Уравнение на метод разложения на множители

Решение уравнений методом разложения на множители

Решение уравнений разложения на множители (метод расщепления) – это способ решения уравнений при котором мы стремимся уравнение свести их к виду:

а затем каждую скобку приравнять к нулю и решить как отдельное уравнение.

Вынесем за скобку икс.

Разобьем уравнение на два простейших.

В первом корень уравнения уже понятен, во втором надо перенести \(5\) в правую сторону.

Решение методом разложения на множители основывается на простой идее:

В результате умножения ноль можно получить, только если один из множителей равен нулю.

Попробуйте придумать два числа, которые при умножении дают ноль. Вы убедитесь, что хотя бы одно из них обязательно должно быть нулем.

Этот метод решения уравнений один из самых популярных, поэтому освоить его очень важно для тех, кто планирует иметь четверки и пятерки. А для освоения этого метода, конечно, надо уметь раскладывать на множители как Бог: знать все формулы сокращенного умножения, легко выносить множители за скобки, уметь применять метод группировки и т.д. Подробнее о всех способах разложения на множители смотри здесь .

Пример(задание из ОГЭ). Решите уравнение \(x^3+4x^2-4x-16=0\).
Решение:

Перед нами кубическое уравнение.
Применим метод группировки: из первой пары слагаемых вынесем \(x^2\), а из второй – минус четверку.

Разложение многочлена на множители

Для того, чтобы разложить на множители, необходимо упрощать выражения. Это необходимо для того, чтобы можно было в дальнейшем сократить. Разложение многочлена имеет смысл тогда, когда его степень не ниже второй. Многочлен с первой степенью называют линейным.

Статья раскроет все понятия разложения, теоретические основы и способы разложений многочлена на множители.

Теория

Когда любой многочлен со степенью n , имеющие вид P n x = a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 , представляют в виде произведения с постоянным множителем со старшей степенью a n и n линейных множителей ( x — x i ) , i = 1 , 2 , … , n , тогда P n ( x ) = a n ( x — x n ) ( x — x n — 1 ) · . . . · ( x — x 1 ) , где x i , i = 1 , 2 , … , n – это и есть корни многочлена.

Теорема предназначена для корней комплексного типа x i , i = 1 , 2 , … , n и для комплексных коэффициентов a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n . Это и есть основа любого разложения.

Когда коэффициенты вида a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n являются действительными числами, тогда комплексные корни, которые будут встречаться сопряженными парами. Например, корни x 1 и x 2 , относящиеся к многочлену вида P n x = a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 считаются комплексно сопряженным, тогда другие корни являются действительными, отсюда получаем, что многочлен примет вид P n ( x ) = a n ( x — x n ) ( x — x n — 1 ) · . . . · ( x — x 3 ) x 2 + p x + q , где x 2 + p x + q = ( x — x 1 ) ( x — x 2 ) .

Замечание

Корни многочлена могут повторяться. Рассмотрим доказательство теоремы алгебры, следствия из теоремы Безу.

Основная теорема алгебры

Любой многочлен со степенью n имеет как минимум один корень.

Теорема Безу

После того, как произвели деление многочлена вида P n x = a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 на ( x — s ) , тогда получаем остаток, который равен многочлену в точке s , тогда получим

P n x = a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 = ( x — s ) · Q n — 1 ( x ) + P n ( s ) , где Q n — 1 ( x ) является многочленом со степенью n — 1 .

Следствие из теоремы Безу

Когда корень многочлена P n ( x ) считается s , тогда P n x = a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 = ( x — s ) · Q n — 1 ( x ) . Данное следствие является достаточным при употреблении для описания решения.

Разложение на множители квадратного трехчлена

Квадратный трехчлен вида a x 2 + b x + c можно разложить на линейные множители. тогда получим, что a x 2 + b x + c = a ( x — x 1 ) ( x — x 2 ) , где x 1 и x 2 — это корни (комплексные или действительные).

Отсюда видно, что само разложение сводится к решению квадратного уравнения впоследствии.

Произвести разложение квадратного трехчлена на множители.

