Уравнение непрерывности и его смысл

Уравнение неразрывности и уравнение Бернулли.

Уравнение неразрывности потока и уравнения Бернулли являются основными уравнениями гидродинамики. При изучении потоков жидкости вводится ряд понятий, характеризующий потоки с гидравлической и геометрической точек зрения.

Такими понятиями являются: площадь живого сечения потока(или живое сечение потока), расход и средняя скорость.

Площадью живого сечения потока, называют площадь сечения потока, приведенную нормально к направлению линии тока, т.е. перпендикулярно движению струйки жидкости. Живое сечение может быть ограничено твердыми стенками полностью или частично. Если стенки ограничивают поток полностью, то движение жидкости называют напорным; Если же ограничение частичное, то движение называется безнапорным.

Напорное движение характеризуется тем, что гидродинамическое давление в любой точке потока отлично от атмосферного и может быть как больше, так и меньше него. Безнапорное движение характеризуется постоянным давлением на свободной поверхности, обычно равным атмосферному.

Содержание статьи

Расходом потока называется количество жидкости, протекающей через поперечное сечение в единицу времени. Если рассматривать поток жидкости, представляющий собой совокупность большого числа элементарных струек, то очевидно, общий расход жидкости для всего потока в целом представляет собой сумму расходов всех отдельных струек.

Для нахождения этой суммы необходимо знать закон распределения скоростей в сечении потока. Так как во многих случаях движения такой закон неизвестен, в общем случае суммирование становится невозможным. Поэтому в гидродинамике вводится предположение, что все частицы жидкости по всему поперечному сечению потока движутся с одинаковой скоростью. Эту воображаемую фиктивную скорость называют средней скоростью потока υ_ср .

Таким образом уравнение расхода для потока будет

υ_ср – средняя скорость потока

F – площадь сечения потока.

Уравнение неразрывности потока жидкости

Теперь вооружившись основными понятиями перейдем к определению уравнения неразрывности потока.

Отделим сечениями 1-1 и 2-2 некоторый отрезок элементарной струйки. В этот отрезок в единицу времени через сечение 1-1 втекает объем жидкости равный

а через сечение 2-2 из него же вытекает объем, равный

Примем, что жидкость несжимаема и что в ней невозможно образование незаполненных жидкостью пространств – т.е. будем считать, что соблюдается условие сплошности или неразрывности движения.

Учитывая, что форма элементарной струйки с течением времени не изменяется и поперечный приток в струйку или отток из ней отсутствуют, приходим к выводу, что элементарные расходы жидкости, проходящие через сечение 1-1 и 2-2, должны быть одинаковы.

Такие соотношения можно составить для любых двух сечений струйки. Поэтому в более общем виде получаем, что всюду вдоль струйки

Это уравнение называется уравнением неразрывности жидкости – оно является первым основным уравнением гидродинамики. Переходя далее к потоку жидкости в целом получаем, что

т.е. средние скорости в поперечных сечениях потока при неразрывности движения обратно пропорциональны площади этих сечений.

Уравнение неразрывности струи жидкости. Уравнение Бернулли.

Вторым основным уравнением гидродинамики является уравнение Бернулли, устанавливающее взаимосвязь между скоростью и давлением в различных сечениях одной и той же струйки.

При рассмотрении уравнения Бернулли также как и в предыдущем случае ограничимся установившемся медленно изменяющимся движением. Выделим в объеме некоторой жидкости одну элементарную струйку и ограничим её в какой-то определенный момент времени Т сечениями 1-1 и 2-2.

Допустим, что через какой-то промежуток времени ΔТ указанный объем переместится в положение 1’ – 1’ и 2’ – 2’. Тогда применяя к движению этого сечению теорему кинетической энергии, определяем, что приращение кинетической энергии движущейся системы материальных частиц равняется сумме работ всех сил, действующих на систему.

