Уравнение неравенства с модулем 8 класс

презентация «Модуль числа. Уравнения и неравенства с модулем»
презентация к уроку по алгебре (8 класс)

Презентация к уроку алгебры в 8 классе по учебнику Колягина М.Ю.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Модуль числа. Уравнения, содержащие модуль.

Заполни пропуски а) |5| =… б) | – 8,3 | =… в) | – 1,2 | + | – 2,4 | =… г) | – 8 |·| 2,3 | =…

На каком расстоянии от точки О на числовой прямой расположено число: 3,75 ; – 5,12 ; 0 .

Назовите числа, модуль которых равен: 8 6,2 0 4) – 6

3 4 | – 3 |=3 | 4 |=4 0 -3 4

Решим уравнение: |x|=8 Решение: |x|=8 Ответ: 8, – 8

Рассмотрим уравнение: | х | =а , если а > 0 – а 0 а х = – а х = а Ответ: – а, а

Решить уравнение: |2 х+3 | =1 – 1 0 1 2х + 3 = – 1 2х = – 1 – 3 2х = – 4 х = – 2 2х + 3 = 1 2х = 1 – 3 2х = – 2 х = – 1 Ответ: – 2; 1 Проверка: |2∙( –2)+3|=1 | 2∙(–1)+3 | =1

Решить неравенство | 5 – 4х | – 1 – 4x> – 6 x 1 Ответ: (1; 1,5)

Если а≤0, то решениями неравенства | х |≥ а являются все числа Запомни! Например: | х |≥ – 7 х – любое число

Работа в тетрадях: №157(1,3) №158(1,3) Дополнительное задание № 171(3)

Домашнее задание: § 10 №157(2,4) №158(2,4) №170(2) №171(2)

Реши уравнение: | – х | =2,1 | х + 1 | =4 | 2х | = 6 | – 2 х | = 6 | х + 3 | = – 15 | 3х | + 6 = 0 | х – 8 | + 12 = 8

Выполни в тетрадях: № 158 (2) № 159 (3) № 163 (4)

Домашнее задание: §1 – §10 повторить № 163 (2) № 153 (4,6) № 160 (4)

Подготовка к контрольной работе

Какие из чисел принадлежат промежутку? [-3 ; 8,5 ] -4; -2; -6; 0; 9,3; 8,5; 7 -2; 0; 8,5; 7

Найди ошибку! 7 2,5 1. Х ≥7 2. y Мне нравится

Уравнения с модулем

Эта статья посвящена приёмам решения различных уравнений и неравенств, содержащих
переменную под знаком модуля.

Если на экзамене вам попадётся уравнение или неравенство с модулем, его можно решить,
вообще не зная никаких специальных методов и пользуясь только определением модуля. Правда,
занять это может часа полтора драгоценного экзаменационного времени.

Поэтому мы и хотим рассказать вам о приёмах, упрощающих решение таких задач.

Прежде всего вспомним, что

Рассмотрим различные типы уравнений с модулем. (К неравенствам перейдём позже.)

Слева модуль, справа число

Это самый простой случай. Решим уравнение

Есть только два числа, модули которых равны четырём. Это 4 и −4. Следовательно, уравнение
равносильно совокупности двух простых:

Второе уравнение не имеет решений. Решения первого: x = 0 и x = 5.

Переменная как под модулем, так и вне модуля

Здесь приходится раскрывать модуль по определению. . . или соображать!

Уравнение распадается на два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.
Другими словами, оно равносильно совокупности двух систем:

Решение первой системы: . У второй системы решений нет.
Ответ: 1.

Первый случай: x ≥ 3. Снимаем модуль:

Число , будучи отрицательным, не удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому не является корнем исходного уравнения.

Выясним, удовлетворяет ли данному условию число . Для этого составим разность и определим её знак:

Значит, больше трёх и потому является корнем исходного уравнения

Стало быть, годятся лишь и .

Ответ:

Квадратные уравнения с заменой |x| = t

Поскольку , удобно сделать замену |x| = t. Получаем:

Модуль равен модулю

Речь идёт об уравнениях вида |A| = |B|. Это — подарок судьбы. Никаких раскрытий модуля по определению! Всё просто:

Например, рассмотрим уравнение: . Оно равносильно следующей совокупности:

Остаётся решить каждое из уравнений совокупности и записать ответ.

Два или несколько модулей

Не будем возиться с каждым модулем по отдельности и раскрывать его по определению — слишком много получится вариантов. Существует более рациональный способ — метод интервалов.

