Примеры разложения многочленов на множители
Примеры с решением квадратного уравнения
Пример 1.1
Разложить многочлен на множители:
x 4 + x 3 – 6 x 2 .
Выносим x 2 за скобки:
.
Решаем квадратное уравнение x 2 + x – 6 = 0 :
.
Корни уравнения:
, .
Отсюда получаем разложение многочлена на множители:
.
Пример 1.2
Разложить на множители многочлен третьей степени:
x 3 + 6 x 2 + 9 x .
Выносим x за скобки:
.
Решаем квадратное уравнение x 2 + 6 x + 9 = 0 :
Его дискриминант: .
Поскольку дискриминант равен нулю, то корни уравнения кратные: ;
.
Отсюда получаем разложение многочлена на множители:
.
Пример 1.3
Разложить на множители многочлен пятой степени:
x 5 – 2 x 4 + 10 x 3 .
Выносим x 3 за скобки:
.
Решаем квадратное уравнение x 2 – 2 x + 10 = 0 .
Его дискриминант: .
Поскольку дискриминант меньше нуля, то корни уравнения комплексные: ;
, .
Разложение многочлена на множители имеет вид:
.
Если нас интересует разложение на множители с действительными коэффициентами, то:
.
Примеры разложения многочленов на множители с помощью формул
Примеры с биквадратными многочленами
Пример 2.1
Разложить биквадратный многочлен на множители:
x 4 + x 2 – 20 .
Применим формулы:
a 2 + 2 ab + b 2 = ( a + b ) 2 ;
a 2 – b 2 = ( a – b )( a + b ) .
;
.
Пример 2.2
Разложить на множители многочлен, сводящийся к биквадратному:
x 8 + x 4 + 1 .
Применим формулы:
a 2 + 2 ab + b 2 = ( a + b ) 2 ;
a 2 – b 2 = ( a – b )( a + b ) :
;
;
.
Пример 2.3 с возвратным многочленом
Разложить на множители возвратный многочлен:
.
Возвратный многочлен имеет нечетную степень. Поэтому он имеет корень x = – 1 . Делим многочлен на x – (–1) = x + 1 . В результате получаем:
.
Делаем подстановку:
, ;
;
;
.
Примеры разложения многочленов на множители с целыми корнями
Пример 3.1
Разложить многочлен на множители:
.
Предположим, что уравнение
имеет хотя бы один целый корень. Тогда он является делителем числа 6 (члена без x ). То есть целый корень может быть одним из чисел:
–6, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 6 .
Подставляем поочередно эти значения:
(–6) 3 – 6·(–6) 2 + 11·(–6) – 6 = –504 ;
(–3) 3 – 6·(–3) 2 + 11·(–3) – 6 = –120 ;
(–2) 3 – 6·(–2) 2 + 11·(–2) – 6 = –60 ;
(–1) 3 – 6·(–1) 2 + 11·(–1) – 6 = –24 ;
1 3 – 6·1 2 + 11·1 – 6 = 0 ;
2 3 – 6·2 2 + 11·2 – 6 = 0 ;
3 3 – 6·3 2 + 11·3 – 6 = 0 ;
6 3 – 6·6 2 + 11·6 – 6 = 60 .
Итак, мы нашли три корня:
x 1 = 1 , x 2 = 2 , x 3 = 3 .
Поскольку исходный многочлен – третьей степени, то он имеет не более трех корней. Поскольку мы нашли три корня, то они простые. Тогда
.
Пример 3.2
Разложить многочлен на множители:
.
Предположим, что уравнение
имеет хотя бы один целый корень. Тогда он является делителем числа 2 (члена без x ). То есть целый корень может быть одним из чисел:
–2, –1, 1, 2 .
Подставляем поочередно эти значения:
(–2) 4 + 2·(–2) 3 + 3·(–2) 3 + 4·(–2) + 2 = 6 ;
(–1) 4 + 2·(–1) 3 + 3·(–1) 3 + 4·(–1) + 2 = 0 ;
1 4 + 2·1 3 + 3·1 3 + 4·1 + 2 = 12 ;
2 4 + 2·2 3 + 3·2 3 + 4·2 + 2 = 54 .
