Уравнение неразрывности для потока газа

Основные уравнения газового потока

Основные уравнения газового потока

• Если движение газа по каналу стабильно, то одинаковое количество газа в единицу времени протекает по каждому участку канала. В этом случае (рис. 10.1), при определенном расходе газа в каждом участке канала расход газа равен(10.1). Где O-2-й массовый расход газа. Рх, РГ-площадь поперечного сечения канала. w и r-это скорости потока соответствующих поперечных сечений. Определенный объем одного и того же поперечного сечения; формула (10.1) называется уравнением неразрывности или непрерывности, поскольку постоянство массового расхода всех участков канала в каждый момент времени устанавливает условия неразрывности струи.

В рассматриваемом процессе первый закон термодинамики. Форма газа урав-кг газа через канал является = Фунт / + 4-С—(- (3% Си、 (10.2), где же буква «Л». Основное количество тепла, подаваемого или отводимого к газу в целевом участке движения. L / — изменение внутренней энергии газа в соответствующем сечении. го /. ’- Работа газа против внешних сил; С-приращение кинетической энергии газа при движении газа в выбранной области. С ^ а ^ — элемент Сила против работы тары 10.1 Этот компонент в олове; газ можно проигнорировать. Работа газа по противодействию внешним силам движущегося газа — это работа, которая тратится на прессование. Рассмотрим поток газа в канале рис.

За пределами пограничного слоя градиент скорости, нормальный к направлению потока, обычно настолько мал, что вязкостью можно пренебречь. Людмила Фирмаль

В 1-мерном измерении stream. In в разделах/-/и 11-11 различают газы определенной массы. Поток, поступающий в секцию 1-1, действует как поршень, отталкивая газ, заполняющий канал. сила pP действует на массу газа, выделенную в левом канале, а сила (p + Lp) (P4-LR) действует справа. Учитывая признаки работы, признанные в термодинамике, работа движения является Л ’=(П 4-С / П)(П 4-ЛХ) (Н + Ла») — ППУ>-(10 3） Если вы уменьшите небольшое количество 2 или более и отбросите его, это будет выглядеть так: Л ’ — rRLchi 4-Рих / Р 4-shRLr, (10.4） L ’= pL (Pu>) 4-PsLr.

Где N-уравнение неразрывности ТЧ = ТС. Расход потока постоянн и в непрерывной среде Если мы связываем работу против внешних сил с 1 кг газа、 L ’=(1 (ri) = Рио + ойр. (U. Seven） Количество cir, масса экстрагируемого вещества Это за гранью несжимаемости. 2-й член pc1i представляет собой основную работу, выполняемую движущимся телом продукта газа в результате деформации под действием равномерно распределенного давления. При замене работы на внешние силы в уравнениях первого закона термодинамики записывается около 1 кг газа 1е = c1u + c1G + =(1и + С1 (ПУ) 4- = я(п + Пи)+.(10.8） Потому что, как известно,+ ri = I — Си+ .

• Эта формула показывает, что тепло, подводимое к движущемуся газу, расходуется в двух направлениях: увеличение энтальпии газа и увеличение внешней кинетической энергии. То есть скорость потока газа увеличивается. Формула (10.9) является основой течения газа или пара, она эффективна как для обратимых течений без действия сил трения, так и для необратимых течений с трением.

Для потока, в котором присутствует сила трения, необходимо добавить 2 члена к формуле (10.9).1 учитывает работу, затраченную на преодоление силы трения — / тр, еще 1 представляет собой приращение теплоты газового потока за счет трения-поскольку работа над силой трения проходит полностью, в тепле эти 2 элемента имеют одинаковый размер, а так как знаки различны, то они исчезают друг от друга. Поэтому наличие сил трения не может нарушить общий энергетический баланс.

