Уравнение неразрывности для одномерного течения газа

Документы

ГЛАВА ВТОРАЯ ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ГАЗА

Значительное число технических задач газовой динамики можно решать, предполагая движение одномерным, т. е. таким, в котором все параметры течения меняются только в одном направлении. Этим условиям отвечает течение газа вдоль слабо искривленных линий тока или в трубках тока.

Одномерным можно считать течение газа в трубе с мало изменяющимся поперечным сечением и малой кривизной оси. В ряде случаев результаты исследования одномерного течения могут быть применены и к потокам с неравномерным распределением параметров по сечению.

2-1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОДНОМЕРНОГО ТЕЧЕНИЯ. СКОРОСТЬ ЗВУКА

Для получения основных уравнений одномерного движения рассмотрим течение газа в трубке тока. Направление оси выберем так, чтобы оно совпадало с осью трубки (рис. 2-1). Воспользуемся первым уравнением системы (1-16). Пренебрегая для газа влиянием массовых сил, полагаем

Имея в виду, что для рассматриваемого одномерного течения и = с, v = w — 0 и перейдя в уравнении (1-16) к полным производным, получим:

Уравнение изменения количества движения (уравнение импульсов) (2-1) справедливо только для таких’ течений, в которых отсутствуют силы трения, т. е. для обратимых течений. Легко показать, что в этом случае если система адиабатична, изменение параметров состояния совершенного газа подчиняется изоэнтропическому закону:

Следует заметить, что формулируя обстановку процесса течения, считая, что поток непрерывен, энергетически изолирован и трение отсутствует, мы тем самым определили его изоэнтропичность, так как в таком потоке отсутствуют необратимые преобразования механической энергии в тепло и, следовательно, энтропия потока не меняется. Поэтому мы можем непосредственно проинтегрировать уравнение (2-1), предполагая очевидной связь (2-2).

Действительно, проинтегрировав уравнение (2-1) и имея в виду (2-2), получим:

Эхо уравнение, известное под названием уравнения Бернулли для сжимаемой жидкости, выражает закон сохранения энергии для адиабатического течения. После простой подстановки

оно преобразуется к виду:

Здесь энтальпия газа i и теплоемкость газа при постоянном давлении с отнесены к единице массы и измеряются в механических единицах 39 .

Уравнению энергии (2-4) можно дать простое газокипе-

тическое толкование. Член в этом уравнении выражает

энергию направленного движения частиц, а энтальпия /, пропорциональная температуре, определяет энергию движения молекул. Следовательно, уравнение (2-4) выражает факт взаимного превращения энергии направленного движения частиц и тепловой энергии.

Таким сбразом, мы установили, что при изоэнтропи-ческом течении газа интеграл уравнения изменения количества движения совпадает с уравнением энергии 1 .

Следует отметить, что уравнения (2-3) и (2-4) можно непосредственно получить и из интеграла (1-26), записанного для сжимаемой жидкости (газа). Пренебрегая влиянием массовых сил, т. е. полагая f/ = 0, из (1-26) легко получаем уравнение (2-3), принимая связь между р и р по формуле (2-2) 40 .

Уравнение неразрывности для одномерного установившегося потока можно получить, рассматривая движение газа в трубке тока переменного сечения (рис. 2-1). Предполагая, что по сечению струйки параметры течения не меняются* рассмотрим часть потока, заключенную между сечениями 1-1 и 2-2. По определению трубка тока представляет собой замкнутую поверхность, образованную линиями тока. Через ее боковую поверхность частицы газа не проникают, так как векторы скорости касательны к этой поверхности. За 1 сек через сечение 1-1 внутрь рассматриваемой части трубки втекает масса газа, равная р₁с₁/ г ₁; вытекающая через сечение 2-2 масса газа равна р₂c₂F₂. По условию неразрывности течения эти количества должны быть одинаковыми, т. е.

Pi c i^ 1 — ?2 С гР ( 2

где т — секундная масса газа.

Уравнение неразрывности можно получить в дифференциальной форме. После логарифмирования и дифференцирования под знаком логарифма формула (2-5а) принимает вид.

Заметим, что для струйки постоянного сечения уравнение неразрывности (2-5) дает:

определяет удельный расход массы газа в данном сечении (расход массы

через единицу площади сечения).

Выражение (2-7) для удельного расхода можно было также получить непосредственно из дифференциального уравнения неразрывности (1-12) для пространственного потока, полагая и = с и v = w — 0. Тогда, полагая движение установившимся и перейдя к полным производным, полу-

Отсюда, интегрируя, получаем (2-7). Очевидно, что по смыслу вывода уравнение неразрывности (1-12) при переходе к одномерному потоку может дать только условие рс — const.

Для 0/fH0MepH0r0 течения несжимаемой жидкости (р = = const) уравнение неразрывности (2-5) принимает такой вид:

Формула (2-8) выражает условие постоянства секундного объемного расхода жидкости, протекающей через сечения трубки F_x и F_t. Эта формула применима к газовым потокам только в тех случаях, когда на рассматриваемом участке трубки 1-2 изменением плотности можно пренебречь. Для газов это условие выполняется, если скорость движения мала по сравнению со скоростью звука.