Итак, мы нашли один корень:
x 1 = –1 .
Делим многочлен на x – x 1 = x – (–1) = x + 1 :
Тогда,
.
Теперь нужно решить уравнение третьей степени:
.
Если предположить, что это уравнение имеет целый корень, то он является делителем числа 2 (члена без x ). То есть целый корень может быть одним из чисел:
1, 2, –1, –2 .
Подставим x = –1 :
.
Итак, мы нашли еще один корень x 2 = –1 . Можно было бы, как и в предыдущем случае, разделить многочлен на , но мы сгруппируем члены:
.
Поскольку уравнение x 2 + 2 = 0 не имеет действительных корней, то разложение многочлена на множители имеет вид:
.
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 18-06-2015
Разложение многочлена на множители
Разложить многочлен на множители означает представить его в виде произведения двух или нескольких многочленов.
Примером разложения многочлена на множители является вынесение общего множителя за скобки, поскольку исходный многочлен обращается в произведение двух сомножителей, один из которых является одночленом, а другой многочленом.
Разложение многочлена на множители способом вынесения общего множителя за скобки
При вынесении общего множителя за скобки образуется произведение из двух сомножителей, один из которых является одночленом, а другой многочленом. Например:
В рамках изучения многочленов, одночлен принято считать многочленом, состоящим из одного члена. Поэтому, когда в многочлене выносится за скобки общий множитель, то говорят что исходный многочлен представлен в виде произведения многочленов.
В нашем примере многочлен 6x + 3xy был представлен в виде произведения многочленов 3x и (2 + y) . По-другому говорят, что многочлен 6x + 3xy разложен на множители 3x и (2 + y)
Существуют также многочлены, в которых можно вынести за скобки такой общий множитель, который является двучленом. Например, рассмотрим многочлен 5a(x + y) + 7a(x + y) . В этом многочлене общим множителем является двучлен (x + y) . Вынесем его за скобки:
Разложение многочлена на множители способом группировки
Некоторые многочлены содержат группу членов, имеющих общий множитель. Такие группы можно заключать в скобки и далее выносить общий множитель за эти скобки. В результате получается разложение исходного многочлена на множители, которое называют разложением на множители способом группировки.
Рассмотрим следующий многочлен:
Члены ax и ay имеют общий множитель a . Выпишем эти члены и заключим их в скобки:
Далее в многочлене ax + ay + 3 x + 3 y члены 3x и 3y имеют общий множитель 3. Выпишем эти члены и тоже заключим их в скобки:
Теперь соединим выражения (ax + ay) и (3x + 3y) знаком «плюс»
В многочлене (ax + ay) вынесем за скобки общий множитель a , а в многочлене (3x + 3y) вынесем за скобки общий множитель 3. Делать это нужно в исходном выражении:
Далее замечаем, что двучлен (x + y) является общим множителем. Вынесем его за скобки. Продолжаем решение в исходном примере. В результате получим:
Запишем решение покороче, не расписывая подробно, как каждый член был разделен на общий множитель. Тогда решение получится более компактным:
Чтобы проверить правильно ли мы разложили многочлен на множители, выполним умножение (x + y)(a + 3) . Если мы всё сделали правильно, то получим многочлен ax + ay + 3x + 3y
Пример 2. Разложить многочлен 9x + ax − 9y − ay на множители способом группировки.
Члены 9x и −9y имеют общий множитель 9. А члены ax и −ay имеют общий множитель a . Сгруппируем их с помощью скобок, и объединим с помощью знака «плюс»
В первой группе (9x − 9y) вынесем за скобки общий множитель 9. Во второй группе (ax − ay) вынесем за скобки за скобки общий множитель a
Далее вынесем за скобки двучлен (x − y)
Пример 3. Разложить многочлен ab − 3b + b 2 − 3a на множители способом группировки.