Если всё это записать в виде формулы, то

где W – приращение кинетической энергии = m * υ 2 / 2

ΣA – сумма работ действующих сил = P *ΔS

В этих выражениях
m – масса
υ – скорость материальной точки
P – равнодействующая всех сил, приложенных к точке,
ΔS – проекция перемещения точки на направление силы.

Теперь рассмотрим обе части этого выражения по порядку.

Приращение кинетической энергии ΔW

В нашем случае приращение кинетической энергии определяется как разность значений кинетической энергии в двух положениях перемещающегося объема, т.е. как разность кинетической энергии объема образованного сечениями 1-1’ и объема, образованного сечениями 2 – 2’.

Эти объемы являются результатом перемещения за время ΔТ сечений выделенного участка элементарной струйки.

Вспоминая, что по условию неразрывности расход во всех сечениях элементарной струйки одинаков, а следовательно будет равен

масса в этом случае получается равной

Подставляя все это в выражение для кинетической энергии получаем цепочку

ΔW = m * υ 2 ₂ / 2 — m * υ 2 ₁ / 2 = ρ * q * ΔТ * υ 2 ₂ / 2 — ρ * q * ΔТ * υ 2 ₁ / 2

Работа сил действующих на систему ΣA

Теперь перейдем к рассмотрению работы сил, действующих на рассматриваемый объем жидкости. Работа сил тяжести A_Т равна произведению этой силы на путь, пройденный центром массы движущегося объема жидкости по вертикали.

Для рассматриваемой в нашем примере струйки работа сил тяжести будет равна произведению сил тяжести объема занимаемого сечениями 1-1’ и 2 – 2’ на расстояние Z1 –Z2.

Где Z1 и Z2 – расстояния по вертикали от горизонтальной плоскости, называемой плоскостью сравнения до центров масс объемов 1-1’ и 2 – 2’.

Силы давления А_Д , действующие на объем жидкости складываются из сил давления на его боковую поверхность и на концевые поперечные сечения. Работа сил давления на боковую поверхность равна нулю, так как эти силы за все время движения нормальны к перемещению их точек приложения.

Суммарно работа сил давления будет

Подставляя в начальное уравнение

Полученные выражения для ΔW и ΣA получаем

Разделим обе части этого уравнения на m = ρ*q*ΔТ и перегруппируем слагаемые

Учитывая, что сечения 1-1 и 2-2 взяты нами совершенно произвольным образом, это уравнение возможно распространить на всю струйку. Применив его для любых поперечных сечений, взятых по её длине, и представить в общем виде:

Записанные выше два уравнения представляют собой уравнение Бернулли для элементарной струйки жидкости. Сумма трех слагаемых, входящих в это уравнение, называется удельной энергией жидкости в данном сечении струйки. Различают такие энергии как:
Удельная энергия положения = qz
Удельная энергия давления = p/ ρ
Кинетическая удельная энергия = υ 2 / 2

В соответствии с этим уравнение Бернулли для струйки жидкости можно сформулировать следующим образом: для элементарной струйки идеальной жидкости полная удельная энергия, т.е. сумма удельной энергии положения, удельной энергии давления и кинетической удельной энергии – есть величина постоянная во всех сечениях струйки.

Видео по теме уравнение неразрывности

Полученные в результате многочисленных экспериментов данные из уравнения Бернулли и уравнения неразрывности потока жидкости нашли широкое применение в повседневной жизни.

Уравнение Бернулли широко используется для нахождения скорости истечения жидкости через отверстия.

Уравнение неразрывности обладает широкой универсальностью и справедливо для любой сплошной среды. Принцип уравнения неразрывности используется для формирования сильной и дальнобойной струи воды при тушении пожаров.

§ 26. УРАВНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ

Электрический ток является стационарным лишь при определенных условиях. Выясним эти условия.

Если ток нестационарный, т. е. I=f(t), то через замкнутую неподвижную поверхность, ограничивающую произвольный объем, может входить и выходить различное количество зарядов.

