Уравнение неразрывности для трубки тока

Уравнение неразрывности для трубки тока

Гидродинамика представляет собой раздел механики сплошных сред, в котором изучается движение несжимаемых жидкостей и взаимодействие несжимаемых жидкостей с твердыми телами.

1.6.1. Линии и трубки тока. Неразрывность струи

Состояние движения жидкости можно определить, указав для каждой точки пространства вектор скорости как функцию времени. Совокупность векторов , заданных для всех точек пространства, образует поле векторов скорости. Проведем в движущейся жидкости линии так, чтобы касательная к ним в каждой точке совпадала по направлению с вектором (Рис. 1.6.1). Эти линии называются линиями тока .

Рис. 1.6.1. Линии тока в жидкости

Густота линий (отношение числа линий к единичной площадке) пропорциональна величине скорости в данном месте.

Картина линий тока может непрерывно меняться. Если вектор скорости в каждой точке пространства остается постоянным, то такое движение называется установившимся, или стационарным . Линии тока в этом случае совпадают с траекториями частиц.

Часть жидкости, ограниченная линиями тока, называется трубкой тока . Вектор скорости будет касательным к поверхности трубки тока; следовательно, частицы жидкости при своем движении не пересекают стенок трубки тока.

Возьмем перпендикулярное к направлению скорости сечение трубки тока S (Рис. 1.6.2).

Рис. 1.6.2. Трубка тока

Предположим, что скорость движения частиц жидкости одинакова во всех точках этого сечения. За время dt через сечение S пройдут все частицы, расстояние которых от S в начальный момент времени не превышает значения vdt. Следовательно, за время dt через сечение S пройдет объем жидкости, равный Svdt, а за единицу времени через сечение S пройдет объем жидкости, равный Sv. Возьмем трубку тока, настолько тонкую, что в каждом ее сечении скорость можно считать постоянной. Если жидкость несжимаема (ее плотность одинакова и не изменяется), то количество жидкости между сечениями S₁ и S₂ (Рис.1.6.3) будет оставаться неизменным.

Рис. 1.6.3. К теореме о неразрывности струи

Отсюда следует, что объемы жидкости, протекающие за единицу времени через сечения S₁ и S₂, должны быть одинаковыми (считаем, что через боковую поверхность трубки тока частицы жидкости не проходят):

Данный результат представляет собой содержание теоремы о неразрывности струи . Из соотношения (1.6.1) следует, что при переменном сечении трубки тока частицы несжимаемой жидкости движутся с ускорением. В горизонтальной трубке тока (Рис.1.6.4) это ускорение может быть обусловлено только непостоянством давления вдоль оси трубки — в местах, где скорость меньше, давление должно быть больше, и наоборот.

Рис. 1.6.4. Изменение скорости струи

1.6.2. Уравнение Бернулли

Рассматривая движение жидкостей, во многих случаях можно считать, что перемещение одних частей жидкости относительно других не связано с трением. Жидкость, в которой внутреннее трение (вязкость) полностью отсутствует, называется идеальной.

Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости трубку тока малого сечения (Рис.1.6.5). Рассмотрим малый объем жидкости, ограниченной стенками трубки тока и перпендикулярными сечениями S₁ и S₂. За время Δt этот объем переместится вдоль трубки тока (сечение S₁ переместится в положение S₁‘, пройдя путь Δl₁, сечение S₂ переместится в положение S₂‘, пройдя путь Δl₂). В силу неразрывности струи заштрихованные объемы будут иметь одинаковую величину: ΔV₁ = ΔV₂ =ΔV.

Рис. 1.6.5. К выводу уравнения Бернулли

Энергия каждой частицы жидкости складывается из ее кинетической энергии и потенциальной энергии в поле силы тяжести. Вследствие стационарности течения частица, находящаяся спустя время Δt в любой из точек незаштрихованного объема (например, в точке О), имеет такую же скорость, какую имела частица, находившаяся в той же точке в начальный момент времени. Поэтому приращение энергии ΔЕ можно вычислить как разность энергий заштрихованных объемов ΔV₁ и ΔV₂.

Возьмем сечение трубки тока и отрезки Δl настолько малыми, чтобы всем точкам каждого из заштрихованных объемов можно было приписать одно и то же значение скорости v, давления р и высоты h. Тогда приращение энергии запишется следующим образом (ρ — плотность жидкости):

В идеальной жидкости силы трения отсутствуют. Поэтому приращение энергии (1.6.2) должно равняться работе, совершаемой над выделенным объемом силами давления. Силы давления на боковую поверхность перпендикулярны в каждой точке к направлению перемещения частиц, к которым оно приложены, и работы не совершают. Отлична от нуля лишь работа сил давления, приложенных к сечениям S₁ и S₂:

Приравнивая (1.6.2) и (1.6.3), после упрощения получим:

Сечения S₁ и S₂ были взяты совершенно произвольно. Поэтому полученный результат можно сформулировать следующим образом: в стационарно текущей идеальной жидкости вдоль любой линии тока выполняется условие:

Данное соотношение носит наименование уравнения Бернулли . Несмотря на то, что оно получено в приближении идеальности жидкости, оно достаточно хорошо выполняется для реальных жидкостей, внутреннее трение в которых не слишком велико.

