Уравнение навье стокса в приближении буссинеска

Кратко о гидродинамике: сохранение энергии

В очередной раз извиняюсь за медленное написание постов в запланированной серии. В этот раз причина промедления объективна, в виде конференции в Вене, хотя и имеет значимую субъективную составляющую в виде собственного там участия и некоторых бюрократических моментов подготовки и оплаты.

Данный пост рассматривает законы сохранения энергии в идеальной и вязкой жидкости. Они заведомо необходимы для полноты описания движения, однако, в изотермическом случае теплообмена как такового нет, и потому для описания достаточно использовать уравнение Навье-Стокса и уравнение неразрывности. Надеюсь, этот пост будет последним из достаточно абстрактных постов, описывающих общую теорию и не практически привязанных к конкретным постановкам задач.

Постараюсь уменьшить количество выкладок, ибо они, конечно, важны, но результаты в виде конечных уравнений — важнее.

Перенос энергии в идеальной жидкости

Итак, сохранение энергии. Подход к описанию абсолютно стандартный — мы вводим некоторую величину, находим, какие механизмы отвечают за её изменение и пишем закон сохранения сперва в интегральной форме, а затем, сведя все поверхностные интегралы к объёмным по теореме Гаусса — в дифференциальной.

Энергия жидкости в классической гидродинамике, не учитывающей также такой эффект, как электропроводность и соответствующее взаимодействие с внешними и внутренними электромагнитными полями, складывается из внутренней и кинетической энергии. Она равна такому интегралу:

Изменяться в пределах нашего объёма V энергия может за счёт простого её перетекания вместе с потоком жидкости, работы сил давления от внешних элементов жидкости и работы внешних сил (ниже показаны на примере силы тяжести):

В идеальной жидкости нет трения, и потому нет рассеяния энергии за счёт вязкости. Кроме того, здесь пренебрегается и процессами теплопроводности, что так же присуще идеальной жидкости как отсутствие ещё одного механизма диссипации энергии. В дифференциальной форме закон сохранения полной энергии выглядит так:

Однако, его можно благополучно упростить. Воспользовавшись уравнением Эйлера (см. предыдущий пост), скалярно домноженным на скорость, можно выделить из полученного закона сохранения такую часть:

А это уже преобразуется к ещё более простому виду:

Тут уже можно вспомнить термодинамику. Первое начало термодинамики (с пометкой — для удельного объёма жидкости, т.е. объёма, масса которого равна единице):

позволяет вполне очевидным образом связать производные энергии, энтропии и плотности (как обратной объему величины). Используя эту связь дифференциалов величин в уравнении для энергии:

а также закон сохранения массы, получим ещё одно уравнение, которое описывает эволюцию энтропии в жидкости:

В движущейся системе отсчёта, привязанной к тому элементу жидкости, для которого это всё написано, уравнение упрощается ещё сильнее:

То есть, энтропия отдельной произвольной жидкой частицы (в идеальной жидкости) сохраняется. Энтропия просто пассивно переносится потоком, попутно связывая уравнением состояния давление и плотность среды.

Учёт вязкости. Уравнение теплопроводности

Теперь учтём вязкую и теплопроводную диссипацию. В интегральном виде они представляется парой добавочных слагаемых в законе сохранения:

Они описывают работу сил вязкого трения на границе элемента жидкости и тепловой поток через границу. В дифференциальной форме уравнение сохранения полной энергии:

Произведя ряд операций над этим соотношением с применением уравнения переноса импульса в общем виде (для произвольного тензора вязких напряжений) и уравнения неразрывности (а именно — домножив закон сохранения массы на половину квадрата скорости, закон сохранения импульса — на скорость, сложив их между собой и вычтя итог из уравнения для полной энергии), мы избавимся от слагаемых с кинетической энергией:

Здесь возникает диссипативная функция, равная двойной свёртке тензора вязких напряжений и тензора, который условно иногда называют градиентом скорости:

Применив здесь уравнение баланса массы и первое начало термодинамики аналогично тому, как это сделано выше, приходим к уравнению баланса энтропии:

Видно, что оно отличается от уравнения в идеальной жидкости только ненулевой правой частью. Для несжимаемой жидкости мы можем благополучно перейти от энтропии к более осязаемой величине, то бишь — к температуре, используя определение теплоёмкости при постоянном давлении:

Наконец, можно пренебречь диссипативной функцией, т.к. она описывает выделение за счёт внутреннего трения, и потому существенна только в жидкостях с очень большими вязкостями, а для потока тепла воспользоваться законом теплопроводности Фурье, позволяющим выразить его через температуру:

В итоге получается уравнение теплопроводности несжимаемой вязкой жидкости:

Согласно ему, температура элемента жидкости изменяется за счёт непосредственного конвективного переноса с потоком жидкости, а также за счёт вполне обычного механизма молекулярной теплопроводности (правая часть).

Конвекция. Приближение Буссинеска

Собственно, с описания задачи конвекции на хабре и начался весь этот гидродинамический «балаганчик». Итак, мы смотрим на баночку с несжимаемой вязкой жидкостью, например, водой. Движение её в случае неоднородной температуры в объёме описывается тремя уравнениями:

В общем случае в эту систему входит ещё уравнение состояния, связывающее плотность, давление и температуру. Однако тогда жидкость уже нельзя считать несжимаемой. Практика же (да и математика) показывает, что с достаточной точностью можно принять плотность постоянной везде, кроме слагаемого с силой тяжести. Более того, достаточно ограничиться линейным разложением по температуре:

Сразу отметим, что здесь записана уже не абсолютная температура, а уже отклонение от некоторого «нулевого» уровня, при котором плотность равна . Писать так нам позволяет уравнение теплопроводности, благо оно линейное и к таким сдвигам инвариантно. Можно выделить в слагаемом при силе тяжести независимую от температуры часть (гидростатический градиент) и спрятать её в давление:

И тогда мы приходим к уравнениям конвекции в приближении Буссинеска:

Данная модель практически общеупотребительна при изучении конвективных явлений, и на её основе было получено огромное количество самых разных по значимости результатов. В частности, в задачах устойчивости равновесия жидкости и прочих.

Проблема инструментария

Немного отступлю от темы, хотя прекрасно понимаю, что это может только разжечь лишнюю и отвлекающую дискуссию.

Знаете, что удивило в комментариях по предыдущему посту? То, что читатели уделяют много внимания вопросу математической строгости выкладок, которой тут, в общем-то, немного. Гидродинамика создана Эйлером и Навье во времена господства французского материализма, когда строгие результаты аналитической механики описали, казалось, весь мир. Но уровень строгости этих результатов таков, каким он мог быть в те времена, в едва только-только созданном Ньютоном и другими дифференциальном исчислении, и не выше. И таким он остался по сей день, и такой же является математическая строгость гидродинамики. Практически, это последняя классическая область науки, которая ещё имеет нерешённые фундаментальные проблемы. Может быть, не решены они именно потому, что сформулированы на том, старом, не сильно развитом и не богатом значительными средствами языке. Помнится, есть отдельные наработки в математике, где к уравнениям Навье-Стокса применяют аппарат, не к ночи будь помянут, биспиноров и гамма-матриц Дирака (основу квантовой теории поля) или ещё чего похуже. Но они до сих пор отдельные и практически неизвестные.

Лично я предполагаю, что развитие аппарата для решения уравнений Навье-Стокса ещё попросту не состоялось. Ведь, как известно, эти уравнения отлично описывают и упорядоченные ламинарные течения, и хаос турбулентности. А в уравнениях для этого всего-то достаточно изменить один управляющий параметр. Как в нелинейных системах (а-ля система Лоренца), которые тоже не имеют общих аналитических решений, да и, в целом, конкретного детального анализа свойств решений именно как математических функций. Многое на уровне поведения — тут хаос, там упорядочение, там синхронизация, здесь влияние параметра, а переход, по-видимому, происходит вот таким образом. Но ни о гладкости решений, ни об их существовании вопроса в таких задачах нет, в отличие от Навье-Стокса. Ведь мы же до сих пор практически не знаем — существуют ли вообще их общие гладкие решения.

Увидев в комментариях вещи навроде «набла — это 1-форма», сперва сильно задумался, не упустил ли чего в своём образовании. Да, про разного рода n-формы у меня в курсах упоминалось (но не более) в одном семестровом спецкурсе под названием теории групп в физике, из которого, правда, много вынести не удалось ввиду отсутствия серьёзной структурированности изложения. Но рассуждать о том, набла — вектор или же нет, никогда не приходится. В физике, не касающейся значительно математизированных проблем уровня, скажем, общей теории относительности и неотъемлемо нужной для неё дифференциальной геометрии, набла всегда была практически вектором. Конечно, не совсем обычным, не коммутирующим с ними и обладающим рядом иных свойств. Простой, в общем-то даже обычный оператор, который показывает, какую компоненту вектора и каким образом мы будем дифференцировать. Просто инструмент, которым мы умеем пользоваться в заданных пределах и осознаём, что нужно проверить его пригодность при выходе за границу привычной области, даже, например, при переходе от декартовых координат к тем же сферическим.

Иногда можно потратить излишне много времени на понимание устройства молотка, но так толком и не научиться забивать им гвозди. Например, почему он имеет такую форму, почему разные молоты имеют разную форму, а затем начать копать глубже — почему блестит металл, а деревянная ручка — нет, и др. Но от этого понимания сущность наиболее частого применения молотка не поменяется. Им будут забивать гвозди, выравнивать металл по оправке и т.д. — им всё равно будут стучать, желательно, не по пальцам.

На таком уровне находится моё личное знакомство с аппаратом квантовой электродинамики. По принципу — помню, что-то проходил. Более того, даже методичку в прошлом году издали с преподавателем этого предмета, но как-то оно всё равно в стороне — не занимаюсь этим.

Следующий пост будет посвящён проблемам устойчивости для равновесия и стационарного течения. Там в очередной раз мы увидим, что даже простейшие задачи гидродинамики не могут быть решены аналитически в полном виде, и потому приходится применять множество различных, на первый взгляд весьма спорных, но в то же время прекрасно работающих и обоснованных методик. Надеюсь, что уже удастся перейти от абстрактности к более осязаемым вещам.

Уравнения Навье-Стокса

Очень часто при математическом моделировании природных явлений или технических задач гидро- и газодинамики используют уравнения Навье-Стокса, названные в честь французского физика Анри Навье и британского математика Джорджа Стокса. Что же они собой представляют? Это уравнение движения и уравнение неразрывности. В зависимости от физической модели явления они могут иметь несколько различный вид.

Так для нестационарного течения несжимаемой вязкой ньютоновской жидкости часто записывают в виде:

(40)

где – оператор набла (величина векторная).

Если умножить Ñ на скаляр j, то получится вектор . Если умножить Ñ скалярно на вектор , то получится скаляр Если умножить Ñ векторно на вектор , то получится вектор

Если умножить скалярно оператор набла сам на себя, то

– оператор Лапласа (скаляр). Оператор набла – необычный вектор, он действует на поля, стоящие от него справа и не действует на поля, стоящие от него слева, поэтому:

– векторное поле массовых сил.

Если мы внимательно рассмотрим уравнения Навье-Стокса, то обнаружим, что это уравнения (26) – (29). В указанных уравнениях f представлено проекциями ускорения свободного падения на координатные оси. В общем случае это может быть и другая массовая сила, например, инерции для жидкости в баке ракеты, летящей с ускорением.

Для нестационарного течения сжимаемой жидкости уравнения Навье-Стокса принимают более сложный вид:

(41)

Уравнения Навье-Стокса содержат шесть неизвестных: , а уравнений 4, с учетом записи уравнения движения в проекциях по осям, поэтому систему уравнений дополняют уравнением состояния и зависимостью вязкости от температуры. Так как появилась еще одна неизвестная Т, необходимо добавить еще одно уравнение – уравнение баланса энергии.

Общее решение уравнений Навье-Стокса, которые являются нелинейными дифференциальными уравнениями второго порядка в частных производных, до сих пор не найдено. В нахождении общего решения большая роль в настоящее время отводится приближенным численным методам, в частности, таким, как метод конечных элементов, метод граничных элементов, метод контрольных объемов. Не имея пока общего решения, можно получить ряд практически важных частных решений, вводя различные упрощения.

При превышении числа Рейнольдса выше некоторого критического значения аналитическое точное решение для пространственного или плоского потока имеет хаотический вид (так называемая турбулентность). Для уравнений Навье-Стокса характерна исключительная чувствительность к изменению коэффициентов уравнения при турбулентном режиме: при изменении числа Re на 0,05 % решения совершенно отличаются друг от друга.

В настоящий момент создано большое количество разнообразных моделей для расчёта турбулентных течений. Они отличаются друг от друга сложностью решения и точностью описания течения. Основная идея моделей сводится к предположению о существовании средней скорости потока и среднего отклонения от него: После упрощения уравнений Навье–Стокса, в них помимо неизвестных средних скоростей появляются произведения средних отклонений . Различные модели моделируют их по-разному. Перечисленные ниже модели применяются в различных инженерных расчётах в зависимости от необходимой точности. Практически все они реализованы в современных программах расчёта гидродинамических течений.

Основные из этих моделей в порядке возрастания сложности:

· модель Буссинеска: уравнения Навье-Стокса преобразуются к виду, в котором добавлено влияние турбулентной вязкости.

· Модель Спаларта-Альмараса: в данной модели решается одно дополнительное уравнение переноса коэффициента турбулентной вязкости.

· модель:уравнения движения преобразуется к виду, в котором добавлено влияние флуктуации средней скорости (в виде турбулентной кинетической энергии) и процесса уменьшения этой флуктуации за счёт вязкости (диссипации); в данной модели решается 2 дополнительных уравнения для транспорта кинетической энергии турбулентности и транспорта диссипации турбулентности; это наиболее часто используемая модель при решении реальных инженерных задач.

· модель:похожа на предыдущую, вместо уравнения диссипации решается уравнение для скорости диссипации турбулентной энергии.

· Модель напряжений Рейнольдса: в рамках осреднённых по Рейнольдсу уравнений решается 7 дополнительных уравнений для транспорта напряжений Рейнольдса.

· Метод крупных вихрей: занимает промежуточное положение между моделями, использующими осреднённые уравнения Рейнольдса и DNS; решается для больших образований в жидкости; влияние вихрей меньше, чем размеры ячейки расчётной сетки, заменяется эмпирическими моделями.

· Прямое численное моделирование (английская аббревиатура DNS): дополнительных уравнений нет; решаются нестационарные уравнения Навье-Стокса с очень мелким шагом по времени, на мелкой пространственной сетке. По сути не является моделью. Из-за громадного объёма информации, полученной при численном моделировании, ценность представляют средние значения потока, полученные при решении задачи с которыми могут сравниваться другие модели.

Все модели имеют преимущества и недостатки. Области применения, для которых получены модельные постоянные на основе сравнения результатов расчёта с экспериментами, ограничены. Например, модель плохо подходит для областей с вихрем.

Математические модели механических систем (ММ МС)

В механических системах в зависимости от характера их функционирования происходят процессы деформации твердой упруго-пластической среды с распределенными переменными или движение сосредоточенной области с расчетными скоростями и перемещениями под действием внешних сил или моментов.

Основной субстанцией является импульс сил деформации для механических упругих систем (МУС) и количество движения для систем поступательного, вращательного или плоскопараллельного движения (МСПД, МСВД, МСППД).

или .

Микропоток импульса сил деформации в направлении каждой из координатных осей соответствует тензорному вектору нормальных и касательных напряжений. Так для направления оси x:

, (42)

где s_xx – нормальные напряжения вдоль оси x по поверхности, перпендикулярной оси x;

s_xy, s_xz – касательные напряжения вдоль оси x по поверхностям, перпендикулярным осям y и z соответственно.

Тензор напряжений состоит из девяти величин, представляющих механические напряжения в произвольной точке нагруженного тела, записанные в виде таблицы, в которой по главной диагонали стоят нормальные напряжения, а в остальных позициях – касательные напряжения, действующие на трех взаимно перпендикулярных плоскостях.

Иногда для удобства касательные напряжения обозначают тоже буквой «s».

Распределенные модели (динамическая, трехмерная)

или

(43)

Составляющие вектора тензора напряжений для объемно-деформированного состояния упругой среды определяются соотношениями теории упругости:

где – абсолютные деформации в направлениях осей координат;

– параметры Ламе;

E, m – модуль упругости Юнга и коэффициент Пуассона.

Подставив выражения для нормальных и касательных напряжений через деформации и выполнив достаточно простые преобразования, получим уравнение сохранения импульса сил деформации или основное уравнение упругости Ламе:

(44)