Необходимо найти корни уравнения 4 x 2 — 5 x + 1 = 0 . Для этого необходимо найти значение дискриминанта по формуле, тогда получим D = ( — 5 ) 2 — 4 · 4 · 1 = 9 . Отсюда имеем, что

x 1 = 5 — 9 2 · 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 · 4 = 1

Отсюда получаем, что 4 x 2 — 5 x + 1 = 4 x — 1 4 x — 1 .

Для выполнения проверки нужно раскрыть скобки. Тогда получим выражение вида:

4 x — 1 4 x — 1 = 4 x 2 — x — 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 — 5 x + 1

После проверки приходим к исходному выражению. То есть можно сделать вывод, что разложение выполнено верно.

Произвести разложение на множители квадратный трехчлен вида 3 x 2 — 7 x — 11 .

Получим, что необходимо вычислить получившееся квадратное уравнение вида 3 x 2 — 7 x — 11 = 0 .

Чтобы найти корни, надо определить значение дискриминанта. Получим, что

3 x 2 — 7 x — 11 = 0 D = ( — 7 ) 2 — 4 · 3 · ( — 11 ) = 181 x 1 = 7 + D 2 · 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 — D 2 · 3 = 7 — 181 6

Отсюда получаем, что 3 x 2 — 7 x — 11 = 3 x — 7 + 181 6 x — 7 — 181 6 .

Произвести разложение многочлена 2 x 2 + 1 на множители.

Теперь нужно решить квадратное уравнение 2 x 2 + 1 = 0 и найти его корни. Получим, что

2 x 2 + 1 = 0 x 2 = — 1 2 x 1 = — 1 2 = 1 2 · i x 2 = — 1 2 = — 1 2 · i

Эти корни называют комплексно сопряженными, значит само разложение можно изобразить как 2 x 2 + 1 = 2 x — 1 2 · i x + 1 2 · i .

Произвести разложение квадратного трехчлена x 2 + 1 3 x + 1 .

Для начала необходимо решить квадратное уравнение вида x 2 + 1 3 x + 1 = 0 и найти его корни.

x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 — 4 · 1 · 1 = — 35 9 x 1 = — 1 3 + D 2 · 1 = — 1 3 + 35 3 · i 2 = — 1 + 35 · i 6 = — 1 6 + 35 6 · i x 2 = — 1 3 — D 2 · 1 = — 1 3 — 35 3 · i 2 = — 1 — 35 · i 6 = — 1 6 — 35 6 · i

Получив корни, запишем

x 2 + 1 3 x + 1 = x — — 1 6 + 35 6 · i x — — 1 6 — 35 6 · i = = x + 1 6 — 35 6 · i x + 1 6 + 35 6 · i

Если значение дискриминанта отрицательное, то многочлены останутся многочленами второго порядка. Отсюда следует, что раскладывать их не будем на линейные множители.

Способы разложения на множители многочлена степени выше второй

При разложении предполагается универсальный метод. Большинство всех случаев основано на следствии из теоремы Безу. Для этого необходимо подбирать значение корня x 1 и понизить его степень при помощи деления на многочлена на 1 делением на ( x — x 1 ) . Полученный многочлен нуждается в нахождении корня x 2 , причем процесс поиска цикличен до тех пор, пока не получим полное разложение.

Если корень не нашли, тогда применяются другие способы разложения на множители: группировка, дополнительные слагаемые. Данная тема полагает решение уравнений с высшими степенями и целыми коэффициентами.

Вынесение общего множителя за скобки

Рассмотрим случай, когда свободный член равняется нулю, тогда вид многочлена становится как P n ( x ) = a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x .

Видно, что корень такого многочлена будет равняться x 1 = 0 , тогда можно представить многочлен в виде выражения P n ( x ) = a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x = = x ( a n x n — 1 + a n — 1 x n — 2 + . . . + a 1 )

Данный способ считается вынесением общего множителя за скобки.

Выполнить разложение многочлена третьей степени 4 x 3 + 8 x 2 — x на множители.