Скоростью звука, как известно, называют скорость распространения малых возмущений в физической среде. Скорость звука имеет особенно большое значение при анализе процессов течения сжимаемой жидкости. Многие свойства потока, в том числе и характер изменения параметров течения вдоль трубки заданной формы, при различных условиях взаимодействия с окружающей средой существенно зависят от того, в каких пределах лежит отношение скорости к скорости звука.

Влияние сжимаемости в газовом потоке становится ощутимым в том случае, когда в результате изменения давления объемная деформация частицы и изменение скорости течения соизмеримы.

Воспользуемся уравнением неразрывности одномерного потока, записав его в таком виде:

где —относительное изменение объема элемента 1—2

(рис. 2-1), переместившегося в новое положение 1’ — 2’.

Умножив это равенство па dp, после преобразований получим:

Из уравнения импульсов (2-1) следует: dp = — pcdc.

Сопоставляя два последних выражения, получаем:

(Индекс s свидетельствует об изоэнтропичности процесса.) Обозначим

dAV __ с 2 dc AV а* с

Таким образом, мы видим, что если с и а величины одного порядка, то относительная объемная деформация элемента будет такого же порядка, как и изменение скорости. При

1 даже значительные изменения скорости

не приводят к большим изменениям объема частиц.

Из курса физики известно, что величина а, определяемая по формуле (2-9), является скоростью распространения волн малых возмущений. Характерным примером -Таких волн могут служить звуковые волны.

Для совершенного газа скорость звука равна:

Для воздуха (k = 1,4) скорость распространения звука а = 20,1 ]/Т. (2-96)

Следовательно, скорость звука в совершенном газе зависит только от физических свойств и абсолютной температуры газа. Этот вывод находится в полном соответствии с газокинетическими представлениями о процессе распространения малых возмущений в среде, состоящей из движущихся молекул. Скорость распространения возмущения должна зависеть от скорости движения молекул, которая определяется температурой. Хорошо известно, что средняя скорость движения молекул газа близка к скорости звука.

В этой связи необходимо подчеркнуть, что отношение

квадратов скоростей является мерой отношения сред

ней кинетической энергии направленного движения к средней кинетической энергии беспорядочного движения частиц.

2-2. РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМЫ УРАВНЕНИЯ ЭНЕРГИИ

Уравнение Бернулли — устанавливает баланс энергии адиабатического течения газа в трубке тока. Выше мы познакомились с двумя формами этого уравнения: (2-3) и (2-4).

Постоянная в правой части уравнения энергии может быть выражена различным образом. Применяя это уравнение к двум сечениям трубки тока, в одном из которых скорость уменьшается до нуля и, следовательно, поток тормозится, можно уравнения (2-3) и (2-4) записать в следующем виде:

А>> Ро> Т, — параметры заторможенного потока или параметры торможения.

В результате полного торможения потока вся кинетическая энергия направленного движения переходит в тепловую энергию. Заметим, что при полном торможении потока совершенного газа температура торможения Т₀, так же как и энтальпия, может иметь только одно вполне определенное значение, в то время как давление торможения р_й и плотность р₀ могут принимать любые значения, но

такие, при которых отношение -у- остается постоянным.

Параметры торможения имеют весьма большое значение при рассмотрении как теоретических, так и экспериментальных задач газовой динамики.

Таким образом, мы видим, что правая часть уравнения энергии, выражающая полную энергию частицы, может быть представлена через параметры торможения.

Тогда уравнение (2-11) приобретает вид:

где а₀ — скорость распространения звука в полностью заторможенной среде.

Если применить уравнение энергии к двум сечениям трубки тока, в одном из которых давление р уменьшается до нуля, то скорость течения с будет стремиться к некоторой максимальной величине с_чакс, которую будем называть максимальной скоростью. В соответствии с рассмотренными условиями эта скорость отвечает истечению газа в пустоту (/ = 0; р — 0; Т — 0). Следовательно, правая часть уравнения (2-12) может быть выражена через максимальную скорость:

При максимальной скорости течения, равной с_шкс, вся тепловая энергия молекул преобразуется в энергию направленного движения. Практически максимальная скорость течения недостижима и является известным теоретическим пределом для скорости газа.

Следует иметь в виду, что с приближением скорости течения к максимальной разрежение газа становится весьма большим и поэтому к рассматриваемому потоку нельзя применять уравнения состояния совершенных газов и уравнение энергии в известной нам форме (2-10) или (2-11).

Из формулы (2-12) может быть получено еще одно выражение для постоянной в правой части уравнения энергии.

Согласно (2-12) вдоль оси трубки тока с.увеличением скорости с скорость звука а падает. Совершенно очевидны при этом пределы возможных изменений с и а

Скорость течения может изменяться от нуля до с

а скорость звука — от а₀ до нуля. В одном из сечений трубки тока скорость движения газа с может стать равной местной скорости звука, т. е.

