Практические занятия по дисциплине Квантовая механика
Практические занятия по дисциплине Квантовая механика
Задачи по дисциплине Квантовая механика взяты из , , Форш по квантовой механике для химиков: Учебное пособие. – М. Физический факультет МГУ, 2010. – 154 с., ил.
Практическое занятие № 1.
Тема: Операторы в квантовой механике. Коммутационные соотношения
Задача 1. Проверить линейность операторов:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
Решение. Чтобы определить является оператор линейным или нет, необходимо проверить удовлетворяет ли он условиям
Проверяя линейность оператора возведения в квадрат 
, подействуем им на сумму функций ψ и φ:
Таким образом, данный оператор линейным не является.
Все остальные операторы линейны. Действительно,
Задача 2. Показать, что операторы координат коммутируют между собой.
Решение. Рассмотрим, например, коммутатор 
и подействуем им на функцию ψ . Получим:
откуда заключаем, что 
Задача 3. Показать, что операторы проекций импульса коммутируют
Решение. Рассмотрим, например, операторы 
. Имеем:
Поскольку смешанные производные 
равны, то 
Задача 4. Найти коммутатор 
.
Решение. Действуя оператором на функцию ψ, находим:
или 
Задача 5. Доказать тождество 
Решение. По определению
В правую часть равенства добавим и вычтем оператор 
. Получим
Практическое занятие № 2.
Тема: Волновая функция. Среднее значение и дисперсия физических величин
Задача 1. Показать, что необходимым и достаточным условием вещественности среднего значения величины F является эрмитовость (самосопряженность) ее оператора 
Решение. Докажем сначала достаточность, т. е. докажем вещественность среднего значения F, считая эрмитовым оператором. Пользуясь определениями среднего значения и эрмитова оператора, имеем:
Теперь перейдем к доказательству необходимости. Пусть 
. Обозначим посредством 
среднее значение величины F в состоянии ψ, а посредством 
— среднее значение величины F в состоянии φ, т. е.
Рассмотрим функцию 
, где λ – произвольное комплексное число, C – константа, позволяющая нормировать функцию Ψ на 1. Среднее значение величины F в состоянии ψ есть
(1)
Перейдем к комплексно-сопряженному выражению для 
, учитывая, что
Вычитая из данного равенства равенство (1), получаем:
(2)
Поскольку равенство (2) должно выполняться при произвольных λ , то оба выражения в скобках должны по отдельности равняться нулю:
Следовательно, 
Задача 2. Найти связь между средними значениями координаты и импульса двух частиц, волновые функции которых Ψ1 и Ψ2 связаны соотношением
Решение. Среднее значение координаты первой частицы
Учитывая полученное соотношение, найдем среднее значение координаты второй частицы:
Для среднего значения импульса первой частицы имеем:
Тогда среднее значение импульса второй частицы
Практическое занятие № 3.
Тема: Собственные функции и собственные значения эрмитовых операторов
Задача 1. Найти собственные значения и собственные функции оператора проекции момента импульса на ось z, который в сферических координатах имеет вид
где φ – полярный угол.
Решение. Уравнение на собственные значения и собственные функции в данном случае запишется как
Это дифференциальное уравнение первого порядка, решением которого является функция
где C– некоторая константа. Для того чтобы функция ψ(φ) была однозначной необходимо выполнение условия
Таким образом, спектр оператора 
дискретный и невырожденный. Константу C находим из условия нормировки:
и, следовательно, собственные функции
Задача 2. Найти собственные значения и собственные функции оператора проекции импульса
Решение. Уравнение на собственные значения и собственные функции имеет вид:
(1)
где C – нормировочная константа. Решение (1) удовлетворяет требованиям однозначности, непрерывности и ограниченности при любом действительном значении px, то есть оператор 
обладает непрерывным спектром.