Выражения под модулями обращаются в нуль в точках x = 1, x = 2 и x = 3. Эти точки делят числовую прямую на четыре промежутка (интервала). Отметим на числовой прямой эти точки и расставим знаки для каждого из выражений под модулями на полученных интервалах. (Порядок следования знаков совпадает с порядком следования соответствующих модулей в уравнении.)

Таким образом, нам нужно рассмотреть четыре случая — когда x находится в каждом из интервалов.

Случай 1: x ≥ 3. Все модули снимаются «с плюсом»:

Полученное значение x = 5 удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому является корнем исходного уравнения.

Случай 2: 2 ≤ x ≤ 3. Последний модуль теперь снимается «с минусом»:

Полученное значение x также годится — оно принадлежит рассматриваемому промежутку.

Случай 3: 1 ≤ x ≤ 2. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:

Мы получили верное числовое равенство при любом x из рассматриваемого промежутка [1; 2] служат решениями данного уравнения.

Случай 4: x ≤ 1 ≤ 1. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:

Ничего нового. Мы и так знаем, что x = 1 является решением.

Модуль в модуле

Начинаем с раскрытия внутреннего модуля.

1) x ≤ 3. Получаем:

Выражение под модулем обращается в нуль при . Данная точка принадлежит рассматриваемому
промежутку. Поэтому приходится разбирать два подслучая.

1.1) Получаем в этом случае:

Это значение x не годится, так как не принадлежит рассматриваемому промежутку.

1.2) . Тогда:

Это значение x также не годится.

Итак, при x ≤ 3 решений нет. Переходим ко второму случаю.

Здесь нам повезло: выражение x + 2 положительно в рассматриваемом промежутке! Поэтому никаких подслучаев уже не будет: модуль снимается «с плюсом»:

Это значение x находится в рассматриваемом промежутке и потому является корнем исходного уравнения.

Так решаются все задачи данного типа — раскрываем вложенные модули по очереди, начиная с внутреннего.

Читайте также о том, как решать неравенства с модулем.

Методическая разработка к элективному курсу «Уравнения и неравенства с модулем» 8-9 класс

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Уравнения и неравенства с модулями. Методические материалы.doc

Приставко Елена Николаевна

Методические разработки по теме

«Уравнения и неравенства с модулями».

Предложенные методические разработки – часть модулей на печатной основе, которые предлагаются учащимся при изучении данного курса. При работе на уроках учитель проговаривает цели и задачи конкретного занятия, акцентирует внимание учащихся на отдельные моменты, которые могут вызвать затруднение. После этого каждый ученик переходит к самостоятельной работе с модулем и учебным элементом. Роль учителя на этом этапе урока – консультация, контроль поэтапного выполнения заданий, при необходимости — оценивание работы. При подведении итогов занятия необходимо отметить достижения отдельных учащихся, а так же предложить желающим поработать с проблемными моментами дома.

МОДУЛЬ 1. Метод промежутков.

ЦЕЛЬ: формирование целостной системы ведущих знаний и способов действий по решению уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля, методом промежутков.

УЧЕБНЫЙ ЭЛЕМЕНТ 1. Решение уравнений.

ЦЕЛЬ: актуализация опорных знаний и умений. Установление правильности и осознанности усвоения учебного материала и способов действий на уровне применения в измененной ситуации.

Основным методом решения уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля, является метод промежутков. Учебный прием по его применению следующий:

1. Найди область определения уравнения (неравенства).

2. Найди нули подмодульных выражений.

3. Изобрази область определения уравнения (неравенства) на координатной прямой и разбей ее нулями подмодульных выражений на промежутки.

4. На каждом из промежутков запиши уравнение (неравенство) без знака модуля, реши его и из найденных значений выбери лишь те, которые принадлежат рассматриваемому промежутку.

5. Найденные множества решений объедини и запиши ответ.

Приставко Елена Николаевна

Пример№1 . Реши уравнение

Решение : Область определения данного уравнения — множество всех действительных чисел. Нули подмодульных выражений: .

Они разбивают координатную прямую на промежутки, заданные неравенствами: Решим уравнение на каждом из найденных промежутков. Для этого решим три системы:

1) ; 2) ; 3) ;

; ; ;

Ответ: нет решений.

Подумай, нельзя ли решить это уравнение устно, используя определение модуля?

Пример№2 . Реши уравнение

Решение: Область определения данного уравнения — множество R .

Нули подмодульных выражений: Они разбивают координатную прямую на промежутки, заданные неравенствами: Будем искать решения данного уравнения на каждом из найденных промежутков.

1) Система решений не имеет.

2) Система решений не имеет.

3) Система решений не имеет.

