Уравнение неразрывности для сжимаемого потока аэродинамика

Школьная Энциклопедия

Nav view search

Navigation

Search

Закон Бернулли в аэродинамике

Details Category: Человек и небо Published on Wednesday, 23 July 2014 16:59 Hits: 25084

Какое отношение к авиации имеет закон Бернулли? Оказывается, самое прямое. С его помощью можно объяснить возникновение подъёмной силы крыла самолёта и других аэродинамических сил.

Автор этого закона — швейцарский физик-универсал, механик и математик. Даниил Бернулли — сын известного швейцарского математика Иоганна Бернулли. В 1838 г. он опубликовал фундаментальный научный труд «Гидродинамика», в котором и вывел свой знаменитый закон.

Следует сказать, что в те времена аэродинамика как наука ещё не существовала. А закон Бернулли описывал зависимость скорости потока идеальной жидкости от давления. Но в начале ХХ века начала зарождаться авиация. И вот тут закон Бернулли оказался очень кстати. Ведь если рассматривать воздушный поток как несжимаемую жидкость, то этот закон справедлив и для воздушных потоков. С его помощью смогли понять, как поднять в воздух летательный аппарат тяжелее воздуха. Это важнейший законом аэродинамики, так как он устанавливает связь между скоростью движения воздуха и действующим в нём давлением, что помогает делать расчёты сил, действующих на летательный аппарат.

Закон Бернулли — это следствие закона сохранения энергии для стационарного потока идеальной и несжимаемой жидкости.

В аэродинамике воздух рассматривается как несжимаемая жидкость, то есть, такая среда, плотность которой не меняется с изменением давления. А стационарным считается поток, в котором частицы перемещаются по неизменным во времени траекториям, которые называют линиями тока. В таких потоках не образуются вихри.

Чтобы понять сущность закона Бернулли, познакомимся с уравнением неразрывности струи.

Уравнение неразрывности струи

Если жидкость течёт по трубе, имеющей разное поперечное сечение, то давление в разных местах трубы будет неодинаковое.

Мысленно выделим в трубе несколько сечений, обозначив их площади S₁ и S₂. Соответственно, v₁ и v₂ – скорости течений несжимаемой жидкости через эти сечения.

За время ∆t через сечения протекут жидкости, объёмы которых будут равны:

Так как мы рассматриваем стационарное течение несжимаемой жидкости, то по закону сохранения массы через любое поперечное сечение трубы за одинаковый промежуток времени проходит одинаковый объём жидкости. Следовательно, ∆V₁ = ∆V₂.

Произведение площади поперечного сечения потока на его скорость есть величина постоянная. Это уравнение называют уравнением неразрывности струи.

Уравнение Бернулли

Объединив условие неразрывности жидкости и закон сохранения энергии, Бернулли вывел уравнение, согласно которому с увеличение скорости потока уменьшается давление, и наоборот.

То есть, скорости жидкостей обратно пропорциональны площадям сечений. И чем больше площадь сечения, тем меньше скорость жидкости, протекающей через него, и наоборот.

Подобное явление мы видим, когда стоим на берегу реки и наблюдаем за её течением. В узком месте русла скорость течения воды всегда больше, чем в широком.

Жидкость, поступающая из широкой в более узкую часть трубы, ускоряется. Это означает, что на неё действует сила со стороны жидкости, находящейся в более широкой части трубы. Откуда же берётся эта сила? Для горизонтальной трубы причина возникновения этой силы — разность давлений в широком и узком участках трубы. В широкой части давление выше, чем в узкой, а скорость ниже. Отсюда следует вывод: «При стационарном течении жидкости давление больше в тех местах, где меньше скорость течения, и наоборот».

Уравнение Бернулли имеет вид:

где ρ – плотность жидкости,

ν – скорость потока,

h – высота, на которой располагается элемент жидкости,

ɡ — ускорение свободного падения,

p – давление в точке пространства, в которой расположен центр массы элемента жидкости.

Первое слагаемое уравнения Бернулли – кинетическая энергия потока, или динамическое давление. Его создаёт движение жидкости или газа. В авиации его также называют скоростным напором.

Второе слагаемое — потенциальная энергия, или гидростатическое давление. Оно создаётся весом столба жидкости или газа высотой h.

И, наконец, третье слагаемое, Р – это статистическое давление, которое оказывают друг на друга соседние слои жидкости или газа.

Сумма всех слагаемых уравнения называется полным давлением.

Для трубы, расположенной горизонтально, или горизонтального воздушного потока уравнение Бернулли выглядит так:

Из него видно, что чем выше скорость течения жидкости (а в аэродинамике – скорость воздушного потока), тем меньше давление, и наоборот.

Эффект Бернулли можно наблюдать, сидя у камина. Во время сильных порывов ветра скорость воздушного потока возрастает, а давление падает. В комнате давление воздуха выше. И языки пламени устремляются вверх в дымоход.

Закон Бернулли и авиация

С помощью этого закона очень просто объяснить, как возникает подъёмная сила для летательного аппарата тяжелее воздуха.

Во время полёта крыло самолёта как бы разрезает воздушный поток на две части. Одна часть обтекает верхнюю поверхность крыла, а другая нижнюю. Форма крыла такова, что верхний поток должен преодолеть больший путь для того, чтобы соединиться с нижним в одной точке. Значит, он двигается с большей скоростью. А раз скорость больше, то и давление над верхней поверхностью крыла меньше, чем под нижней. За счёт разности этих давлений и возникает подъёмная сила крыла.

Во время набора самолётом высоты возрастает разница давлений, а значит, увеличивается и подъёмная сила, что позволяет самолёту подниматься вверх.