Видим, что x 1 = 0 — это корень заданного многочлена, тогда можно произвести вынесение х за скобки всего выражения. Получаем:

4 x 3 + 8 x 2 — x = x ( 4 x 2 + 8 x — 1 )

Переходим к нахождению корней квадратного трехчлена 4 x 2 + 8 x — 1 . Найдем дискриминант и корни:

D = 8 2 — 4 · 4 · ( — 1 ) = 80 x 1 = — 8 + D 2 · 4 = — 1 + 5 2 x 2 = — 8 — D 2 · 4 = — 1 — 5 2

Тогда следует, что

4 x 3 + 8 x 2 — x = x 4 x 2 + 8 x — 1 = = 4 x x — — 1 + 5 2 x — — 1 — 5 2 = = 4 x x + 1 — 5 2 x + 1 + 5 2

Разложение на множители многочлена с рациональными корнями

Для начала примем за рассмотрение способ разложения, содержащий целые коэффициенты вида P n ( x ) = x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 , где коэффициента при старшей степени равняется 1 .

Когда многочлен имеет целые корни, тогда их считают делителями свободного члена.

Произвести разложение выражения f ( x ) = x 4 + 3 x 3 — x 2 — 9 x — 18 .

Рассмотрим, имеются ли целые корни. Необходимо выписать делители числа — 18 . Получим, что ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 , ± 9 , ± 18 . Отсюда следует, что данный многочлен имеет целые корни. Можно провести проверку по схеме Горнера. Она очень удобная и позволяет быстро получить коэффициенты разложения многочлена:

Отсюда следует, что х = 2 и х = — 3 – это корни исходного многочлена, который можно представить как произведение вида:

f ( x ) = x 4 + 3 x 3 — x 2 — 9 x — 18 = ( x — 2 ) ( x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9 ) = = ( x — 2 ) ( x + 3 ) ( x 2 + 2 x + 3 )

Переходим к разложению квадратного трехчлена вида x 2 + 2 x + 3 .

Так как дискриминант получаем отрицательный, значит, действительных корней нет.

Ответ: f ( x ) = x 4 + 3 x 3 — x 2 — 9 x — 18 = ( x — 2 ) ( x + 3 ) ( x 2 + 2 x + 3 )

Допускается использование подбором корня и деление многочлена на многочлен вместо схемы Горнера. Перейдем к рассмотрению разложения многочлена, содержащим целые коэффициенты вида P n ( x ) = x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 , старший из которых на равняется единице.

Этот случай имеет место быть для дробно-рациональных дробей.

Произвести разложение на множители f ( x ) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .

Необходимо выполнить замену переменной y = 2 x , следует переходить к многочлену с коэффициентами равными 1 при старшей степени. Необходимо начать с умножения выражения на 4 . Получаем, что

4 f ( x ) = 2 3 · x 3 + 19 · 2 2 · x 2 + 82 · 2 · x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g ( y )

Когда получившаяся функция вида g ( y ) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 имеет целые корни, тогда их нахождение среди делителей свободного члена. Запись примет вид:

± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 5 , ± 6 , ± 10 , ± 12 , ± 15 , ± 20 , ± 30 , ± 60

Перейдем к вычислению функции g ( y ) в этих точка для того, чтобы получить в результате ноль. Получаем, что

g ( 1 ) = 1 3 + 19 · 1 2 + 82 · 1 + 60 = 162 g ( — 1 ) = ( — 1 ) 3 + 19 · ( — 1 ) 2 + 82 · ( — 1 ) + 60 = — 4 g ( 2 ) = 2 3 + 19 · 2 2 + 82 · 2 + 60 = 308 g ( — 2 ) = ( — 2 ) 3 + 19 · ( — 2 ) 2 + 82 · ( — 2 ) + 60 = — 36 g ( 3 ) = 3 3 + 19 · 3 2 + 82 · 3 + 60 = 504 g ( — 3 ) = ( — 3 ) 3 + 19 · ( — 3 ) 2 + 82 · ( — 3 ) + 60 = — 42 g ( 4 ) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 g ( — 4 ) = ( — 4 ) 3 + 19 · ( — 4 ) 2 + 82 · ( — 4 ) + 60 = — 28 g ( 5 ) = 5 3 + 19 · 5 2 + 82 · 5 + 60 = 1070 g ( — 5 ) = ( — 5 ) 3 + 19 · ( — 5 ) 2 + 82 · ( — 5 ) + 60

Получаем, что у = — 5 – это корень уравнения вида y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 , значит, x = y 2 = — 5 2 — это корень исходной функции.

Необходимо произвести деление столбиком 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 на x + 5 2 .

