Уравнение на умножение и сложение

Порядок действий в математике

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Основные операции в математике

Основные операции, которые используют в математике — это сложение, вычитание, умножение и деление. Помимо этих операций есть ещё операции отношения, такие как равно (=), больше (>), меньше ( )
меньше (

Порядок вычисления простых выражений

Есть однозначное правило, которое определяет порядок выполнения действий в выражениях без скобок:

• действия выполняются по порядку слева направо
• сначала выполняется умножение и деление, а затем — сложение и вычитание.

Из этого правила становится яснее, какое действие выполняется первым. Универсального ответа нет, нужно анализировать каждый пример и подбирать ход решения самостоятельно.

Что первое, умножение или деление? — По порядку слева направо.

Сначала умножение или сложение? — Умножаем, потом складываем.

Порядок выполнения действий в математике (слева направо) можно объяснить тем, что в нашей культуре принято вести записи слева направо. А необходимость сначала умножить или разделить объясняется самой сутью этих операций.

Рассмотрим порядок арифметических действий в примерах.

Пример 1. Выполнить вычисление: 11- 2 + 5.

В нашем выражении нет скобок, умножение и деление отсутствуют, поэтому выполняем все действия в указанном порядке. Сначала вычтем два из одиннадцати, затем прибавим к остатку пять и в итоге получим четырнадцать.

Вот запись всего решения: 11- 2 + 5 = 9 + 5 = 14.

Пример 2. В каком порядке выполнить вычисления в выражении: 10 : 2 * 7 : 5?

Чтобы не ошибиться, перечитаем правило для выражений без скобок. У нас есть только умножение и деление — значит сохраняем записанный порядок вычислений и считаем последовательно слева направо.

Сначала выполняем деление десяти на два, результат умножаем на семь и получившееся в число делим на пять.

Запись всего решения выглядит так: 10 : 2 * 7 : 5 = 5 * 7 : 5 = 35 : 5 = 7.

Пока новые знания не стали привычными, чтобы не перепутать последовательность действий при вычислении значения выражения, удобно над знаками арифметический действий расставить цифры, которые соответствуют порядку их выполнения.

Например, в такой последовательности можно решить пример по действиям:

Действия первой и второй ступени

В некоторых учебниках по математике можно встретить разделение арифметических действий на действия первой и второй ступени.

• Действиями первой ступени называют сложение и вычитание, а умножение и деление — действиями второй ступени.

С этими терминами правило определения порядка выполнения действий звучит так:

Если выражение не содержит скобок, то по порядку слева направо сначала выполняются действия второй ступени (умножение и деление), затем — действия первой ступени (сложение и вычитание).

Порядок вычислений в выражениях со скобками

Иногда выражения могут содержать скобки, которые подсказывают порядок выполнения математических действий. В этом случае правило звучит так:

Сначала выполнить действия в скобках, при этом также по порядку слева направо выполняется умножение и деление, затем — сложение и вычитание.

Выражения в скобках рассматриваются как составные части исходного выражения. В них сохраняется уже известный нам порядок выполнения действий.

Рассмотрим порядок выполнения действий на примерах со скобками.

Пример 1. Вычислить: 10 + (8 — 2 * 3) * (12 — 4) : 2.

Как правильно решить пример:

Выражение содержит скобки, поэтому сначала выполним действия в выражениях, которые заключены в эти скобки.

Начнем с первого 8 — 2 * 3. Что сначала, умножение или вычитание? Мы уже знаем правильный ответ: умножение, затем вычитание. Получается так:

8 — 2 * 3 = 8 — 6 = 2.

Переходим ко второму выражению в скобках 12 — 4. Здесь только одно действие – вычитание, выполняем: 12 — 4 = 8.

Подставляем полученные значения в исходное выражение:

10 + (8 — 2 * 3) * (12 — 4) : 2 = 10 + 2 * 8 : 2.

Порядок действий: умножение, деление, и только потом — сложение. Получится:

10 + 2 * 8 : 2 = 10 + 16 : 2 = 10 + 8 = 18.

На этом все действия выполнены.

Ответ: 10 + (8 — 2 * 3) * (12 — 4) : 2 = 18.

Можно встретить выражения, которые содержат скобки в скобках. Для их решения, нужно последовательно применять правило выполнения действий в выражениях со скобками. Удобнее всего начинать выполнение действий с внутренних скобок и продвигаться к внешним. Покажем на примере.

Пример 2. Выполнить действия в выражении: 9 + (5 + 1 + 4 * (2 + 3)).