В этом случае уравнение (2-12) запишется таким образом:

Следовательно, постоянная в правой части уравнения энергии может быть выражена через скорость а, и уравнение энергии примет тогда вид:

Скорость течения, равную местной скорости звука а, называют критической скоростью.

Из уравнения энергии, записанного в различных формах, следует, что между характерными скоростями и параметрами торможения существует определенная связь.

Приравнивая правые части уравнений (2-10) — (2-14), можем получить такое соотношение:

Отсюда получаем выражения для характерных скоростей потока через параметры торможения.

Так, максимальная скорость будет равна:

Из формул (2-16) и (2-17) следует:

Таким образом, мы видим, что максимальная и критическая скорости зависят от физических свойств газа (по

казателя изоэнтропы k) и температуры торможения.

Для воздуха при А = 1,4 и # = 287,1 м*/сек 2 -град

Для перегретого водяного пара при k = 1,3 и R = 462,0 м*!сек г -град

По формуле (2-18) можем получить:

для воздуха -= 2 До;

для перегретого водяного пара -=2,77.

2-3. ПАРАМЕТРЫ ТЕЧЕНИЯ В ПРОИЗВОЛЬНОМ СЕЧЕНИИ ТРУБКИ ТОКА

Пользуясь уравнением энергии, выразим параметры течения в некотором сечении трубки тока через параметры торможения и скорость в этом сечении.

С этой целью, преобразовав формулу (2-14), получим:

Деля все члены на с 2 , получим:

1 I 1 Я 2 k -f- 1 _ 1 ^макс

Введем следующие обозначения для безразмерных скоростей:

тогда уравнение (2-146) будет иметь вид:

1,1 1 _ k +1 1 11

Уравнение (2-20) устанавливает связь между безразмерными скоростями. После простых преобразований получаем:

Воспользуемся теперь формулой (2-10). Выразим температуру торможения в таком виде:

Разделим левую и правую части на Т₀ и определим отношение температур:

Кроме того, определив из (2-10а) отношение

и заменив в правой части

Для изоэнтропического течения

В предположении изоэнтропического течения, используя соотношения (2-24), получим формулы для отношений давлений и плотностей (табл. 2-1).

Легко также поЛу^йть отйои!ение абсолютных скоростей в этих сечениях:

или после подстановки TJT_t из (2-25):

Так как при Г,, = const скорости a_t, а₀ стоянны, то

Заметим, что уравнения (2-22) — (2-26) и формулы, представленные в табл. 2-1, являются модификациями уравнения энергии, полученные путем преобразования уравнения (2-10) и введения безразмерных скоростей.

В практических расчетах газовых течений может быть использована любая форма уравнения энергии и параметры р, р и Т могут быть выражены через любую из безразмерных скоростей М, Я,

Однако в зависимости от рассматриваемой задачи оказывается целесообразным применять ту безразмерную скорость, которая обеспечивает максимальную простоту окончательных уравнений.

Если в рассматриваемой области скорости меньше критической, т. е. если

0 1 , так как коэффициент сопротивления в основном зависит от отно-с

2-4. ИЗМЕНЕНИЕ СКОРОСТИ ВДОЛЬ ТРУБКИ ТОКА. ПРИВЕДЕННЫЙ РАСХОД ГАЗА

Подвергнем более подробному исследованию характер изменения скорости вдоль трубки тока. Для этой цели воспользуемся уравнениями одномерного течения:

Простые преобразования позволяют получить: с «’

Разделив обе части уравнения на а г йх и выразив логарифмическую производную скорости, получим:

Выразив с помощью (2-21) М 2 через Я 2 , получим:

Уравнения (2-28) и (2-29) являются дифференциальными уравнениями распределения скоростей вдоль оси трубки тока. Они могут быть проинтегрированы, если известен вйд функции F (х). Вместе с тем эти уравнения весьма удобны для качественного анализа изменения скорости потока в трубках тока различной формы.

Из уравнения (2-29) следует, что 4^ = 0 при

Случай „а“ отвечает неподвижному газу и поэтому интереса не представляет. Случай „б“ соответствует максимальной скорости течения и вполне очевиден: при X — = Я_макс дальнейшее возрастание скорости невозможно.

Наконец, случай „в“ приводит к 0 только при Хф\.

Легко видеть, что при этом в рассматриваемой точке = функция F (х) имеет максимум, минимум или точку перегиба. Следовательно, в таких сечениях трубки тока скорости также имеют экстремальные значения.

По уравнению (2-29) можно заключить, что производная скорости ^

= сх) при Я = 1 и 0. Однако такое

решение, означающее наличие разрыва скорости, физически невозможно (мы рассматриваем непрерывно изменяющееся движение газа).

Рассмотрим качественную картину течения газа в трубке тока, имеющей в х = х, максимум или минимум сечения (рис. 2-2). Пусть функция F (л:) имеет в этой точке ма-

ксимум (рис. 2-2,а). Допустим, что слева от Z 7 (л) =/ 7 _макс скорость Я 0, то т- е — скорость в трубке тока к / г _макс

убывает. Справа О и >0 — скорость течения возрастает.