Для определения константы C воспользуемся условием 
:
(2)
Преобразуем правую часть (2), используя интегральное представление δ — функции. Имеем:
Сравнивая данное выражение с (2), находим:
Таким образом, собственными функциями оператора проекции импульса на ось x являются функции
Задача 3. Найти собственные функции оператора координаты 
Решение. Уравнение на собственные значения и собственные функции оператора 
есть
(1)
Здесь посредством r0 обозначены конкретные значения координаты в отличие от переменной r. Видно, что при r0≠r функция ψ(r) должна быть равна нулю, а при r0=r функция ψ(r) не определена. Из (1) следует:
(2)
Под dr в последнем равенстве понимается элемент объема dr = dxdydz. Решение уравнения (2) можно представить в виде
где C – нормировочная константа, которую определяем из условия 
(спектр оператора координаты очевидно является непрерывным):
откуда следует, что C =1.
Таким образом, собственные функции оператора суть
(3)
Функции (3) являются обобщенными функциями и не принадлежат к классу рассматривавшихся до сих пор классических функций.
Практическое занятие № 4.
Тема: Уравнение Шредингера. Изменение квантовых состояний во времени
Задача 1. Построить гамильтониан атома гелия
Решение. Пусть M1 – масса каждого из двух электронов, а M2 – масса ядра атома гелия. Радиус-вектор ядра обозначим посредством R, а радиусы-векторы электронов – посредством r1 и r2 . Потенциальная энергия системы будет складываться из энергий взаимодействий электронов с ядром и друг с другом (заряд ядра Z = 2):
где e — заряд электрона.
В соответствии с 
гамильтониан атома гелия имеет вид
Задача 2. Доказать, что для средних значений координаты 
и импульса 
частицы массы M выполняется соотношение
Решение. Продифференцируем выражение для среднего значения координаты
(1)
(2)
Из 
следует, что комплексно-сопряженная функция Ψ* удовлетворяет уравнению
(3)
Выражая производные 
в (2) с помощью и (3), имеем:
(4)
Пользуясь тем, что оператор 
эрмитов, перепишем (4) в виде
(5)
Используя выражение для гамильтониана 
и учитывая, что 
найдем:
(6)
С учетом (6) из (5) получаем:
что и требовалось доказать.
Практическое занятие № 5.
Тема: Одномерное движение. Непрерывный спектр
Задача 1. Найти значения энергии и волновые функции стационарных состояний одномерного свободного движения частицы массы М.
Решение. Поскольку движение свободное, то 
и из уравнения 
имеем:
Частные решения этого уравнения можно записать в виде
(1)
где C1,2 — произвольные константы, а 
представляет собой импульс частицы вдоль оси движения x.
Решение 
соответствует частице, движущейся вправо (ось x считаем направленной вправо), а решение 
описывает частицу, движущуюся влево. Таким образом, стационарные состояния c энергией E будут двукратно вырождены.
Решения (1) будут однозначными, непрерывными и ограниченными при любых действительных значениях импульса px, а следовательно, и при любых действительных значениях E>0. Это означает, что спектр свободного движения частицы является непрерывным.
С учетом нормировочной константы волновая функция для свободной частицы, движущейся вправо, запишется в виде:
Эта функция также является собственной функции оператора проекции импульса 
. Данный факт есть следствие возможности одновременного измерения кинетической энергии свободной частицы 
и ее импульса (операторы 
коммутируют).
Задача 2. Найти коэффициент отражения частицы, налетающей на “потенциальную ступеньку”
Энергия частицы E0 0) обозначим цифрой II и будем отмечать соответствующие ей решения индексом 2.
Уравнение Шрёдингера 
для частицы в таком силовом поле имеет вид:
и запишем уравнения Шрёдингера для областей I и II в новых обозначениях:
Решениями данных уравнений являются
Первое слагаемое в волновой функции 
описывает плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси x из −∞ к ступеньке, т. е. слева направо (падающая волна). Аналогично, второе слагаемое описывает плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси x в отрицательном направлении (отражённая волна).
Поскольку волновая функция должна быть ограниченной, а первое слагаемое в выражении для волновой функции 
неограниченно возрастает при x →+∞, то необходимо потребовать, чтобы коэффициент A2 перед этим слагаемым был равен нулю.