Тогда объемная плотность зарядов в этом объеме:

Сила тока, определяется зарядом, проходящим через поверхность в единицу времени : . По закону сохранения заряда, скорость изменения количества заряда внутри объема и заряд, вышедший через поверхность в единицу времени, в сумме должны равняться нулю: или . Используем, что :

и . Тогда: — уравнение непрерывности в интегральной форме или закон сохранения заряда при наличии тока.

Физический смысл этого уравнения в том, что убыль заряда в единицу времени внутри замкнутой поверхности равна потоку вектора плотности тока через данную поверхность. — уравнение непрерывности в дифференциальной форме. Если ток стационарный, то распределение зарядов в пространстве неизменно, т. е.

Тогда: или — условие стационарности тока в дифференциальном и интегральном виде.

САМОСТ. IX: показать, что

1) в однородной среде линии вектора плотности стационарного тока всегда замкнуты, либо идут в бесконечность;

2)на поверхности соприкосновения двух различных сред вектор плотности тока ….

3)если проводник с током граничит с непроводящей средой, то….

Непрерывность функции в точке

30 декабря 2021

В этом уроке мы выясним, что такое непрерывность функции в точке, непрерывность на множестве; познакомимся с основными свойствами таких функций; научимся искать точки разрыва и решим множество интересных задач.

Поначалу теория будет совсем простой, но затем выкладки и задачи начнут быстро усложняться. И чем глубже вы хотите разобраться в математике, тем больше пользы получите от этого урока.

1. Интуитивное определение непрерывности

Большинство студентов, когда слышат термин «непрерывная функция», представляют себе линию, которую можно начертить, не отрывая карандаша от бумаги. Например, обычную параболу:

Или просто какую-нибудь плавную кривую:

Главное, чтобы у этих линий не было никаких особенностей. Они не «разваливаются» на куски, не «улетают» в бесконечность рядом с какой-то точкой, и вообще для любого $x$ мы прямо по графику можем определить, чему будет равен $y$.

Другое дело — функции с нарушением непрерывности. Или, как говорят, с точками разрыва. Обычно студенты сразу называют функцию $y=<1>/<<^<2>>>\;$ — классическую гиперболу, которая не определена в точке $x=0$, а график «улетает» в бесконечность в окрестности этой точки:

Впрочем, для возникновения разрыва функции вовсе не обязательно уходить куда-то в бесконечность. Достаточно просто иметь выколотую точку. Взгляните:

Перед нами всё та же парабола $y=<^<2>>$, но с выколотой точкой $x=-2$. Как такое возможно? Очень просто. Например, именно так выглядит график функции

Значение этой функции не определено при $x=-2$, поскольку знаменатель дроби обращается в ноль. Но во всех остальных точках знаменатель $x+2\ne 0$, и можно выполнить сокращение:

И это не какая-то «искусственная» задача — такие функции регулярно встречаются на ОГЭ и ЕГЭ по математике, особенно в задачах с параметром.

Но и это ещё не всё. Функция может быть определена на всей числовой прямой — и всё равно иметь точку разрыва:

Это график кусочно-заданной функции

\[f\left( x \right)=\left\ < \begin& 1, & x \gt 0 \\ & 0, & x=0 \\ & -1, & x \lt 0 \\ \end \right.\]

Она определена для всех $x\in \mathbb$, в т.ч. при $x=0$. Однако именно в точке $x=0$ происходит скачкообразное изменение: $f\left( 0 \right)=0$, но малейший шаг влево — и вот уже $f\left( x \right)=-1$. А малейший шаг вправо — и $f\left( x \right)=1$.

Итого проблемы возникают там, где функция «улетает» в бесконечность, либо меняется скачкообразно, либо вообще не определена. И тут мы переходим к строгому определению непрерывности.

2. Непрерывность функции в точке

Определение 1. Функция $f\left( x \right)$ называется непрерывной в точке $<_<0>>$, если она определена в этой точке и имеет предел, равный значению функции в этой точке:

На практике удобно считать, что функция непрерывна в точке $<_<0>>$, если выполнены сразу три условия:

1. Функция определена в этой точке, т.е. существует $f\left( <_<0>> \right)$;
2. Существует конечный предел функции $\lim\limits__<0>>> f\left( x \right)$;
3. Этот предел равен значению функции в точке: $\lim\limits__<0>>> f\left( x \right)=f\left( <_<0>> \right)$.