Запишем и получим:

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 ( 2 x 2 + 14 x + 6 ) = = 2 x + 5 2 ( x 2 + 7 x + 3 )

Проверка делителей займет много времени, поэтому выгодней предпринять разложение на множители полученного квадратного трехчлена вида x 2 + 7 x + 3 . Приравниванием к нулю и находим дискриминант.

x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 — 4 · 1 · 3 = 37 x 1 = — 7 + 37 2 x 2 = — 7 — 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 — 37 2 x + 7 2 + 37 2

Отсюда следует, что

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 — 37 2 x + 7 2 + 37 2

Искусственные приемы при разложении многочлена на множители

Рациональные корни не присущи всем многочленам. Для этого необходимо пользоваться специальными способами для нахождения множителей. Но не все многочлены можно разложить или представить в виде произведения.

Способ группировки

Бывают случаи, когда можно сгруппировывать слагаемые многочлена для нахождения общего множителя и вынесения его за скобки.

Произвести разложение многочлена x 4 + 4 x 3 — x 2 — 8 x — 2 на множители.

Потому как коэффициенты – целые числа, тогда корни предположительно тоже могут быть целыми. Для проверки возьмем значения 1 , — 1 , 2 и — 2 для того, чтобы вычислить значение многочлена в этих точках. Получаем, что

1 4 + 4 · 1 3 — 1 2 — 8 · 1 — 2 = — 6 ≠ 0 ( — 1 ) 4 + 4 · ( — 1 ) 3 — ( — 1 ) 2 — 8 · ( — 1 ) — 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 · 2 3 — 2 2 — 8 · 2 — 2 = 26 ≠ 0 ( — 2 ) 4 + 4 · ( — 2 ) 3 — ( — 2 ) 2 — 8 · ( — 2 ) — 2 = — 6 ≠ 0

Отсюда видно, что корней нет, необходимо использовать другой способ разложения и решения.

Необходимо провести группировку:

x 4 + 4 x 3 — x 2 — 8 x — 2 = x 4 + 4 x 3 — 2 x 2 + x 2 — 8 x — 2 = = ( x 4 — 2 x 2 ) + ( 4 x 3 — 8 x ) + x 2 — 2 = = x 2 ( x 2 — 2 ) + 4 x ( x 2 — 2 ) + x 2 — 2 = = ( x 2 — 2 ) ( x 2 + 4 x + 1 )

После группировки исходного многочлена необходимо представить его как произведение двух квадратных трехчленов. Для этого нам понадобится произвести разложение на множители. получаем, что

x 2 — 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = — 2 ⇒ x 2 — 2 = x — 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 — 4 · 1 · 1 = 12 x 1 = — 4 — D 2 · 1 = — 2 — 3 x 2 = — 4 — D 2 · 1 = — 2 — 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 — 3 x + 2 + 3

x 4 + 4 x 3 — x 2 — 8 x — 2 = x 2 — 2 x 2 + 4 x + 1 = = x — 2 x + 2 x + 2 — 3 x + 2 + 3

Простота группировки не говорит о том, что выбрать слагаемы достаточно легко. Определенного способа решения не существует, поэтому необходимо пользоваться специальными теоремами и правилами.

Произвести разложение на множители многочлен x 4 + 3 x 3 — x 2 — 4 x + 2 .

Заданный многочлен не имеет целых корней. Следует произвести группировку слагаемых. Получаем, что

x 4 + 3 x 3 — x 2 — 4 x + 2 = = ( x 4 + x 3 ) + ( 2 x 3 + 2 x 2 ) + ( — 2 x 2 — 2 x ) — x 2 — 2 x + 2 = = x 2 ( x 2 + x ) + 2 x ( x 2 + x ) — 2 ( x 2 + x ) — ( x 2 + 2 x — 2 ) = = ( x 2 + x ) ( x 2 + 2 x — 2 ) — ( x 2 + 2 x — 2 ) = ( x 2 + x — 1 ) ( x 2 + 2 x — 2 )

После разложения на множители получим, что

x 4 + 3 x 3 — x 2 — 4 x + 2 = x 2 + x — 1 x 2 + 2 x — 2 = = x + 1 + 3 x + 1 — 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 — 5 2

Использование формул сокращенного умножения и бинома Ньютона для разложения многочлена на множители

Внешний вид зачастую не всегда дает понять, каким способом необходимо воспользоваться при разложении. После того, как были произведены преобразования, можно выстроить строчку, состоящую из треугольника Паскаля, иначе их называют биномом Ньютона.

