Уравнение непрерывности полного тока для

Уравнение непрерывности и закон сохранения зарядов

Из первого и третьего уравнений Максвелла вытекает важное соотношение, называемое уравнением непрерывности:

(1.21)

Правая часть уравнения (1.28) представляет собой сумму плотностей тока проводимости и тока смещения, т.е. плотность полного тока , поэтому уравнение (1.28) эквивалентно условию div = 0. Т. о. уравнение (1.28) показывает, что линии плотности полного тока являются непрерывными, в то время как линии плотностей токов проводимости и смещения могут иметь начало и конец.

Уравнение (1.21) можно переписать

Уравнение (1.22) представляет собой закон сохранения заряда: всякому изменению величины заряда, распределенного в некоторой области, соответствует электрический ток I, втекающий в эту область или вытекающий из нее.

Граничные условия

Рассматриваемая на практике область может состоять из двух (и более) разнородных сред. На границе раздела сред параметры e, m и s меняются скачком. Соотношения, показывающие связь между значениями составляющих векторов электромагнитного поля в разных средах у поверхности раздела, называют граничными условиями. Данные соотношения получены по отдельности для нормальных (перпендикулярных) и тангенциальных (касательных) проекций электрических и магнитных векторов.

Граничное условие для нормальной составляющей вектора D в общем случае имеет вид:

— = τ. (1.23)

Здесь τ – поверхностная плотность заряда – характеризует заряд, распределенный вдоль поверхности раздела.

(1.24)

В случае если заряд не сосредоточен на поверхности раздела, т.е. не является поверхностным, то правая часть формулы (1.24) равна нулю, а нормальная компонента вектора D непрерывна при переходе из одной среды в другую:

Выражение (1.25) показывает, что при отсутствии на границе раздела двух сред поверхностных зарядов нормальная составляющая вектора электрического смещения меняется плавно, при наличии поверхностных зарядов – меняется скачкообразно.

Воспользовавшись материальным уравнением (1.4) можно получить граничное условие для напряженности электрического поля

(1.26)

Выражение (1.26) показывает, что нормальная составляющая вектора напряженности электрического поля меняется скачком.

Граничное условие для нормальной составляющей вектора магнитной индукции имеет вид

Выражая в равенстве (1.27) B_n через Н_n, получаем

(1.28)

Граничное условие для касательных составляющих вектор напряженности магнитного поля имеет вид:

— =j_sl. (1.29)

j_sl – плотность поверхностного тока. Она определяется соотношением:

(1.30)

Выражение (1.30) характеризует токи, распределенные вдоль поверхности раздела в виде бесконечно тонкого слоя. Такие токи называют поверхностными.

В случае отсутствия поверхностных токов можем записать:

= . (1.31)

Выражение (1.31) показывает, что при отсутствии на границе раздела двух сред поверхностных токов касательная составляющая вектора напряженности магнитного поля меняется плавно, при наличии поверхностных токов – меняется скачкообразно.

Касательная составляющая вектора В, наоборот, претерпевает разрыв, величина которого определяется отношением магнитных проницаемостей:

(1.32)

Граничное условие для касательной составляющей вектора Е:

= . (1.33)

Касательная составляющая вектора Dпретерпевает разрыв, величина которого зависит от соотношения между диэлектрическими проницаемостями:

(1.34)

Уравнение непрерывности полного тока для

1.7.2. Уравнение непрерывности

Если внутри проводника, по которому течет электрический ток, выделить какой-то объем, ограниченный замкнутой поверхностью S (рис 1.7.2), то, согласно закону сохранения электрического заряда, суммарный электрический заряд q, охватываемый поверхностью S, изменяется за время dt на dq = —Idt, тогда в интегральной форме можно записать:

Это соотношение называется уравнением непрерывности. Оно является, по существу, выражением закона сохранения электрического заряда.

Дифференциальная форма записи уравнения непрерывности записывается так:

В случае постоянного тока распределение зарядов в пространстве должно оставаться неизменным:

— это уравнение непрерывности для постоянного тока (в интегральной форме).

Линии j в этом случае нигде не начинаются и нигде не заканчиваются. Поле вектора j не имеет источника. В дифференциальной форме уравнение непрерывности для постоянного тока .

Уравнение непрерывности полного тока для

Если через некоторую поверхность переносится суммарный заряд, отличный от нуля, то говорят, что через эту поверхность течет электрический ток. Ток может протекать в твердых телах, в жидкостях и в газах. Для протекания тока необходимо наличие в данном теле (или в данной среде) заряженных частиц, которые могут перемещаться в пределах всего тела. Такие частицы называются носителями тока. Ими могут быть электроны, ионы либо макроскопические частицы (например, заряженные пылинки, капельки), несущие избыточный заряд.

Направлением тока условились считать направление движения положительно заряженных частиц. Линии, вдоль которых движутся заряженные частицы, названы линиями тока. Для количественной характеристики электрического тока служат две основные величины: плотность тока и сила тока.

Плотность тока равна заряду, проходящему в единицу времени через единицу поверхности, которая перпендикулярна к линиям тока. Пусть в единице объема содержится положительных носителей тока и отрицательных.

Алгебраическая величина зарядов носителей тока равна, соответственно, и . Если под действием поля носители тока приобретают средние скорости движения и , то за единицу времени через единичную площадку пройдет положительных носителей тока, которые перенесут заряд . Аналогично отрицательные носители перенесут в противоположную сторону заряд . Таким образом, для плотности тока получается следующее выражение:

.

Или в векторном виде вектор плотности тока j определяется следующим образом

.

Если в поперечном сечении проводника выделить бесконечно малую площадку dS, перпендикулярную вектору плотности тока j, то заряд dq, проходящий через нее за время dt, равен

.

Сила тока в проводнике равна заряду, проходящему в единицу времени через полное сечение проводника. Если заряд dq, проходящий через сечение проводника за время dt, то

.

Сила тока скалярная величина. Зная вектор плотности тока в каждой точке проводника, можно выразить через него и силу тока

.

Размерность силы тока — ампер (А), единица измерения плотности тока — ампер на метр квадратный (). Если сила тока не меняется во времени, то ток, протекающий в проводнике, называют постоянным. Силу постоянного тока будем обозначать буквой I.

Рассмотрим среду, в которой течет ток, и выделим в ней замкнутую поверхность S (рис. 4.1). Для тока, выходящего в единицу времени из объема V, ограниченного поверхностью S, имеем

В силу закона сохранения заряда эта величина должна быть равна скорости убывания заряда, содержащегося в данном объеме

.
Это соотношение называют уравнением непрерывности. Учитывая, что заряд

,

получим . Преобразовав левую часть равенства по теореме о дивергенции (теореме Гаусса — Остроградского), находим

.

Таким образом в каждой точке пространства выполняется условие

,

которое является дифференциальной формой уравнения непрерывности.

Если токи постоянны, то все электрические величины не зависят от времени и в уравнении непрерывности нужно положить равным нулю. Тогда , следовательно, в случае постоянного тока вектор j не имеет источников. Это означает, что линии тока нигде не начинаются и нигде не заканчиваются, т. е. они замкнуты.

1) Что называется силой тока, плотностью тока, каковы их единицы измерения
2) Покажите, что в однородном проводнике при протекании по нему постоянного тока объемная плотность зарядов равна нулю. Какие заряды создают поле внутри проводника.
3) Может ли стационарная плотность тока j в однородном изотропном проводнике выражаться формулой , где а — константа,а x, y — декартовы координаты