Если хотя бы одно из этих условий не выполнено, функция перестаёт быть непрерывной. Так, в приведённых выше примерах гипербола $y=<1>/\;$ не определена и не имеет предела в точке $x=0$. Парабола с выколотой точкой просто не определена при $x=-2$. А кусочно-заданная функция определена в точке $x=0$, но имеет разные левые и правые пределы, отличные от $f\left( 0 \right)$.

2.1. Непрерывность по Коши и по Гейне

Среди трёх условий непрерывности особый интерес представляет второй пункт — существование предела $\lim\limits__<0>>> f\left( x \right)$. Именно на вычислении предела функции в точке спотыкается большинство учеников.

Если вы чувствуете себя неуверенно в вычислении таких пределов, рекомендую повторить тему «Что такое предел функции в точке». А сейчас мы адаптируем два ключевых определения из того урока — предел функции по Коши (в нотации «$\varepsilon $—$\delta $») и по Гейне (через последовательности) — для проверки непрерывности.

Определение 2. (непрерывность по Коши) Функция $f\left( x \right)$ непрерывна в точке $<_<0>>$, если

\[\begin & \forall \left( \varepsilon \gt 0 \right)\quad \exists \left( \delta =\delta \left( \varepsilon \right) \gt 0 \right): \\ & x\in <<\overset<\circ ><\mathop>\,>_<\delta >>\left( <_<0>> \right)\Rightarrow \left| f\left( x \right)-f\left( <_<0>> \right) \right| \lt \varepsilon\\ \end\]

Когда «посвящённый» человек слышит фразу «предел функции в точке», он чаще всего вспоминает именно такое определение (по Коши, т.е. в нотации «$\varepsilon $—$\delta $»). Но есть ещё одно определение:

Определение 3. (непрерывность по Гейне) Функция $f\left( x \right)$ непрерывна в точке $<_<0>>$, если для любой числовой последовательности $\left\< <_> \right\>$ такой, что

Все три определения непрерывности эквивалентны. Это следует из эквивалентности определения предела по Коши и по Гейне (доказательство такой эквивалентности — в уроке про пределы функции в точке).

Нас сейчас интересует другое: а как вообще проверить, что все эти пределы существуют? Тут нам на помощь приходят односторонние пределы.

2.2. Критерий существования предела в точке

Теорема 1. Предел функции в точке $\lim\limits_ f\left( x \right)$ существует и равен числу $A\in \mathbb$ тогда и только тогда, когда существуют конечные односторонние пределы $\lim\limits_ f\left( x \right)$ и $\lim\limits_ f\left( x \right)$, причём эти пределы должны быть равны числу $A$:

\[\lim\limits_ f\left( x \right)=\lim\limits_ f\left( x \right)=\lim\limits_ f\left( x \right)=A\]

Эта теорема прекрасно подходит и для проверки непрерывности, и для классификации точек разрыва (об этом позже). Давайте рассмотрим пару примеров, а затем сформулируем общий алгоритм.

Рассмотрим график функции $y=<^<2>>$ и найдём односторонние пределы в точке $<_<0>>=2$.

Вот график с интересующей нас точкой:

Если встать в начало координат, а затем приближаться к точке $<_<0>>=2$ слева, значения функции будут постепенно расти, становясь всё ближе к $y=4$:

А если двигаться из бесконечности влево, приближаясь к $<_<0>>=2$, значения функции будут убывать, становясь всё ближе к тому же $y=4$:

Получается, что односторонние пределы существуют и равны одному и тому же числу:

Это значит, что и стандартный предел функции в точке $<_<0>>=2$ тоже существует и равен

Значение функции $y=<^<2>>$ в точке $<_<0>>=2$ тем более определено и равно тому же самому числу:

Вот и получается, что (1) функция равна 4, (2) предел существует (мы доказали это через односторонние пределы) и равен 4, (3) значения функции и предела в точке совпадают. Следовательно, функция $y=<^<2>>$ непрерывна в точке $<_<0>>=2$.