4)

Находим объединение множеств решений всех систем и получаем ответ.

Ответ: .

Приставко Елена Николаевна

СОВЕТ : Чтобы не ошибаться при раскрытии знаков модулей, можно изобразить координатную прямую, расставить на ней нули подмодульных выражений и знаки модулей на каждом из рассматриваемых промежутков, например, для ПРИМЕРА№2 это будет

+ — + +

— 0 — 1 — 2 + х

Пример№3 . Реши уравнение .

Решение : Область определения уравнения R , Нуль подмодульного выражения х=4. Рассмотрим два случая:

1) .

2)

Ответ : .

Пример№4. Реши уравнение

Решение: Область определения уравнения – промежуток , а нули подмодульных выражений х=3 и х=4. Поэтому решим уравнение на трех промежутках ; ; , раскрыв знаки модуля на каждом из промежутков.

1) х=3.

Приставко Елена Николаевна

2) Система решений не имеет.

3) Система решений не имеет. Ответ: х=3.

Заметим, что в примерах рассмотрены решения уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, с помощью метода промежутков. Эти уравнения сводились к линейным, или квадратным, или дробно-рациональным, или иррациональным уравнениям.

Работай в тетради. В случае затруднения обратись к теории; к примерам 1-4; если разобраться не удалось, то получи консультацию учителя.

Задание 1. Реши уравнения:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е)

Задание 2. Сверь свои ответы с ответами:

а) б) в)

г) д) е)

Если ты успешно справился с решением всех уравнений, то переходи к заданию 3, а если нет, то реши самостоятельно примеры 1-4 из теории и затем обратись к решению своих уравнений, вызвавших у тебя затруднения.

Задание 3. Реши уравнения:

а) б) в)

Приставко Елена Николаевна

Сверь свои ответы :

а) б) в)

В случае затруднений обратись за консультацией к учителю, подсказки и помощь ты также можешь найти в приложении.

УЧЕБНЫЙ ЭЛЕМЕНТ 2. Решение неравенств.

ЦЕЛЬ: осознание роли целостной системы знаний и способов действий в измененной ситуации.

Основным методом решения неравенств, содержащих переменную под знаком модуля, является метод промежутков. Учебный прием этого метода смотри в УЭ 1.

Пример№5 . Решить неравенство .

Решение. Область определения данного неравенства R , . Нуль подмодульного выражения х=0 с учетом области определения разбивает числовую ось на три промежутка . Составим и решим системы:

1)

2)

Приставко Елена Николаевна

Объединяя решения, получаем ответ.

Ответ:

Работай в тетради, в случае необходимости обращайся к теории, примеру№5, выполни взаимопроверку с товарищем.

Задание 4. Во всех уравнениях из задания 1 замени знак = на любой из знаков неравенства. Реши полученные неравенства.

Контроль этого задания осуществляет учитель (Промежуточный контроль с коррекцией результатов).

МОДУЛЬ 4. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств с модулями.

ЦЕЛЬ: систематизация основных нестандартных методов решения уравнений и неравенств с модулем, развитие способности конструирования собственных способов деятельности в нестандартных ситуациях.

УЧЕБНЫЙ ЭЛЕМЕНТ 1. Решение уравнений и неравенств с использованием свойств функций.

ЦЕЛЬ: проиллюстрировать применение функционального подхода при решении уравнений и неравенств с модулями и закрепить это умение.

При решении некоторых уравнений и неравенств с модулями целесообразно использовать свойства функций, входящих в них.

Понятие «область определения функции» полезно «увязывать» с понятием «область определения уравнения (неравенства)». Любое уравнение

Приставко Елена Николаевна

(неравенство) с одной переменной х можно записать в виде ( ), где f ( x ) и g ( x ) некоторые функции. Тогда область определения полученного уравнения (неравенства) представляет собой пересечение областей определения функций f ( x ) и g ( x ), то есть

Иногда нахождение области определения уравнения (неравенства) позволяет доказать, что уравнение (неравенство) не имеет решений, либо найти их.

Пример№34 . Доказать, что уравнение не имеет решений.

Доказательство: Найдем область определения функции :

.

Итак, и очевидно, что функция f ( x ) принимает только положительные значения. Но при функция принимает только отрицательные значения. Значит, уравнение решений иметь не может.

Пример№35. Решить неравенство

Решение : Найдем область определения неравенства:

.

Так как функция, стоящая в левой части неравенства, при принимает только отрицательные значения, а функция, стоящая в правой части неравенства, — только положительные значения, то множество решений неравенства совпадает с областью его определения.

Ответ:

Множество значений функции.