Сгруппируем первый член ab с четвёртым членом −3a . А второй член −3b сгруппируем с третьим членом b 2 . Не забываем, что объединять группы нужно с помощью знака «плюс»
В первой группе вынесем за скобки общий множитель a , во второй группе — общий множитель b
Во втором произведении b(−3 + b) в сомножителе (−3 + b) изменим порядок следования членов. Тогда получим b(b − 3)
Теперь вынесем за скобки общий множитель (b − 3)
Пример 4. Разложить многочлен x 2 y + x + xy 2 + y + 2xy + 2 на множители способом группировки.
Сгруппируем первый член многочлена со вторым, третий с четвёртым, пятый с шестым:
В первой группе вынесем за скобки общий множитель x , во второй группе — общий множитель y , в третьей группе — общий множитель 2
Далее замечаем, что многочлен (xy + 1) является общим множителем. Вынесем его за скобки:
Разложение многочлена на множители по формуле квадрата суммы двух выражений
Формулы сокращённого умножения, которые мы рассматривали в прошлом уроке, можно применять для разложения многочленов на множители.
Вспомним, как выглядит формула квадрата суммы двух выражений:
Поменяем местами левую и правую часть, получим:
Левая часть этого равенства является многочленом, а правая часть — произведением многочленов, поскольку выражение (a + b) 2 представляет собой перемножение двух сомножителей, каждый из которых равен многочлену (a + b).
Стало быть, если нам встретится выражение вида a 2 + 2ab + b 2 , то мы можем представить его в виде произведения (a + b) (a + b) . Иными словами, разложить на множители (a + b) и (a + b).
Пример 1. Разложить на множители многочлен 4x 2 + 12xy + 9y 2
Чтобы воспользоваться формулой a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 , нужно узнать чему в данном случае равна переменная a и чему равна переменная b .
Первый член многочлена 4x 2 + 12xy + 9y 2 является результатом возведения в квадрат одночлена 2x , поскольку (2x) 2 = 4x 2 . Третий член 9y 2 является результатом возведения в квадрат одночлена 3y , поскольку (3y) 2 = 9y 2 , а член 12xy это есть удвоенное произведение членов 2x и 3y , то есть 2 × 2x × 3y = 12xy .
Очевидно, что переменная a в данном случае равна 2x , а переменная b равна 3y
Тогда можно сделать вывод, что когда-то выражение 4x 2 + 12xy + 9y 2 выглядело в виде квадрата суммы (2x + 3y) 2 , но в результате применения формулы квадрата суммы оно обратилось в многочлен 4x 2 + 12xy + 9y 2 . Наша задача — вернуть ему былую форму, то есть представить в виде (2x + 3y) 2
А поскольку (2x + 3y) 2 это произведение двух сомножителей, каждый из которых равен многочлену (2x + 3y) , то исходный многочлен 4x 2 + 12xy + 9y 2 можно представить в виде разложения на множители (2x + 3y) и (2x + 3y)
Полностью решение можно записать так:
Пример 2. Разложить на множители многочлен x 2 + 12x + 36
Первый член данного многочлена является результатом возведения в квадрат одночлена x, поскольку x 2 = x 2 , третий член — результатом возведения в квадрат числа 6, поскольку 6 2 = 36 , а член 12x это удвоенное произведение членов x и 6 , поскольку 2 × x × 6 = 12x .
Воспользуемся формулой a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 . Роль переменной a играет одночлен x , а роль переменной b играет одночлен 6 . Отсюда:
А поскольку (x + 6) 2 это произведение двух сомножителей, каждый из которых равен многочлену (x + 6) , то исходный многочлен x 2 + 12x + 36 можно представить в виде разложения на множители (x + 6) и (x + 6)
Разложение многочлена на множители по формуле квадрата разности двух выражений
Как и по формуле квадрата суммы двух выражений, многочлен можно разложить на множители по формуле квадрата разности двух выражений.
