Уравнение найквиста описывает зависимость между в узи

Уравнение найквиста описывает зависимость между в узи

Благодаря импульсному режиму работы датчика, когда ультразвуковые волны испускаются импульсами или «пакетами волн», возможна точная пространственная «привязка» измеренных скоростей. В отличие от непрерывноволнового допплеровского исследования для импульсного режима достаточно од-ного-единственного кристалла. Измерение скоростей движущегося объекта происходит только в определенной области, отображаемой на двумерной картинке в виде контрольного объема («sample volume»).

а) Скорость Найквиста. Ограничением импульсно-волнового режима работы является невозможность надежного измерения скоростей движущегося объекта, превышающих определенный порог скорости («скорость Найквиста», или «скорость искажения»). Теоретически эта взаимосвязь формально описывается «теоремой сэмплирования» («sampling theorem»): частота ультразвуковой волны, генерируемой датчиком, должна быть минимум вдвое выше, чем у измеряемых колебаний движущегося объекта, чтобы возможно было однозначно идентифицировать частоту этих колебаний.

Так как пороговая скорость зависит от частоты повторения импульсов (PRF), которая во многом определяется глубиной проникновения сигнала, то порог адекватно определяемых скоростей снижается при увеличении глубины нахождения контрольного объема. Таким образом, физические особенности импульсно-волнового режима допплеровского исследования не позволяют при основной частоте в 2 МГц однозначно определять высокую скорость движущегося объекта (более 2 м/с) уже на глубине более 8 см. Наибольшая однозначно идентифицируемая скорость называется скоростью (порогом) Найквиста, которая определяется по формуле:

где v — скорость Найквиста, с — скорость распространения ультразвука, f — частота ультразвука, d — глубина проникновения, т.е. расстояние от датчика до контрольного объема.

Импульсно-волновая допплерография.
При импульсном режиме, в противоположность непрерывноволновому допплерографическому исследованию, из-за ограниченной возможной частоты повторения импульсов снижается разрешающая способность метода, не позволяющего однозначно идентифицировать скорости потока крови выше определенного порогового значения (скорость Найквиста, или порог искажения, aliasing).
Этот схематический пример показывает, что невозможно дифференцировать эти две волны различной частоты, если определяются только отмеченные на рисунке точки.
Для однозначной идентификации частоты необходимо существенно более плотное распределение точек регистрации, т.е. более высокая частота повторения импульсов.

б) Феномен искажения (aliasing). При превышении скорости Найквиста числовые значения спектра скоростей отображаются на другом отрезке шкалы скоростей. Из-за этого феномена, например, невозможно при помощи импульсно-волнового допплеровского исследования измерить чрезвычайно высокую скорость трансаортального потока крови при аортальном стенозе, хотя это возможно в режиме непрерывной допплер-ЭхоКГ. С другой стороны, импульсноволновой режим позволяет измерить скорость движения крови в выносящем тракте левого желудочка даже в том случае, если имеется аортальный стеноз, тогда как при непрерывно-волновой допплерографии более низкие скорости в выносящем тракте будут перекрываться более высокими скоростями на уровне стеноза.

Чресклапанный поток в сердце у здорового человека, как правило, не превышает 1,5 м/с, т.е. его вполне можно измерять при помощи импульсноволновой допплер-ЭхоКГ.

в) Спектральный допплеровский сигнал. Спектральный допплеровский сигнал при импульсно-волновом режиме исследования воспроизводит распределение скоростей в контрольном объеме, причем чем шире допплеровский спектр, тем сильнее различаются скорости движущихся объектов (например, эритроцитов) в пределах этого контрольного объема. Амплитуда сигнала, т.е. яркость каждой точки спектра, приблизительно пропорциональна количеству отражающих объектов в пределах контрольного объема, движущихся с соответствующей скоростью. Наиболее яркая область спектрального сигнала при импульсной допплерографии обозначается как «модальная» скорость.

Поэтому при использовании этого метода для расчета ударных объемов следует курсором обводить сигнал в области модальной скорости, а не внешний контур сигнала, так как модальная скорость является более репрезентативной для реальной средней скорости потока крови в пределах контрольного объема, чем максимальная зарегистрированная допплеровским методом скорость.

Фундаментальная неточность импульсноволновой допплерографии возникает в результате того, что для достижения желаемой временной разрешающей способности значительно ограничивается время одного измерения (как правило, около 10 мс). Поэтому спектр, который рассчитывается с помощью преобразований Фурье, получается шире.