Сразу сделаем уточнение, что вышеописанные законы действуют, если скорость движения воздушного потока не превышает скорость звука (до 340 м/с). Ведь мы рассматривали воздух как несжимаемую жидкость. Но оказывается, что при скоростях выше скорости звука воздушный поток ведёт себя по-другому. Сжимаемостью воздуха пренебрегать уже нельзя. И воздух в этих условиях, как любой газ, старается расшириться и занять больший объём. Появляются значительные перепады давления или ударные волны. А сам воздушный поток не сужается, а, наоборот, расширяется. Решением задач о движении воздушных потоков со скоростями, близкими или превышающими скорость звука, занимается газовая динамика, возникшая как продолжение аэродинамики.

Используя аэродинамические законы, теоретическая аэродинамика позволяет сделать расчёты аэродинамических сил, действующих на летательный аппарат. А правильность этих расчётов проверяют, испытывая построенную модель на специальных экспериментальных установках, которые называются аэродинамическими трубами. Эти установки позволяют измерить величину сил специальными приборами.

Кроме исследования сил, действующих на аэродинамические модели, с помощью аэродинамических измерений изучают распределение значений скорости, плотности и температуры воздуха, обтекающего модель.

Аэродинамика

Введение

Изучить материал [1, Введение с. 3 – 7].

-уравнение состояния для совершенного газа

,

где — давление [Па];

— плотность газа [кг/м3];

Дж/(кг×К) – удельная газовая постоянная;

— температура [К];

-скорость звука в совершенном газе

,

где = 1,4 – показатель адиабаты, равный отношению теплоемкости при постоянном давлении к теплоемкости при постоянном объеме.

Вопросы для самоконтроля

1. Нормальные и касательные напряжения. Динамическое взаимодействие.

2. Газодинамические переменные. Уравнение состояния.

3. Упрощенные физические модели идеального, вязкого и сжимаемого газов.

4. Стандартная атмосфера.

В1. Определить плотность воздуха, если при давлении 200 кПа его температура равна 30°С.

В2. Определить скорость звука в воздухе при плотности 0,657 кг/м3 и давлении 97500 Па.

В3. Определить температуру воздуха, если его скорость звука равна 427 м/с.

Глава 1. Кинематика сплошной среды

Изучить материал [1, гл. 1, с. 8 – 21].

Вихревое влияние в заданной точке пространства определяется формулами:

-от элемента произвольного вихря определяется уравнением Био-Савара

,

где — циркуляция скорости по замкнутому контуру ;

— расстояние до исследуемой точки;

— элемент вихря;

-от бесконечного прямолинейного вихря

;

-от полубесконечного прямолинейного вихря

;

-от отрезка прямолинейного вихря

;

-уравнение неразрывности для трубки тока

,

где — площадь поперечного сечения трубки тока.

Вопросы для самоконтроля

5. Задание движения газа по Эйлеру и по Лагранжу.

6. Линия тока. Трубка тока. Поверхность тока.

7. Вихревое течение. Вихревая линия. Вихревая трубка. Вихревая пелена.

8. Интенсивность (напряженность) вихревой трубки. Циркуляция скорости.

9. Теорема Стокса для вихревого течения.

10. Вихревое влияние. Индуцированная скорость.

11. Массовый расход. Уравнение неразрывности.

1.1. В воздухе находится бесконечный, прямолинейный вихрь интенсивностью 100 м2/с. Определить вихревое влияние в исследуемой точке на расстоянии 5 м от вихря.

1.2. В воздухе находится полубесконечный, прямолинейный вихрь интенсивностью 150 м2/с. Определить вихревое влияние в исследуемой точке на расстоянии 7 м от вихря и на расстоянии 10 м от начала вихря (рис. 1.1).

Рис.1.1. К задаче 1.2

Рис.1.2. К задаче 1.5

1.3. В воздухе расположены два параллельных бесконечных вихря с интенсивностями соответственно = 100 м2/с и = — 240 м2/с. Расстояние между вихрями 16 м. Определить вихревое влияние в точке, расположенной посередине между вихрями.

1.4. В воздухе расположены два параллельных бесконечных вихря с интенсивностями соответственно = 150 м2/с и = — 320 м2/с. Между вихрями расположена точка, в которой от каждого вихря индуцируются равные по абсолютной величине скорости. Определить вихревое влияние в этой точке, если расстояние между вихрями равно 8 м.

1.5. В воздухе расположен вихрь ab длиной 300 м с интенсивностью 9000 м2/с. Определить скорость, индуцированную в точке c, если расстояния х и y соответственно равны 100 и 80 м (рис. 1.2).

1.6. Определить скорость, индуцированную вихревым кольцом в точке в центре кольца. Радиус кольца равен 0,98 м при циркуляции равной 120 м2/с. (рис. 1.3)

Рис. 1.3. К задаче 1.6.

Глава 2. Основные уравнения аэродинамики

Изучить материал [1, гл. 2, с.17 – 44].

-массовый расход для трубки тока

;

-уравнение Бернулли для несжимаемой жидкости

;

-уравнение Бернулли для сжимаемой жидкости

;

-уравнение количества движения

,

где — равнодействующая поверхностных сил, действующих на выделенный объем трубки тока;

-уравнение момента количества движения

,

где — равнодействующий момент от моментов поверхностных сил, действующих на выделенный объем трубки тока.

Вопросы для самоконтроля

12. Уравнение Навье — Стокса.

13. Уравнение Эйлера.

14. Уравнение Бернулли для несжимаемого и сжимаемого газов.

15. Критическая точка в потоке. Статическое, динамическое давления и давление торможения.

16. Измерение скорости на борту самолета.

17. Уравнения количества движения и момента количества движения для трубки тока.

2.1. Определить массовый расход воздуха через сопло аэродинамической трубы на земле при стандартных атмосферных условиях, если диаметр входа в сопло равен 2 м, диаметр выхода из сопла 1,2 м, давление на входе в сопло 99000 Па, а давление на выходе из сопла 96000 Па.

