Уравнение неподвижной оси момента силы

Момент силы и правило моментов

теория по физике 🧲 статика

Статика — раздел механики, изучающий условия равновесия тел.

Виды равновесия

Устойчивое равновесие

Если тело вывести из устойчивого равновесия, то появляется сила, возвращающая его в положение равновесия. Устойчивому равновесию соответствует минимальное значение потенциальной энергии (E_{p min}).

Неустойчивое равновесие

Если тело вывести из неустойчивого равновесия, то возникает сила, удаляющая тело от положения равновесия. Неустойчивому равновесию соответствует максимальное значение потенциальной энергии (E_{p max}).

Безразличное равновесие

При выведении тела из положения безразличного равновесия дополнительных сил не возникает.

Момент силы

Момент силы — векторная физическая величина, модуль которой равен произведению модуля силы на плечо силы:

M — момент силы. Единица измерения — Ньютон на метр (Н∙м). Направление вектора момента силы всегда совпадает с направлением вектора силы. d — плечо силы. Единица измерения — метр (м).

Плечо силы — кратчайшее расстояние между осью вращения и линией действия силы.

Пример №1. Стальной шар массой 2 кг колеблется на нити длиной 1 м. Чему равен момент силы тяжести относительно оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости чертежа, в состоянии, представленном на рисунке?

Плечом силы тяжести, или кратчайшим путем от прямой, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости чертежа, до линии действия силы тяжести, будет отрезок, равный максимальному отклонению шара от положения равновесия. Следовательно:

Момент силы может быть положительным и отрицательным.

Если сила вызывает вращение тела по часовой стрелке, то такой момент считают положительным:

Если сила вызывает вращение тела против часовой стрелки, то такой момент считают отрицательным:

Правило моментов

Тело, имеющее неподвижную ось вращения, находится в равновесии, если алгебраическая сумма моментов всех приложенных к телу сил относительно этой оси равна нулю:

Иначе правило моментов можно сформулировать так:

Сумма моментов сил, вызывающих вращение тела по часовой стрелке, равна сумме моментов сил, вызывающих вращение тела против часовой стрелки.

∑ M п о ч а с . с т р . = ∑ M п р . ч а с . с т р .

Условия равновесия тел

∑ → F i = 0 ; → v o = 0

∑ → F i = 0 ; → v o = 0 и ∑ → F i = 0 ; → v o = 0

Простые механизмы

Простые механизмы — приспособления, служащие для преобразования силы. К ним относится рычаг, наклонная плоскость, блоки, клин и ворот.

Наклонная плоскость

Тело не участвует в поступательном движении:
Тело не участвует во вращательном движении:
Тело находится в состоянии равновесия (не участвует ни в поступательном, ни во вращательном движении)
	Дает выигрыш в силе. Чтобы поднять груз на высоту h, нужно приложить силу, равную силе тяжести этого груза. Но, используя наклонную плоскость, можно приложить силу, равную произведению силы тяжести на синус угла уклона плоскости: Рычаг
	Дает выигрыш в силе, равный отношению плеча второй силы к плечу первой: F 1 F 2 . . = d 2 d 1 . . Неподвижный блок
	Изменяет направление действия силы. Модули и плечи сил при этом равны: Подвижный блок
	Дает выигрыш в силе в 2 раза:
	Делит силу на две равные части, направление которых зависит от формы клина:

Золотое правило механики

При использовании простых механизмов мы выигрываем в силе, но проигрываем в расстоянии. Поэтому выигрыша в работе простые механизмы не дают.

Алгоритм решения

Решение

Известна лишь масса батона: m₁ = 0,8 кг. Но мы также можем выразить плечи для силы тяжести батона и хлеба. Для этого длину линейки примем за один. Так как линейка поделена на 10 секций, можем считать, что длина каждой равна 0,1. Тогда плечи сил тяжести батона и рыба соответственно равны:

Запишем правило моментов:

Сила тяжести равна произведению массы на ускорение свободного падения. Поэтому:

Отсюда масса рыбы равна:

m 2 = m 1 d 1 d 2 . . = 0 , 8 · 0 , 3 0 , 4 . . = 0 , 6 ( к г )

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Однородный куб опирается одним ребром на пол, другим на вертикальную стену (см. рисунок). Плечо силы трения F → тр «> F _тр относительно оси, проходящей через точку О₃ перпендикулярно плоскости чертежа, равно.