Перед нами выражение со скобками. Это значит, что выполнение действий нужно начать с выражения в скобках, то есть, с 5 + 1 + 4 * (2 + 3). Но! Это выражение также содержит скобки, поэтому начнем сначала с действий в них:

Подставим найденное значение: 5 + 1 + 4 * 5. В этом выражении сначала выполняем умножение, затем — сложение:

5 + 1 + 4 * 5 = 5 + 1 + 20 = 26.

Исходное значение, после подстановки примет вид 9 + 26, и остается лишь выполнить сложение: 9 + 26 = 35.

Ответ: 9 + (5 + 1 + 4 * (2 + 3)) = 35.

Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями

Если в выражение входят степени, корни, логарифмы, синус, косинус, тангенс и котангенс, а также другие функции — их значения нужно вычислить до выполнения остальных действий. При этом важно учитывать правила из предыдущих пунктов, которые задают очередность действий в математике.

Другими словами, перечисленные функции по степени важности можно приравнивать к выражению в скобках.

И, как всегда, рассмотрим, как это работает на примере.

Пример 1. Вычислить (4 + 1) * 3 + 62 : 3 — 7.

В этом выражении есть степень 62. И нам нужно найти ее значение до выполнения остальных действий. Выполним возведение в степень: 62 = 36.

Подставляем полученное значение в исходное выражение:

(4 + 1) * 3 + 36 : 3 — 7.

Дальше нам уже все знакомо: выполняем действия в скобках, далее по порядку слева направо выполняем сначала умножение, деление, а затем — сложение и вычитание. Ход решения выглядит так:

(4 + 1) * 3 + 36 : 3 — 7 = 3 * 3 + 36 : 3 — 7 = 9 + 12 — 7 = 14.

Ответ: (3 + 1) * 2 + 62 : 3 — 7 = 14.

Закрепить на практике тему «Порядок действий» можно на курсах по математике в Skysmart!

Зубодробительная задачка с очень простой математикой

Эта задача поставит в тупик половину интернета, но не вас.

Вот вам очень простой математический пример:

8 / 2(2 + 2)

Вы удивитесь, но большинство людей не смогут правильно это посчитать. Посчитайте сами и потом смотрите правильный ответ:

В интернете много споров про такие примеры, поэтому мы решили разобраться, какие ошибки совершают чаще всего и почему многие считают неправильно. Для решения нам понадобятся три математических правила:

1. То, что в скобках, выполняется в первую очередь. Если скобок несколько, они выполняются слева направо.
2. При отсутствии скобок математические действия выполняются слева направо, сначала умножение и деление, потом — сложение и вычитание.
3. Между множителем и скобкой (или двумя скобками) может опускаться знак умножения.

Разберём подробнее, что это значит в нашем случае.

1. То, что в скобках, выполняется в первую очередь. То есть в нашем примере, вне зависимости от чего угодно, сначала схлопнутся скобки:

8 / 2(2 + 2) → 8 / 2(4)

2. Между числом и скобкой можно опустить знак умножения. У нас перед скобкой двойка, то есть можно сделать такую замену:

3. Математические действия при отсутствии скобок выполняются слева направо: как при чтении, сначала умножение и деление, потом — сложение и вычитание. Умножение и деление имеют одинаковый приоритет. Нет такого, что сначала всегда делается умножение, затем деление, или наоборот. Со сложением и вычитанием то же самое.

Некоторые считают, что раз множители были написаны близко друг к другу (когда там стояли скобки), то оно выполняется в первую очередь, ссылаясь при этом на разные методические пособия. На самом деле это не так, и нет такого скрытого умножения, которое имеет приоритет над другим умножением или делением. Это такое же умножение, как и остальные, и оно делается в общем порядке — как и принято во всём математическом мире.

Получается, что нам сначала надо сложить 2 + 2 в скобках, потом 8 разделить на 2, и полученный результат умножить на то, что в скобках:

8 / 2 × (2 + 2) = 8 / 2 × 4 = 4 × 4 = 16

Кстати, если на айфоне записать это выражение точно так же, как в условии, телефон тоже даст правильный ответ.

А инженерный калькулятор на Windows 10 так записывать не умеет и пропускает первую двойку-множитель. Попробуйте сами 🙂

Тут в тред врываются математики и с воплями «Шустеф!» поясняют криком:

«В АЛГЕБРЕ ТОТ ЖЕ ПОРЯДОК ДЕЙСТВИЙ, ЧТО И В АРИФМЕТИКЕ, но есть исключение: в алгебре знак умножения связывает компоненты действия сильнее, чем знак деления, поэтому знак умножения опускается. Например, a:b·c= a: (b·c)».

