Уравнение направляющей цилиндрической поверхности онлайн

Цилиндрические поверхности

Если через каждую точку кривой L провести прямую, параллельно данному вектору а, то получим поверхность, которая называется цилиндрической поверхностью. Прямые, параллельные вектору а и принадлежащие цилиндрической поверхности, называются образующими этой поверхности, а кривая L называется направляющей цилиндрической поверхности (рис. 225).

Если в сечении цилиндрической поверхности плоскостью, перпендикулярной к ее образующим, (в нормальном сечении) получается окружность, то цилиндрическая поверхность называется круговой. Если в сечении получается эллипс, то цилиндрическую поверхность называют эллиптической, если гипербола — гиперболической, если парабола — параболической.

Пусть в пространстве дана прямоугольная система координат Oxyz, и пусть в плоскости хОу дана кривая L, уравнение которой в этой плоскости имеет вид

Составим уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными вектору a = (α; β; γ), γ =/= 0, если за направляющую принята кривая L (рис.226).

Рассмотрим произвольную точку этой поверхности М(х; у; z). Образующая l, проходящая через точку М, пересечет плоскость хОу в точке N, лежащей на кривой L. Если координаты точки N в пространстве обозначить (х₁; у₁; 0), то вектор \(\overrightarrow\) имеет координаты

По определению цилиндрической поверхности векторы а и \(\overrightarrow\) коллинеарны, т. е.

следовательно, имеем систему уравнений

Решив эту систему уравнений относительно λ, x₁и у₁, получим

Так как точка N лежит на кривой L, то F(х₁; у₁) = 0. Заменив х₁ и у₁ по формулам (2), получим уравнение

которое, очевидно, и будет уравнением данной цилиндрической поверхности.

Задача 1. Составить уравнение цилиндрической поверхности, у которой направляющая лежит в плоскости хОу и имеет уравнение х 2 + у 2 = 4, а образующие параллельны вектору а = (0; 1; 1).

Так как, согласно условию задачи F(x; у) = х 2 + у 2 — 4 и α = 0, β = 1, γ = 1, то в силу формулы (3) уравнение данной цилиндрической поверхности имеет вид

Эта поверхность изображена на рис. 227.

Аналогично можно показать, что если направляющая цилиндрической поверхности L лежит в плоскости xOz и определяется уравнением F(x; z) = 0, а вектор а не параллелен этой плоскости, то цилиндрическая поверхность имеет уравнение

Наконец, если L определяется уравнением F(у; z) = 0 и а не параллелен плоскости yOz, то уравнение цилиндрической поверхности имеет вид

Отметим, что если направляющая цилиндрической поверхности лежит в плоскости

хОу, а образующие параллельны оси Oz, то уравнение цилиндрической поверхности в пространстве совпадает с уравнением направляющей и имеет вид

Уравнение (4), как уравнение множества точек плоскости, определяет кривую L, в то же самое время уравнение (4), как уравнение множества точек пространства, определяет цилиндрическую поверхность.

Итак, каждое из уравнений

можно истолковать двояко: если это уравнение множества точек плоскости, то это уравнение линии L, лежащей в плоскости своих переменных; если же это уравнение множества точек пространства, то каждое из этих уравнений определяет цилиндрическую поверхность с направляющей L и образующими, параллельными оси oтсутствующей переменной.

Рассмотрим несколько примеров.

на плоскости хОу определяет окружность с центром в начале координат и радиусом r (рис. 228, а).

Это жe уравнение в пространстве определяет круговую цилиндрическую поверхность, направляющей которой является окружность, лежащая в плоскости хОу, а образующие параллельны оси Oz (рис. 228, б).

на плоскости xOz определяет окружность с центром в начале координат и радиусом

Это же уравнение в пространстве определяет круговую цилиндрическую поверхность, направляющей которой является окружность, лежащая в плоскости xOz, а образующие параллельны оси Оу (рис. 229, б).

и на плоскости, и в пространстве определяет пустое множество, так как сумма неотрицательных чисел не может быть числом отрицательным.

на плоскости хОу определяет эллипс с центром в начале координат и полуосями а и b (рис. 230, а).

Это же уравнение в пространстве определяет эллиптическую цилиндрическую поверхность с направляющей в плоскости хОу и образующими, параллельными оси Oz (рис. 230, б).

на плоскости хОу определяет гиперболу с центром в начале координат и полуосями а и b (рис. 231, а).

В пространстве это уравнение определяет гиперболическую цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Oz (рис. 231, б).

на плоскости хОу определяет параболу (рис. 232, а), а в пространстве — параболическую цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Oz (рис. 232, б).

Задача 2. Определить вид поверхности 3x 2 + 6y 2 — 24 = 0.

Данное уравнение приведем к виду:

Это уравнение в пространстве определяет эллиптическую цилиндрическую поверхность с направляющей в плоскости хОу и образующими, параллельными оси Oz.

Построение поверхности 3D

Результат

Примеры поверхностей

• Эллиптический параболоид
• Двухсторонний гиперболоид
• Мнимый эллипсоид
• Две параллельные плоскости
• Тригонометрические функции

Указанные выше примеры содержат также:

• квадратные корни sqrt(x),
  кубические корни cbrt(x)
• тригонометрические функции:
  синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x)
• показательные функции и экспоненты exp(x)
• обратные тригонометрические функции:
  арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x), арккотангенс actan(x)
• натуральные логарифмы ln(x),
  десятичные логарифмы log(x)
• гиперболические функции:
  гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x), гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x)
• обратные гиперболические функции:
  asinh(x), acosh(x), atanh(x), actanh(x)
• число Пи pi
• комплексное число i

Правила ввода

Можно делать следующие операции

2*x — умножение 3/x — деление x^3 — возведение в степень x + 7 — сложение x — 6 — вычитание Действительные числа вводить в виде 7.5, не 7,5

Чтобы увидеть подробное решение,
помогите рассказать об этом сайте:

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Касательной плоскостью к поверхности σ в её точке М₀ называется плоскость, в которой лежат касательные ко всем кривым, проведённым на поверхности σ через точку М₀.
Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением z = f(x,y) , в точке M₀(x₀,y₀,z₀) имеет вид:

Пример №1 . Поверхность задана уравнением x 3 +5y . Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M₀(0;1).
Решение. Запишем уравнения касательной в общем виде: z — z₀ = f’_x(x₀,y₀,z₀)(x — x₀) + f’_y(x₀,y₀,z₀)(y — y₀)
По условию задачи x₀ = 0 , y₀ = 1 , тогда z₀ = 5
Найдем частные производные функции z = x^3+5*y :
f’_x(x,y) = (x 3 +5•y)’_x = 3•x 2
f’_x(x,y) = (x 3 +5•y)’_y = 5
В точке М₀(0,1) значения частных производных:
f’_x(0;1) = 0
f’_y(0;1) = 5
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М₀: z — 5 = 0(x — 0) + 5(y — 1) или -5•y+z = 0

Пример №2 . Поверхность задана неявным образом y 2 -1/2*x 3 -8z. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M₀(1;0;1).
Решение. Находим частные производные функции. Поскольку функция задана в неявном виде, то производные ищем по формуле:

Для нашей функции:

Тогда:

В точке М₀(1,0,1) значения частных производных:
f’_x(1;0;1) = -3 /₁₆
f’_y(1;0;1) = 0
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М₀: z — 1 = -3 /₁₆(x — 1) + 0(y — 0) или 3 /₁₆•x+z- 19 /₁₆ = 0

Пример . Поверхность σ задана уравнением z= y/x + xy – 5x 3 . Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности σ в точке М₀(x₀, y₀, z₀), принадлежащей ей, если x₀ = –1, y₀ = 2.
Найдем частные производные функции z= f(x, y) = y/x + xy – 5x 3 :
f_x’(x, y) = (y/x + xy – 5x 3 )’_x = – y/x 2 + y – 15x 2 ;
f_y’ (x, y) = (y/x + xy – 5x 3 )’_y = 1/x + x.
Точка М₀(x₀, y₀, z₀) принадлежит поверхности σ, поэтому можно вычислить z₀, подставив заданные x₀ = –1 и y₀ = 2 в уравнение поверхности:

Пример №1 . Дана функция z=f(x,y) и две точки А(х₀, y₀) и В(х₁,y₁). Требуется: 1) вычислить значение z₁ функции в точке В; 2) вычислить приближенное значение z₁ функции в точке В исходя из значения z₀ функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом; 3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z = f(x,y) в точке C(x₀,y₀,z₀).
Решение.
Запишем уравнения касательной в общем виде:
z — z₀ = f’_x(x₀,y₀,z₀)(x — x₀) + f’_y(x₀,y₀,z₀)(y — y₀)
По условию задачи x₀ = 1, y₀ = 2, тогда z₀ = 25
Найдем частные производные функции z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2:
f’_x(x,y) = (x 2 +3•x•y•+y 2 )’_x = 2•x+3•y 3
f’_x(x,y) = (x 2 +3•x•y•+y 2 )’_y = 9•x•y 2
В точке М₀(1,2) значения частных производных:
f’_x(1;2) = 26
f’_y(1;2) = 36
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М₀:
z — 25 = 26(x — 1) + 36(y — 2)
или
-26•x-36•y+z+73 = 0

Пример №2 . Написать уравнения касательной плоскости и нормали к эллиптическому параболоиду z = 2x 2 + y 2 в точке (1;-1;3).
Скачать решение