Возможно, прочитав всё это, вы скажете: «Спасибо, кэп. А разве бывает иначе?» Ещё как бывает! Взгляните на следующий пример.

Пример 2. Функция с разрывом в точке $<_<0>>=0$.

Рассмотрим график функции $y=<\left| x \right|>/\;$ и найдём односторонние пределы в точке $<_<0>>=0$.

Этот график весьма схож с тем, что мы рассматривали в самом начале урока. Для удобства обозначим точки $\left( 0;1 \right)$ и $\left( 0;-1 \right)$, не принадлежащие графику, выколотыми точками (а не стрелками, как было раньше):

Функция не определена в нуле — одно из условий непрерывности уже не выполняется, и на этом можно было бы закончить. Но нас сейчас интересуют односторонние пределы.

Начнём движение по левой ветке графика — из минус бесконечности влево к $x=0$:

При этом значение функции будет оставаться неизменным: $y=-1$. Следовательно,

Теперь пройдёмся по правой ветке — из плюс бесконечности к $x=0$:

Как бы близко к нулю мы ни приближались, значения функции всё равно равны $y=1$. Поэтому

Получается, что односторонние пределы существуют, но не равны:

Следовательно, общего предела функции в точке $x=0$ не существует.

2.3. Алгоритм исследования функции на непрерывность

Сформулируем универсальный алгоритм, по которому доказывается непрерывность функции $f\left( x \right)$ в точке $<_<0>>$. Или наоборот — опровергается. Алгоритм состоит из трёх шагов:

1. Проверить, определена ли функция $f\left( x \right)$ в точке $x=<_<0>>$. Другими словами, можно ли найти значение $f\left( <_<0>> \right)$. Если посчитать $f\left( <_<0>> \right)$ нельзя — функция не является непрерывной, исследование закончено. Если можно, переходим к пункту 2;
2. Найти односторонние пределы и проверить: выполняется ли критерий существования предела функции в точке. Если односторонние пределы существуют и равны — переходим к пункту 3. Если хотя бы один односторонний предел не существует, либо они не равны — функция не является непрерывной, исследование закончено.
3. Сравнить значения $f\left( <_<0>> \right)$ и $\lim\limits__<0>>> f\left( x \right)$. Если они равны, функция непрерывна. Если нет — значит, функция не является непрерывной.

Может показаться, что действий слишком много. И что проверка слишком сложная. На самом деле это не так. Взгляните:

Пример 3. Доопределите функцию $f\left( x \right)$ в точке $<_<0>>$ так, чтобы она стала непрерывной:

Это одна из любимейших задач всех преподавателей по матанализу. Очевидно, функция не проходит уже первый пункт проверки: $f\left( 0 \right)$ не существует, поскольку деление на ноль не определено.

Однако нам предлагают доопределить функцию, т.е. найти такое $A\in \mathbb$, чтобы полученная функция

была непрерывна в точке $<_<0>>=0$.

Поэтому проверим пункт 2. Посчитаем левосторонний и правосторонний пределы:

Односторонние пределы легко сводятся к первому замечательному пределу и равны $A=1$. Следовательно, если мы доопределим $f\left( x \right)$ так, чтобы $f\left( 0 \right)=1$, мы получим функцию, непрерывную в $<_<0>>=0$:

Вот и всё. Задача решена.

Обратите внимание на график функции $y=f\left( x \right)$. Вот так он выглядит изначально (очевидно нарушение непрерывности в $<_<0>>=0$):

А вот так — после того, как мы доопределим $f\left( 0 \right)=1$:

Получили функцию, которая непрерывна в любой точке. И это видно на графике. Из чего сразу сделаем два замечания:

Замечание 1. Если в задании требуется исследовать функцию на непрерывность, обязательно постройте хотя бы примерный график этой функции. Так вы сразу поймёте: где могут быть проблемы, как ведёт себя функция в окрестности «проблемных» точек и что с этим можно сделать.