В противоположность непрерывной допплерографии хорошие импульсно-волновые допплеровские спектры обычно не «заполнены» целиком, так как в области контрольного объема регистрируются сходные значения скорости. При этом соотношение сигнал-шум тем лучше, чем больше размер контрольного объема. В результате интегрирования скорости по времени, например интегрирования трансаортальной скорости за время систолы, получают интеграл линейной скорости потока крови (VTI ), который измеряется в сантиметрах или метрах. Умножение этой величины на площадь поперечного сечения аорты позволяет рассчитать ударный объем левого желудочка.

г) HPRF-допплерография. Некоторые эхокардиографы позволяют измерять высокие скорости кровотока, превышающие 2,5 м/с, при помощи режима высокой частоты повторения импульсов (англ. — high pulse repetition frequency — HPRF). Это гибридный вариант между непрерывноволновой и импульсноволновой допплерографией, который хотя и может измерять более высокие скорости движения крови, чем обычная импульсная допплер-ЭхоКГ, но, тем не менее, не может однозначно указать, где эти скорости были измерены, поскольку имеет два или больше контрольных объемов по ходу ультразвукового луча.

Режимы допплеровского исследования:
а. Непрерывноволновая допплерограмма при локализации контрольного объема в области выносящего тракта и аортального отверстия, зарегистрированная из верхушечного доступа (норма). Максимальная систолическая скорость составляет 130 см/с.
б. Импульсно-волновая допплерограмма области выносящего тракта левого желудочка и аортального клапана, зарегистрированная из верхушечного доступа (норма). Максимальная систолическая скорость составляет 80 см/с. Вверху: смещение нулевой линии с целью отображения всего систолического сигнала. Внизу: при центрально расположенной нулевой линии скорость искажения, или скорость Найквиста, составляет ±50 см/с. В нижней части картинки систолический сигнал обрезан (искажение, aliasing), и пики допплеровского сигнала отображаются в верхней половине картинки и поэтому с ложным знаком.
в. Цветовая допплерограмма левого предсердия, зарегистрированная из апикальной четырехкамерной позиции. Слева: диастолическое ламинарное течение из легочных вен через левое предсердие в левый желудочек (норма). Красно-желтые оттенки обозначают скорости потока, направленного к датчику, причем максимальная скорость (желтый цвет) определяется в области диастолического трансмитрального потока, входящего в левый желудочек. Справа: изображение митральной недостаточности (в систолу). Зеленый цвет кодирует турбулентный высокоскоростной поток регургитации из левого желудочка в левое предсердие.
В начале струи регургитации в области митрального клапана со стороны желудочка можно увидеть проксимальную зону конвергенции (стрелки). Синий цвет ее внешней оболочки указывает на ламинарный поток крови по направлению к митральному клапану.

Видео урок основы допплер-ЭхоКГ (допплерографии при эхокардиографии)

Редактор: Искандер Милевски. Дата публикации: 15.12.2019

Уравнение найквиста описывает зависимость между в узи

Допплеровское исследование — это ультразвуковая методика, позволяющая измерить скорости и определить направление потоков крови в полостях сердца и сосудах. Метод основан на эффекте, описанном К. Допплером в 1842 г. Суть его заключается в следующем: когда ультразвуковой луч известной частоты (fo) посылается к сердцу, он отражается от клеток крови. Частота отраженного ультразвукового луча (fr) равна частоте посылаемого луча (fo), если отражение происходит от неподвижного объекта.

Частота отраженного ультразвукового луча (fr) увеличивается, если клетки крови движутся по направлению к источнику ультразвука и снижается при их движении от источника ультразвука. Разница частот посланного и отраженного лучей (Af) называется сдвигом частоты ультразвукового сигнала или допплеровским сдвигом: Af=fr-fo.

Af зависит от частоты посланного луча (fo), скорости движения частиц, от которых он отражается (скорости кровотока — V), угла между направлением ультразвукового луча и направлением кровотока, скорости распространения ультразвука в крови (1540 м/с), что выражается уравнением Допплера: Af = 2fo x V х cos 9/c.

Таким образом, зная Af, можно рассчитать скорость движения клеток крови: V = Af х c/2fo x cos 9.