Это явление, весьма важное для гидродинамики и теории теплообмена, было впервые установлено Людвигам Прандтлем в 1904 г. Людмила Фирмаль

В изолированных потоках газа, если тепло не передается при движении газа ПО КАНАЛУ (1 / = 0）、 Из уравнения (10.10) следует, что в изолированном стационарном потоке газа через канал сумма удельной энтальпии и удельной кинетической энергии остается постоянной. Выражение (10.9), как и в (10.10), справедливо как для обратимых, так и для необратимых flows. It следует отметить, что эти формулы эффективны только в том случае, если газ на ходу выполняет работу расширения и не производит полезной (технической) работы (например, вращение рабочего класса турбины).

Приводимый в движение потоком газа. Первый закон термодинамики (10.8). Вам нужно записать В форме че = ух + ^(Р’) + ^ МС,+ — ^ г — = а + г(ТЭН+ -^ -, (10.11） Здесь/ т» — техническая работа*. Если техническая работа осуществляется потоком, то работа деформации при расширении отдается внешнему потребителю, но в канале она воспринимается соседними элементами, изменяя его кинетическую энергию. Из сравнения формулы (10.11) и формулы первого закона термодинамики (4.9) получается интегральная форма, записанная о выделенных элементах деформированного, но не смещенного потока. ’тек = С П’ ^ + P1V!-.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Тема № 4: Основные уравнения газового потока в лопаточных машинах

Преобразование энергии расширения рабочего тела в энергию вращения ротора происходит в результате обтекания потоком неподвижных сопловых и рабочих решеток.

Законы течения сжимаемой жидкости имеют большое значение для изучения процессов, происходящих в ступени.

Теория лопаточных машин базируется на основных уравнениях движения газа: уравнении неразрывности, уравнении сохранения энергии, уравнении первого закона термодинамики, уравнении Бернулли и уравнениях Эйлера. Эти уравнения рассматриваются в курсе термодинамики. Здесь остановимся лишь на некоторых особенностях этих уравнений, которые связаны с их использованием в расчетах лопаточных машин. Уравнение Эйлера о количестве движения применительно к ступени турбины будет рассмотрено ниже.

Реальное течение рабочего тела в ступени турбомашины является пространственным периодически неустановившимся течением вязкого сжимаемого газа, математическое исследование которого в строгой постановке затруднительно. Для получения относительно простых уравнений, которые можно без труда использовать в инженерных расчетах, делаются некоторые упрощения:

1) рассматривают осредненные значения параметров в точке (стационарность);

2) во всех сечениях каждой ступени неизменными.

Указанные допущения означают, что число лопаток СА и РК бесконечно.

Уравнение неразрывности в случае установившегося течения формулируется следующим образом: секундный массовый расход газа через любое поперечное сечение элементарной струйки при установившемся течении сохраняется постоянным (см. рис. 4.1).

Рис. 4.1. К выводу уравнения неразрывности

Если в рассматриваемых сечениях элемента двигателя поток является равномерным или рассматриваются осредненные параметры газового потока в этих сечениях, то уравнение неразрывности с равным основанием может быть записано и для всего потока. В частности, для сечений, нормальных к оси потока:

. (2.1)

В общем случае, когда выбранное сечение не перпендикулярно к оси струйки, а составляет с ней некий угол , нужно рассматривать нормальную составляющую скорости в этом сечении (т. е. в применении к теории ступени турбомашин – осевую составляющую скорости ), а уравнение неразрывности записывается в виде:

. (2.2)

Уравнение первого закона термодинамики

Уравнением первого закона термодинамики пользуются для определения параметров состояния газа при осуществлении термодинамического процесса. Оно является частным выражением закона сохранения энергии для элементарного объема газа, написанным в системе координат, движущейся вместе с рассматриваемым элементом объема или, в частном случае, для покоящегося газа.

Для элементарного объема газа уравнение первого закона термодинамики имеет вид:

, (2.7)

т. е. все тепло, подведенное к рассматриваемому объему газа, идет на изменение внутренней энергии и на совершение работы против сил давления, связанной с изменением объема.