Замечание 2. Исследование на непрерывность всегда проводится в конкретных точках. Но график функции — это чаще всего бесконечное множество точек, большинство из которых ничем не примечательны. Поэтому нужно научиться определять непрерывность на бесконечных множествах.

Вот вторым пунктом — непрерывностью на бесконечных множествах — мы сейчас и займёмся.

3. Непрерывность функции на множестве

До сих пор мы говорили о непрерывности лишь в одной конкретной точке — некой $<_<0>>\in \mathbb$. Но большинство функций определено на огромных множествах — вплоть до всей числовой прямой. Как быть в этом случае? Здесь нам помогут следующие определения.

3.1. Непрерывность на интервале

Определение 4. Функция $f\left( x \right)$ непрерывна на интервале $\left( a;b \right)$, если она непрерывна в каждой точке $<_<0>>\in \left( a;b \right)$.

Пример. Функция $y=<1>/\;$ непрерывна на интервале $\left( -\infty ;0 \right)$ и на интервале $\left( 0;+\infty \right)$.

Почему именно интервал? Почему не отрезок? Потому что интервал — это открытое множество, т.е. каждая точка $<_<0>>\in \left( a;b \right)$ входит в этот интервал с некоторой своей $\delta $-окрестностью. На языке кванторов записывается это так:

А на числовой прямой всё это безобразие выглядит так:

На интервале мы никогда достигаем границ — точек $a$ и $b$. Поэтому не имеет значения, как близко к этим границам располагается точка $<_<0>>$. Всегда можно взять расстояние до ближайшей границы (например, $\left| <_<0>>-a \right|$), поделить пополам — вот вам и отступ $\delta \gt 0$.

3.2. Непрерывность на отрезке

Отрезок $\left[ a;b \right]$ принципиально отличается от интервала $\left( a;b \right)$ тем, что мы можем зайти, например, в левый конец отрезка — точку $a$ — и ничего левее этой точки принадлежать отрезку уже не будет.

Никакие отступы, никакие $\delta $-окрестности тут не помогут. Поэтому нам нужны два новых определения.

Определение 5. Функция $f\left( x \right)$ называется непрерывной справа в точке $<_<0>>$, если

непрерывной слева в точке $<_<0>>$, если

Теперь мы можем рассматривать непрерывность на любых привычных нам множествах — интервалах и отрезках. Чуть позже в этом уроке мы сформулируем замечательную теорему о непрерывности элементарных функций, но пока давайте рассмотрим пару примеров.

Пример 4. Функция $f\left( x \right)=\sqrt<4-<^<2>>>$ непрерывна на всей своей области определения.

Проверить это и построить график.

Для начала найдём область определения $f\left( x \right)$. Поскольку арифметический квадратный корень определён только из неотрицательного числа, имеем:

Для лучшего понимания ситуации начертим график $y=\sqrt<4-<^<2>>>$. Заметим, что

это уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом $r=2$. Графиком функции будет лишь та часть этой окружности, для которой $y\ge 0$:

Очевидно, что функция непрерывна для всех $x\in \left[ -2;2 \right]$, причём в $x=-2$ непрерывна справа, в $x=2$ непрерывна слева.

Пример 5. Функция $f\left( x \right)=\sqrt$ непрерывна на всей своей области определения.

Проверить это и построить график.

Область определения функции $f\left( x \right)=\sqrt$:

\[x\in \left[ 0;+\infty \right)\]

График — стандартная «уложенная набок» ветвь параболы:

Видим, что функция $f\left( x \right)$непрерывна во всех точках $x\in \left[ 0;+\infty \right)$, причём в $x=0$ непрерывна справа. Задача решена.