Формула квадрата разности двух выражений выглядит так:
Если в этой формуле поменять местами левую и правую часть, то получим:
Поскольку правая часть это произведение двух сомножителей, каждый из которых равен (a − b), то многочлен вида a 2 − 2ab + b 2 можно разложить на множители (a − b) и (a − b).
Пример 1. Разложить на множители многочлен 9x 2 − 12xy + 4y 2
Чтобы воспользоваться формулой a 2 − 2ab + b 2 = (a − b) 2 , нужно узнать чему в данном случае равна переменная a и чему равна переменная b .
Первый член данного многочлена является результатом возведения в квадрат одночлена 3x , поскольку (3x) 2 = 9x 2 . Третий член 4y 2 является результатом возведения в квадрат одночлена 2y , поскольку (2y) 2 = 4y 2 , а член 12xy это удвоенное произведение членов 3x и 2y , то есть 2 × 3x × 2y = 12xy .
Очевидно, что переменная a в данном случае равна 3x , а переменная b равна 2y
Тогда можно сделать вывод, что когда-то выражение 9x 2 − 12xy + 4y 2 выглядело в виде квадрата разности (3x − 2y) 2 , но в результате применения формулы квадрата разности оно обратилось в многочлен 9x 2 − 12xy + 4y 2 . Наша задача — вернуть ему былую форму, то есть представить в виде (3x − 2y) 2
А поскольку (3x − 2y) 2 это произведение двух сомножителей, каждый из которых равен многочлену (3x − 2y) , то исходный многочлен 9x 2 − 12xy + 4y 2 можно представить в виде разложения на множители (3x − 2y) и (3x − 2y)
Полностью решение можно записать так:
Пример 2. Разложить на множители многочлен x 2 − 4x + 4
Воспользуемся формулой квадрата разности двух выражений:
Разложение многочлена на множители по формуле куба суммы двух выражений
Вспомним, как выглядит формула куба суммы двух выражений:
Поменяем местами левую и правую часть, получим:
Левая часть этого равенства является многочленом, а правая часть — произведением многочленов, поскольку выражение (a + b) 3 представляет собой перемножение трёх сомножителей, каждый из которых равен многочлену (a + b).
Стало быть, если нам встретится выражение вида a 3 + 3a 2 b +3ab 2 + b 3 , то мы можем представить его в виде произведения (a + b)(a + b)(a + b) . Иными словами, разложить на множители (a + b), (a + b) и (a + b).
Пример 1. Разложить на множители многочлен m 3 + 6m 2 n + 12mn 2 + 8n 3
Прежде чем применять формулу куба суммы, следует проанализировать данный многочлен. А именно, убедиться что перед нами действительно куб суммы двух выражений.
Чтобы убедиться, что исходное выражение является кубом суммы двух выражений, следует узнать чему в данном случае равна переменная a и чему равна переменная b .