Для движущегося газа удобно вместо внутренней энергии пользоваться понятием энтальпии:

. (1.8)

Переходя к интегральной форме записи, с учетом того, что тепло трения эквивалентно работе сил трения , можно получить:

, (1.9)

т. е. все тепло, подводимое к потоку между сечениями 1–1 и 2–2 (рис. 2.2), состоящее из тепла, подводимого извне, и тепла, выделяющегося в результате трения (работы сил трения), идет на совершение работы сжатия (расширения) и на изменение внутренней энергии потока ( ).

Уравнение первого закона термодинамики удобно для определения работы сил трения по известному значению показателя политропы , который легко определяется по термодинамическим соотношениям, если известны параметры потока в начале и в конце процесса.

Обобщенное уравнение Бернулли

Основным уравнением, на котором строятся расчеты турбомашин, является уравнение Бернулли:

. (2.10)

Уравнение (2.10) можно трактовать так: подведенная извне энергия идет на работу сжатия (расширения) газа , приращение кинетической энергии и преодоление гидравлического сопротивления .

Заметим, что уравнение Бернулли не зависит от теплообмена с окружающей средой. Однако теплообмен оказывает косвенное влияние на показатель политропы процесса.

Уравнение Бернулли, как и уравнение сохранения энергии, можно отнести к энергетическим и получить его из рассмотрения баланса механической энергии.

При свободном движении идеального газа, при отсутствии энергии, подведенной извне и потерь на преодоление гидравлического сопротивления:

. (1.11)

Для идеальной несжимаемой жидкости, для которой :

, (1.12)

т. е. для повышения давления в компрессоре динамического действия необходимо затормозить поток.

Самый простой способ достичь этого – геометрическое воздействие:

, (1.13)

Таким образом, при дозвуковом потоке ( ) расширение канала приводит к снижению скорости потока. На замедляющийся поток набегают следующие молекулы, что приводит к снижению удельного объема (увеличению плотности), т. е. давление газа растет.

Можно сделать вывод, что рабочий процесс турбокомпрессора состоит из двух взаимосвязанных, одновременно протекающих процессов:

— приращения кинетической энергии за счет подводимой внешней работы (от турбины) ;

— преобразования кинетической энергии потока в энергию потенциальную , пропорциональную давлению.

Уравнение сохранения энергии

Полная энергия рабочего тела может быть записана в виде:

,

где — внутренняя энергия; P/r – потенциальная энергия давления; С 2 /2 – кинетическая энергия; — потенциальная энергия положения.

Данное выражение можно упростить.

Потенциальной энергией положения можно пренебречь, т.к. по сравнению с остальными слагаемыми она ничтожна.

Внутренняя энергия рабочего тела в сумме с потенциальной энергией давления P/r будут равны энтальпии рабочего тела h, которая, таким образом, является мерой той потенциальной энергии, которой обладает поток рабочего тела.

В этом случае уравнение полной энергии запишется в виде:

.

Уравнение сохранения энергии может быть сформулировано следующим образом: полная энергия газового потока на выходе из рассматриваемого элемента (рис. 4.2) больше (или меньше) полной его энергии на входе на величину энергии, подведенной (или отведенной) между рассматриваемыми сечениями :

.

Рис. 4.2. К выводу уравнения сохранения энергии

Поскольку при установившемся движении газа расходы через сечения 0–0 и 1–1 одинаковы, то все члены уравнения сохранения энергии принято представлять отнесенными к 1 кг газа.

Применительно к турбомашинам уравнение сохранения энергии можно записать в виде:

, (2.3)

где – энтальпия газа (отвечает за внутреннюю и потенциальную энергию потока), с 2 /2 – кинетическая энергия потока; и – внешняя подведенная (отведенная) энергия, в виде механической работы и в виде тепла соответственно.

Для элементов двигателя, в которых отсутствует подвод или отвод энергии, уравнение сохранения энергии в частном случае имеет вид:

, (2.4)

т. е. при отсутствии энергообмена полная энергия газового потока сохраняется неизменной и равна энтальпии заторможенного потока.