Возможно, вы уже заметили, что все функции, которые мы сегодня изучали, были непрерывны на всей своей области определения. Проблемы возникали лишь во всяких конструкциях вида $<1>/\;$, где возможно деление на ноль. Но даже гипербола $y=<1>/\;$ не определена лишь в точке $x=0$, а во всех остальных точках она определена и непрерывна.

И это не случайно. Существует целый класс функций, которые непрерывны на всей своей области определения. Настала пора познакомиться с ними.

3.3. Непрерывность элементарных функций

В математическом анализе существует особый класс функций, которые называются элементарными.

Определение 6. Элементарные функции — это любые функции из списка:

Кстати, модуль тоже является элементарной функцией:

Для всех таких функций выполняется замечательная теорема:

Теорема 2. Все элементарные функции непрерывны на всей своей области определения.

Если область определения представляет собой отрезок или иное замкнутое множество, то на концах таких отрезков выполняется односторонняя непрерывность.

Универсального доказательства этой теоремы сразу для всех элементарных функций не существует. Сначала доказывают непрерывность степенной и показательной функции. Затем показывают непрерывность арифметических операций (тот ещё квест, особенно для многочленов).

Кроме того, есть целая группа теорем, которые верны для всех непрерывных функций:

• 1.Теорема о нуле непрерывной функции и о промежуточном значении на отрезке.
• 2.Теоремы Вейерштрасса об ограниченности непрерывной функции на отрезке и о достижении точной верхней и нижней грани.
• 3.Теоремы о непрерывности обратной функции и композиции функций.

Каждой из этих теорем посвящён отдельный урок — с точной формулировкой, доказательством и примерами (см. содержание раздела). Сейчас нас интересуют более приземлённые вопросы.

Например, может возникнуть вопрос: а что, разве есть какие-то другие функции, помимо элементарных? Конечно есть.

\[D\left( x \right)=\left\ < \begin& 1, & x\in \mathbb \\ & 0, & x\notin \mathbb \\ \end \right.\]

Функция Дирихле определена для всех $x\in \mathbb$. Она равна единице в том случае, если $x=

/\;$ — рациональное число, и равна нулю во всех остальных случаях.

Очевидно, что в любой $\delta $-окрестности точки $<_<0>>\in \mathbb$ и слева, и справа найдутся иррациональные числа. И наоборот: в любой $\delta $-окрестности иррационального числа $a\in \mathbb\backslash \mathbb$ найдутся его рациональные приближения с избытком и недостатком. Следовательно, односторонние пределы

\[\lim\limits__<0>>-> D\left( x \right)\quad \lim\limits__<0>>+> D\left( x \right)\]

не существуют ни в одной точке графика. И функция Дирихле терпит разрыв в каждой точке числовой прямой.:)

Кстати, сам график выглядит примерно так:

Линия $y=1$ проведена пунктиром из тех соображений, что множество рациональных чисел счётно, а множество всех действительных чисел — нет. Но это всё условности.:)

Пример 7. Исследовать на непрерывность функцию

Эта функция представляет собой композицию двух элементарных функций: $\sin x$ и $<1>/\;$. Следовательно, перед нами элементарная функция, которая определена и непрерывна везде, кроме $x=0$.

Посчитаем левосторонний и правосторонний предел в точке $x=0$. Для этого заметим, что при $x\to 0$ величина $<1>/\;\to \infty $. Следовательно, в любой $\delta $-окрестности точки $x=0$ найдутся и точки вида $t=\pi n$, $n\in \mathbb$, в которых $\sin t=0$; и точки вида $t=<\pi >/<2>\;+\pi n$, в которых $\sin t=\pm 1$.

Следовательно, ни левосторонний, ни правосторонний пределы не определены:

\[\lim\limits_ \sin \frac<1>\quad \lim\limits_ \sin \frac<1>\]

А это значит, что общий предел в точке $x=0$ тоже не определён. Следовательно, $x=0$ — не просто точка разрыва (это и так понятно, поскольку в нуле функция не определена). Принципиально невозможно доопределить $f\left( x \right)$ в нуле так, чтобы получилась непрерывная функция.