2.2. Определить скорость несжимаемого воздушного потока, если давление торможения равно 99500 Па, статическое давление равно 97400 Па при температуре воздуха 12°с.

2.3. Определить силу, действующую на сопло аэродинамической трубы при стандартных атмосферных условиях, если скорость на входе в сопло 11 м/c, диаметр входа в сопло равен 2,2 м, а диаметр выхода из сопла равен 0,8 м.

2.4. Определить крутящий момент, действующий на разбрызгиватель диаметром 1,5 м, если массовый расход равен 1,6 кг/с при скорости истечения жидкости 5 м/с (рис. 2.1).

Рис.2.1. К задаче 2.4.

Глава 3. Аэродинамическое подобие

Изучить материал [1, гл. 3, с. 45 – 65].

— коэффициенты аэродинамических сил

; ; ; ;

— коэффициенты аэродинамических моментов

; ; ; ;

;

-критерии аэродинамического подобия:

— число Маха;

= — число Рейнольдса;

— число Фруда;

— число Струхаля;

где — скоростной напор

— характерный линейный размер;

— коэффиц. динамической вязкости ;

— коэффициент кинематической вязкости ;

— число оборотов в секунду.

Вопросы для самоконтроля

18. Проблемы теории аэродинамического подобия.

19. Системы координат в аэромеханике.

20. Аэродинамические силы и моменты.

21. Аэродинамические коэффициенты и коэффициент давления.

22. Критерии подобия: число Маха, число Рейнольдса.

23. Критерии подобия: число Фруда, число Струхаля. Степень турбулентности.

24. Углы атаки и скольжения ЛА.

3.1. Модель самолета продувается в аэродинамической трубе. Какая скорость [м/с] должна быть в рабочей части, чтобы обеспечить подобие по сжимаемости, если натурное число маха равно 0,82, а температура в рабочей части равна 18°с?

3.2. Модель самолета в масштабе 1:20 продувается в аэродинамической трубе. Какая плотность должна быть в рабочей части, чтобы обеспечить подобие по вязкости, если температура в рабочей части равна 5°с, температура и плотность в полете соответственно равны минус 20°с и 0,96 кг/м3?

3.3. Гидросамолет имеет поплавок с площадью миделевого сечения 1,8 м2 и взлетает с воды со скоростью 165 км/ч. С какой скоростью (м/с) надо испытывать геометрически подобную модель поплавка с площадью миделевого сечения 0,31 м2, чтобы обеспечить подобие с учетом весомости воды?

3.4. Самолет летит со скоростью 450 км/ч при числе оборотов винта 1050 об/мин. Какое число оборотов должна иметь модель винта (масштаб 1: 10), чтобы обеспечить кинематическое подобие при скорости 220 км/ч?

Глава 4. Течение газов с большими скоростями

Изучить материал [1, гл. 4, с. 66 – 94].

— связь газодинамических переменных с параметрами торможения и числом Маха

; ; ,

где индекс 0 относится к параметрам торможения;

,

где индекс * относится к критическим параметрам;

— массовый расход газа через сверхзвуковое сопло

;

— интенсивность скачка уплотнения

.

Вопросы для самоконтроля

25. Изоэнтропические одномерные течения газа.

26. Параметры торможения.

27. Влияние сжимаемости на трубку тока.

28. Слабые возмущения и скачки уплотнения.

29. Интенсивность скачка уплотнения и коэффициент восстановления давления.

4.1. Определить температуру торможения в форкамере аэродинамической трубы, если в рабочей части получена скорость 650 м/с при статической температуре 8°С.

4.2. Определить плотность торможения в форкамере аэродинамической трубы, если в рабочей части получена скорость 720 м/с при статической температуре равной 12°С и статическом давлении 3,66×104 Па.

4.3. Определить массовый расход воздуха через сверхзвуковое сопло аэродинамической трубы, если диаметр критического сечения равен 0,2 м, критическая скорость равна 300 м/с при плотности торможения 2 кг/м3.

4.4. Определить критическую скорость воздуха в сверхзвуковом сопле аэродинамической трубы, если температура торможения равна минус 5°с.

4.5. Определить статическое давление за косым скачком уплотнения, имеющим угол наклона 32 градуса при числе Маха полета 2,25 на высоте 12000 м.

Глава 5. Пограничный слой

Изучить материал [1, гл. 5, с. 95 – 119].

Справочные сведения Таблица 1

Характеристики пограничного слоя

Вид пограничного слоя

Толщина пограничного слоя

Толщина потери импульса

Коэффициент трения плоской пластины

при

при

-коэффициент трения смешанного пограничного слоя на пластине

,

где — коэффициент сопротивления турбулентного трения пластины при числе Рейнольдса, вычисленном по длине пластины;

— коэффициент сопротивления турбулентного трения пластины при числе Рейнольдса, вычисленном по длине ламинарного пограничного слоя пластины;

— коэффициент сопротивления ламинарного трения пластины при числе Рейнольдса, вычисленном по длине ламинарного пограничного слоя пластины;

— безразмерная координата точки перехода ламинарного пограничного слоя в турбулентный (безразмерная длина участка ламинарного пограничного слоя).

Вопросы для самоконтроля

30. Понятие пограничного слоя и его характеристики.

31. Местное напряжение трения. Коэффициент трения плоской пластины.

32. Отрыв пограничного слоя.

33. Парадокс Даламбера-Эйлера. Сопротивление давления.

5.1. Пластина обтекается потоком при нулевом угле атаки. Определить силу сопротивления пластины при турбулентном пограничном слое, если длина пластины (размер, параллельный потоку) равна 3 м, ширина пластины (размер, перпендикулярный потоку) 16 м, скорость потока 25 м/с при плотности воздуха 1,1 кг/м3 и кинематической вязкости 1,58×10 -5 м2/c.

5.2. Определить толщину пограничного слоя на конце плоской пластины, если длина пластины равна 3 м, скорость потока равна 15 м/c, при кинематической вязкости 1,46×10 -5 м2/c.