Первый член данного многочлена является результатом возведения в куб одночлена m
Последний член 8n 3 является результатом возведения в куб одночлена 2n
Второй член 6m 2 n является утроенным произведением квадрата первого выражения m и последнего 2n
Третий член 12mn 2 является утроенным произведением первого выражения m и квадрата последнего выражения 2n
То есть исходный многочлен m 3 + 6m 2 n + 12mn 2 + 8n 3 по всем параметрам соответствует кубу суммы двух выражений. Переменной a в данном многочлене соответствует m , а переменной b соответствует 2n
Тогда можно сделать вывод, что когда-то выражение m 3 + 6m 2 n + 12mn 2 + 8n 3 выглядело в виде куба суммы (m + 2n) 3 , но в результате применения формулы куба суммы оно обратилось в многочлен m 3 + 6m 2 n + 12mn 2 + 8n 3 . Наша задача — вернуть ему былую форму, то есть представить в виде (m + 2n) 3
А поскольку (m + 2n) 3 это произведение трёх сомножителей, каждый из которых равен многочлену (m + 2n) , то исходный многочлен m 3 + 6m 2 n + 12mn 2 + 8n 3 можно представить в виде разложения на множители (m + 2n), (m + 2n) и (m + 2n)
Пример 2. Разложить на множители многочлен 125x 3 + 75x 2 + 15x + 1
Первый член данного многочлена является результатом возведения в куб одночлена 5x
Последний член 1 является результатом возведения в куб одночлена 1
Второй член 75x 2 является утроенным произведением квадрата первого выражения 5x и последнего 1
Третий член 15x является утроенным произведением первого выражения 5x и квадрата второго выражения 1
Воспользуемся формулой a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 . Роль переменной a играет одночлен 5x , а роль переменной b играет одночлен 1
А поскольку (5x + 1) 3 это произведение трёх сомножителей, каждый из которых равен многочлену (5x + 1) , то исходный многочлен 125x 3 + 75x 2 + 15x + 1 можно представить в виде разложения на множители (5x + 1), (5x + 1) и (5x + 1)
Разложение многочлена на множители по формуле куба разности двух выражений
Как и по формуле куба суммы двух выражений, многочлен можно разложить на множители по формуле куба разности двух выражений.
Вспомним, как выглядит формула куба разности двух выражений:
Если в этой формуле поменять местами левую и правую часть, то получим:
Поскольку правая часть это произведение трёх сомножителей, каждый из которых равен (a − b), то многочлен вида a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 можно разложить на множители (a − b), (a − b) и (a − b).
Пример 1. Разложить на множители многочлен 64 − 96x + 48x 2 − 8x 3
Прежде чем применять формулу куба разности, следует проанализировать данный многочлен. А именно, убедиться что перед нами действительно куб разности двух выражений.
Чтобы убедиться, что исходное выражение является кубом разности двух выражений, следует узнать чему в данном случае равна переменная a и чему равна переменная b .
Первый член данного многочлена является результатом возведения в куб одночлена 4
Последний член 8x 3 является результатом возведения в куб одночлена 2x
Второй член 96x является утроенным произведением квадрата первого выражения 4 и последнего 2x
Третий член 48x 2 является утроенным произведением первого выражения 4 и квадрата второго выражения 2x
3 × 4 × (2x) 2 = 3 × 4 × 4x 2 = 48x 2
Видим, что исходный многочлен 64 − 96x + 48x 2 − 8x 3 по всем параметрам соответствует кубу разности двух выражений. Переменной a в данном многочлене соответствует 4 , а переменной b соответствует 2x
Тогда можно сделать вывод, что когда-то выражение 64 − 96x + 48x 2 − 8x 3 выглядело в виде куба разности (4 − 2x) 3 , но в результате применения формулы куба разности оно обратилось в многочлен 64 − 96x + 48x 2 − 8x 3 . Наша задача — вернуть ему былую форму, то есть представить в виде (4 − 2x) 3
А поскольку (4 − 2x) 3 это произведение трёх сомножителей, каждый из которых равен (4 − 2x) , то исходный многочлен 64 − 96x + 48x 2 − 8x 3 можно представить в виде разложения на множители (4 − 2x) , (4 − 2x) и (4 − 2x)
Пример 2. Разложить на множители многочлен 27 − 135x + 225x 2 − 125x 3
Первый член данного многочлена является результатом возведения в куб одночлена 3
Последний член 125 является результатом возведения в куб одночлена 5x
Второй член 135x является утроенным произведением квадрата первого выражения 3 и последнего 5x
Третий член 225x 2 является утроенным произведением первого выражения 3 и квадрата второго выражения 5x
3 × 3 × (5x) 2 = 3 × 3 × 25x 2 = 225x 2
Воспользуемся формулой a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 = (a − b) 3 . Роль переменной a играет одночлен 3 , а роль переменной b играет одночлен 5x
А поскольку (3 − 5x) 3 это произведение трёх сомножителей, каждый из которых равен многочлену (3 − 5x) , то исходный многочлен 27 − 135x + 225x 2 − 125x 3 можно представить в виде разложения на множители (3 − 5x) , (3 − 5x) и (3 − 5x)
Разложение многочлена на множители по формуле разности квадратов двух выражений
Вспомним, как выглядит формула умножения разности двух выражений на их сумму:
Если в этой формуле поменять местами левую и правую часть, то получим:
Эту формулу называют разностью квадратов. Она позволяет разложить выражение вида a 2 − b 2 на множители (a − b) и (a + b).
