Уравнение на сложение и вычитание многочленов

Сложение и вычитание многочленов

В результате сложения многочленов, так же, как и в результате вычитания одного многочлена из другого, всегда получится многочлен.

Сложение многочленов

Чтобы сложить два многочлена, надо составить их сумму, раскрыть скобки и, если это возможно, упростить получившееся выражение, сделав приведение подобных членов.

Пример 1. Найдите сумму многочленов 4xy — 2nz 5 и -0,7nz 5 .

Решение: Сначала составим сумму многочленов:

Теперь нам нужно раскрыть скобки, используя правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак плюс:

Попробуем упростить получившееся выражения с помощью приведения подобных членов:

Суммой данных многочленов является многочлен 4xy — 2,7nz 5 .

Пример 2. Найдите многочлен, равный сумме многочленов:

Суммой данных многочленов является многочлен 7a 2 — 11ax — 5x 2 .

Из данных примеров можно сделать вывод, что сложить два многочлена – это значит представить их сумму в виде многочлена стандартного вида.

Вычитание многочленов

Чтобы вычесть один многочлен из другого, надо составить их разность, раскрыть скобки и, если это возможно, упростить получившееся выражение, сделав приведение подобных членов.

Пример. Найдите разность многочленов

Решение: Сначала составим разность многочленов:

Раскроем скобки, следуя правилу раскрытия скобок, перед которыми стоит знак — (минус). Правила раскрытия скобок вы можете посмотреть тут.

Теперь посмотрим, можем ли мы упростить выражение с помощью приведения подобных членов:

Разностью данных многочленов является многочлен 3a 2 — 3ax + 11x 2 .

Из данного примера можно сделать вывод, что вычесть один многочлен из другого – это значит представить их разность в виде многочлена стандартного вида.

Сложение и вычитание многочленов: правило и примеры

Данная статья разбирает такие действия с многочленами как сложение и вычитание многочленов. Сформулируем правило и рассмотрим его применение в решении задач.

Правило сложения и вычитания многочленов

Формулировку правила мы зададим сразу, после чего запишем пояснения.

Для осуществления действия сложения или вычитания многочленов, необходимо:

• записать сумму или разность многочленов в зависимости от поставленной задачи;
• в записанном выражении произвести раскрытие скобок, результатом чего станет многочлен;
• привести полученный во втором шаге многочлен в стандартный вид.

Теперь дадим пояснения по каждому шагу озвученного алгоритма.

Чтобы записать сумму или разность многочленов, необходимо заданные многочлены заключить в скобки и между ними расположить знак плюс или минус соответственно. К примеру, сумма двух многочленов x 3 + 9 · x · y — 2 и 7 − 4 · x · y запишется как ( x 3 + 9 · x · y — 2 ) + ( 7 − 4 · x · y ) , а их разность имеет вид ( x 3 + 9 · x · y — 2 ) − ( 7 − 4 · x · y ) .

Далее, согласно правилу, необходимо раскрыть скобки в полученном выражении: данное действие совершаем, опираясь на правило раскрытия скобок, перед которыми расположен знак плюси правило раскрытия скобок, перед которыми расположен знак минус. В приведенных выше примерах сумма многочленов ( x 3 + 9 · x · y — 2 ) + ( 7 − 4 · x · y ) после раскрытия скобок получит вид x 3 + 9 · x · y — 2 + 7 − 4 · x · y , а разность ( x 3 + 9 · x · y — 2 ) − ( 7 − 4 · x · y ) станет выглядеть так: x 3 + 9 · x · y — 2 − 7 + 4 · x · y . Мы явно видим, что в итоге получены многочлены.

Последним шагом алгоритма приведем многочлен к стандартному виду. Продолжая рассматриваемые примеры, получим: x 3 + 9 · x · y — 2 + 7 − 4 · x · y = x 3 + 5 · x · y + 5 и x 3 + 9 · x · y — 2 − 7 + 4 · x · y = x 3 + 13 · x · y — 9 .

Мы рассмотрели все действия согласно сформулированному правилу и можем указать важный вывод, что итогом сложения или вычитания является многочлен.

Примеры сложения и вычитания

Разберем типичные задачи на сложение и вычитание многочленов.

Заданы многочлены x 2 + 5 · x + 2 и x 2 − 5 · x + 3 . Необходимо найти их сумму и разность.

Решение

Первым действием найдем сумму исходных многочленов. Запишем ее: ( x 2 + 5 · x + 2 ) + ( x 2 − 5 · x + 3 ) . Раскроем скобки и получим: x 2 + 5 · x + 2 + x 2 − 5 · x + 3 . Чтобы привести полученный многочлен к стандартному виду, совершим действие приведения подобных членов: 2 · x 2 + 5 .