Произвести разложение многочлена x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x — 2 на множители.

Необходимо выполнить преобразование выражения к виду

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x — 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 — 3

На последовательность коэффициентов суммы в скобках указывает выражение x + 1 4 .

Значит, имеем x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x — 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 — 3 = x + 1 4 — 3 .

После применения разности квадратов, получим

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x — 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 — 3 = x + 1 4 — 3 = = x + 1 4 — 3 = x + 1 2 — 3 x + 1 2 + 3

Рассмотрим выражение, которое находится во второй скобке. Понятно, что там коней нет, поэтому следует применить формулу разности квадратов еще раз. Получаем выражение вида

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x — 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 — 3 = x + 1 4 — 3 = = x + 1 4 — 3 = x + 1 2 — 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 — 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

Произвести разложение на множители x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .

Займемся преобразованием выражения. Получаем, что

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 · 2 · x 2 + 3 · 2 2 · x + 2 3 — 2 = ( x + 2 ) 3 — 2

Необходимо применить формулу сокращенного умножения разности кубов. Получаем:

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = ( x + 2 ) 3 — 2 = = x + 2 — 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 — 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

Способ замены переменной при разложении многочлена на множители

При замене переменной производится понижение степени и разложение многочлена на множители.

Произвести разложение на множители многочлена вида x 6 + 5 x 3 + 6 .

По условию видно, что необходимо произвести замену y = x 3 . Получаем:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6

Корни полученного квадратного уравнения равны y = — 2 и y = — 3 , тогда

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3

Необходимо применить формулу сокращенного умножения суммы кубов. Получим выражения вида:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 — 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 — 3 3 x + 9 3

То есть получили искомое разложение.

Рассмотренные выше случаи помогут в рассмотрении и разложении многочлена на множители разными способами.

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №12. Решение алгебраических уравнений разложением на множители.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) типы алгебраических уравнений;

2) решение алгебраические уравнения методом разложения на множители;

3) методы решения алгебраических уравнений.

Глоссарий по теме

Алгебраическое уравнение (полиномиальное уравнение) — уравнение вида P(x₁, x₂, …, x_n)=0, где P — многочлен от переменных x₁, x₂, …, x_n, которые называются неизвестными.

Коэффициенты многочлена P обычно берутся из некоторого множества F, и тогда уравнение P(x₁, x₂, …, x_n)=0 называется алгебраическим уравнение над множеством F.

Степенью алгебраического уравнения называют степень многочлена P.

Значения переменных x₁, x₂, …, x_n, которые при подстановке в алгебраическое уравнение обращают его в тождество, называются корнями этого алгебраического уравнения.

Биквадратными называются уравнения вида ах 4 + bх 2 + с = 0, где а, b, с – заданные числа, причем, а ≠ 0.

Симметрическим уравнением 3-ей степени называют уравнение вида: ax 3 + bx 2 + bx + a = 0, где a, b – заданные числа.

Уравнение вида a n x n ₊a n-1 x n-1 +…+a 1 x+a 0 =0 называется возвратным, если его коэффициенты, стоящие на симметричных позициях, равны, т.е. a n-1 =a k , при k=0, 1, …, n.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Давайте вспомним, что такое алгебраическое уравнение?

Алгебраическое уравнение (полиномиальное уравнение) — уравнение вида P(x₁, x₂, …, x_n)=0, где P — многочлен от переменных x₁, x₂, …, x_n, которые называются неизвестными.

Коэффициенты многочлена P обычно берутся из некоторого поля F, и тогда уравнение P(x₁, x₂, …, x_n)=0 называется алгебраическим уравнение над полем F.

Степенью алгебраического уравнения называют степень многочлена P.

является алгебраическим уравнением седьмой степени от трёх переменных (с тремя неизвестными) над полем вещественных чисел.

Связанные определения. Значения переменных x₁, x₂, …, x_n, которые при подстановке в алгебраическое уравнение обращают его в тождество, называются корнями этого алгебраического уравнения.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1. Алгебраические уравнения, решаемые разложением на множители:

D(–2) : ,

Можно догадаться, что число х₁ = –1 является корнем этого уравнения, так как –1 + 3 – 2 = 0.