График $y=\sin \left( <1>/\; \right)$ выглядит так (единичный отрезок — две клетки):

Чем ближе $x\to 0$, тем быстрее график «бегает» между $y=-1$ и $y=1$. В какой-то момент из-за конечной толщины линий на чертеже строить график становится невозможно. Даже если мы возьмём за единичный отрезок тысячу клеток. Даже если будем чертить на огромных листах. Никакие листы и отрезки не могут сравниться с бесконечностью.:)

Ну и перед тем как переходить к практике, давайте разберёмся, что же произойдёт, если хотя бы одно условие непрерывности не выполняется.

4. Точки разрыва

Урок о непрерывности функции в точке будет неполным, если мы не поговорим про точки разрыва.

Напомню, что функция $f\left( x \right)$ является непрерывной в точке $<_<0>>$, когда выполнены три условия:

1. Функция $f\left( x \right)$ определена в этой точке, т.е. мы можем посчитать $f\left( <_<0>> \right)$.
2. Существует конечный предел $\lim\limits__<0>>> f\left( x \right)$.
3. Должно выполняться равенство $\lim\limits__<0>>> f\left( x \right)=f\left( <_<0>> \right)$.

А что, если хотя бы одно условие не выполнено? Перед нами точка разрыва.

Определение 7. Если функция $f\left( x \right)$ не является непрерывной в точке $<_<0>>$, то она называется разрывной в точке $<_<0>>$. Сама точка $<_<0>>$ при этом называется точкой разрыва функции $f\left( x \right)$.

Определение 8. Точка разрыва $<_<0>>$ называется точкой разрыва первого рода функции $f\left( x \right)$, если существуют конечные односторонние пределы $\lim\limits__<0>>+> f\left( x \right)$ и $\lim\limits__<0>>-> f\left( x \right)$.

В противном случае $<_<0>>$ называется точкой разрыва второго рода.

Классический пример точки разрыва второго рода:

Ветви гиперболы «улетают» в бесконечность рядом с точкой $<_<0>>=0$.

Ещё один пример:

Мы уже рассматривали график этой функции и знаем, что односторонних пределов в $<_<0>>=0$ не существует. Поэтому функция терпит разрыв второго рода.

Да даже обычный $y=\operatornamex$ терпит разрыв второго рода в точках вида $<_>=<\pi >/<2>\;+\pi n$, $n\in \mathbb$.

Определение 9. Разрыв первого рода в точке $<_<0>>$ называется устранимым, если существует конечный предел $\lim\limits__<0>>> f\left( x \right)=A$, но $A\ne f\left( <_<0>> \right)$.

То же самое, если существует конечный предел $\lim\limits__<0>>> f\left( x \right)=A$, но $f\left( <_<0>> \right)$ не определена.

Из определения очевидно, что устранимыми могут быть только разрывы первого рода. Вот несколько примеров:

Рассмотрим более сложный пример

Пример 8. Исследуйте точки разрыва функции

Это элементарная функция, поэтому единственная точка разрыва: $x=0$ — в ней не определена дробь $<1>/\;$.

Выясним, какого рода этот разрыв. Посчитаем предел слева:

И предел справа:

Понятно, что показательная функция $y=<<\text>^>$ растёт быстрее линейной $y=t$ при $t\to +\infty $. Поэтому конечного предела нет.

Итого функция терпит разрыв второго рода в точке $x=0$. Этот разрыв хорошо виден на графике:

Обратите внимание: точка $x=1$ является точкой локального минимума, а прямая $y=x+1$ — наклонная асимптота нашего графика. Чтобы находить такие точки, нужно разобраться с производными.

О производных и дифференциалах мы поговорим в отдельных уроках. А пока лишь одна заключительная рекомендация:

При исследовании функции на непрерывность обязательно чертите её график. Хотя бы в виде эскиза. Даже если задание кажется вам «очевидным».

Так вы защитите себя от глупых ошибок. И намного быстрее поймёте, как ведёт себя функция в окрестностях точек разрыва.