5.3. Определить полный коэффициент сопротивления трения пластины, если число Рейнольдса, вычисленное по длине пластины, равно 6×105, а коорди-ната точки перехода ламинарного течения в турбулентное равна 8% от длины пластины.

Глава 6. Аэродинамические характеристики профиля

Изучить материал [1, гл. 6, с. 120 – 143].

— несущие свойства профиля в линейном диапазоне изменения угла атаки

,

где — частная производная коэффициента подъемной силы профиля от угла атаки;

— профильное сопротивление (сопротивление профиля)

,

где — коэффициент, учитывающий толщину профиля;

— коэффициент, учитывающий сжимаемость среды;

— коэффициент момента профиля

;

— безразмерная координата фокуса профиля

;

— теорема Жуковского о подъемной силе профиля (для единицы длины)

.

Вопросы для самоконтроля

34. Понятие аэродинамических характеристик.

35. Диаграмма распределения давления по профилю.

36. Критическое число Маха. Волновое сопротивление.

37. Профильное сопротивление.

38. Аэродинамические характеристики профиля.

39. Аэродинамическое качество профиля. Центр давления и фокус профиля.

40. Зависимости коэффициентов подъемной силы и лобового сопротивления от числа Маха.

41. Теорема Жуковского о подъемной силе профиля.

6.1. Определить угол атаки начала отрыва потока на профиле, если коэффициент подъемной силы начала отрыва равен 0,80, частная производная коэффициента подъемной силы по углу атаки равна 0,105 1/град, угол атаки нулевой подъемной силы равен минус 3 градуса.

6.2. Определить коэффициент профильного сопротивления крыла бесконечного размаха с хордой 4,3 м при скорости 470 км/ч на высоте 3000 м, если коэффициент, учитывающий толщину профиля равен 1,24. Пограничный слой считать турбулентным.

6.3. Определить коэффициент подъемной силы секции крыла бесконеч-ного размаха с хордой равной 2,4 м, если интенсивность присоединенного вихря равна 6 м2/с при скорости потока 20 м/с.

Глава 7. Аэродинамические характеристики крыла

Изучить материал [1, гл. 7, с. 144 – 169].

— угол скоса потока,

,

где — поправка, учитывающая влияние формы крыла в плане на угол скоса потока; для наивыгоднейшего крыла ;

— коэффициент индуктивного сопротивления

;

— коэффициент «отвала» поляры

,

где — поправка, учитывающая влияние формы крыла в плане на «отвал» поляры; для наивыгоднейшего крыла ;

— несущие свойства крыла в линейном диапазоне изменения угла атаки

;

— параболическая поляра крыла

;

— аэродинамическое качество крыла

.

Вопросы для самоконтроля

42. Геометрические характеристики крыла.

43. Вихревая схема крыла конечного размаха.

44. Сила и коэффициент индуктивного сопротивления.

45. Уравнение зависимости для крыла.

46. Уравнение поляры крыла.

47. Аэродинамические характеристики стреловидного крыла.

48. Аэродинамические характеристики крыла малого удлинения.

7.1. Определить средний угол [в градусах] скоса потока в полете у наивыгоднейшего крыла, размахом 28 м, создающего подъемную силу 600 кн при скорости полета 580 км/ч и плотности воздуха 1,2 кг/м3.

7.2. Наивыгоднейшее крыло обтекается потоком со скоростью 600 км/ч при плотности 0,2 кг/м3. Определить аэродинамическое качество наивыгоднейшего крыла, если нагрузка на крыло равна 3000 н/ м2, удлинение крыла равно 6, а коэффициент профильного сопротивления равен 0,009.

7.3. Определить максимальное аэродинамическое качество наивыгоднейшего крыла, если удлинение крыла равно 9, а коэффициент профильного сопротивления равен 0,008 .

Глава 8. Аэродинамические характеристики оперения и рулей

Изучить материал [1, гл. 8, с. 169 – 181].

— несущие свойства профиля с отклоненным рулем

,

где — коэффициент относительной эффективности руля;

— угол отклонения руля;

— поляра профиля с отклоненным рулем

;

Вопросы для самоконтроля

49. Распределение давления по профилю с отклоненным рулем.

50. Эффективность, коэффициент относительной эффективности руля.

51. Зависимость для горизонтального оперения.

52. Уравнение поляры горизонтального оперения.

53. Шарнирный момент.

54. Аэродинамическая компенсация.

8.1. Определить подъемную силу горизонтального оперения (ГО), при угле атаки 1 градус и угле отклонения руля высоты 4 градуса, если площадь го равна 20 м2, площадь руля равна 8 м2, частная производная коэффициента подъемной силы по углу атаки равна 0,09 1/град, скорость потока равна 500 км/ч при плотности 0,3 кг/ м3.

8.2. В потоке на горизонтальном оперении, установленном под нулевым углом атаки, для получения подъемной силы отклонили руль высоты на 6 градусов. Определить, какой угол атаки должно иметь го при неотклоненном руле, чтобы получить такую же подъемную силу, если площадь го равна 32 м2, а площадь руля равна 14 м2.

8.3. При заходе на посадку угол атаки го равен минус 7 градусов. На какой угол надо отклонить руль высоты, чтобы уменьшить подъемную силу го до нуля, если площадь го равна 15,8 м2, а площадь руля высоты равна 5,7 м2.

8.4. Площадь го равна 18 м2, а максимальный угол отклонения руля высоты равен ± 20 градусов. Какую площадь должен иметь руль высоты, чтобы уравновесить силу от заклиненного го на угле минус 10 градусов? Принять 10%-ный запас по углу отклонения руля.

Глава 9. Механизация

Изучить материал [1, гл. 9, с. 182 – 191].