Аналогично при Я > 1 будем иметь слева

справа 0 (рис. 2-2,6). При

Я>1 будет слева ^- 0.

Таким образом, мы показали, что в максимальном сечении трубки тока дозвуковой поток приобретает минимальную скорость, а сверхзвуковой — максимальную. В расширяющейся части трубки тока скорость дозвукового течения падает, а в суживающейся — растет. Сверхзвуковой поток в расширяющейся части ускоряется, а в суживающейся — тормозится. При любых значениях Я на входе кривая скорости в этом случае (F (х) = F_Mакс) имеет экстремум. Отсюда следует весьма важный вывод: характер изменения скорости вдоль трубки тока принципиально различен для дозвуковых и сверхзвуковых течений. В первом случае поток газа с качественной стороны ведет себя так же, как и поток несжимаемой жидкости, а во втором случае кривая скорости Я(х) имеет характер, аналогичный кривой сечений / 7 (;с). Очевидно, что в трубке тока, имеющий максимум сечения, невозможен переход из области дозвуковых в область сверхзвуковых скоростей и наоборот.

В трубке тока с минимумом сечения скорость как дозвукового, так и сверхзвукового течения приближается к значению Я=1 в минимальном сечении. Если скорость течения в минимальном сечении будет Я=1 и rfX =₇-0, то переход через критическую скорость, очевидно, осуществляется.

Рассмотрим теперь изменения давления, температуры и плотности газа в трубке тока. Непосредственно из формулы (2-13) и др. следует, что, там, где скорость увеличивается, температура, плотность и давление при изоэн-тропическом течении газа падают, и наоборот.

Таким образом, в суживающейся струйке при дозвуковом течении температура, давление и плотность уменьшаются, а при сверхзвуковом — растут. В расширяющейся струйке картина будет обратной.

Параметры, отвечающие сечению трубки тока, в котором Я = 1, будем называть критическими параметрами. Они легко определяются по формуле (2-22) и формулам для — и —, представленным в табл. 2-1, после Ро Ро

подстановки Я =1:

Мы видим, что критические параметры зависят от физических свойств газа (показатель k) и параметров полного торможения.

В табл. 2-2 приведены значения относительных критических параметров (отнесенных к соответствующим параметрам торможения) для различных показателей k.

Критические отношения параметров для различных газов

Полученные выше основные закономерности, определяющие изменения параметров течения в трубке тока, физически могут быть понятны из рассмотрения уравнения постоянства расхода в трубке тока [формула (2-7)]. С помощью уравнения

(табл. 2-1) определим удельный расход газа:

Секундный массовый расход т для каждого сечения трубки тока будет одним и тем же. Интенсивность изменения плотности р и скорости с будет различной в дозвуковой и сверхзвуковой областях. В дозвуковой области с ростом с плотность р падает медленее, чем растет скорость, поэтому трубка тока должна суживаться, сечение F — уменьшаться. При сверхзвуковых скоростях, наоборот, падение плотности будет более интенсивным, чем возрастание скорости, и трубка тока будет расширяться.

Как видно из формулы (2-34), функция т(Х) = 0 при

и, следовательно, при некотором X

имеет экстремальное значение. Для определения этого зна иения X продифференцируем (2-34):

Отсюда следует, что максимальное значение удельного расхода соответствует X =1, т. е. критическому значению

скорости, так как обращается в нуль при А = 1. Следовательно,

Приведенным расходом назовем отношение

На рис. 2-3 представлены зависимости параметров те

— и приведенного расхода q от безраз-

мерной скорости (для различных k).

Здесь приведена соответствующая схема изменений сечений трубки тока, вдоль оси которой скорость непрерывно возрастает. Нетрудно видеть, что при максимальной

скорости Я = ^_MaKc=:|/ A |-i-| приведенный расход q —

= -jr = 0, т. е. F = оо. Физически это понятно, так

как при Я = Я_макср = 0 (истечение в абсолютную пустоту) и р = О,

Рис 2-3 Газодинамические функции одномерного и’оэнтропического потока if, р/f,, Т/Т„, р/р, , /₀ 1Д 1,4).

Таким образом, мы установили, что в трубке тока, имеющей минимальное сечение, может происходить переход через критическую скорость. Необходимыми и достаточными условиями для такого перехода являются условия 2 = 1 и dX/йхфО в минимальном сечении. Приведенный расход газа при этом приобретает максимальное значение.

Если скорость в минимальном сечении достигает кри

тического значения, а второе условие

няется, то перехода через, критическую скорость не произойдет. Этот случай соответствует появлению критических скоростей в трубке тока и является важным как в теории сопла Лаваля, так и в задачах внешнего обтекания тел.