В силу того, что потенциальная ступенька имеет конечную высоту, волновая функция на границе раздела областей I и II должна быть не только непрерывной, но и гладкой, т. е. иметь непрерывную производную. Приравнивание волновых функций и их производных на границе раздела двух областей, в которых волновая функция имеет разный вид, получило название условий сшивания. В данном случае условия сшивания имеют вид
(1)
Уравнения (1) позволяют выразить коэффициенты B1 и B2 через коэффициент A1 – амплитуду падающей волны. Поскольку в подобных задачах все имеющие физический смысл величины, такие, например, как коэффициенты отражения, прохождения и т. д., выражаются через отношения коэффициентов B1 и B2 (или аналогичных им) к A1 , то без потери общности можно положить A1 = 1. При этом B1 и B2 для из (1) получаем:
Таким образом, волновые функции частицы равны:
Отметим, что система уравнений (1) имеет решения при любых значениях k1 и k2 , т. е. при любых значениях энергии E. Это означает, что частица обладает непрерывным энергетическим спектром.
Найдем плотности потоков вероятности:
Коэффициент отражения примет значение:
Полученный результат означает, что как и в классической механике, частицы со стопроцентной вероятностью отразятся от потенциальной ступеньки. Отличие от классического случая в данной задаче заключается в том, что частица с отличной от нуля вероятностью может оказаться в области II, т. е. под барьером. Действительно, волновая функция 
, а с ней и плотность вероятности нахождения частицы в области барьера 
, отличны от нуля и убывают по экспоненциальному закону с возрастанием x. Поэтому хоть отражение и является полным, оно не обязательно происходит на границе раздела областей I и II. С определенной вероятностью частица может проникнуть в область II и затем выйти из нее/
Практическое занятие № 6.
Тема: Частицы в потенциальных ямах
Задача 1. Найти собственные значения энергии и собственные функции частицы, находящейся в потенциальной яме шириной a с бесконечно высокими стенками:
Решение. Внутри потенциальной ямы (0 >1 при ξ → ±∞ . Теперь, пренебрегая в (3) членом 
по сравнению с ξ2, получаем тождество:
Поскольку нас интересуют только конечные решения, экспонента со знаком плюс в показателе должна быть отброшена. Таким образом, решение уравнения (3) ведет себя при ξ → ±∞ как 
В связи с этим при произвольном ξ будем искать решение в виде
(4)
Подставляя (4) в (3), получаем:
(5)
где введено обозначение
(6)
Из требования конечности ψ следует, что функция f(ξ) должна быть конечной при всех конечных значениях ξ . Поскольку движение частицы финитное, то на бесконечности волновая функция (4) должна обращаться в нуль. Удовлетворяющие указанным выше условиям решения уравнения (5) существуют лишь при
Из (6) следует, что собственные значения энергии при этом равны
(7)
Энергетические уровни гармонического осциллятора эквидистантны, т. е. расстояния между любыми соседними уровнями одинаковы и равны
Можно отметить следующие отличия энергетического спектра квантового осциллятора от классического:
1. энергетический спектр квантового осциллятора является дискретным, т. е. в отличие от классического случая частица не может иметь произвольные значения энергии;
2. энергия основного состояния квантового осциллятора отлична от нуля и
равна 
;
3. энергия квантового осциллятора в отличие от классического зависит от частоты, а не от амплитуды, которая в квантовой теории вообще не определена.
Собственными функциями уравнения (5) являются полиномы Эрмита, определяемые формулой
В соответствии с (4) собственные функции осциллятора имеют вид:
(8)
где Cn – нормировочные постоянные.
Функции (8) выражены через безразмерную переменную ξ . Возвращаясь к переменной x, находим:
Так как спектр гармонического осциллятора является дискретным, собственные функции ψn должны быть нормированы на единицу, т. е.
Таким образом, волновые функции гармонического осциллятора
Поскольку каждому значению энергии En соответствует только одна волновая функция ψn, то уровни энергии осциллятора являются невырожденными.
Практическое занятие № 8.
Тема: Элементы теории момента импульса
Задача 1. Найти следующие коммутаторы: 
Решение. а) Используя правила раскрытия коммутаторов, имеем:
(1)
Второй и третий из четырёх членов в правой части (1) оказываются равными нулю, поскольку оператор координаты и оператор проекции импульса на другую координату коммутируют между собой, а также коммутируют друг с другом операторы проекций импульса.
Найдем теперь значения первого и последнего членов в правой части равенства (1):
(2)
(3)
В равенствах (2) и (3) мы учли, что 
Таким образом, окончательно получаем:
(4)
Аналогично получаем для б и в
Это доказывает, что операторы проекций момента импульса на разные координаты не коммутируют друг с другом.
Задача 2. Показать, что каждый из операторов проекций момента импульса коммутирует с оператором квадрата момента импульса.
Решение. Рассмотрим, например, коммутатор 
Коммутаторы, стоящие в правой части этого выражения, равны:
Аналогично можно показать, что
Задача 3. Вычислить коммутаторы: 
Практическое занятие № 9.
Тема: Стационарная теория возмущений
Задача 1. Найти общий вид поправок к волновой функции и энергии в первом порядке теории возмущений
Решение. Подставляя 
и 
в стационарное уравнение Шрёдингера 
, получим
(1)
Ограничимся в (1) членами, порядок малости которых не превышает первого, т. е. членами, содержащими 
Тогда из (1) имеем:
Отметим, что члены содержат по два множителя первого порядка малости, являясь, тем самым, членами второго порядка малости, и, следовательно, ими также надо пренебречь. Принимая также во внимание уравнение Шрёдинегра для невозмущенной системы 
, получим:
(2)
Волновую функцию 
будем искать в виде разложения по собственным функциям 
невозмущенного оператора 
:
(3)
Подставим (3) в (2), умножим полученное равенство на 
и проинтегрируем по всему пространству. Уравнение (2) в этом случае примет вид:
(4)
Отсюда для m=n получаем:
(5)
представляет собой матричный элемент оператора 
по невозмущенным волновым функциям (оператор предполагается эрмитовым, т. е. 
). Отметим, что 
равняется среднему значению «возмущения» в состоянии 
.
Уравнение (4), однако, не позволяет найти коэффициент 
, и нам придётся определить его из условия нормировки волновой функции 
:
Здесь штрих у знака суммы означает пропуск слагаемого с m=n или k=n. В силу ортонормированности функций 
все суммы во втором и третьем членах равны нулю. Отсюда получаем, что
Ограничиваясь первым порядком малости, мы должны пренебречь членом 
, который является величиной второго порядка малости. Отсюда получаем, что 
. Таким образом,
Задача 2. Показать, что поправка второго порядка к энергии основного состояния всегда отрицательна.
Решение. Энергия основного состояния минимальна. Поэтому, если индекс n примет значение, отвечающее основному состоянию, то во всех слагаемых выражения
будет 
Поэтому, поправка второго порядка к энергии основного состояния всегда отрицательна.
Практическое занятие № 10.
Тема: Контрольная работа
Текст контрольной работы расположен в папке фонды оценочных средств.
И собственные значения
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
Квантовая механика, не ограниченная полуклассическим приближением, строится на совершенно другом основании, чем классическая физика. Состояние частицы описывается функцией, множество состояний образует гильбертого пространство функций. Измеряемая физическая величина описывается линейным оператором, действующим в гильбертовом пространстве.
Основные положения:
Состояние частицы описывается волновой функцией.
Физическая величина описывается оператором.
Собственные значения оператора являются возможными результатами измерения величины. Разложение волновой функции по ортонормированному базису собственных функций оператора дает вероятности возможных результатов измерения соответствующей физической величины.
Волновая функция и энергия частицы получаются в результате решения уравнения Шредингера.
Квантовая механика в общем случае не дает однозначных результатов для характеристик частицы, но лишь вероятности тех или иных результатов, которые удовлетворяют соотношениям неопределенностей.
ВОЛНОВАЯ функция
Состояние частицы выражает комплексная функция Y (пси), являющейся амплитудой вероятности обнаружения частицы:
.
Физический прибор – детектор частиц регистрирует 
. Физический смысл:
– вероятность обнаружения частицы в момент t в объеме 
около точки 
;
– плотность вероятности – вероятность обнаружения частицы в момент t в единичном объеме около точки r.
.
1) Определена с точностью до постоянного фазового множителя;
состояния 
и 
, где 
, физически не различимы;
2) Квадратично интегрируема, 
– существует;
3) Удовлетворяет принципу суперпозиции – если возможны состояния 
и 
, то возможно состояние
,
где 
– комплексные числа, определяющие вероятность обнаружения состояний 1 и 2.
ОператорЫ
Физической величине A сопоставляется линейный оператор 
. Исключением является время, которое считается параметром. Подразумевается, что правее оператора находиться функция, на которую он действует.
Оператор координаты 
, 
. (2.1)
Оператор проекции импульса
, 
. (2.2)
Свойства линейных операторов:
1) Умножение на число с
. (2.3)
, (2.4)
где 
и 
– числа.
3) Сложение операторов
. (2.5)
4) Умножение на оператор
. (2.6)
Операторы в общем случае не перестановочны при их перемножении, например:
,
.
Перестановочное соотношение, или коммутатор операторов:
.
Операторы и 
коммутируют, если 
. Примеры:
, 
,
. (2.7)
Собственные функции операторА
и собственные значения
Собственная функция 
оператора 
определяется уравнению
, (2.8)
– собственное значение оператора. Т.е. под действием оператора его собственная функция восстанавливается с точностью до постоянного множителя, который называется собственным значением.
Физический смысл – если система находится в состоянии , то измерение величины A, описываемой оператором , дает однозначный результат 
.
Спектр оператора – это множество его собственных значений 
.
Если счетное, то спектр дискретный.
Если образует непрерывный набор, то спектр непрерывный.
Если k разных собственных функций имеют одинаковые собственные значения, то спектр k-кратно вырожден.
Коммутирующие операторы имеют одинаковый набор собственных функций, соответствующие физические величины одновременно имеют определенные значения.
Пусть – собственная функция , тогда
.
Действуем оператором на обе стороны равенства
.
Учитываем коммутативность операторов
,
.
Следовательно, 
– собственная функция , пропорциональная :
.
В результате – собственная функция с собственным значением 
.
Оператор координаты. Пусть 
– собственная функция с собственным значением 
, тогда
Верхнее равенство записано по определению оператора координаты, нижнее – по определению собственной функции. В результате
Сравниваем с фильтрующим свойством дельта-функции
,
.
Функция равна нулю во всех точках, кроме 
, x0 – любое вещественное число, спектр x0 непрерывный. Вид функции согласуется с физическим смыслом состояния, что оправдывает выбор формы оператора координаты.
Как показано далее условие ортонормированности для непрерывного спектра имеет вид
.
.
Откуда 
, тогда собственная функция оператора координаты, или волновая функция частицы, находящейся в точке x0 оси x:
. (2.9)
Оператор импульса. Уравнение на собственную функцию дает
Получили дифференциальное уравнение первого порядка
.
,
,
.
Результат совпадает с координатной зависимостью плоской волны де Бройля
, (1.11)
описывающей движение частицы с постоянным импульсом. Это оправдывает выбор формы оператора импульса. Ограниченность вероятности |Ψр(x)| 2 при любых x требует вещественности р, в результате спектр непрерывный. Условие ортонормированности для непрерывного спектра
.
,
находим 
. Тогда собственная функция оператора импульса, или волновая функция частицы, движущейся с импульсом p вдоль оси x, равна
. (2.10)
ЭрмитовыЙ оператор
Оператор физической величины должен быть эрмитовым. Это обеспечивает вещественность и однозначность результатов измерения величины. Для определения операции эрмитового сопряжения используется квадратичная форма с оператором под интегралом. Такая форма выражает в частности среднее значение измеряемой величины.
Эрмитово сопряжение + для оператора определяется в виде
, (2.11)
где интегрирование проводится по всему объему пространства, занятого системой.
http://megaobuchalka.ru/3/19866.html