— коэффициенты подъемной силы и профильного сопротивления при выпуске закрылка

; ,

где и — приращения соответствующих коэффициентов при выпуске закрылка

— приращение угла нулевой подъемной силы при выпуске закрылка

.

Вопросы для самоконтроля

55. Виды механизации крыла.

56. Аэродинамические характеристики крыла с отклоненной механизацией.

57. Влияние близости земли на аэродинамические характеристики крыла.

9.1. Крыло в потоке имеет угол нулевой подъемной силы минус 1 градус, угол атаки 4 градуса и коэффициент подъемной силы 0,3. Определить коэффициент подъемной силы при выпущенных закрылках, если угол нулевой подъемной силы стал минус 5 градусов.

9.2. Крыло в потоке имеет угол нулевой подъемной силы 0,9 градуса, угол атаки 5 градусов и коэффициент подъемной силы 0,4. Определить угол атаки нулевой подъемной силы, если при выпущенных закрылках коэффициент подъемной силы стал равным 1,2.

9.3. При массе 40 т и площади крыла 150 м2 самолет с выпущенными закрылками имеет минимальную скорость 190 км/ч. Какова будет минимальная скорость [км/ч] при отказе выпуска закрылков, если приращение коэффициента подъемной силы при выпуске закрылков равно 0,5.

Глава 10. Аэродинамические характеристики тел вращения

Изучить материал [1, гл. 10, с. 192 – 198].

— коэффициент лобового сопротивления для тела вращения при нулевом угле атаки можно считать равным коэффициенту его профильного сопротивления:

,

где — коэффициент профильного сопротивления;

— коэффициент сопротивления трения эквивалентной пластины;

— коэффициент, учитывающий удлинение, то есть переход от плоской пластины к телу вращения;

— коэффициент, учитывающий сжимаемость среды;

— смоченная площадь фюзеляжа.

— площадь миделевого сечения.

Вопросы для самоконтроля

58. Распределение давления по телу вращения.

59. Аэродинамические характеристики тел вращения при нулевом угле атаки.

10.1. Фюзеляж диаметром 2,8 м, длиной 22 м обтекается потоком со скоростью 600 км/ч. Определить коэффициент лобового сопротивления фюзеляжа, если «смоченная» площадь равна 174 м2, кинематическая вязкость равна 2×10 — 5 м2/с, а коэффициенты, учитывающие удлинение фюзеляжа и сжимаемость, соответственно равны 1,1 и 1,08.

10.2. Фюзеляж диаметром 3 м, длиной 20 м обтекается потоком со скоростью 700 км/ч при кинематической вязкости 2,1×10 — 5 м2/c. Определить коэффициент сопротивления давления фюзеляжа, если “смоченная” площадь равна 158 м2, а коэффициент лобового сопротивления фюзеляжа равен 0,09.

10.3. В модификации самолета геометрически подобно увеличили удлинение фюзеляжа до 11 (=1,09) вместо 7,5 (=1,15) при том же диаметре фюзеляжа, равном 3 м. Как изменится профильное сопротивление фюзеляжа при скорости 680 км/ч на высоте 9000 м?

Глава 11. Аэродинамические характеристики воздушных винтов

Изучить материал [1, гл. 11, с. 198 – 214].

— относительная поступь винта (число Струхаля)

,

где — диаметр винта;

— число оборотов винта [1/c];

— коэффициент тяги винта

;

;

— коэффициент полезного действия (КПД) винта

;

— характеристика режима работы несущего винта

,

где — угловая скорость вращения несущего винта;

— радиус несущего винта;

— коэффициент тяги несущего винта

,

где — ометаемая площадь несущего винта;

— коэффициент крутящего момента несущего винта

.

Вопросы для самоконтроля

60. Аэродинамические коэффициенты и КПД самолетного винта.

61. Серийная диаграмма винтов.

62. Косая обдувка несущего винта. Маховое движение лопастей.

63. Характеристика режима работы несущего винта.

64. Аэродинамические силы и коэффициенты для несущего винта.

11.1. Самолет массой 20 т при скорости полета340 км/ч имеет аэродинамическое качество 16. Найти КПД винта, если суммарная мощность двигателей на этой скорости 1447 кВт.

11.2. Самолет в потоке с плотностью 0,6 кг/м3 имеет мощность одного двигакВт. Определить его скорость полета [км/ч], если диаметр винта равен 4 м, коэффициент тяги равен 0,064, коэффициент мощности равен 0,08, а КПД равен 0,68.

11.3. Вертолет массой 49 т висит вблизи земли на высоте H » 0. Определить коэффициент тяги несущего винта, если его диаметр равен 32 м, а число оборотов равно 120 об/мин.

11.4. Определить коэффициент крутящего момента несущего винта вертолета, висящего вблизи земли, если его диаметр 29 м, число оборотов равно 126 об/мин, а крутящий момент равен 1100 кНм.

Глава 12. Аэродинамические характеристики самолета

Изучить материал [1, гл. 12, с. 215 – 242].

— учет интерференции в коэффициенте профильного сопротивления

,

где — коэффициент интерференции для сопротивления;

— подфюзеляжная площадь крыла;

— учет интерференции в коэффициенте «отвала» параболической поляры

,

где — эффективное удлинение крыла;

— математическое описание несущих свойств самолета в линейном диапазоне зависимости от угла атаки

;

— математическое описание параболической поляры самолета

,

где — профильное сопротивление;

— наивыгоднейший коэффициент подъемной силы для параболической поляры

;

— максимальное аэродинамическое качество для параболической поляры

.

Вопросы для самоконтроля

65. Аэродинамическая интерференция.

66. Влияние интерференции крыла и фюзеляжа на подъемную силу.

67. Влияние интерференции крыла и фюзеляжа на сопротивление.

68. Влияние балансировки на аэродинамические характеристики.

69. Математическое описание модели несущих свойств самолета на различных режимах полета.

70. Математическое описание модели поляры самолета на различных режимах полета.