х + 1 = 0 или х 2 –х–2 = 0;

х₁ = –1 х_2,3 = ;

х_2,3 = ;

x 3 + х 2 – х 2 – х – 2x – 2 = 0;

(x 3 + х 2 ) – (х 2 + х) – 2(x + 1) = 0;

х 2 (х + 1) – х(х + 1) – 2(х + 1) = 0;

(х + 1) (х + 1) (х –2) = 0;

(х –2) = 0;

1. Уравнения, сводящиеся к алгебраическим
   1. Биквадратные уравнения

На прошлом уроке мы познакомились с данным видом уравнений

Определение. Биквадратными называются уравнения вида ах 4 + bх 2 + с = 0, где а, b, с – заданные числа, причем, а ≠ 0.

Метод решения

Биквадратное уравнение приводится к квадратному уравнению при помощи подстановки у=х 2 .

Новое квадратное уравнение относительно переменной у: ay 2 +by+c=0.

Решая это уравнение, мы получаем корни квадратного уравнения

Решая эти два уравнения (y₁=x₁ 2 и y₂=x₁ 2 ) относительно переменной x, мы получаем корни данного биквадратного уравнения.

Порядок действий при решении биквадратных уравнений

1. Ввести новую переменную у=х 2
2. Подставить данную переменную в исходное уравнение
3. Решить квадратное уравнение относительно новой переменной
4. После нахождения корней (y₁; y₂) подставить их в нашу переменную у=х 2 и найти исходные корни биквадратного уравнения

х 4 – 8х 2 – 9 = 0.

Решение: Пусть у = х 2 , где у 0; у 2 – 8у – 9 = 0;

По формулам Виета:

Первое решение отбрасываем ( у 0),

а из второго находим х₁ = –3; х₂ = 3.

2 Симметрические уравнения

Решение симметрических уравнений рассмотрим на примере симметрических уравнений третьей степени.

Симметрическим уравнением 3-ей степени называют уравнение вида ax 3 + bx 2 + bx + a = 0, где a, b – заданные числа.

Для того, чтобы успешно решать уравнения такого вида, полезно знать и уметь использовать следующие простейшие свойства симметрических уравнений:

1 0 . У любого симметрического уравнения нечетной степени всегда есть корень, равный -1.

Действительно, если сгруппировать в левой части слагаемые следующим образом: а(х 3 + 1) + bx(х + 1) = 0, то есть возможность вынести общий множитель, т.е.

(х + 1)(ах 2 + (b – а)x + а) = 0, поэтому,
х + 1 = 0 или ах 2 + (b – а)x + а = 0,

первое уравнение и доказывает интересующее нас утверждение.

2 0 . У симметрического уравнения корней, равных нулю, нет.

3 0 . При делении многочлена нечетной степени на (х + 1) частное является снова симметрическим многочленом.

х 3 + 2x 2 + 2х + 1 = 0.

Решение: У исходного уравнения обязательно есть корень х = –1.

Разлагая далее левую часть на множители, получим

(х + 1)(x 2 + х + 1) = 0.

x 2 + х + 1 = 0 не имеет корней.

2 Возвратные уравнения

Уравнение вида a n x n ₊a n-1 x n-1 +…+a 1 x+a 0 =0 называется возвратным, если его коэффициенты, стоящие на симметричных позициях, равны, т.е. a n-1 =a k , при k=0, 1, …, n.

Рассмотрим возвратное уравнение четвёртой степени вида

ax⁴ + bx³ + cx² + bx + a = 0, где a, b и c — некоторые числа, причём a ≠ 0. Оно является частным случаем уравнения ax⁴ + bx³ + cx² + kbx + k²a = 0 при k = 1.

Порядок действий при решении возвратных уравнений вида ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0:

• разделить левую и правую части уравнения на . При этом не происходит потери решения, так как x = 0 не является корнем исходного уравнения;
• группировкой привести полученное уравнение к виду

• ввести новую переменную , тогда выполнено
  , то есть ;

в новых переменных рассматриваемое уравнение является квадратным: at 2 +bt+c–2a=0;

• решить его относительно t, возвратиться к исходной переменной.

Решение: Разделим на x 2 , получим:

Введем замену:
Пусть