Уравнение момента инерции материальной точки

Момент инерции материальной точки и твердого тела: формулы, теорема Штейнера, пример решения задачи

Количественное изучение динамики и кинематики вращательного движения предполагает знание момента инерции материальной точки и твердого тела относительно оси вращения. Рассмотрим в статье, о каком параметре идет речь, а также приведем формулу для его определения.

Общие сведения о физической величине

Сначала дадим определение момента инерции материальной точки и твердого тела, а затем покажем, как его следует использовать при решении практических задач.

Под указанной физической характеристикой для точки, имеющей массу m, которая вокруг оси вращается на расстоянии r, подразумевается следующая величина:

Вам будет интересно: Формулы момента силы для статики и динамики. Работа момента силы

Откуда следует, что единицей измерения изучаемого параметра являются килограммы на квадратный метр (кг*м²).

Если вместо точки вокруг оси вращается тело сложной формы, которое имеет произвольное распределение массы внутри себя, то его момент инерции определяется так:

I = ∫m(r² * dm) = ρ * ∫V(r² * dV).

Где ρ — плотность тела. С помощью интегральной формулы можно определить величину I для абсолютно любой системы вращения.

Момент инерции имеет точно такой же смысл для вращения, как масса для поступательного движения. Например, каждый знает, что швабру для мытья полов легче всего вращать вокруг оси, проходящей через ее ручку, чем через перпендикулярную ей. Связано это с тем, что момент инерции в первом случае гораздо меньше, чем во втором.

Величина I для тел разной формы

При решении задач по физике на вращение часто необходимо знать момент инерции для тела конкретной геометрической формы, например, для цилиндра, шара или стержня. Если применить записанную выше формулу для I, то несложно получить соответствующее выражение для всех отмеченных тел. Ниже приведены формулы для некоторых из них:

стержень: I = 1 / 12 * M * L²;

цилиндр: I = 1 / 2 * M * R²;

сфера: I = 2 / 5 * M * R².

Здесь приведены I для оси вращения, которая проходит через центр массы тела. В случае цилиндра ось параллельна генератрисе фигуры. Момент инерции для других геометрических тел и вариантов расположения осей вращения можно найти в соответствующих таблицах. Заметим, что для определения I разных фигур достаточно знать всего один геометрический параметр и массу тела.

Теорема Штейнера и формула

Момент инерции можно определить, если ось вращения расположена на некотором расстоянии от тела. Для этого следует знать длину этого отрезка и величину IO тела относительно проходящей через центр его массы оси, которая должна быть параллельна рассматриваемой. Устанавливающая связь между параметром IO и неизвестным значением I закрепляется в теореме Штейнера. Момент инерции материальной точки и твердого тела математически записывается следующим образом:

Здесь M — масса тела, h — расстояние от центра массы до оси вращения, относительно которой необходимо вычислить I. Это выражение несложно получить самостоятельно, если воспользоваться интегральной формулой для I и учесть, что все точки тела находятся на расстояниях r = r0 + h.

Теорема Штейнера значительно облегчает определение I для многих практических ситуаций. Например, если необходимо найти I для стержня длиной L и массой M относительно оси, которая проходит через его конец, то применение теоремы Штейнера позволяет записать:

I = IO + M * (L / 2)2 = 1 / 12 * M * L2 + M * L2 / 4 = M * L2 / 3.

Можно обратится к соответствующей таблице и увидеть, что в ней приводится именно эта формула для тонкого стержня с осью вращения на его конце.

Уравнение моментов

В физике вращения существует формула, которая называется уравнением моментов. Выглядит она следующим образом:

Здесь M — момент силы, α — угловое ускорение. Как видно, момент инерции материальной точки и твердого тела и момент силы линейно связаны друг с другом. Величина M определяет возможность некоторой силы F создать вращательное движение с ускорением α в системе. Для вычисления M пользуются следующим простым выражением:

Где d — плечо момента, которое равно расстоянию от вектора силы F до оси вращения. Чем меньше плечо d, тем меньшей способностью создать вращение системы будет обладать сила.

Уравнение моментов по своему смыслу полностью соответствует второму закону Ньютона. При этом I играет роль инерционной массы.

Пример решения задачи

Вообразим себе систему, которая представляет собой цилиндр, закрепленный на вертикальной оси с помощью невесомого горизонтального стержня. Известно, что ось вращения и главная ось цилиндра параллельны друг другу, и расстояние между ними равно 30 см. Масса цилиндра составляет 1 кг, а его радиус равен 5 см. На фигуру действует касательная к траектории вращения сила в 10 Н, вектор которой проходит через главную ось цилиндра. Необходимо определить угловое ускорение фигуры, которое будет вызывать эта сила.

Для начала вычислим момент инерции I цилиндра. Для этого следует применить теорему Штейнера, имеем:

I = IO + M *d² = 1 / 2 * M * R² + M * d² = 1 / 2 * 1 * 0,05² + 1 * 0,3² = 0,09125 кг*м².

Прежде чем пользоваться уравнением моментов, необходимо определить момент силы M. В данном случае имеем:

M = F * d = 10 * 0,3 = 3 Н*м.

Теперь можно определить ускорение:

α = M/I = 3/0,09125 ≈ 32,9 рад/с².

Рассчитанное угловое ускорение говорит о том, что каждую секунду скорость цилиндра будет увеличиваться на 5,2 оборота в секунду.

Момент инерции в физике

Содержание:

Что такое инерция?

Инерция в физике – способность тел определенное время сохранять состояние движения при отсутствии действия внешних сил. Впрочем, понятие инерции имеет частое применение не только в физике, но и в нашей повседневной жизни. Так обычно «инертным» называют человека, который совершенно не проявляет никакой инициативы, делают только то, что ему скажут другие, и делает это крайне медленно, без какого-либо энтузиазма. «Движется по инерции», – говорим мы, когда хотим подчеркнуть, что что-то делается без какого-либо смысла, а просто потому, что так было заведено когда-то или в силу наработанной годами привычки. И если с понятием инерции все более-менее понятно, благодаря таким вот житейским примерам, то термин «момент инерции» требует более детального пояснения, чем мы и займемся в нашей статье.

Определение момента инерции

Со школьной программы по физике мы прекрасно знаем, что масса тела является мерой его инертности. Например, если в супермаркете сильно толкнуть две тележки, одна из которых будет пустой, а вторая нагруженной разными товарами, то впоследствии остановить будет труднее тележку, нагруженную товарами в силу ее большей массы. Другими словами, чем больше у тела масса, тем большее на него воздействие инерции и тем больше нужно сил, чтобы изменить движение такого тяжелого тела.

В приведенном примере тележка движется по прямой линии, то есть иными словами совершает поступательное движение. И если при поступательном движении какого-либо теле его масса является мерой его инерции, то при вращательном движении тела вокруг своей оси мерой его инерции будет величина, которая собственно и называется – момент инерции.

Момент инерции – скалярная физическая величина, мера инертности тела при его вращении вокруг оси. Обычно обозначается буквой J и измеряется в килограммах, умноженных на квадратный метр. Такое академическое определение того, что такое момент инерции.

Формула

Как рассчитать точное значение момента инерции? Для этого есть общая формула, помогающая физикам определять момент инерции любого тела. Если тело разбить на бесконечно маленькие кусочки с массой dm, то момент инерции будет равным сумме произведения этих элементарных масс на квадрат расстояния до оси вращения. Формула будет иметь такой вид:

J – момент инерции, r – расстояние до оси вращения.

Для материальной точки массы m, которая вращается вокруг оси на расстоянии r, данная формула будет иметь такой вид:

Теорема Гюйгенса – Штейнера

Говоря о моменте инерции невозможно не упомянуть о теореме двух математиков Гюйгенсе и Штейнере, которые дали формулировку определению характеристики параллельных осей.

Теорема Гюйгенса – Штейнера гласит: момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно произвольной оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Если записать вышесказанное математической формулой, то получится следующее:

Где d – расстояние между осями

Эта теорема значительно облегчает решения многих физических задач, связанных с инерцией. К примеру, у Вас имеется объект произвольной формы, центробежная сила которого известна. При помощи формулы Штейнера можно вычислить момент инерции тела относительно любой оси параллельной линии, которая проходит через середину фигуры.

Моменты инерции простейших объектов

Несмотря на внешнюю простоту, вычисление моментов инерции для разных предметов предполагает знание интегралов, этих важных инструментов высшей математики. Для упрощения задачи создана таблица с вычислениями инерции для простых геометрических фигур: круга, квадрата, цилиндра и т. д.

Так выглядят математические расчеты вычисления моментов инерции для круга и кольца.

Аналогичным образом будет рассчитываться момент инерции цилиндра.

Предлагаем вашему вниманию более детальную таблицу с формулами для расчета момента инерции для основных геометрических фигур: шара, сферы, диска, цилиндров, и т. д.

Видео

И в завершение образовательное видео по теме нашей статьи.

Эта статья доступна на английском языке – Moment of Inertia.

источники:

http://www.poznavayka.org/fizika/moment-inertsii/