71. Влияние упругих деформаций на аэродинамические характеристики.

12.1. Изолированные крыло и фюзеляж имеют коэффициенты профильного сопротивления соответственно 0,01 и 0,15. Определить коэффициент профильного сопротивления комбинации крыла с фюзеляжем (низкоплан), если подфюзеляжная площадь крыла составляет 21 %, а площадь миделя фюзеляжа — 11 % от площади крыла.

12.2. Самолет с массой 140 т и площадью крыла 260 м2 летит со скоростью 840 км/ч при плотности 0,32 кг/м3. Определить коэффициент подъемной силы крыла с учетом балансировки, если коэффициент подъемной силы горизонтального оперения равен 0,4 при его отрицательном угле атаки и площади, составляющей 23 % от площади крыла.

12.3. Самолет с массой 120 т и площадью крыла 254 м2 летит с приборной скоростью 400 км/ч при плотности 0,44 кг/м3. Определить аэродинамическое качество самолета, если коэффициент сопротивления при нулевой подъемной силе равен 0,019, а эффективное удлинение равно 6.

12.4. Самолет с массой 75 т и площадью крыла 170 м2 имеет частную производную коэффициента подъемной силы по углу атаки, равную 0,087 1/град, и летит при плотности 0,66 кг/м3. Определить приращение угла атаки самолета, если его скорость изменится с 900 до 600 км/ч.

12.5. Самолет в горизонтальном полете на высоте 1000 м летит со скоростью 600 км/ч. Определить истинную воздушную скорость [км/ч] при полете на высоте 7000 м, при постоянной приборной скорости.

12.6. Самолет массой 100 т, с площадью крыла 180 м2 летит со скоростью 750 км/ч при плотности 0,414 кг/м3. Определить его максимальное аэродинамическое качество, если коэффициент лобового сопротивления и коэффициент отвала поляры соответственно равны 0,043 и 0,052. Поляру самолета считать квадратичной.

Глава 13. Влияние аэродинамических характеристик

на безопасность полетов

Изучить материал [1, гл. 13, с. 97 – 105].

В процессе летной эксплуатации, чтобы самолет не попал в режим сваливания, необходимо, чтобы полетный (безопасный) коэффициент подъемной силы был меньше коэффициента подъемной силы сваливания.

.

Это условие задается ограничениями на скорости полета, которые обычно учитываются коэффициентами запаса в зависимости от режима полета:

— взлет ;

— крейсерский полет, посадка .

Вопросы для самоконтроля

72. Ограничение коэффициента подъемной силы самолета для недопущения сваливания.

73. Влияние эксплуатационных условий (в аэродинамическом аспекте) на безопасность полетов для самолетов.

13.1. Самолет при нагрузке на крыло 4000 Па летит со скоростью 700 км/ч при плотности 0,3 кг/м3. Определить минимальное значение коэффициента подъемной силы сваливания для обеспечения безопасности полетов.

13.2. Самолет массой 90 т, с площадью крыла 164 м2 летит при плотности 0,34 кг/м3. Определить его минимально-допустимую скорость сваливания [км/ч], если крейсерский коэффициент подъемной силы при этом равен 0,45.

Глава 14. Влияние аэродинамических характеристик

на экономичность полетов

Изучить материал [1, гл. 14, с. 253 – 258].

Экономичность полетов определяется общепризнанным критерием — топливной экономичностью полетов, показывающим массовый расход топлива в граммах, приходящийся на единицу транспортной работы.

Топливная эффективность полетов определяется по формулам

— для самолетов с реактивными двигателями

; ;

— для самолетов с винтовыми двигателями

; ,

где — удельный расход топлива для ДТРД — кг/(Н×ч), для ТВД — кг/(квт×ч);

— коммерческая отдача самолета; ;

— КПД винта.

Вопросы для самоконтроля

74. Транспортная работа и единицы ее измерения. Топливная эффективность полета (ТЭП).

75. Влияние эксплуатационных условий (в аэродинамическом аспекте) на топливную эффективность полета для самолетов.

14.1. Определить топливную эффективность полета самолета на один пассажиро-километр, имеющего удельный расход топлива 0,0643 кг/(нч), коэффициенты подъемной силы и лобового сопротивления соответственно 0,42 и 0,033, коммерческую отдачу 0,18 при скорости 650 км/ч.

14.2. Самолет в крейсерском полете имеет коммерческую отдачу 0,17, аэродинамическое качество 14 и удельный расход топлива 0,0587 кг/(нч). Определить топливную эффективность полета самолета на один пассажиро ‑ километр, если скорость сваливания на этом режиме равна 500 км/ч.

Ответы к задачам

Введение. В1. = 2,30 кг/м3. В2. = 456 м/с. В3. = 181°С.

Глава 1. 1.1. = 3,18 м/с; 1.2. = 3,1 м/с; 1.3. = 6,76 м/с; 1.4. = 18,72 м/с; 1.5. = 15,30 м/с; 1.6. = 61,2 м/с.

Глава 2. 2.1. = 104,0 кг/с; 2.2. = 59,4 м/с; 2.3. = 3697 Н;

2.4. = 12 Нм.

Глава 3. 3.1. = 280 м/с; 3.2. = 20,62 кг/м3; 3.3. = 29,5 м/с;

3.4. = 5133 об/мин.

Глава 4. 4.1. = 218°С; 4.2. = 2,24 кг/м3; 4.3. = 11,94 кг/с;

4.4. = 300 м/с; 4.5. = 2,89×104 Па.

Глава 5. 5.1. = 112,9 Н; 5.2. = 0,056 м; 5.3. = 0,00994.

Глава 6. 6.1. = 4,69 град. 6.2. = 0,00628; 6.3. = 0,25.

Глава 7. 7.1. = 0,897 град.; 7.2. = 15,23; 7.3. = 29,7.

Глава 8. 8.1. = 18403 Н; 8.2. = 3,97 град.; 8.3. = 11,65 град.; 8.4. = 5,56 м2.

Глава 9. 9.1. = 0,540; 9.2. = — 7,30 град.; 9.3. = 232 км/ч.

Глава 10. 11.1. = 0,0658; 11.2. = 0,0463; 11.3. в 0,76 раза.

Глава 11. 10.1. = 0,800; 10.2. = 310 км/ч; 10.3. = 0,0242;

10.4. = 0,00512.

Глава 12. 12.1. = 0,0285; 12.2. = 0,698; 12.3. = 15,32;

12.4. = 3,02 град.; 12.5. = 827 км/ч; 12.6. = 14,19.

Глава 13. 13.1. =1,19; 13.2. =735 км/ч.

Глава 14. 14.1. =42,4 г/(пас. км); 14.2. =37,2 г/(пас. км).

Стандартная атмосфера

, км

, К

Уравнение неразрывности потока

В. В. Богачев

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

РАБОТЫ НАГНЕТАТЕЛЕЙ

Рецензенты:

Богачев, В. В.

Б Теоретические основы работы нагнетателей : учебное пособие (курс лекций) / В. В. Богачев. – Ставрополь : СевКавГТУ, 2010. – 82 с.

СОДЕРЖАНИЕ

ЛЕКЦИЯ 1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕХНИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТЕЙ. ПАРАМЕТРЫ РАБОТЫ НАГНЕТАТЕЛЕЙ. 6

1.1. Уравнение неразрывности потока. 6

1.2. Уравнение движения. 7

1.3. Гидравлические сопротивления. 10

Контрольные вопросы. 12

ЛЕКЦИЯ 2. УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА ДЛЯ РАБОТЫ ЛОПАСТНОГО КОЛЕСА 13

2.1. Уравнение Эйлера для работы лопастного колеса. 15

2.2. Характеристики лопастных нагнетателей. 16

Контрольные вопросы. 18

ЛЕКЦИЯ 3. ПОТЕРИ ДАВЛЕНИЯ В НАГНЕТАТЕЛЯХ.

ПОДОБИЕ ЛОПАСТНЫХ НАГНЕТАТЕЛЕЙ. 19

3.1. Потери перед рабочим колесом. 19

3.2. Потери в рабочем колесе. 20

3.3. Потери за рабочим колесом. 21

3.4. Подобие лопастных нагнетателей. 27

3.5. Универсальные характеристики. 29

3.6. Общие характеристики. 31

3.7. Безразмерные (отвлеченные) характеристики. 32

Контрольные вопросы. 33

ЛЕКЦИЯ 4. РАБОТА НАГНЕТАТЕЛЯ В СЕТИ. 34

4.1. Потери давления в сети. 34

4.2. Работа насоса в сети. 37

4.3. Метод наложения характеристик. 38

4.4. Присоединение нагнетателя к сети. 39

4.5. Выходные элементы вентиляционных установок. 41

Контрольные вопросы. 42

ЛЕКЦИЯ 5. СОВМЕСТНАЯ РАБОТА НАГНЕТАТЕЛЕЙ. 43

5.1. Параллельное включение нагнетателей. 43

5.2. Методика построения характеристик. 45

5.3. Последовательное включение нагнетателей. 48

5.4. Нагнетатели с одинаковой характери­стикой. 50

5.5. Нагнетатели с разными характеристи­ками. 50

Контрольные вопросы. 52

ЛЕКЦИЯ 6. ЭКСПЛУАТАЦИОННЫЕ ОСОБЕННОСТИ РАБОТЫ НАГНЕТАТЕЛЕЙ В СЕТЯХ. 53

6.1. Неточность расчета потерь давления в сети. 53

6.2. Отключение и дросселирование сети. 54

6.3. Негерметичность сети. 55

6.4. Изменение температуры. 55

6.5. Перемещение механических примесей. 57

Контрольные вопросы. 59

ЛЕКЦИЯ 7. УСТОЙЧИВОСТЬ РАБОТЫ НАГНЕТАТЕЛЕЙ. 60

7.1. Возникновение неустойчивых режимов работы. 60

7.3. Кавитация. 63

Контрольные вопросы. 67

ЛЕКЦИЯ 8. РЕГУЛИРОВАНИЕ НАГНЕТАТЕЛЕЙ. 68

8.1. Способы регулирования. 68

8.2. Дросселирование. 69

8.3. Регулирование перепуском. 71

8.4. Изменение частоты вращения рабочего колеса. 72

8.5. Регулирование частоты вращения нагнетателя

с по­мощью гидромуфты. 73

8.6. Изменение относительной скорости. 76

8.7. Закручивание потока перед рабочим колесом. 77

8.8. Осевой направляющий аппарат. 78

Контрольные вопросы. 80

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ. 81

ВВЕДЕНИЕ

ЛЕКЦИЯ 1

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕХНИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТЕЙ. ПАРАМЕТРЫ РАБОТЫ НАГНЕТАТЕЛЕЙ

Техническая гидроаэромеханика изучает законы движе­ния, относительного покоя и взаимодействия жидкости с твердыми телами, которые либо находятся в ней, либо ее ограничивают. Под жидкостью понимают такую мате­риальную среду, медленная деформация которой при по­стоянном объеме возможна под действием ничтожно ма­лых сил. Жидкости делятся на два класса: малосжимаемые – капельные и сжимаемые – газы. При движении газов со скоростями, значительно меньшими скорости звука, сжимаемостью газа можно пренебречь. В этом случае при исследовании движения газов применяют уравнения движения капельных жидкостей. Техническая механика жидкости базируется на ос­новных законах сохранения массы, энергии и импульса, которые широко применяются в технике.

Уравнение неразрывности потока

Рассмотрим уста­новившееся движение жидкости в канале произвольного сечения (рис. 1.1).