2-5. НЕКОТОРЫЕ ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОДНОМЕРНОГО АДИАБАТИЧЕСКОГО ПОТОКА

Выше (§ 2-3 и 2-4) мы познакомились с некоторыми важными безразмерными характеристиками одномерного потока газа, которые выражаются в виде простых функций безразмерных скоростей М, Я или 5. Эти газодинамические функции играют важную роль при выполнении различных газодинамических расчетов, а также при обработке результатов эксперимента.

Кроме уже известных, нетрудно получить и другие газодинамические функции, встречающиеся в преобразованиях уравнений сохранения расхода, количества движения и энергии.

С помощью приведенного расхода q легко определяется полный весовой расход газа через заданное сечение:

или после подстановки

и преобразований находим:

Расход можно выразить и через статическое давление потока в данном сечеиии. С этой целью разделим и умножим правую часть формулы (2-38) на р:

— новая функция безразмерной скорости Я, зависящая также только от k и Я.

Уравнения расхода в форме (2-38) и (2-39) могут быть использованы для расчета адиабатического потока в изолированной системе (без энергетического обмена с внешней средой) при наличии трения. Действительно, условие постоянства расхода (2-38) для двух произвольно выбранных сечений канала можно записать в такой форме:

для каналов постоянного сечения

Формулы (2-41) и (2-41 а) позволяют найти изменение

давления торможения, обусловленное необратимыми изме

нениями состояния движущегося газа и, в частности, потерями, вызванными внутренними силами трения.

Аналогично с помощью (2-39) можно получить (Т₀₁ =

или для цилиндрического канала

Соотношения (2-42) можно использовать для определения статического давления в одном из сечений потока, если известны скорости в двух сечениях (^ и Я₂) и статическое давление в одном из них.

Введем еще одну функцию, которая характеризует импульс потока, равный

перепишем (2-43а) в виде;

Из (2-17) и (2-22) имеем:

и с = Ял*; тогда уравнение (2-43) можно записать в виде:

— некоторая новая функция безразмерной скорости Я,.

Уравнение для импульса газового потока (2-44) было впервые получено Б. М. Киселевым. Оно широко используется в различных задачах и, в частности, для расчета энергетически неизолированных потоков (расчет течений с подводом или отводом тепла при наличии сил трения, расчет внезапного расширения канала, процесса смешения и др.).

Исходное уравнение импульса (2-43а)

нетрудно преобразовать к другому виду, используя новую важную функцию безразмерного статического давления

Заменив здесь -y=gRT и а, по формуле (2-17) получим 41 :

Следовательно, импульс потока выражается через функцию тс по формуле

а связь между ф и it устанавливается соотношением

Воспользуемся теперь формулами (2-38) и (2-39) и заменим величину расхода G в уравнениях (2-44) и (2-47).

После несложных преобразований находим:

J=ke.Fp_aq(l + r)=^Fp₀q к —критическое отношение давле

Р “(fe+r) —критическое отношение плот

С помощью формул (2-40) и (2-50) легко устанавливается связь между газодинамическими функциями q, о, фин.

В некоторых расчетах удобно ввести также функции

Функция безразмерного статического давления it встречается также при использовании уравнения энергии. Выразим из (2-14) скорость звука:

Разделив это уравнение на а, получим:

Если воспользоваться уравнением энергии в форме (2-11),

то нетрудно найти отношение скоростного напора к статическому давлению р:

После подстановки значений и — получим:

Скоростной напор, отнесенный к давлению торможения, можно найти по формуле

Таким образом, ряд характеристик одномерного газового потока выражается в виде функций безразмерной скорости Я и показателя изоэнтропического процесса k. Наиболее важные из функций сведены в таблицы газодинамических функций, построенные для различных постоянных значений k (приложение 1). Пользование такими таблицами существенно упрощает газодинамические расчеты, что и определило широкое распространение таблиц.

Вместе с тем анализ изменения некоторых газодинамических функций позволяет сделать важные выводы о свойствах газового потока. Так, например, на рис. 2-4, дополняющим рис. 2-3, приведены функции it, о, Д, у и j(k = = 1,4). Функция /₀ показана на рис. 2-4.

Функция it монотонно убывает с ростом скорости Я и при Я = 1 принимает критическое значение, равное [формула (2-46а)]:

Вспоминая выражение для критического отношения дав лений, легко находим:

Обращаясь к рис. 2-4, можно отметить, что функция у слабо меняется в широком диапазоне скоростей 0 Я_макс.

Расход газа через заданное сечение F меняется весьма интенсивно при изменении Я, если статическое давление

Рис. 2-5 Изоэнтропическин процесс расширения в тепловой диаграмме (а) и определение критических параметров для реального газа (б).

сохраняется постоянным, что характеризуется поведением функции о (рис. 2-4).

В выведенные выше формулы входят постоянные, зависящие только от k. Значения некоторых постоянных приведены в табл. 2-3.

2-6. ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА ОДНОМЕРНОГО ПОТОКА РЕАЛЬНОГО ГАЗА

Уравнение энергии (2*10) позволяет широко использовать диаграммы состояния для расчета газовых течений, что особенно важно при исследовании потоков реальных газов, изменение состояния которых не подчиняется уравнению (1-1), а теплоемкость является функцией давления и температуры.