Пример 1. Разложить на множители многочлен 16x 2 − 25y 2
Чтобы воспользоваться формулой a 2 − b 2 = (a − b)(a + b), следует узнать чему в данном случае равна переменная a и чему равна переменная b .
Первый член 16x 2 является результатом возведения в квадрат одночлена 4x
Второй член 25y 2 является результатом возведения в квадрат одночлена 5y
То есть в данном случае переменной a соответствует одночлен 4x , а переменной b соответствует одночлен 5y
Теперь можно воспользоваться формулой a 2 − b 2 = (a − b)(a + b) . Подставим в неё наши значения a и b
Полностью решение можно записать так:
Для проверки можно выполнить умножение (4x − 5y)(4x + 5y) . Если мы всё сделали правильно, то должны получить 16x 2 − 25y 2
Пример 2. Разложить на множители многочлен x 2 − y 2
В данном случае переменной a соответствует x , а переменной b соответствует y . Тогда по формуле квадрата разности имеем:
Случай как в данном примере является наиболее простым, поскольку здесь сразу видно чему равно a и чему равно b .
Чаще всего члены, из которых состоит исходная разность, являются результатами возведения во вторую степень каких-нибудь одночленов. Чтобы узнать чему в таком случае равны a и b, нужно как в первом примере представить члены исходной разности в виде одночленов возведённых в квадрат.
Например, чтобы разложить многочлен 4x 4 − 9y 6 на множители, нужно исходные члены представить в виде одночленов возведённых в квадрат. Первый член в виде одночлена, возведенного в квадрат, можно записать как (2x 2 ) 2 , поскольку вычисление этого выражение даёт в результате 4x 4
А член 9y 6 в виде одночлена, возведенного в квадрат, можно записать как (3 y 3 ) 2 , поскольку вычисление этого выражение даёт в результате 9y 6
Теперь мы знаем, чему равны a и b . Они равны 2x 2 и 3y 3 соответственно. Подставим их в формулу a 2 − b 2 = (a − b)(a + b)
Полностью решение можно записать так:
Несмотря на простоту разложения по формуле разности квадратов, частые ошибки приходятся именно на эти задачи. Чтобы убедиться, что задача решена правильно, не мешает выполнить умножение в получившемся разложении. Если задача решена правильно, то должен получиться изначальный многочлен.
Проверим умножением данный пример. У нас должен получиться многочлен 4x 4 − 9y 6
Пример 4. Разложить на множители многочлен 81 − 64
Представим члены исходной разности в виде одночленов возведенных в квадрат. Далее воспользуемся формулой разности квадратов:
81 − 64 = 9 2 − 8 2 = (9 − 8)(9 + 8)
Разложение многочлена на множители по формуле сумме кубов двух выражений
Мы помним, что произведение суммы двух выражений и неполного квадрата их разности равно сумме кубов этих выражений:
Если в этой формуле поменять местами левую и правую часть, то получим формулу, называемую суммой кубов двух выражений:
Эта формула позволяет разложить выражение вида a 3 + b 3 на множители (a + b) и (a 2 − ab + b 2 ) .
