Уравнение неразрывности для элементарной струйки

Уравнение неразрывности и уравнение Бернулли.

Уравнение неразрывности потока и уравнения Бернулли являются основными уравнениями гидродинамики. При изучении потоков жидкости вводится ряд понятий, характеризующий потоки с гидравлической и геометрической точек зрения.

Такими понятиями являются: площадь живого сечения потока(или живое сечение потока), расход и средняя скорость.

Площадью живого сечения потока, называют площадь сечения потока, приведенную нормально к направлению линии тока, т.е. перпендикулярно движению струйки жидкости. Живое сечение может быть ограничено твердыми стенками полностью или частично. Если стенки ограничивают поток полностью, то движение жидкости называют напорным; Если же ограничение частичное, то движение называется безнапорным.

Напорное движение характеризуется тем, что гидродинамическое давление в любой точке потока отлично от атмосферного и может быть как больше, так и меньше него. Безнапорное движение характеризуется постоянным давлением на свободной поверхности, обычно равным атмосферному.

Содержание статьи

Расходом потока называется количество жидкости, протекающей через поперечное сечение в единицу времени. Если рассматривать поток жидкости, представляющий собой совокупность большого числа элементарных струек, то очевидно, общий расход жидкости для всего потока в целом представляет собой сумму расходов всех отдельных струек.

Для нахождения этой суммы необходимо знать закон распределения скоростей в сечении потока. Так как во многих случаях движения такой закон неизвестен, в общем случае суммирование становится невозможным. Поэтому в гидродинамике вводится предположение, что все частицы жидкости по всему поперечному сечению потока движутся с одинаковой скоростью. Эту воображаемую фиктивную скорость называют средней скоростью потока υ_ср .

Таким образом уравнение расхода для потока будет

υ_ср – средняя скорость потока

F – площадь сечения потока.

Уравнение неразрывности потока жидкости

Теперь вооружившись основными понятиями перейдем к определению уравнения неразрывности потока.

Отделим сечениями 1-1 и 2-2 некоторый отрезок элементарной струйки. В этот отрезок в единицу времени через сечение 1-1 втекает объем жидкости равный

а через сечение 2-2 из него же вытекает объем, равный

Примем, что жидкость несжимаема и что в ней невозможно образование незаполненных жидкостью пространств – т.е. будем считать, что соблюдается условие сплошности или неразрывности движения.

Учитывая, что форма элементарной струйки с течением времени не изменяется и поперечный приток в струйку или отток из ней отсутствуют, приходим к выводу, что элементарные расходы жидкости, проходящие через сечение 1-1 и 2-2, должны быть одинаковы.

Такие соотношения можно составить для любых двух сечений струйки. Поэтому в более общем виде получаем, что всюду вдоль струйки

Это уравнение называется уравнением неразрывности жидкости – оно является первым основным уравнением гидродинамики. Переходя далее к потоку жидкости в целом получаем, что

т.е. средние скорости в поперечных сечениях потока при неразрывности движения обратно пропорциональны площади этих сечений.

Уравнение неразрывности струи жидкости. Уравнение Бернулли.

Вторым основным уравнением гидродинамики является уравнение Бернулли, устанавливающее взаимосвязь между скоростью и давлением в различных сечениях одной и той же струйки.

При рассмотрении уравнения Бернулли также как и в предыдущем случае ограничимся установившемся медленно изменяющимся движением. Выделим в объеме некоторой жидкости одну элементарную струйку и ограничим её в какой-то определенный момент времени Т сечениями 1-1 и 2-2.

Допустим, что через какой-то промежуток времени ΔТ указанный объем переместится в положение 1’ – 1’ и 2’ – 2’. Тогда применяя к движению этого сечению теорему кинетической энергии, определяем, что приращение кинетической энергии движущейся системы материальных частиц равняется сумме работ всех сил, действующих на систему.

Если всё это записать в виде формулы, то

где W – приращение кинетической энергии = m * υ 2 / 2

ΣA – сумма работ действующих сил = P *ΔS

В этих выражениях
m – масса
υ – скорость материальной точки
P – равнодействующая всех сил, приложенных к точке,
ΔS – проекция перемещения точки на направление силы.

Теперь рассмотрим обе части этого выражения по порядку.

Приращение кинетической энергии ΔW

В нашем случае приращение кинетической энергии определяется как разность значений кинетической энергии в двух положениях перемещающегося объема, т.е. как разность кинетической энергии объема образованного сечениями 1-1’ и объема, образованного сечениями 2 – 2’.

Эти объемы являются результатом перемещения за время ΔТ сечений выделенного участка элементарной струйки.