В практике расчетов тепловых двигателей (паровых и газовых турбин, компрессоров и др.) наибольшее распространение находят тепловые диаграммы, в которых по осям координат отложены либо температура и энтропия, либо энтальпия и энтропия (диаграммы Ts и is). Такие диаграммы строятся по экспериментальным данным и позволяют с достаточной точностью рассчитывать различные процессы изменения состояния газов, в том числе в области влажного пара и вблизи линии насыщения.

Диаграммы состояния Ts и is могут быть широко использованы и при исследовании газовых течений.

Действительно, выразим* из уравнения энергии (2-10) скорость течения:

После подстановки i (ккал)кг) получим:, с=|/^(г’„ —«).

Формула (2-106) показывает, что для определения скорости течения необходимо знать разность энтальпий i₀ — г, которая легко определяется по диаграмме is, если известны параметры полного торможения газа (р_й, Т₀) и статические параметры течения (р, Т).

На рис. 2-5,а представлена часть диаграммы is для водяного пара. Если нам известны два любых параметра полного торможения (р₀ и Т₀), то на диаграмме is легко находится точка О, определяющая состояние заторможенного потока. Эта точка может быть’найдена и по другим параметрам состояния (например, i₀ и s_a). Проведя вертикальную линию до точки пересечения с изобарой статического давления р, изотермой Т или изохорой v, определим состояние движущегося газа (точка /) и прежде всего его энтальпию г; тогда скорость течения легко может быть определена по уравнению (2-106).

Входящую в это уравнение разность энтальпий Н₀ = = i₀ — i называют изоэнтропическим перепадом энтальпий.

Тепловые диаграммы могут быть использованы и для расчетов необратимых течений (см. ниже). В этом случае, однако, для определения скорости течения трех параметров состояния недостаточно.

Рассматривая изоэнтропическое движение вдоль трубки тока переменного сечения в диаграмме i — s, нетрудно

найти удельный расход газа в различных сечениях и построить эту величину, а также и другие параметры в зависимости от скорости с (рис. 2-5,6). Максимум удельного расхода соответствует критическому сечению трубки, определяемому по уравнению расхода:

Параметры в критическом сечении находятся из уело-вия с^а,. С этой целью можно построить кривые изме-

нений скорости звука a(i) и скорости потока с (/) в зависимости от энтальпии; точка пересечения указанных кривых дает значения а и г в критическом сечении. Перенеся эту точку в диаграмму i—s, можно найти и другие параметры в этом сечении (рис. 2-5,6).

Тема 3. Кинематика и динамика жидкостей и газов, Лекция 11. Уравнение Бернулли и следствия из него

Тема 3. Кинематика и динамика жидкостей и газов

Лекция 11. Уравнение Бернулли и следствия из него

1. Основные положения гидродинамики. Уравнение неразрывности струи.

2. Уравнение Бернулли.

3. Истечение жидкости из отверстия. Принцип реактивного движения.

ОТВОДИМОЕ ВРЕМЯ: 2 часа.

1. Суханов курс физики. — М.: 1996.

2. Савельев общей физики. Том 1. — M: — Наука, 1996. § 72,73,74.

3. Трофимова физики. – М.: Высшая школа, 1999. § 28,29,30.

4. , Детлаф по физике. — М.: Наука, 1996. Отдел III.

Современные летательные аппараты способны выполнять саше разнообразные задачи и осуществлять полет в различных физических условиях. Физическими условиями полета называется совокупность фи­зических свойств атмосферы и физических явлений, возникающих во время полета летательных аппаратов. Физические условия полета оп­ределяются, в первую очередь, назначением летательного аппарата и могут значительно, а порой и быстро, изменяться в процессе полета. Ярким примером являются пилотируемые космические корабли многора­зового использования, способные осуществлять полет как в околозем­ном космическом пространстве, т. е. в практически безвоздушном пространстве, так и в нижних плотных слоях атмосферы.

В безвоздушном пространстве полет летательных аппаратов осно­ван на реактивном принципе движения, т. е. на законах движения тел с переменной массой, вытекающих из основных законов динамики поступательного движения твердых тел.

Полет летательных аппаратов в воздушной среде подчиняется за­конам аэродинамики, начало которой положено трудами русского уче­ного () и его ученика . В основе аэродинамики, как науки, лежит гидродинамика — физическая теория движения несжимаемых жидкостей с твердыми телами.

Основные положения и выводы гидродинамики применимы не только к жидкостям, но и к газам в том случае, когда сжимаемостью их мож­но пренебречь. Соответствующие расчеты показывают, что при движе­нии жидкостей и газов со скоростями меньшими скорости звука, их с достаточной степенью точности можно считать несжимаемыми. Следова­тельно, движение твердых тел, в том числе летательных аппаратов, в воздушной среде при указанных Скоростях подчиняется законам гидро­динамики.