Запишем уравнение сохранения энергии для турбинной ступени (см. рис. 2.1). Теплообменом с окружающей средой при этом можно пренебречь, т.к. при относительно небольших площадях теплоотдачи и хорошей теплоизоляции коэффициенты теплоотдачи малы.

Обычно для турбинной ступени , поэтому

,

т.е. работа турбинной ступени фактически численно равна изменению энтальпии потока.

Заметим, что в различные записи уравнения сохранения энергии в явном виде не входит трение, а значит, это уравнение применимо как для идеального газа, так и газа, обладающего вязкостью.

Силы трения, которые возникают на стенках, ограничивающих поток газа, и силы внутреннего трения между отдельными струйками газа являются внутренними силами, а работа на их преодоление переходит практически полностью в тепло. Трение приводит лишь к преобразованию одного вида энергии в другой и не отражается на общем балансе энергии. Например, если вследствие трения уменьшается кинетическая энергия, то энтальпия в этом сечении вырастет на ту же величину.

Дата добавления: 2015-06-17 ; просмотров: 3792 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Уравнение неразрывности потока

В. В. Богачев

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

РАБОТЫ НАГНЕТАТЕЛЕЙ

Рецензенты:

Богачев, В. В.

Б Теоретические основы работы нагнетателей : учебное пособие (курс лекций) / В. В. Богачев. – Ставрополь : СевКавГТУ, 2010. – 82 с.

СОДЕРЖАНИЕ

ЛЕКЦИЯ 1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕХНИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТЕЙ. ПАРАМЕТРЫ РАБОТЫ НАГНЕТАТЕЛЕЙ. 6

1.1. Уравнение неразрывности потока. 6

1.2. Уравнение движения. 7

1.3. Гидравлические сопротивления. 10

Контрольные вопросы. 12

ЛЕКЦИЯ 2. УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА ДЛЯ РАБОТЫ ЛОПАСТНОГО КОЛЕСА 13

2.1. Уравнение Эйлера для работы лопастного колеса. 15

2.2. Характеристики лопастных нагнетателей. 16

Контрольные вопросы. 18

ЛЕКЦИЯ 3. ПОТЕРИ ДАВЛЕНИЯ В НАГНЕТАТЕЛЯХ.