Если ультразвуковой луч параллелен направлению кровотока, то угол 0=0, его косинус = 1. Значение косинуса угла 0 менее 20° также близко к 1 (косинус 20° = 0,94), поэтому им можно пренебречь. Если направление движения объекта перпендикулярно направлению испускаемого ультразвукового луча, то, поскольку косинус угла в 90° равен 0, рассчитать такое уравнение невозможно и нельзя определить скорость движения объекта. Следовательно, для правильного определения скорости кровотока направление длинной оси датчика должно быть близко к направлению ее потока (угол 9 должен быть

Его основные разновидности:
• тканевое цветное (color tissue velocity imaging),
• тканевое нелинейное (C-mode),
• тканевое импульсное (pulsed wave tissue velocity imaging),
• тканевой след (tissue tracking),
• оценка деформации миокарда и ее скорости (strain, strain rate),
• векторный анализ движения миокарда (vector velocity imaging — VVI).

При импульсном допплеровском исследовании один и тот же пьезоэлемент датчика посылает серию импульсов с определенной частотой и воспринимает сигналы, отраженные от движущихся клеток крови. Преимуществом метода является возможность точного определения скорости кровотока в любом выбранном участке камеры сердца или магистрального сосуда, в котором устанавливается контрольный (пробный) объем. При этом на экране регистрируется графическая развертка кровотока в области контрольного объема: по оси абсцисс откладывается время, по оси ординат — скорость кровотока.

Потоки, которые движутся к датчику, располагаются выше изолинии, отдатчика — ниже нее. Так как один и тот же пьезоэлемент посылает и воспринимает ультразвук, максимальный сдвиг частоты ультразвукового сигнала, который можно измерить с помощью импульсного исследования, равен половине частоты посылаемых импульсов, которая называется пределом Найквиста. Если сдвиг частоты ультразвукового сигнала превосходит предел Найквиста (при скорости кровотока > 2,5 м/с), появляется искажение допплеровского спектра (aliasing) и часть его записывается на вершине или на дне противоположной стороны изолинии. То есть при импульсном исследовании допплеровский сдвиг ограничен пределом Найквиста и измерение высоких скоростей кровотока невозможно.

При постоянно-волновом допплеровском исследовании датчик посылает и принимает отраженные ультразвуковые сигналы постоянно с помощью двух отдельных пьезоэлементов. Поэтому регистрируемый максимальный сдвиг частоты ультразвукового сигнала не ограничивается частотой посылаемых импульсов, или пределом Найквиста. Это позволяет точно измерять высокие скорости кровотока. В отличие от импульсного режима при постоянно-волновом допплеровском исследовании измеряются все сдвиги частот ультразвукового сигнала (скорости) по ходу ультразвукового луча. Следовательно, можно определить самую высокую скорость кровотока вдоль ультразвукового луча, но нельзя точно определить локализацию максимальной измеренной скорости.

В связи с этим при наличии ламинарных низкоскоростных внутрисердечных потоков (в норме) целесообразно применение импульсного допплеровского исследования, при турбулентных высокоскоростных потоках (при стенозе, недостаточности клапанов, внутрисердечном сбросе крови) — постоянно-волнового исследования.

Цветное допплеровское исследование является разновидностью импульсного, когда применяется не один контрольный объем, а множество (250—500), формирующих так называемый растр, по форме напоминающий усеченный конус. При этом в каждом контрольном объеме измеряется сдвиг частоты ультразвукового сигнала, который преобразуется в цифровой формат, автоматически сопоставляется с заданной цветовой схемой и выводится на экран на фоне двумерного изображения. Если скорость кровотока не превышает предел Найквиста, то поток, направленный к датчику, обычно кодируется красным, от датчика — синим цветом и их оттенками.

Когда скорость кровотока выше этого предела (при турбулентности), то поток кодируется оттенками зеленого и желтого цветов. Преимуществами метода является возможность быстрой оценки кровотока в камерах сердца и магистральных сосудах, выявления и полуколичественной оценки степени клапанной регургитации, выявления внутрисердечных сбросов крови.

Тканевое допплеровское исследование — разновидность допплеровского исследования, при котором регистрируется движение миокарда, створок, клапанных колец или других тканей. При допплеровском исследовании кровотока измеряются скорости движения эритроцитов (более 20 см/с, достигают 800 см/с при клапанной патологии). Скорость движения миокарда меньше (обычно 5—20 см/с), но амплитуда его больше, чем у эритроцитов.