Для выяснения физической сущности процессов, определяющих по­лет летательных аппаратов, необходимо уяснить основные положения гидродинамики.

1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ. УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ СТРУИ

Движение жидкостей называется течением, а совокупность частиц движущейся жидкости потоком. Графически движение жидкостей изображается с помощью линий, которые проводятся так, что касательные к ним совпадают по направлению с вектором скорости жидкости в соответствующих точках пространства (рис. 1).

Линии тока проводятся так, чтобы густота их, характеризуемая отношением числа линий к площади перпендикулярной им площадки, через которую они проходят, была больше там, где больше скорость течения жидкости, и меньше там, где жидкость течет медленнее. Таким образом, по картине линий тока можно судить о направлении и модуле скорости в разных точках пространства, т. е. можно определить состояние движения жидкости. Линии тока в жидкости можно «проявить», например, подмешав в нее какие-либо заметные взвешенные частицы.

Часть жидкости, ограниченную линиями тока, называют трубкой тока.

Течение жидкости называется установившимся (или стационарным), если форма и расположение линий тока, а также значения скоростей в каждой ее точке со временем не изменяются.

Рассмотрим какую-либо трубку тока. Выберем два ее сечения S1 и S2, перпендикулярные направлению скорости (рис. 2).

За время Δt через сечение S проходит объем жидкости SvΔt; следовательно, за 1с через S1 пройдет объем жидкости S1v1, где v1 — скорость течения жидкости в месте сечения S1. Через сечение S2 за 1с пройдет объем жидкости S2v2, где v2 — скорость жидкости в месте сечения S2. Здесь предполагается, что скорость жидкости в сечении постоянна. Если жидкость несжимаема (ρ=const), то через сечение S2 пройдет такой же объем жидкости, как и через сечение S1, т. е.

Следовательно, произведение скорости течения несжимаемой жидкости на поперечное сечение трубки тока есть величина постоянная для данной трубки тока. Соотношение 1 называется уравнением неразрывности для несжимаемой жидкости.

2. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ

Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости (физическая абстракция, т. е. воображаемая жидкость, в которой отсутствуют силы внутреннего трения) трубку тока, ограниченную сечениями S1 и S2, по которой слева направо течет жидкость (рис. 3).

Пусть в месте сечения S1 скорость течения v1 давление Р1 и высота, на которой это сечение расположено, h1. Аналогично, в месте сечения S2 скорость течения v2, давление Р2 и высота сечения h2. За малый промежуток времени Δt жидкость перемещается от сечения S1 к сечению S’1, от S2 к S’2.

Согласно закону сохранения энергии, изменение полной энергии E2-E1 идеальной несжимаемой жидкости должно быть равно работе А внешних сил по перемещению массы жидкости:

где E1 и Е2 — полные энергии жидкости массой m в местах сечений S1 и S2 соответственно.

С другой стороны, А — это работа, совершаемая при перемещении всей жидкости, заключенной между сечениями S1 и S2, за рассматриваемый малый промежуток времени Δt. Для перенесения массы m от S1 до S’1 жидкость должна переместиться на расстояние l1 =v1 Δt и от S2 до S’2 — на расстояние l2 =v2 Δt. Отметим, что 11 и 12 настолько малы, что всем точкам объемов, закрашенных на рис. 3, приписывают постоянные значения скорости v, давления Р и высоты h. Следовательно,

где F1=P1S1 и F2=-P2S2 (отрицательна, так как направлена в сторону, противоположную течению жидкости; рис. 3).

Полные энергии Е1 и Е2 будут складываться из кинетической и потенциальной энергий массы m жидкости:

(4)

(5)

Подставляя (4) и (5) в (2) и приравнивая (2) и (3), получим

(6)

Согласно уравнению неразрывности струи для несжимаемой жидкости (1), объем, занимаемый жидкостью, остается постоянным, т. е.

Разделив выражение (6) на , получим

,

где ρ — плотность жидкости. Но так как сечения выбирались произвольно, то можем записать

=const. (7)

Выражение (7) выведено швейцарским физиком Д. Бернулли (1700—1782; опубликовано в 1738 г.) и называется уравнением Бернулли. Как видно из его вывода, уравнение Бернулли — выражение закона сохранения энергии применительно к установившемуся течению идеальной жидкости. Оно хорошо выполняется и для реальныхжидкостей, внутреннее трение которых не очень велико.

Величина Р в формуле (7) называется статическим давлением (давление жидкости поверхность обтекаемого ею тела), величина — динамическим давлением. Величина представляет собой гидростатическое давление.

Для горизонтальной трубки тока (h1=h2) выражение (7) принимает вид

=const, (8)

— называется полным давлением.

Из уравнения Бернулли (8) для горизонтальной трубки тока и уравнения неразрывности (1) следует, что при течении жидкости по горизонтальной трубе, имеющей различные сечения, скорость жидкости больше в местах сужения, а статическое давление больше в более широких местах, т. е. там, где скорость меньше. Это можно продемонстрировать, установив вдоль трубы ряд манометров (рис. 4).