Иногда при решении уравнений (неравенств) полезно сравнивать множества значений функций, стоящих в левой и правой частях уравнения (неравенства).

Приставко Елена Николаевна

Пример№36. Решить уравнение .

Решение : Пусть ; тогда . При этом ; . Очевидно, что при любом х из области определения, поскольку , а при любом х из области определения, так как известно неравенство .

Следовательно, данное уравнение решений не имеет.

Ответ: нет решений.

При решении некоторых уравнений и неравенств полезно рассматривать промежутки, на которых значения функции и сохраняют свой знак.

Пример№37. Решить неравенство .

Решение: Рассмотрим функцию , и функцию , . Очевидно, что , а при любом х, следовательно, данное неравенство решений не имеет.

Ответ : решений нет.

Пример№38. Решить уравнение .

Решение: Поскольку при любом действительном х, то , то есть . Получаем систему:

Ответ : .

Напомним, что если функция четная, то при решении уравнения или неравенства достаточно найти только множество

Приставко Елена Николаевна

неотрицательных решений, а затем к полученному множеству решений присоединить числовое множество, симметричное найденному относительно нуля на координатной прямой.

Пример№39. Решить уравнение .

Решение: Функция является четной, так как ; , поэтому при имеем , тогда В силу четности рассматриваемой функции тоже являются корнями данного уравнения. Ответ: .

Пример№40. Решить неравенство

Решение: Данное неравенство равносильно неравенству

Рассмотрим функцию ; . Легко доказать, что данная функция является четной. Найдем множество решений данного неравенства при :

.

В силу четности функции получаем и симметричный промежуток .

Ответ:

Иногда при решении уравнений и неравенств полезно рассмотреть схематическое изображение графиков их правой и левой частей. Это изображение может помочь выяснить, на какие числовые промежутки нужно разбить координатную прямую, чтобы на каждом из них определить решение уравнения или неравенства. Внимание! Схематическое изображение графиков лишь помогает найти решение, но его еще надо обосновать.

Пример№42 . Решить уравнение .

Решение : Область определения уравнения .

Схематически изобразим графики функций и .

Приставко Елена Николаевна

Y

2 y =2

Проведем прямую у=2.

Из схематического изображения графиков видно, что график функции расположен не выше прямой у=2, а график функции не ниже. Эти графики касаются прямой у=2 в разных трех точках, следовательно, уравнение решений не имеет.

Докажем это. Для каждого имеем: , а , при этом при х=0; в то время как при х=-1 или х=1. Это означает, что исходное уравнение решений не имеет.

Ответ: нет решений.

Пример№43 . Решить неравенство и дать его геометрическую интерпретацию.

Решение . По определению модуля имеем:

Дадим геометрическую интерпретацию полученного решения.

Построим графики функций и .

Приставко Елена Николаевна

1

X

0 1

Легко найти координаты их точки пересечения (1;1). По графику определяем, что при .

Ответ: .

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ. Работай в тетради.

Задание 32. Решить уравнения:

а) ; б) ; в)

Сверь свои ответы: а)х=1 б) в)

В случае затруднений обратись к теории. Постарайся самостоятельно найти решение уравнения в). При необходимости получи консультацию учителя.

Задание 33. Доказать, что уравнения не имеют решений.

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

В случае затруднений обратись за помощью к товарищу или учителю.

Задание 34. Доказать, что неравенства не имеют решений:

а) ; б) ; в) .

Контроль выполнения данного задания осуществляет учитель. Приготовь тетрадь к проверке.

Задание 35. Решить уравнения, используя функциональный подход:

Приставко Елена Николаевна

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) .

Учись самоконтролю, осуществляй взаимопроверку с товарищем.

Задание 36. В уравнениях из задания 35 замени знак равенства на любой из знаков неравенства и реши их.

Работу сдай учителю на проверку.

Задание 37. Определить количество корней в уравнениях:

а) ; б)

Сверь полученные ответы: а) два, х=1; х=2. б) два, х=-2; х=0.

Ответы совпали? МОЛОДЕЦ! Помоги товарищу и переходи к выполнению следующего задания.

Из предложенных заданий 38 и 39 ты можешь выбрать три уравнения и три неравенства на свое усмотрение и решить их в тетради.

Задание 38. Решить уравнение любым способом и привести геометрическую интерпретацию полученного решения:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) ;

и) ; к) .

Задание 39. Решить неравенство любым способом и привести геометрическую интерпретацию полученного решения:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

е) ; ж) ; з) ; и) ;

к) ; л) .

Контроль выполнения данных заданий осуществляет учитель. Сдай тетрадь на проверку.