ПОДОБИЕ ЛОПАСТНЫХ НАГНЕТАТЕЛЕЙ. 19

3.1. Потери перед рабочим колесом. 19

3.2. Потери в рабочем колесе. 20

3.3. Потери за рабочим колесом. 21

3.4. Подобие лопастных нагнетателей. 27

3.5. Универсальные характеристики. 29

3.6. Общие характеристики. 31

3.7. Безразмерные (отвлеченные) характеристики. 32

Контрольные вопросы. 33

ЛЕКЦИЯ 4. РАБОТА НАГНЕТАТЕЛЯ В СЕТИ. 34

4.1. Потери давления в сети. 34

4.2. Работа насоса в сети. 37

4.3. Метод наложения характеристик. 38

4.4. Присоединение нагнетателя к сети. 39

4.5. Выходные элементы вентиляционных установок. 41

Контрольные вопросы. 42

ЛЕКЦИЯ 5. СОВМЕСТНАЯ РАБОТА НАГНЕТАТЕЛЕЙ. 43

5.1. Параллельное включение нагнетателей. 43

5.2. Методика построения характеристик. 45

5.3. Последовательное включение нагнетателей. 48

5.4. Нагнетатели с одинаковой характери­стикой. 50

5.5. Нагнетатели с разными характеристи­ками. 50

Контрольные вопросы. 52

ЛЕКЦИЯ 6. ЭКСПЛУАТАЦИОННЫЕ ОСОБЕННОСТИ РАБОТЫ НАГНЕТАТЕЛЕЙ В СЕТЯХ. 53

6.1. Неточность расчета потерь давления в сети. 53

6.2. Отключение и дросселирование сети. 54

6.3. Негерметичность сети. 55

6.4. Изменение температуры. 55

6.5. Перемещение механических примесей. 57

Контрольные вопросы. 59

ЛЕКЦИЯ 7. УСТОЙЧИВОСТЬ РАБОТЫ НАГНЕТАТЕЛЕЙ. 60

7.1. Возникновение неустойчивых режимов работы. 60

7.3. Кавитация. 63

Контрольные вопросы. 67

ЛЕКЦИЯ 8. РЕГУЛИРОВАНИЕ НАГНЕТАТЕЛЕЙ. 68

8.1. Способы регулирования. 68

8.2. Дросселирование. 69

8.3. Регулирование перепуском. 71

8.4. Изменение частоты вращения рабочего колеса. 72

8.5. Регулирование частоты вращения нагнетателя

с по­мощью гидромуфты. 73

8.6. Изменение относительной скорости. 76

8.7. Закручивание потока перед рабочим колесом. 77

8.8. Осевой направляющий аппарат. 78

Контрольные вопросы. 80

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ. 81

ВВЕДЕНИЕ

ЛЕКЦИЯ 1

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕХНИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТЕЙ. ПАРАМЕТРЫ РАБОТЫ НАГНЕТАТЕЛЕЙ

Техническая гидроаэромеханика изучает законы движе­ния, относительного покоя и взаимодействия жидкости с твердыми телами, которые либо находятся в ней, либо ее ограничивают. Под жидкостью понимают такую мате­риальную среду, медленная деформация которой при по­стоянном объеме возможна под действием ничтожно ма­лых сил. Жидкости делятся на два класса: малосжимаемые – капельные и сжимаемые – газы. При движении газов со скоростями, значительно меньшими скорости звука, сжимаемостью газа можно пренебречь. В этом случае при исследовании движения газов применяют уравнения движения капельных жидкостей. Техническая механика жидкости базируется на ос­новных законах сохранения массы, энергии и импульса, которые широко применяются в технике.

Уравнение неразрывности потока

Рассмотрим уста­новившееся движение жидкости в канале произвольного сечения (рис. 1.1).

Пусть поток движется со скоростью с от сечения 1 – 1 к сечению 2 – 2.В соответствии с зако­ном сохранения массы вещества та масса жидкости, ко­торая находится между сечениями 1 – 2 и 2 – 2, для рас­сматриваемого случая движения должна быть постоян­ной. Это означает, что масса жидкости, прошедшая че­рез живое сечение канала площадью ω₁ будет равна массе жидкости, прошедшей через живое сечение кана­ла площадью ω₂, т. е.

(1.1)

где ρ₁ и ρ₂ – плотность жидкости, проходящей через сечение 1 – 1и 2 – 2 соответственно.

Выражение (1.1), являясь следствием закона сохра­нения массы, называется уравнением неразрывности по­тока жидкости. Из уравнения неразрывности потока, часто записываемого в виде

(1.2)

следует, что, если предположить существование внутри установившегося потока жидких струек, для каждой из которых должно выполняться условие (1.2), то они нигде не могут закончиться. Эти струйки либо должны простираться от одной границы рассматриваемого про­странства до другой, либо замыкаться. В тех случаях, когда несжимаемые (капельные) жидкости или газы движутся под действием относительно малых перепадов давления и весь поток рассматривается как одна жидкая струйка, произведение ωc = Q называют объемным рас­ходом потока, а произведение ρωc = М – массовым рас­ходом.

Уравнение движения

Известно, что основными си­лами, действующими в движущейся жидкости, являют­ся массовые и поверхностные. Если канал, в котором движется жидкость, является неподвижным, то единст­венной массовой силой, действующей в жидкости, будет вес. К поверхностным силам относится силы гидродина­мического давления и силы трения.

Количественной мерой различных форм движения материи служит понятие, называемое в физике энер­гией. Если тело движется, то оно обладает энергией; если тело обладает энергией, оно может совершить ра­боту, которая в дальнейшем (в соответствии с принци­пами сохранения энергии) может перейти в другую фор­му энергии (например, в тепловую).