Кратко решение оформляется так:

( x 2 + 5 · x + 2 ) + ( x 2 − 5 · x + 3 ) = x 2 + 5 · x + 2 + x 2 − 5 · x + 3 = = ( x 2 + x 2 ) + ( 5 · x − 5 · x ) + ( 2 + 3 ) = 2 · x 2 + 5

Произведем вычитание многочленов:

( x 2 + 5 · x + 2 ) − ( x 2 − 5 · x + 3 ) = x 2 + 5 · x + 2 − x 2 + 5 · x − 3 = = ( x 2 − x 2 ) + ( 5 · x + 5 · x ) + ( 2 − 3 ) = 10 · x − 1

Ответ: ( x 2 + 5 · x + 2 ) + ( x 2 − 5 · x + 3 ) = 2 · x 2 + 5 и ( x 2 + 5 · x + 2 ) − ( x 2 − 5 · x + 3 ) = 10 · x − 1 .

Одночлен – частный случай многочлена, поэтому правило сложения и вычитания, рассматриваемое в данной статье, применимо и для сложения и вычитания одночленов; для сложения и вычитания одночлена и многочлена и, наконец, для вычитания одночлена из многочлена и наоборот.

Необходимо вычесть из одночлена 17 · a · b 2 многочлен b 4 + b 3 + 11 · a · b 2 − 2 .

Решение

Сделаем запись разности ( 17 · a · b 2 ) − ( b 4 + b 3 + 11 · a · b 2 − 2 ) . Раскроем скобки и получим многочлен вида: 17 · a · b 2 − b 4 − b 3 − 11 · a · b 2 + 2 . Далее приводим многочлен к стандартному виду путем приведения подобных членов: 6 · a · b 2 − b 4 − b 3 + 2 , что и будет являться разностью исходных данных.

Ответ: ( 15 · a · b 2 ) − ( b 4 + b 3 + 11 · a · b 2 − 7 ) = 6 · a · b 2 − b 4 − b 3 + 2 .

Исходные многочлены могут быть представлены как в стандартном, так и в нестандартном виде: действия сложения и вычитания могут совершаться и в том, и в том состоянии данных, на результат вычисления это никоим образом не повлияет. Единственное, чем могут отличаться результаты, полученные от сложения или вычитания многочленов нестандартного вида и многочленов в стандартном виде – это порядок следования членов многочлена-результата сложения или вычитания.

Заданы многочлены 5 + 3 · a · 2 + 4 и a 2 − 2 · a + 2 · a 2 + 6 . Необходимо найти их сумму.

Решение

Решим задачу двумя способами.

1. Осуществим сложение многочленов в исходном виде: ( 5 + 3 · a · 2 + 4 ) + ( a 2 − 2 · a + 2 · a 2 + 6 ) = = 5 + 3 · a · 2 + 4 + a 2 − 2 · a + 2 · a 2 + 6 = 5 + 6 · a + 4 + a 2 − 2 · a + 2 · a 2 + 6 = = ( 5 + 4 + 6 ) + ( 6 · a − 2 · a ) + ( a 2 + 2 · a 2 ) = 15 + 4 · a + 3 · a 2
2. Первоначально запишем исходные многочлены в стандартном виде: 5 + 3 · a · 2 + 4 = 1 + 6 · a + 4 = ( 5 + 4 ) + 6 · a = 9 + 6 · a и a 2 − 2 · a + 2 · a 2 + 6 = ( a 2 + 2 · a 2 ) − 2 · a + 6 = 3 · a 2 − 2 · a + 6 .

Теперь произведём сложение:

( 9 + 6 · a ) + ( 3 · a 2 − 2 · a + 6 ) = 9 + 6 · a + 3 · a 2 − 2 · a + 6 = = ( 9 + 6 ) + ( 6 · a − 2 · a ) + 3 · a 2 = 15 + 4 · a + 3 · a 2

Явно видно, что оба способа дали один и тот же итог.

Ответ: ( 5 + 3 · a · 2 + 4 ) + ( a 2 − 2 · a + 2 · a 2 + 6 ) = 15 + 4 · a + 3 · a 2 .

По такой же схеме, как во всех указанных примерах, производится сложение или вычитание трех и более многочленов.

Заданы многочлены: 5 · a · b − a · b 2 , 3 · a · b 2 и 2 · a · b 2 − a · b + b . Необходимо выполнить их сложение.

Решение

Осуществляем действия сложения согласно сформулированному выше правилу. Составляем сумму, затем раскрываем скобки и преобразуем полученный многочлен в стандартный вид:

( 5 · a · b − a · b 2 ) + ( 3 · a · b 2 ) + ( 2 · a · b 2 − a · b + b ) = = 5 · a · b − a · b 2 + 3 · a · b 2 + 2 · a · b 2 − a · b + b = 4 · a · b + 4 · a · b 2 + b

Ответ: ( 5 · a · b − a · b 2 ) + ( 3 · a · b 2 ) + ( 2 · a · b 2 − a · b + b ) = 4 · a · b + 4 · a · b 2 + b .

Сложение и вычитание многочленов. Типовые задачи

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На данном уроке будут изучены операции сложения и вычитания многочленов, сформулированы правила для сложения и вычитания. Рассмотрены примеры и решены некоторые типовые задачи и уравнения, закреплены навыки выполнения этих операций.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений»