Уравнение навье стокса миллион долларов

Чтобы заработать миллион долларов, достаточно решить эти задачи

Математическим институтом Клэя было предложено несколько интересных вопросов, за ответ на каждый из них предусмотрена денежная премия. Чтобы заработать миллион долларов, достаточно решить эти задачи. Испытать свои силы может каждый. Пока удалось справиться лишь с одним. В 2006 году Григорий Перельман был награждён Филдсофской премией (гипотеза Пуанкаре). Примечательно, что от материального вознаграждения учёный отказался.

Проблема перебора

К классу P относят задачи, которые компьютер способен решить очень быстро. Те, правильность результата которых можно проверить, относят к NP.

Допустим, есть 5 монеток номиналом 2, 3, 5, 6 и 7. Необходимо заплатить всего 21 рубль. Возможно ли набрать требуемую сумму из имеющихся монет? Чтобы доказать, что решить задачу нельзя, понадобится перебрать все варианты, а для получения ответа — рассмотреть несколько из них. При увеличении числа монеток на несколько порядков решение окажется непрактичным. Одновременно с этим, для проверки результата необходимо лишь сложить номиналы.

Чтобы решить эту задачу, потребуется ответить на следующий вопрос: равны ли классы P и NP. Удостовериться, что решение верно, или опровергнуть правильность полученного результата несложно, однако специалисты утверждают, что всё не так легко. Если вдруг окажется, что рассматриваемые классы равны, в криптографии произойдёт настоящий переворот.

Можно привести ещё один пример. Известно, что на дне моря находится клад, однако нет сведений о том, где именно он расположен. Так, поиски сокровищ могут длиться сколько угодно. Если известно, что объект находится в определённом квадрате, есть конкретные координаты, его удастся отыскать гораздо быстрее.

Чтобы получить миллион долларов, необходимо найти хотя бы одну задачу, на решение которой ушло бы меньше времени, чем на проверку верности полученного результата.

Гипотезы Ходжа и Римана

Вильям Ходж выдвинул предположение о том, что каждое геометрическое тело может быть исследовано по типу алгебраического уравнения и можно сформировать математическую модель любого подобного объекта. Удобнее всего анализировать составляющие по отдельности, но тут появляется одна проблема. Ведь исследование одного взятого камня не позволяет сделать выводы о крепости, созданной из подобных объектов. Невозможно узнать, как много в ней комнат и какими очертаниями обладает каждое из помещений.

Помимо этого, при формировании первоначального объекта из составных частей могут появиться лишние компоненты. Можно также и недосчитаться некоторых составляющих. Условия, при которых не будут появляться «лишние» части, но одновременно с этим ни один компонент не потеряется, были описаны Ходжем. Он вывел соответствующую формулу. Так, уже 70 лет никто из учёных не может ни доказать, ни опровергнуть это предположение.

Гипотеза указывает на глубокую связь между:

Если удастся её доказать, то такие инструменты, как уравнение Лапласа и топологические варианты, позволят ответить на многие вопросы.

Наверное, каждый помнит из школьной программы, что существуют числа, которые можно разделить только на единицу или на самих себя, они называются простыми. Наибольшее из них включает 12978189 цифр. Число удалось найти ещё в 2008 году. Для математиков подобные значения крайне важны, однако до сих пор непонятно, каким образом происходит их распределение по числовому ряду.

Бернхард Риман выявил метод, позволяющий находить простые числа, не превышающие определённое заданное значение. Пока проверка этого способа проходит успешно (найдено уже полтора триллиона числовых решений), однако нет уверенности, что так будет продолжаться и дальше. Тот, у кого получится доказать его дальнейшую успешность, получит огромное денежное вознаграждение.

Уравнения Навье-Стокса

Подобные уравнения выступают базой для проведения расчётов в геофизической гидродинамике. Каждое движение сопровождают те или иные изменения в среде. Допустим, когда плывёт лодка, это заставляет волны расходиться, а после летящего самолёта появляются турбулентные потоки. Рассматриваемые уравнения как раз и описывают подобные процессы. Однако до сих пор никто не смог их решить.

Не исключено, что сделать это попросту невозможно. Учёные из различных сфер с успехом используют уравнения, задействуя известные значения:

Если кто-то сумеет применить уравнения в обратном направлении или доказать, что решить их невозможно, этот человек получит огромную сумму.

Теория Янга-Миллса

Физикам удалось отыскать метод объединения теорий слабого и мощного электромагнитного воздействия. На основе этих гипотез было спрогнозировано открытие новых частиц, однако не получилось определить их правильную массу. До сих пор остаётся неясным, как именно работают уравнения учёных и действительно ли они верны.

Таким образом, в жизни человека, так или иначе, всё связано с математикой. Бесспорно, это царица наук. Исследователи уже много лет бьются над объяснением некоторых гипотез. Тот, кто сможет решить хотя бы одну из этих непростых задач, получит огромное денежное вознаграждение суммой 1 миллион долларов.

Так, любой из тех, кому нравится жить в мире цифр и формул, может оказаться счастливым миллионером.

Почему самые сложные уравнения физики такие трудные?

Уравнения Навье-Стокса описывают простые повседневные явления, вроде воды, текущей из садового шланга — однако на них основана задача, решение которой оценили в миллион долларов

В физике есть уравнения, описывающие всё, от растяжения пространства-времени до полёта фотона. Однако же лишь один набор уравнений считается настолько математически сложным, что его выбрали в роли одной из семи «Задач тысячелетия», за решение которых Математический институт Клэя предлагает премию в миллион долларов: это уравнения Навье-Стокса, описывающие течение жидкостей.

Недавно я писал о том, как для этих уравнений был получен новый важный результат. И эта работа свидетельствует о том, что прогресс на пути к «премии тысячелетия» будет более тяжёлым, чем ожидалось. Почему же эти уравнения, описывающие такие знакомые явления, как вода, текущая по шлангу, математически понять гораздо сложнее, чем, допустим, уравнения поля Эйнштейна, включающие в себя такие ошеломляющие объекты, как чёрные дыры?

Ответ, как я понял, кроется в турбулентности. Это явление испытывали мы все, в полёте в неоднородном воздухе на высоте в 10 000 м, или при наблюдении за воронкой от уходящей в слив воды в ванне. Однако из осведомлённости не следует познание: турбулентность — одна из наименее понятных областей физического мира.

Пример потока без турбулентности — это спокойная река. Каждая её часть движется в одном и том же направлении с одной и той же скоростью. Турбулентная жидкость появляется, когда поток реки ломается так, что разные части потока начинают двигаться в разных направлениях с разными скоростями. Физики описывают формирование турбулентности сперва как появление воронки в гладком потоке, а затем как формирование мелких воронок в первой воронке, и ещё более мелких воронок в этих воронках — море воронок, уходящих внутрь жидкости, так, что жидкость разбивается на дискретные части, каждая из которых взаимодействует друг с другом и движется в своём собственном направлении.

Исследователи хотят понять, как именно гладкий поток разбивается на турбулентные завихрения, и смоделировать будущую форму жидкости, после того, как турбулентность взяла своё. Но Задача тысячелетия формулируется более скромно: нужно лишь доказать, что решения всегда существуют. То есть, вопрос в том, могут ли уравнения описать любую жидкость, с любыми начальными условиями, и до бесконечно далёкого будущего?

«Первый шаг — просто попытаться доказать, что у уравнений есть какие-то решения, — говорит Чарли Фефферман, математик из Принстонского университета. — Это не даёт настоящего понимания поведения жидкостей, но если у вас и этого нет, то вы вообще ничего не знаете».

Так как можно доказать существование решений? Начать нужно с того, чтобы понять, из-за чего их может не оказаться. Уравнения Навье-Стокса подразумевают подсчёт изменения таких величин, как скорость и давление. Математиков беспокоит следующий вариант развития событий: вы прогоняете эти уравнения, и через какое-то конечное время они сообщают вам, что частица жидкости движется с бесконечной скоростью. А это проблема — подсчитать изменение бесконечного значения не проще, чем поделить на ноль. Математики называют такие ситуации «взрывом», и в случае взрыва уравнения перестают работать и решений не находится.

Уравнения Навье-Стокса описывают поток несжимаемой жидкости.

В целом произведение массы (голубая часть) на ускорение (фиолетовая) приравнивается к силам, действующим на жидкость (оранжевая):

• ρ — плотность жидкости;
• dV/dt — изменение скорости по времени;
• V ∇V — скорость и направление движения;
• ∇P — изменение внутреннего давления;
• ρ g — влияние внешних сил (к примеру, гравитации);
• μ ∇ 2 V — влияние внутренних сил (вязкость).

Доказательство отсутствия взрывов (и существования решений) равносильно доказательству того, что максимальная скорость любой частицы жидкости остаётся ограниченной неким конечным значением. Одной из наиболее важных величин оказывается кинетическая энергия жидкости.

Когда вы начинаете моделировать поток при помощи уравнений Навье-Стокса, у вашей жидкости есть некое начальное количество энергии. В турбулентных потоках энергия может начать концентрироваться. Вместо того, чтобы равномерно распространяться по всей реке, кинетическая энергия может собираться в водоворотах произвольно малого размера, и частицы в этих водоворотах (теоретически) могут разогнаться до бесконечной скорости.

«При переходе на всё меньшие и меньшие масштабы, кинетическая энергия становится всё менее и менее полезной для контроля решения. Решение может делать, что угодно, и я не буду знать, как его контролировать», — говорит Влад Викол, математик из Принстонского университета, написавший новую работу вместе с Тристаном Бакмастером.

Математики классифицируют частично дифференциальные уравнения на основании того, до какой степени они могут начать вести себя плохо на бесконечно малых масштабах. Уравнения Навье-Стокса находятся на экстремальном конце этой шкалы. Сложность математики уравнений в каком-то смысле отражает сложность турбулентных потоков, которые они должны уметь описывать.

«Когда вы увеличиваете масштаб в каком-то месте, то с математической точки зрения вы теряете информацию о решении, — говорит Викол. — Но турбулентность должна описывать именно это — передачу кинетической энергии от крупных ко всё более мелким масштабам, поэтому она прямо-таки просит вас увеличивать масштаб».

Говоря о математических свойствах физических уравнений, естественно задаться вопросом: а изменят ли эти рассуждения то, как мы расцениваем физический мир? В случае с уравнениями Навье-Стокса и Задачей тысячелетия ответ будет одновременно «да» и «нет». После почти 200 лет экспериментов ясно, что уравнения работают: течение, предсказанное Навье-Стоксом, последовательно совпадает с течением, наблюдаемым в экспериментах. Если вы — физик, работающий в лаборатории, вам этого может быть достаточно. Но математикам нужно знать больше — они хотят проверить, можно ли следовать этим уравнениям до упора, чтобы следить за тем, как именно меняется поток, от одного момента времени к другому (для любой начальной конфигурации жидкости), и даже уловить источник турбулентности.

«Поведение жидкостей таит в себе сюрпризы, — говорит Фефферман. — Эти сюрпризы в принципе объясняются фундаментальными уравнениями, управляющие потоками жидкостей, но как перейти от уравнений, управляющих движением жидкости, к описанию того, как на самом деле движется жидкость — это загадка».

Задачи тысячелетия: 7 головоломок стоимостью миллион долларов

В нашем мире по сей день существуют неразрешенные математические проблемы. Всего было выделено семь гипотез и теорий, которые получили название «задачи тысячелетия». Над их решением ломают голову самые гениальные люди нашей эпохи.

Эти задачи так важны, что за их решение будет выплачен миллион долларов США. На данный момент из семи неразрешенных гипотез и теорий была решена только одна. Стоит отметить, что список этих математических проблем был определен в 2000 году американским Институтом Клэя. Итак, за какие же головоломки платят миллион долларов?

Равенство классов P и NP

Эта нерешенная задача входит в список проблем теории алгоритмов (наука на грани математики и информатики). Над ее решением ученые работают уже более 30 лет, ведь положительный ответ будет означать, что многие процессы можно будет выполнять в разы быстрее.

Если не вдаваться в математические термины, то простыми словами можно охарактеризовать эту проблему так — действительно ли решение задачи равноценно проверке этого решения? Этот вопрос интересует многих ученых, так как ответ на него поможет сделать вычислительные процессы быстрее.

Гипотеза Ходжа

Эта проблема относится к алгебраической геометрии. Она была сформирована в 1941 году и до сих пор не решена. Ее формулировка сочетает в себе проективные алгебраические многообразия и циклы Ходжа.

Если объяснять простыми словами, эта задача решает, до какой степени можно заменить форму сложного объекта, используя простые тела. С точки зрения геометрии не удалось объяснить некоторые части, а с алгебраической точки зрения нет логического объяснения. Для некоторых случаев гипотезу Ходжа удалось доказать, но общее решение проблемы еще не найдено.

Гипотеза Римана

Эта проблема впервые была охарактеризована в 1859 году немецким математиком Бернхардом Риманом. Ученый заинтересовался распределением простых чисел в одном ряду с натуральными и получившейся закономерностью. Он выделил функцию распределения простых чисел, которую назвали в его честь — дзета-функцией Римана. Стоит отметить, что доказать эту теорию не удается, а некоторые ученые вообще утверждают, что данная гипотеза ложная.

Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера

Эту гипотезу в середине прошлого столетия сформировали два ученых, Брайан Бёрч и Питер Свиннертон-Дайер. Она затрагивает свойства эллиптических кривых. В частности, их интересовал ранг эллиптической кривой E над полем K. Многие ученые пытались найти решение для этой гипотезы, но приблизиться к ответу удалось только Джону Коутсу и Эндрю Уайлсу в 1977 году. По последним данным, эта гипотеза по-прежнему является нерешенной.

Уравнения Навье-Стокса

В числе важнейших математических проблем стоит и вопрос существования и гладкости решений уравнений Навье-Стокса. Они основаны на процессах движения вязкой ньютоновской жидкости и входят в основы гидродинамики. Даже с учетом важности этих уравнений, были решены только несколько частных случаев. Полного понимания решения этой задачи на данный момент не существует.

Теория Янга-Миллса

Эта задача тысячелетия основана на калибровочной теории с неабелевой калибровочной группой. Она была описана в 1954 году двумя учеными — Робертом Миллсом и Чж. Янгом. Хотя на их теории были построены теория сильных взаимодействий, а также теория электрослабых взаимодействий, некоторые ученые рассматривают эту задачу нереальной.

Гипотеза Пуанкаре

На данный момент в 2019 году единственной решенной проблемой из списка задач на миллион является гипотеза Пуанкаре. Эта теория звучит так «всякое односвязное трехмерное многообразие без края гомеоморфно трехмерной сфере». Доказать эту теорию удалось российскому математику Григорию Перельману в серии статей от 2002-2003 года. В 2010 году ему была присуждена Премия тысячелетия, но Перельман не принял ее.

Все эти задачи на данный момент являются ключевыми для дальнейшего развития человечества. Решение этих задач вот уже несколько десятилетий занимает лучшие умы нашей планеты.

Нравится статья? Поддержи наш проект и поделись с друзьями!