Пример 1. Разложить на множители многочлен 27x 3 + 64y 3
Представим члены 27x 3 и 64y 3 в виде одночленов, возведённых в куб
Теперь воспользуемся формулой суммы кубов. Переменная a в данном случае равна 3x , переменная b равна 4y
Пример 2. Разложить на множители многочлен 125 + 8
Представим члены 125 и 8 в виде одночленов, возведённых в куб:
125 + 8 = 5 3 + 2 3
Далее воспользуемся формулой суммы кубов:
125 + 8 = 5 3 + 2 3 = (5 + 2)(25 − 10 + 4)
Разложение многочлена на множители по формуле разности кубов двух выражений
Произведение разности двух выражений и неполного квадрата их суммы равно разности кубов этих выражений:
Если в этой формуле поменять местами левую и правую часть, то получим формулу, называемую разностью кубов двух выражений:
Эта формула позволяет разложить выражение вида a 3 − b 3 на множители (a − b) и (a 2 + ab + b 2 ) .
Пример 1. Разложить на множители многочлен 64x 3 − 27y 3
Представим члены 64x 3 и 27y 3 в виде одночленов, возведённых в куб:
Теперь воспользуемся формулой разности кубов. Переменная a в данном случае равна 4x , переменная b равна 3y
Пример 2. Разложить на множители многочлен 64 − 27
Представим члены 64 и 27 в виде одночленов, возведённых в куб:
64 − 27 = 4 3 − 3 3 = (4 − 3)(16 + 12 + 9)
Пример 3. Разложить на множители многочлен 125x 3 − 1
Представим члены 125x 3 и 1 в виде одночленов, возведённых в куб:
Теперь воспользуемся формулой разности кубов. Переменная a в данном случае равна 5x , переменная b равна 1
Разложение многочлена на множители различными способами
К некоторым многочленам можно применять различные способы разложения на множители. Например, к одному многочлену можно применить способ вынесения общего за скобки, а затем воспользоваться одной из формул сокращённого умножения.
Пример 1. Разложить на множители многочлен ax 2 − ay 2
В данном многочлене содержится общий множитель a . Вынесем его за скобки:
При этом в скобках образовался многочлен, который является разностью квадратов. Применив формулу разности квадратов. Тогда получим:
Пример 2. Разложить на множители многочлен 3x 2 + 6xy + 3y 2
Вынесем за скобки общий множитель 3
В скобках образовался многочлен, который является квадратом суммы двух выражений, а именно выражений x и y . Тогда этот квадрат суммы можно представить как (x + y) 2 и далее записать в виде двух сомножителей, каждый из которых равен (x + y)
Формулы сокращенного умножения с примерами
Формулами сокращенного умножения (ФСУ) называют несколько наиболее часто встречающихся в практике случаев умножения многочленов.
ФСУ используются при упрощении алгебраических выражений (в том числе в работе с алгебраическими дробями ), решении уравнений и неравенств , при разложении на множители и т.д. Ниже мы рассмотрим наиболее популярные формулы и разберем как они получаются.
Квадрат суммы
Пусть у нас возводиться в квадрат сумма двух одночленов, вот так: \((a+b)^2\). Возведение в квадрат – это умножение числа или выражения само на себя, то есть, \((a+b)^2=(a+b)(a+b)\). Теперь мы можем просто раскрыть скобки, перемножив их как делали это здесь , и привести подобные слагаемые. Получаем:
А если мы опустим промежуточные вычисления и запишем только начальное и конечное выражения, получим окончательную формулу:
Квадрат суммы: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
Большинство учеников учат ее наизусть. А вы теперь знаете, как эту формулу вывести, и если вдруг забудете – всегда можете это сделать.
Хорошо, но как ей пользоваться и зачем эта формула нужна? Квадрат суммы позволяет быстро писать результат возведения суммы двух слагаемых в квадрат. Давайте посмотрим на примере.
Обратите внимание, насколько быстрее и меньшими усилиями получен результат во втором случае. А когда вы эту и другие формулы освоите до автоматизма – будет еще быстрее: вы сможете просто сразу же писать ответ. Поэтому они и называются формулы СОКРАЩЕННОГО умножения. Так что, знать их и научиться применять – точно стоит.
