 2mr 1 2 )/(I 0 + 2mr 2 2 ) = K 2 /K 1 A = K 2 – K 1 = L 2 /2I 2 – L 2 /2I 1 = L 2 /2 <1/(I 0 + 2mr 2 2 ) - 1/(I 0 + 2mr 1 2 )>I 0 – момент инерции скамьи+человека без гирь 2mr 2 – момент инерции двух гирь

23 Поступательное и вращательное движения. Поступательное движение v – линейная скорость a = dv/dt – линейное ускорение m – масса p = mv – импульс F — сила dp/dt = ma = mdv/dt = F K = mv 2 /2 = p 2 /2m dA = Fds Вращательное движение ω – угловая скорость ε = dω/dt – угловое ускорение I – момент инерции L z = Iω z – момент импульса M – момент силы dL/dt = Iε = Idω/dt = M K = Iω 2 /2 = L z 2 /2I dA = Mdφ

24 Условие равновесия твёрдого тела Тело будет оставаться в покое, если: 1. Равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равна нулю: F = ΣF i = 0 2. Суммарный момент сил относительно любой точки равен нулю: M = ΣM i = 0

25 Задача на законы сохранения импульса, момента импульса и энергии замкнутой системы ( 6.7) Закон сохранения импульса: mv 0 = mv + 3mv c Закон сохранения момента импульса относительно O: 0 = 0 + L + p c = — 2mv + 3mv c,, v = ω Ответ: v 1 = -2v 0 /11; v 2 = v c = 4v 0 /11; v 3 = +10v 0 /11; v = — v 0 /11; ω = v/ = 6v 0 /11 Закон сохранения энергии: ½mv 0 2 = ½ mv 2 + ½ (3m)v c (½ mv 2 ) Ответ: v 1 = -2v 0 /11; v 2 = v c = 4v 0 /11; v 3 = +10v 0 /11; v = — v 0 /11; ω = v/ = 6v 0 /11