При допплеровском исследовании кровотока высокоамплитудный и низкоскоростной (низкочастотный) сигнал от миокарда считается шумом и удаляется фильтрами, пропускающими только высокочастотные сигналы (обычно более 400— 500 Гц). При тканевом допплеровском исследовании, наоборот, с помощью фильтров отсекаются высокие скорости кровотока и записываются низкие скорости движения миокарда (частоты 0—50 Гц).

Тканевое исследование может быть представлено цветным режимом. При этом, как и при цветном исследовании кровотока, отражается средняя скорость движения. Красным цветом обозначается движение к датчику, синим — от датчика. Более яркие оттенки соответствуют более высоким скоростям движения вплоть до предела Найквиста. Цветное изображение тканевого допплеровского исследования накладывается на изображение миокарда в В- или М-режиме.

Преимуществами метода является возможность быстрой оценки движения миокарда, в том числе в субэпикардиальных и субэндокардиальных слоях, а также возможность одновременной регистрации скорости движения различных сегментов миокарда и отсроченной оценки движения отдельных сегментов. Этот метод позволяет обнаружить зоны нарушения локальной сократимости, уточнить границу эндокарда при плохой ее визуализации в В-режиме. Главное ограничение этого метода заключается в возможности переоценки или недооценки скоростей из-за внутрижелудочковой блокады, вызывающей парадоксальное движение стенок сердца, из-за предела Найквиста, а также из-за сложного механизма сокращения сердца.

Тканевое нелинейное допплеровское исследование (C-mode) — цветное графическое изображение движения межжелудочковой перегородки, верхушки и боковой стенки левого желудочка во времени. Преимуществом является возможность детальной оценки направления движения стенок сердца в различных зонах и выявление нарушений локальной сократимости. Ограничением является внутрижелудочковая блокада, вызывающая парадоксальное движение стенок сердца и затрудняющая диагностику.

Тканевое импульсное допплеровское исследование (pulsed wave tissue velocity imaging) — графическое изображение движения структур сердца в области контрольного объема: по оси абсцисс откладывается время, по оси ординат — скорость движения структур сердца. При этом выделяют систолический (Sm), ранний (Em) и поздний диастолические (Am — соответствует систоле предсердий) компоненты движения. Диастолическое движение миокарда по форме напоминает перевернутое изображение трансмитрального кровотока, поэтому пики называются аналогично, но с использованием индекса m (Em, Am), апострофа (ЕА) или строчными буквами (е, а).

Между окончанием систолического движения и началом движения, соответствующего раннему (быстрому) расслаблению миокарда, регистрируется время изоволюмического расслабления левого желудочка (IVRT), между окончанием позднего диастолического компонента и началом систолического регистрируется время изоволюмического сокращения миокарда (IVCT). Характер движения фиброзного кольца митрального клапана используется для выявления и определения типа диастолической дисфункции левого желудочка.

Максимальная систолическая скорость его движения хорошо коррелирует с максимальной скоростью нарастания давления в левом желудочке в начале периода изгнания (dP/dtmax) и с фракцией выброса левого желудочка, определенной при рентгено-контрастной или изотопной вентрикулографии. С помощью этого метода также можно оценивать локальную сократимость левого желудочка, что увеличивает точность диагностики ИБС. Кроме того, скорость движения фиброзного кольца трехстворчатого клапана хорошо характеризует функцию правого желудочка. Применение метода затруднено при плохой визуализации в В-режиме.

Доказательство критерия устойчивости Найквиста

Критерий устойчивости Найквиста был разработан американским специалистом Найквистом в 1932 году. Критерий позволяет по АФХ разомкнутой системы судить об устойчивости САУ в замкнутом состоянии, при этом должно быть известно число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

Критерий устойчивости Найквиста широко используется на практике при исследовании линейных САУ. Это определяется следующим:

а) АФХ разомкнутой системы строятся гораздо проще, чем частотные характеристики замкнутой системы, поскольку в основном элементы разомкнутой системы соединены последовательно.

б) При построении АФХ разомкнутой системы могут использоваться экспериментально снятые частотные характеристики отдельных звеньев.

в) Удобно оценивать влияние разбросов (вариаций) параметров системы на её устойчивость.

Пусть передаточная функция разомкнутой системы W(p) имеет вид

.

Рассмотрим вспомогательную функцию

,

где – полином числителя, определяющий характеристическое уравнение замкнутой системы с корнями n_i, i=1, 2, …, n.

– полином знаменателя, определяющий характеристическое уравнение разомкнутой системы с корнями l_i, i=1, 2, …, n.