Пусть поток движется со скоростью с от сечения 1 – 1 к сечению 2 – 2.В соответствии с зако­ном сохранения массы вещества та масса жидкости, ко­торая находится между сечениями 1 – 2 и 2 – 2, для рас­сматриваемого случая движения должна быть постоян­ной. Это означает, что масса жидкости, прошедшая че­рез живое сечение канала площадью ω₁ будет равна массе жидкости, прошедшей через живое сечение кана­ла площадью ω₂, т. е.

(1.1)

где ρ₁ и ρ₂ – плотность жидкости, проходящей через сечение 1 – 1и 2 – 2 соответственно.

Выражение (1.1), являясь следствием закона сохра­нения массы, называется уравнением неразрывности по­тока жидкости. Из уравнения неразрывности потока, часто записываемого в виде

(1.2)

следует, что, если предположить существование внутри установившегося потока жидких струек, для каждой из которых должно выполняться условие (1.2), то они нигде не могут закончиться. Эти струйки либо должны простираться от одной границы рассматриваемого про­странства до другой, либо замыкаться. В тех случаях, когда несжимаемые (капельные) жидкости или газы движутся под действием относительно малых перепадов давления и весь поток рассматривается как одна жидкая струйка, произведение ωc = Q называют объемным рас­ходом потока, а произведение ρωc = М – массовым рас­ходом.

Уравнение движения

Известно, что основными си­лами, действующими в движущейся жидкости, являют­ся массовые и поверхностные. Если канал, в котором движется жидкость, является неподвижным, то единст­венной массовой силой, действующей в жидкости, будет вес. К поверхностным силам относится силы гидродина­мического давления и силы трения.

Количественной мерой различных форм движения материи служит понятие, называемое в физике энер­гией. Если тело движется, то оно обладает энергией; если тело обладает энергией, оно может совершить ра­боту, которая в дальнейшем (в соответствии с принци­пами сохранения энергии) может перейти в другую фор­му энергии (например, в тепловую).

Рассмотрим установившееся движение вязкой жидко­сти с учетом ее сжимаемости. Как известно, при движе­нии сжимаемых жидкостей работа сил трения оказыва­ет двоякое действие: с одной стороны, являясь реактив­ной силой, она тормозит поток, действуя в противопо­ложном движению направлении; с другой стороны, рабо­та сил трения, целиком превращаясь в теплоту, возвра­щается в поток в виде тепловой энергии, которая может расходоваться на расширение жидкости и, следователь­но, на ускорение ее движения.

Выделим некоторый объем в трубке тока движущей­ся жидкости и ограничим его сечениями 1 – 1 и 2 – 2(рис. 1.2).

Рассматривая установившееся движение, за­пишем для этого объема уравнение сохранения энергии в следующей формулировке: работа внешних сил плюс подведенная теплота расходуются на изменение механи­ческой и внутренней энергии рабочего тела. Как извест­но, внешними силами, действующими при перемещении жидкости от сечения 1 – 1 к сечению 2 – 2,являются силы давления и силы трения. Пусть за некоторый про­межуток времени под действием сил давления произо­шло перемещение объема жидкости, заключенного меж­ду сечениями 1 – 1 и 2 – 2, в сечения 1’ – 1’ и 2′ – 2′.Это означает, что вблизи сечения 1 – 1(см. рис. 1.2) исчез­нет элемент массы

а около сечения 2 – 2 появится равный ему элемент массы

Спроектируем все силы на направление движения массы жидкости. Силы гидродинамического давления, действующие на боковую поверхность выделенного объе­ма, составляющих в направлении движения не дадут, и их работа по перемещению массы жидкости равна нулю. Таким образом, суммарная работа сил давления, под действием которых произошло перемещение жидкоcти из сечения 1 – 1 в сечение 2 – 2, определится выражением:

(1.3)

Обозначим удельную работу сил трения, возникаю­щую в потоке движущейся жидкости при перемещении ее из сечения 1 – 1 в сечение 2 – 2,ΔR. Таким образом, суммарная удельная работа внешних сил, совершаемая при перемещении потока жидкости из сечения 1 – 1 в се­чение 2 – 2,с учетом направления действия этих сил за­пишется в виде p₁V₁ – p₂V₂ – ΔR.

Вследствие работы вязких сил возможный приток теплоты в трубку тока между сечениями 1 – 1 и 2 – 2 будет равен MΔq, где Δq – количество теплоты, полу­ченное каждой единицей массы жидкости, прошедшей путь между этими сечениями. Таким образом, Δq – удельное количество теплоты, поступающей в массу жидкости между сечениями 1 – 1 и 2 – 2.

В соответствии с законом сохранения энергии удель­ные работа внешних сил и подведенная теплота долж­ны привести к изменению удельных механической и внутренней энергий потока жидкости. Удельную внут­реннюю энергию массы жидкости обозначим через U.

Масса жидкости, находящейся между сечениями 1 – 1 и 2 – 2, остается постоянной, поэтому изменение удель­ной энергии при перемещении жидкости из сечения 1 – 1 в сечение 2 – 2определится как разность удельных энер­гий элементов массы dm₂ и dm₁. Таким образом, закон сохранения удельной энергии для выделенного элемен­та трубки тока может быть записан в виде

(1.4)

Полученное выражение (1.4) часто используется в дифференциальной форме:

Уравнение сохранения энергии (1.5) может быть до­полнено уравнением, вытекающим из первого начала термодинамики, согласно которому подведенная к си­стеме теплота увеличивает ее внутреннюю энергию и со­вершает работу расширения, т. е.

Подставляя выражение (1.6) в уравнение (1.5) и интегрируя имеем выражение

(1.7)

представляющее собой уравнение Д. Бернулли, учиты­вающее как сжимаемость жидкости, так и работу сил трения. Каждый член уравнения (1.7) определяет удель­ную энергию или удельную работу.