Алгоритм решения

1. Сформулировать определение плеча силы.
2. Найти плечо силы трения и аргументировать ответ.

Решение

Плечом силы трения называют кратчайшее расстояние от оси вращения до линии, вдоль которой действует сила. Чтобы найти такое расстояние, нужно провести из точки равновесия перпендикуляр к линии действия силы трения. Отрезок, заключенный между этой точкой и линией, будет являться плечом силы трения. На рисунке этому отрезку соответствует отрезок О₃В.

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

iSopromat.ru

Моментом силы называют вращательное усилие создаваемое вектором силы относительно твердого тела, оси или точки.

Размерность — [Н∙м] (Ньютон на метр) либо кратные значения [кН∙м]

Аналогом момента силы является момент пары сил.

Обязательным условием возникновения момента является то, что точка, относительно которой создается момент не должна лежать на линии действия силы.

Определение

Момент определяется как произведение силы F на плечо h:

Плечо силы h, определяется как кратчайшее расстояние от точки до линии действия силы.

Наш короткий видеоурок про момент силы с примерами:

Например, сила величиной 7 кН приложенная на расстоянии 35см от рассматриваемой точки дает момент M=7×0,35=2,45 кНм.

Пример момента силы

Наиболее наглядным примером момента силы может служить поворачивание гайки гаечным ключом.

Гайки заворачиваются вращением, для этого к ним прикладывается момент, но сам момент возникает при воздействии нашей силы на гаечный ключ.

Вы конечно интуитивно понимаете — для того чтобы посильнее закрутить гайку надо взяться за ключ как можно дальше от нее.

В этом случае, прикладывая ту же силу, мы получаем большую величину момента за счет увеличения её плеча (h2>h1).

Плечом при этом служит расстояние от центра гайки до точки приложения силы.

Плечо момента силы

Рассмотрим порядок определения плеча h момента:

Пусть заданы точка A и некоторая произвольная сила F, линия действия которой не проходит через эту точку. Требуется определить момент силы.

Покажем линию действия силы F (штриховая линия)

Проведем из точки A перпендикуляр h к линии действия силы

Длина отрезка h есть плечо момента силы F относительно точки A.

Момент принимается положительным, если его вращение происходит против хода часовой стрелки (как на рисунке).

Так принято для того, чтобы совпадали знаки момента и создаваемого им углового перемещения.

Момент силы

Моментом силы F относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора r , проведенного из точ­ки О в точку А приложения силы, на силу F (рис. 25):

Здесь М — псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к F. Модуль момента силы

(18.1)

где a — угол между r и F ; r sin a = l — кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой О — плечо силы.

Моментом силы относительно неподвижной оси z называется скалярная величина M_z , равная проекции на эту ось вектора М момента силы, определенного относительно произвольной точки О данной оси z (рис. 26). Значение момента М _z не зависит от выбора положения точки О на оси z.

Если ось z совпадает с направлением вектора М, то момент силы представляется в виде вектора, совпадающего с осью:

Найдем выражение для работы при вращении тела (рис. 27). Пусть сила F приложена в точке В, находящейся от оси z на расстоянии r , a — угол между направлением силы и радиусом-вектором r . Так как тело абсолютно твердое, то работа этой силы равна работе, затраченной на поворот всего тела. При повороте тела на бесконечно малый угол d j точка приложения В проходит путь ds = r d j и работа равна произведе­нию проекции силы на направление смещения на величину смещения:

(18.2)

Учитывая (18.1), можем записать

где Fr sin a = Fl = M_z — момент силы относительно оси z . Таким образом, работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота.

Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии: dA = dT , но поэтому M_z d j = J_z w d w , или

Учитывая, что получаем

(18.3)

Уравнение (18.3) представляет собой уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси.

Можно показать, что если ось z совпадает с главной осью инерции (см. § 20), проходящей через центр масс, то имеет место векторное равенство

(18.4)

где J — главный момент инерции тела (момент инерции относительно главной оси).