На основании теоремы Безу имеем

.

Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы все корни n_i, i=1, 2, . n были левыми, при этом разомкнутая система в общем случае может быть и неустойчивой.

Подставляя p=jw, переходим к частотным характеристикам.

.

Для доказательства критерия воспользуемся принципом аргумента, считая, что все корни характеристического уравнения замкнутой САУ n_i, i=1, 2, . n – левые, а среди n корней характеристического уравнения разомкнутой системы l_i, i=1, 2, . n имеется “l” правых корней.

Найдем приращение аргумента функции M(jw) при изменении частоты от 0 до ¥. Это связано с тем, что функция M(jw) при изменении w от –¥ до 0 является зеркальным отображением этой функции относительно оси абсцисс при изменении w от 0 до ¥. Поэтому строится только одна ветвь этой характеристики для частот от 0 до ¥.

.

Таким образом, если замкнутая система устойчива, а разомкнутая система неустойчива и имеет l правых корней, то вектор M(jw) должен повернуться вокруг начала координат на угол в положительном направлении.

Если ось ординат плоскости M(jw) сместить на единицу вправо, то становится очевидным, что охвату вектором M(jw) начала координат соответствует охват вектором W(jw) точки (-1, j0), которую называют критической точкой.

На основании этого можно сформулировать критерий устойчивости Найквиста:

“Для устойчивости САУ в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы АФХ разомкнутой системы W(jw) при изменении частоты от 0 до ¥ охватывала критическую точку (-1, j0) в положительном направлении раз, где l – число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы”.

Этот критерий удобно сформулировать по числу переходов: для устойчивости САУ в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы разность между числом положительных и отрицательных переходов АФХ разомкнутой системы через отрезок вещественной оси (-1, -¥) при изменении частоты от 0 до ¥ была равна , где l – число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы (см. рис. 10.2).

2. Применение критерия устойчивости Найквиста для астатических систем

Выражение для передаточной функции астатической системы n-го порядка имеет вид:

.

Подставляя p=jw, получаем

,

где W * (jw) не содержит интегрирующих звеньев.

В точке w=0 характеристика W(jw) терпит разрыв непрерывности и её характер становится неопределенным. Для того чтобы избежать этого, будем обходить точку w=0 по окружности бесконечно малого радиуса против часовой стрелки.

, где , а

,

если .

Это означает, что характеристика W * (jw) дополняется дугой бесконечного радиуса на угол .

После этого к полученной АФХ разомкнутой системы критерий устойчивости Найквиста применяют без каких-либо изменений.

4. Запасы устойчивости систем

А. Критерий Михайлова. Кривая Михайлова для устойчивой системы, как известно, не должна проходить через начало координат. Удаление этой кривой от начала координат и будет характеризовать запас устойчивости системы по этому критерию. Система автоматического управления будет иметь запас устойчивости не менее а>0, если соответствующая ей кривая Михайлова не будет пересекать окружность с центром в начале координат и радиусом, равным а (рис.10.5).

Условие выхода системы на границу устойчивости по критерию Михайлова имеет вид:

.

Это условие может быть записано так:

(9.1)

Уравнения (10.1) могут быть использованы для определения критических значений параметров системы.

Рис.10.5. Запасы устойчивости САУ по кривой Михайлова.

Б. Критерий Найквиста. Запасы устойчивости САУ по критерию Найквиста определяются удалением АФХ разомкнутой системы от критической точки (-1, j0). На рис.10. изображена АФХ разомкнутой системы W(jw) и показаны запасы устойчивости по фазе j_з и по амплитуде а_з. Запасы устойчивости вычисляются так:

где – значение фазо-частотной характеристики разомкнутой системы при w=w_с, А(w_с)=1;

– значение амплитудно-частотной характеристики разомкнутой системы при w=w_p , j(w)=p.

Запас устойчивости системы по амплитуде может характеризоваться значением А(w_p), при этом, очевидно, что с уменьшением А(w_p) возрастает запас устойчивости системы

Рис.10.6. Запасы устойчивости САУ по критерию Найквиста

САУ будет находиться на границе устойчивости, если АФХ разомкнутой системы будет проходить через критическую точку (-1,j0). Это условие для записывается так:

или (10.2)

Полученные уравнения (10.2) могут быть использованы для определения критических значений параметров системы.

3. Управляемость и наблюдаемость

Дата добавления: 2016-06-24 ; просмотров: 1395 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