Вспоминая, что по условию неразрывности расход во всех сечениях элементарной струйки одинаков, а следовательно будет равен

масса в этом случае получается равной

Подставляя все это в выражение для кинетической энергии получаем цепочку

ΔW = m * υ 2 ₂ / 2 — m * υ 2 ₁ / 2 = ρ * q * ΔТ * υ 2 ₂ / 2 — ρ * q * ΔТ * υ 2 ₁ / 2

Работа сил действующих на систему ΣA

Теперь перейдем к рассмотрению работы сил, действующих на рассматриваемый объем жидкости. Работа сил тяжести A_Т равна произведению этой силы на путь, пройденный центром массы движущегося объема жидкости по вертикали.

Для рассматриваемой в нашем примере струйки работа сил тяжести будет равна произведению сил тяжести объема занимаемого сечениями 1-1’ и 2 – 2’ на расстояние Z1 –Z2.

Где Z1 и Z2 – расстояния по вертикали от горизонтальной плоскости, называемой плоскостью сравнения до центров масс объемов 1-1’ и 2 – 2’.

Силы давления А_Д , действующие на объем жидкости складываются из сил давления на его боковую поверхность и на концевые поперечные сечения. Работа сил давления на боковую поверхность равна нулю, так как эти силы за все время движения нормальны к перемещению их точек приложения.

Суммарно работа сил давления будет

Подставляя в начальное уравнение

Полученные выражения для ΔW и ΣA получаем

Разделим обе части этого уравнения на m = ρ*q*ΔТ и перегруппируем слагаемые

Учитывая, что сечения 1-1 и 2-2 взяты нами совершенно произвольным образом, это уравнение возможно распространить на всю струйку. Применив его для любых поперечных сечений, взятых по её длине, и представить в общем виде:

Записанные выше два уравнения представляют собой уравнение Бернулли для элементарной струйки жидкости. Сумма трех слагаемых, входящих в это уравнение, называется удельной энергией жидкости в данном сечении струйки. Различают такие энергии как:
Удельная энергия положения = qz
Удельная энергия давления = p/ ρ
Кинетическая удельная энергия = υ 2 / 2

В соответствии с этим уравнение Бернулли для струйки жидкости можно сформулировать следующим образом: для элементарной струйки идеальной жидкости полная удельная энергия, т.е. сумма удельной энергии положения, удельной энергии давления и кинетической удельной энергии – есть величина постоянная во всех сечениях струйки.

Видео по теме уравнение неразрывности

Полученные в результате многочисленных экспериментов данные из уравнения Бернулли и уравнения неразрывности потока жидкости нашли широкое применение в повседневной жизни.

Уравнение Бернулли широко используется для нахождения скорости истечения жидкости через отверстия.

Уравнение неразрывности обладает широкой универсальностью и справедливо для любой сплошной среды. Принцип уравнения неразрывности используется для формирования сильной и дальнобойной струи воды при тушении пожаров.

Уравнение неразрывности для элементарной струйки

Одним из важнейших следствий гипотезы сплошности является так называемое уравнение неразрывности потока – уравнение, выражающее зависимости между скоростями в потоке, в котором гидродинамические величины непрерывны. Для капельной жидкости уравнение непрерывности выражает условие, при котором в потоке отсутствуют разрывы струй, и поэтому называется уравнением неразрывности.

Выведем уравнение неразрывности для элементарной струйки (рис.2.8).

Рис.2.8 — Схема элементарной струйки в неразрывном потоке

Рассмотрим отсек струйки длиной , ограниченный сечениями слева и справа. Обозначим через массовый расход жидкости через сечение струйки . Вследствие непрерывности всех величин через сечение протекает расход.

Ввиду того, что в общем случае расходы не равны друг другу, в рассматриваемом объеме элементарной струйки будет каждую секунду (единицу времени) происходить изменение массы (прирост или убыль), которое определим по формуле

.

Изменение массы может произойти на основании той же гипотезы сплошности (принципа непрерывности) только за счет изменения плотности жидкости и объема отсека струйки.

Масса жидкости в рассматриваемом объеме равна:

,

где – некоторое промежуточное значение живого сечения рассматриваемой элементарной струйки.

Секундное изменение массы может быть вычислено по формуле

.

Приравнивая оба значения , получим

. (2.1)

Имея в виду, что

,

,

,

,

уравнение (2.1) можно представить в виде:

=0. (2.2)

Уравнения (2.1) и (2.2) являются уравнениями неразрывности. Исследуем полученные уравнения.

Рассмотрим установившееся движение жидкости (капельной или газа); для установившегося движения

.

Поэтому из уравнения (2.1) следует, что

,

, (2.3)

т.е. в установившемся движении капельной жидкости и газа массовый расход по длине элементарной струйки имеет одно и то же значение. Уравнение (2.3) называют уравнением массового расхода в элементарной струйке.

Для капельной жидкости , поэтому

, (2.4)

Уравнение (3.3) называют уравнением объемного расхода в элементарной струйке.

Из формул следует, что скорости в различных сечениях элементарной струйки капельной жидкости обратно пропорциональны площадям живых сечений

, (2.5)

а в элементарной струйке газа обратно пропорциональны произведениям , т.е.

, (2.6)

2.6. Расход и средняя скорость потока

Поток представляет собой совокупность элементарных струек (рис.2.9).

Из рис. 2.9 видно, что скорость в отдельных струйках различна. Расход потока равен сумме расходов элементарных струек, т.е.

(2.7)

Скорость движения потока характеризуется средней скоростью в данном поперечном сечении:

(2.8)

2.7. Уравнение неразрывности потока

Распространим уравнение неразрывности для элементарной струйки на струйный поток. Для этого проинтегрируем (2.3) по всей площади живого сечения

(2.9)

Таким образом, массовый расход по длине установившегося потока имеет одно и тоже значение.

Для капельной жидкости , поэтому из (2.4) следует

, (2.10)

Таким образом, объемный расход по длине установившегося потока капельной жидкости имеет одно и тоже значение.

Имея в виду, что согласно (2.8)

из (2.10) получим, что

.

или для двух живых сечений потока

,

,

т.е. средние скорости потока капельной жидкости обратно пропорциональны площадям живых сечений потока.

2.8. Методы исследования движения жидкости

Существует два метода изучения движения жидкости: метод Лагранжа и метод Эйлера.

Метод Лагранжа изучает изменение положения в пространстве отдельных частиц жидкости, т.е. траектории их движения.

Метод Эйлера изучает поле скоростей, т.е. картину движения частиц жидкости в отдельных точках пространства в данный момент времени.

Метод Лагранжа в гидродинамике используется редко, ввиду его сложности. Обычно изучение движения основано на методе Эйлера, суть которого заключается в следующем.

Метод основан на понятии местной скорости или скорости в точке в данный момент времени.

В общем случае местные скорости различны в один и тот же момент времени (рис.2.10) в разных точках. Они могут изменяться во времени в каждой точке.

Проекции скорости на оси координат можно записать в виде функций:

(2.11)

Функция (2.11) характеризует поле скоростей движущейся жидкости.

Используя метод Эйлера, можно выразить ускорение жидкой частицы следующим образом:

.

Если учесть, что для движущейся частицы ее координаты являются функциями времени:

то проекции скорости будут сложными функциями времени:

Используя правило дифференцирования сложных функций, для проекций полного ускорения получим:

(2.12)

Учитывая, что для движущейся жидкости

,

преобразуем функции (2.12) к виду

(2.13)

где ; – индивидуальные или субстанциональные производные;

– локальные производные, выражающие изменение во времени вектора в фиксированной точке пространства;

конвективная производная вектора . Эта величина выражает изменение скорости в пространстве в данный момент времени. При установившемся движении локальные ускорения равны нулю.

2.9. Уравнения Эйлера

По основному закону механики равнодействующая всех внешних сил, действующих на данное тело, равна массе тела, умноженной на ускорение, с которым движется это тело:

. (2.14)

Выделим в потоке жидкости элементарный объем в форме параллелепипеда (рис.2.11) и запишем основное уравнение (2.14) в проекциях по осям:

(2.15)

Для первого уравнения (2.15) найдем массу

.

Ускорение вдоль оси равно первой производной скорости по времени т.е. :

.

Учитывая, что ,

где ,

. (2.15а)

На выделенную элементарную массу действуют поверхностные силы давления и объемные силы (или массовые), т.е. в силу включаются эти силы.

Рассмотрим проекцию силы давления на боковую грань ABCD и A’B’C’D’:

,

где и — среднее гидростатическое давление для указанных граней:

.

Тогда . Сила войдет в основное уравнение со знаком «минус», т.е. в сумму проекций сил давления на боковые грани:

. (2.16)

Проекция объемной силы определяется выражением:

, (2.17)

где X–проекция ускорения объемной силы;

— плотность жидкости;

dxdydz=dV – объем параллелепипеда.

Проекция равнодействующей с учетом выражений (2.16) и (2.17) имеет вид:

(2.18)

Подставляя выражение (2.15а) в уравнение (2.18), получим:

.

После сокращения на , т.е. отнеся уравнение к единице массы, получим:

. (2.19)

Аналогично составив выражения для сил и и для и , получим три уравнения Эйлера:

(2.20)

Система (2.20) описывает движение как капельной, так и газообразной жидкости. В системе 3-х уравнений пять неизвестных , поэтому необходимо иметь еще два уравнения. Такими уравнениями являются уравнения неразрывности и характеристическое уравнение.