Рассмотрим установившееся движение вязкой жидко­сти с учетом ее сжимаемости. Как известно, при движе­нии сжимаемых жидкостей работа сил трения оказыва­ет двоякое действие: с одной стороны, являясь реактив­ной силой, она тормозит поток, действуя в противопо­ложном движению направлении; с другой стороны, рабо­та сил трения, целиком превращаясь в теплоту, возвра­щается в поток в виде тепловой энергии, которая может расходоваться на расширение жидкости и, следователь­но, на ускорение ее движения.

Выделим некоторый объем в трубке тока движущей­ся жидкости и ограничим его сечениями 1 – 1 и 2 – 2(рис. 1.2).

Рассматривая установившееся движение, за­пишем для этого объема уравнение сохранения энергии в следующей формулировке: работа внешних сил плюс подведенная теплота расходуются на изменение механи­ческой и внутренней энергии рабочего тела. Как извест­но, внешними силами, действующими при перемещении жидкости от сечения 1 – 1 к сечению 2 – 2,являются силы давления и силы трения. Пусть за некоторый про­межуток времени под действием сил давления произо­шло перемещение объема жидкости, заключенного меж­ду сечениями 1 – 1 и 2 – 2, в сечения 1’ – 1’ и 2′ – 2′.Это означает, что вблизи сечения 1 – 1(см. рис. 1.2) исчез­нет элемент массы

а около сечения 2 – 2 появится равный ему элемент массы

Спроектируем все силы на направление движения массы жидкости. Силы гидродинамического давления, действующие на боковую поверхность выделенного объе­ма, составляющих в направлении движения не дадут, и их работа по перемещению массы жидкости равна нулю. Таким образом, суммарная работа сил давления, под действием которых произошло перемещение жидкоcти из сечения 1 – 1 в сечение 2 – 2, определится выражением:

(1.3)

Обозначим удельную работу сил трения, возникаю­щую в потоке движущейся жидкости при перемещении ее из сечения 1 – 1 в сечение 2 – 2,ΔR. Таким образом, суммарная удельная работа внешних сил, совершаемая при перемещении потока жидкости из сечения 1 – 1 в се­чение 2 – 2,с учетом направления действия этих сил за­пишется в виде p₁V₁ – p₂V₂ – ΔR.

Вследствие работы вязких сил возможный приток теплоты в трубку тока между сечениями 1 – 1 и 2 – 2 будет равен MΔq, где Δq – количество теплоты, полу­ченное каждой единицей массы жидкости, прошедшей путь между этими сечениями. Таким образом, Δq – удельное количество теплоты, поступающей в массу жидкости между сечениями 1 – 1 и 2 – 2.

В соответствии с законом сохранения энергии удель­ные работа внешних сил и подведенная теплота долж­ны привести к изменению удельных механической и внутренней энергий потока жидкости. Удельную внут­реннюю энергию массы жидкости обозначим через U.

Масса жидкости, находящейся между сечениями 1 – 1 и 2 – 2, остается постоянной, поэтому изменение удель­ной энергии при перемещении жидкости из сечения 1 – 1 в сечение 2 – 2определится как разность удельных энер­гий элементов массы dm₂ и dm₁. Таким образом, закон сохранения удельной энергии для выделенного элемен­та трубки тока может быть записан в виде

(1.4)

Полученное выражение (1.4) часто используется в дифференциальной форме:

Уравнение сохранения энергии (1.5) может быть до­полнено уравнением, вытекающим из первого начала термодинамики, согласно которому подведенная к си­стеме теплота увеличивает ее внутреннюю энергию и со­вершает работу расширения, т. е.

Подставляя выражение (1.6) в уравнение (1.5) и интегрируя имеем выражение

(1.7)

представляющее собой уравнение Д. Бернулли, учиты­вающее как сжимаемость жидкости, так и работу сил трения. Каждый член уравнения (1.7) определяет удель­ную энергию или удельную работу.