На всякий случай отметим, что в качестве \(a\) и \(b\) могут быть любые выражения – принцип остается тем же. Например:
Если вы вдруг не поняли какие-то преобразования в двух последних примерах – повторите свойства степеней и тему приведения одночлена к стандартному виду .
Пример. Преобразуйте выражение \((1+5x)^2-12x-1 \) в многочлен стандартного вида.
Раскроем скобки, воспользовавшись формулой квадрата суммы.
…и приведем подобные слагаемые.
Важно! Необходимо научиться пользоваться формулами не только в «прямом», но и в «обратном» направлении.
Пример. Вычислите значение выражения \((368)^2+2·368·132+(132)^2\) без калькулятора.
Мда… возводить в квадрат трехзначные числа, перемножить их же, а потом все это складывать – удовольствие ниже среднего. Давайте искать другой путь: обратите внимание, что данное нам числовое выражение очень похоже на правую часть формулы. Применим ее в обратную сторону: \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)
Вот теперь вычислять гораздо приятнее!
Квадрат разности
Выше мы нашли формулу для суммы одночленов. Давайте теперь найдем формулу для разности, то есть, для \((a-b)^2\):
В более краткой записи имеем:
Квадрат разности: \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
Применяется она также, как и предыдущая.
Пример. Упростите выражение \((2a-3)^2-4(a^2-a)\) и найдите его значение при \(a=\frac<17><8>\).
Если сразу подставить дробь в выражение – придется возводить ее в квадрат и вообще делать объемные вычисления. Попробуем сначала упростить выражение, воспользовавшись формулой выше и раскрыв скобки .
Теперь приведем подобные слагаемые.
Вот теперь подставляем и наслаждаемся простотой вычислений.
Разность квадратов
Итак, мы разобрались с ситуациями произведения двух скобок с плюсом в них и двух скобок с минусом. Остался случай произведения одинаковых скобок с разными знаками. Смотрим, что получится:
Разность квадратов \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)
Эта формула одна из наиболее часто применяемых при разложении на множители и работе с алгебраическими дробями .
Да, я знаю, что рука так и тянется сократить иксы и девятку с тройкой – однако так делать ни в коем случае нельзя, ведь и в числителе, и в знаменателе стоит минус!
Попробуем воспользоваться формулой.
Вот теперь все плюсы и минусы попрятались в скобки, и значит без проблем можем сокращать одинаковые скобки.
Воспользуемся формулами степеней: \((a^n )^m=a^
Ну, а теперь пользуемся формулой \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\), где \(a=5x^2\) и \(b=m^5 t^3\).
Это три основные формулы, знать которые нужно обязательно! Есть еще формулы с кубами (см. выше), их тоже желательно помнить либо уметь быстро вывести. Отметим также, что в практике часто встречаются сразу несколько таких формул в одной задаче – это нормально. Просто приучайтесь замечать формулы и аккуратно применяйте их, и все будет хорошо.
На первый взгляд тут тихий ужас и сделать с ним ничего нельзя (вариант «лечь и помереть» всерьез не рассматриваем).
Однако давайте попробуем поменять два последних слагаемых числителя местами и добавим скобки (просто для наглядности).
Теперь немного преобразуем слагаемые в скобке:
\(4xy\) запишем как \(2·x·2y\),
а \(4y^2\) как \((2y)^2\).
Теперь приглядимся – и заметим, что в скобке у нас получилась формула квадрата разности, у которой \(a=x\), \(b=2y\). Сворачиваем по ней к виду скобки в квадрате. И одновременно представляем девятку как \(3\) в квадрате.
Еще раз внимательно смотрим на числитель… думаем… думаем… и замечаем формулу разности квадратов, у которой \(a=(x-2y)\), \(b=3\). Раскладываем по ней к произведению двух скобок.
И вот теперь сокращаем вторую скобку числителя и весь знаменатель.
http://spacemath.xyz/razlozhenie-mnogochlena-na-mnozhiteli/
http://cos-cos.ru/math/140/