При (для капельной жидкости) достаточно уравнения неразрывности:

.

2.10. Интегрирование уравнения Эйлера

для установившегося движения жидкости

При установившемся движении частные производные по времени равны нулю, т.е.

.

В этом случае движение жидкости может быть вихревым.

Запишем уравнение Эйлера в следующем виде:

(2.21)

Умножим первое уравнение на , второе на и третье на ; здесь , и являются проекциями элементарного перемещения.

Тогда, для первого уравнения будем иметь:

. (2.22)

Учитывая, что ; и , преобразуем правую часть уравнения (2.22 3.16) к виду:

,

где выражение в скобках представляет полный дифференциал проекции скорости на ось т.е.

. (2.23)

С учетом уравнения (2.23) первое уравнение запишем в виде

. (2.23а)

Оставшиеся два уравнения записываются по аналогии:

; (2.23б)

. (2.23в)

Сложив почленно уравнения (2.237а, б, в), после некоторых преобразований получим:

.

Здесь представляет полную скорость в данной точке.

Левую часть уравнения можно представить в виде силовой функции и полного дифференциала , т.е.

;

. (2.24)

После интегрирования уравнения (2.24) получаем:

. (2.25)

Выражение (2.25) называют интегралом Бернулли-Эйлера.

Если движение жидкости протекает под действием только сил тяжести и жидкость несжимаемая, т.е. , то

. (2.26)

С учетом выражений (2.26) интеграл Бернулли (2.25) принимает вид:

или после деления членов уравнения на получим известное уравнение Бернулли в его обычной форме:

. (2.27)

Для установившегося вихревого движения значение постоянно только вдоль одной линии тока или траектории (для элементарной струйки). Это следует из условий интегрирования для потенциальных течений.

Уравнение Бернулли имеет большое практическое и теоретическое значение. Согласно уравнению Бернулли сумма трех высот остается неизменной вдоль данной элементарной струйки (рис.2.12).

Высота называется геометрической высотой, или высотой положения центра тяжести сечения струйки; –высота, определяемая величиной гидродинамического давления, или пьезометрическая высота; – скоростная высота, или скоростной напор.

Энергетический смысл уравнения Бернулли представляет собой полную энергию, отнесенную к единице веса жидкости.

Сопоставляя основное уравнение гидростатики с уравнением Бернулли, видим, что слагаемое можно рассматривать как кинетическую энергию, отнесенную к единице веса жидкости:

.

Так как , то полный запас энергии элементарной струйки, отнесенной к весу жидкости, будет равен сумме:

.

В связи с этим уравнение Бернулли часто называют уравнением энергии.

Дата добавления: 2017-01-16 ; просмотров: 4063 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Гидродинамика. Уравнение неразрывности движения жидкости.

Уравнение неразрывности потока демонстрирует закон сохранения массы: количество втекающей и вытекающей жидкости неизменно.

Проанализируем сечение 1 с площадью и скоростью движения частиц жидкости обозначим и₁. Элементарный расход для него представлен соотношением:

Далее проанализируем сечение 2 в этой же струйке с площадью сечения и скоростью обозначим и₂. Элементарный расход для него представлен соотношением:

Но согласно характерной особенности элементарной струйки притока и оттока жидкости через ее боковую поверхность не существует; на промежутке 1 — 2, которому свойственны постоянные размеры, отсутствуют пустоты и отсутствуют переуплотнения количества жидкости, протекающей в единицу времени сквозь сечения 1 и 2,будут одинаковыми, тогда:

Уравнение неразрывности для элементарной струйки — элементарный расход жидкости при установившемся движении величина одинаковая для всей элементарной струйки.

Проанализируем трубу с переменным живым сечением. Расход жидкости через трубу для всякого ее сечении постоянен, т.е. Q₁=Q₂= const, делаем вывод:

Значит, когда течение в трубе сплошное и неразрывное, то уравнение неразрывности станет:

Найдем отсюда скорость для выходного сечения:

Обратим внимание, что скорость возрастает обратно пропорционально площади живого сечения потока. Указанная обратная зависимость между скоростью и площадью выступает важным следствием уравнения неразрывности и нашла широкое применение. Так, к примеру, эта особенность используется пожарными при тушении пожара для формирования сильной и дальнобойной струи.

Что произойдет со скорость потока при сужении, когда диаметр напорной трубы d сузиться в два раза?

Площадь живого сечения трубы вычисляем на основе формулы w = πd 2 / 4. В этом случае соотношение площадей в формуле u₂ = u₁ w₁ / w₂ равняться 4.

Следовательно, в ситуации, когда диаметр трубы сужается в два раза — скорость потока возрастет в четыре раза. По аналогии, когда диаметр сузится в три раза — скорость увеличиться в девять раз.