Этот текст из «Методики преподавания алгебры», курс лекций, Шустеф М. Ф., 1967 год. (стр. 43)

Раз в спорном примере знак умножения опущен, то спорный пример алгебраический, а значит, сначала умножаем 2 на 4, а потом 8 делим на 8!

Та самая цитата.

А вот как на это отвечают те, кто действительно в теме и не ленится полностью посмотреть первоисточник:

«Для устранения недоразумений В. Л. Гончаров указывает, что предпочтительнее пользоваться в качестве знака деления чертой и ставить скобки [87]. П. С. Александров и А. Н. Колмогоров [59] предложили изменить порядок действий в арифметике и решать, например, так: 80:20×2=80:40=2 вместо обычного: 80:20×2=4×2=8. Однако это предложение не нашло поддержки».

Если апеллировать к Фриде Максовне Шустеф, то выходит, что:

1. В. Л. Гончаров говорит так: «Ребята, используйте черту и ставьте скобки, чтобы ни у кого не было вопросов про приоритет».
2. Если у нас всё же битва арифметики и алгебры, то, по П. С. Александрову и А. Н. Колмогорову, пример нужно решать слева направо, как обычно. Они, конечно, предложили решать такое по-другому, но научное сообщество их не поддержало.

Самое интересное, что дальше в примерах Фрида Максовна пользуется как раз правильным порядком действий, объясняя решение. Даже там, где есть умножение на скобку с опущенным знаком, она выполняет действия слева направо.

Полная цитата из Шустеф, которая, оказывается, имеет в виду совсем не то.

Порядок действий в математике – правила очередности

Основные операции в математике

При наличии скобок сначала выполняется действие, в них заключенное.

При появлении знаков или первыми выполняются они, лишь затем сложение или вычитание.

2 + 2 х 2 = 2 + 4 = 6

2 + 2 ÷ 2 = 2 + 1 = 3

Скобки могут частично ослабить эти правила, так как действие в них заключенное всегда выполняется в первую очередь.

(2 + 2) х 2 = 4 х 2 = 8

(2 + 2) ÷ 2 = 4 ÷ 2 = 2

Если в скобки заключено сложное выражение, внутри них работают стандартные правила.

(4 + 7 — 1) + 5 = (11 — 1) + 5 = 15

(5 + 3 х 2) — 4 = (5 + 6) — 4 = 11 — 4 = 7

При появлении двух и более знаков или нужно учитывать их очередность.

5 х 2 — 8 ÷ 4 = 10 — 2 = 8

Решение примеров с множественными скобками

5 + 8 ÷ 2 + 3 х (15 — 6 х 2 + 1) + 3 х (6 — 4) = ?

Распишем все расчеты поэтапно:

1. 6 х 2 = 12
2. 15 — 12 + 1 = 4
3. 6 — 4 = 2
4. 8 ÷ 2=4

Получаем сокращенную версию:

5 + 4 + 3 х 4 + 3 х 2 = ?

Снова расписываем:

1. 3 х 4 = 12
2. 3 х 2 = 6

Еще сократили: 5 + 4 + 12 + 6 = 27 Вариант 2: 3 + 2 х [10 — 3 х (6 ÷ 2)] + 1 = ? Сокращаем:

1. 6 ÷ 2 = 3
2. 10 — 3 х 3 = 10 — 9 = 1

Получили: 3 + 2 х 1 + 1 = 3 + 2 + 1 = 6 Вариант 3:<50 - [11 - (5 + 2)>х 4 = ? Сокращаем:

1. 5 + 2 = 7
2. 11 — 7 = 4
3. 50 — 4 = 46
4. 46 х 4 = 184

Ответ: 184

Законы сложения и умножения Также описывают общие принципы проведения вычислений.

(a + b) + c = a + (b + c)

a х (b х c) = (a х b) х c

a х (b + c)=a х b + a х c

(a + b) х c= a х c + b х c

Знание этих законов поможет проводить необходимые вычисления быстрее.

Важно! В случае замены + и х на — и ÷ соответственно эти правила перестают действовать.

Несмотря на легкость понимания, очередность выполнения операций жизненно важна, так как все сложные формулы (логарифмы, интегралы и так далее) по сути представляют собой сокращенную форму написания длинной цепи простых вычислений. Чтобы закрепить материал статьи, рекомендуем посмотреть видео ниже. Рекомендуем посмотреть видео о порядке дейсивий в математике