В соответствии с уравнением Бернулли опыт показывает, что в манометрической трубке В, прикрепленной к узкой части трубы, уровень жидкости ниже, чем в манометрических трубках А и С, прикрепленных к широкой части трубы.

Так как динамическое давление связано со скоростью движения жидкости (газа), то уравнение Бернулли позволяет измерять скорость потока жидкости. Для этого применяется трубка Пито — Прандтля (рис. 5).

Прибор состоит из двух изогнутых под прямым углом трубок, противоположные концы которых присоединены к манометру. I помощью одной из трубок измеряется полное давление (Р0), с помощью другой — статическое (Р). Манометром измеряют разность давлений:

, (9)

где — плотность жидкости в манометре. С другой стороны, согласно уравнению Бернулли, разность полного и статического давлений равна динамическому давлению:

(10)

Из формул (9) и (10) получаем искомую скорость потока жидкости:

Уменьшение статического давления в точках, где скорость потока больше, положено в основу работы водоструйного насоса (рис. 6).

Струя воды подается в трубку, открытую в атмосферу, так что давление на выходе из трубки равно атмосферному. В трубке имеется сужение, по которому вода течет с большей скоростью. В этом месте давление меньше атмосферного. Это давление устанавливается и в откачанном сосуде, который связан с трубкой через разрыв, имеющийся в ее узкой части. Воздух увлекается вытекающей с большой скоростью водой из узкого конца. Таким образом, можно откачивать воздух из сосуда до давления 100 мм рт. ст. (1 мм рт. ст.= 133,32 Па).

Уравнение Бернулли позволяет описать физические явления лежащие в основе работы целого ряда устройств и приборов: карбюратор, пульверизатор (рис. 7) и др.

3. ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ИЗ ОТВЕРСТИЯ. ПРИНЦИП РЕАКТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ

Уравнение Бернулли используется для нахождения скорости истечения жидкости через отверстие в стенке или дне сосуда. Рассмотрим цилиндрический сосуд с жидкостью, в боковой стенке которого на некоторой глубине ниже уровня жидкости имеется маленькое отверстие (рис. 8).

Рассмотрим два сечения (на уровне h1 свободной поверхности жидкости в сосуде и на уровне h2 выхода ее из отверстия) и напишем уравнение Бернулли:

Так как давления Р1 и Р2 в жидкости на уровнях первого и второго сечений равны атмосферному, т. е. Р1=Р2 , то уравнение будет иметь вид

.

Из уравнения неразрывности (1) следует, что v1/v2 = S1/S2, где S1 и S2 — площади поперечных сечений сосуда и отверстия. Если S1>>S2, то членом можно пренебречь и

(11)

Это выражение получило название формулы Торричелли (Э. Торричелли (1608 – 1647) – итальянский физик и математик.

Итак, скорость истечения жидкости из отверстия, расположенного на глубине h под открытой поверхностью, совпадает со скоростью, которую приобретает любое тело, падая с высоты h. Следует помнить, что этот результат получен в предположении, что жидкость идеальна. Для реальных жидкостей скорость истечения будет меньше, причем тем сильнее отличается от значения (11), чем больше вязкость жидкости.

Струя жидкости, вытекающая из отверстия в сосуде (рис. 9), уносит с собой за время Δt импульс (— плотность жидкости, S — площадь отверстия, v — скорость истечения струи).

Этот импульс сообщается вытекающей жидкости сосудом. По третьему закону Ньютона сосуд получает, от вытекающей жидкости за время Δt импульс, равный — , т. е. испытывает действие силы

(12)

Эта сила называется реакцией вытекающей струи. Если сосуд поставить на тележку, то под действием силы Fr он придет в движение в направлении, противоположном направлению струи.

Найдем значение силы Fr, воспользовавшись выражением (11) для скорости истечения жидкости из отверстия:

(13)

Если бы, как это может показаться на первый взгляд, сила Fr совпадала по величине с силой гидростатического давления, которое жидкость оказывала бы на пробку, закрывающую отверстие, то Fr была бы равна . На самом деле сила Fr оказывается в 2 раза большей. Это объясняется тем, что возникающее при вытекании струи движение жидкости в сосуде приводит к перераспределению давления, причем давление вблизи стенки, лежащей против отверстия, оказывается несколько большим, чем вблизи стенки, в которой сделано отверстие.

На реакции вытекающей струи газа основано действие реактивных двигателей и ракет. Реактивное движение, не нуждаясь для своего осуществления в наличии атмосферы, используется для полетов в космическом пространстве.

Основоположником теории межпланетных сообщений является выдающийся русский ученый и изобретатель (1857—1935). Он дал теорию полета ракеты и обосновал возможность применения реактивных аппаратов для межпланетных сообщений. В частности, Циолковским была разработана теория движения составных ракет, в которых каждая последующая ступень вступает в действие после того, как предыдущая ступень, израсходовав полностью топливо, отделится от ракеты. Идеи Циолковского получили дальнейшее развитие и были осуществлены учеными и инженерами для освоения космического пространства.