Пусть жидкость течет так, что скорость имеет во всех точках одинаковую величину. Тогда будет выполняться равенство:

откуда следует, что распределение давления в этом случае будет таким же, как и в покоящейся жидкости.

Для жидкости, текущей горизонтально, выполняется:

т.е. давление оказывается меньшим в тех точках, где скорость больше.

1.6.3. Силы внутреннего трения

Всем реальным жидкостям и газам присуща вязкость, или внутреннее трение. Вязкость проявляется в том, что возникшее в жидкости или газе движение после прекращения действия причин, его вызвавших, постепенно прекращается.

Рассмотрим такой опыт. Пусть в жидкость погружены две параллельные друг другу пластины (Рис. 1.6.6), линейные размеры которых значительно превосходят расстояние d между ними.

Рис. 1.6.6. Внутреннее трение в жидкостях

Считаем нижнюю пластину неподвижной, а верхняя приводится в движение относительно нижней с некоторой скоростью v₀. Опыт показывает, что для перемещения верхней пластины с постоянной скоростью v₀ необходимо действовать на нее с вполне определенной постоянной силой . Поскольку пластина не получает ускорения, то действие этой силы уравновешивается равное по величине, но противоположно направленной силой .

Из опыта следует, что выполняется:

где S — площадь пластин, h — коэффициент пропорциональности, зависящий от природы и состояния жидкости, называемы коэффициентом внутреннего трения или коэффициентом вязкости.

Нижняя пластина при перемещении верхней пластины также оказывается подверженной действию силы , по величине равной силе . Чтобы нижняя пластина оставалась неподвижной, должно выполняться: . Воздействие пластин друг на друга осуществляется через жидкость, заключенную между пластинами, передаваясь от одного слоя к другому. Если в любом месте зазора провести плоскость, параллельную пластинам, то можно утверждать, что часть жидкости, лежащая над этой плоскостью, действует на часть жидкости, лежащую под плоскостью, с силой . Следовательно, соотношение (1.6.8) определяет не только силу трения, действующую на пластины, но и силу трения между соприкасающимися частями жидкости.

Если исследовать скорость частиц жидкости в разных слоях, то оказывается, что она изменяется в направлении z, перпендикулярном к пластинам, по линейному закону:

Действительно, частицы жидкости, непосредственно соприкасающиеся с пластинами, как бы прилипают к ним и движутся с той же скоростью, что и пластины. Из (1.6.9) следует:

Подставляя (1.6.10) в (1.6.8), имеем:

Следовательно, сила трения пропорциональна градиенту скорости.

Единицей вязкости в СИ является такая вязкость, при которой градиент скорости, равный 1 м/с на 1 м, приводит к возникновению силы внутреннего трения в 1 Н на 1 м&sup2 поверхности касания слоев (1 Н·с/м&sup2). В СГС единицей вязкости служит 1 пуаз (пз), равный такая вязкость, при которой градиент скорости, равный 1 см/с на 1 см, приводит к возникновению силы внутреннего трения в 1 дин на 1 см&sup2 поверхности касания слоев. 1 Н·с/м&sup2 = 10 пз.

Коэффициент вязкости зависит от температуры, причем у жидкостей вязкость сильно уменьшается с температурой, у газов, напротив, коэффициент вязкости с температурой возрастает. Такое различие указывает на различие механизма внутреннего трения в жидкостях и газах. При повышении температуры сильно возрастает подвижность молекул в жидкости, что и влечет уменьшение ее вязкости.

© ФГОУ ВПО Красноярский государственный аграрный университет, 2013

Уравнение неразрывности для трубки тока

webkonspect.com — сайт, с элементами социальной сети, создан в помощь студентам в их непростой учебной жизни.

Здесь вы сможете создать свой конспект который поможет вам в учёбе.

Чем может быть полезен webkonspect.com:

• простота создания и редактирования конспекта (200 вопросов в 3 клика).
• просмотр конспекта без выхода в интернет.
• удобный текстовый редактор позволит Вам форматировать текст, рисовать таблицы, вставлять математические формулы и фотографии.
• конструирование одного конспекта совместно с другом, одногрупником.
• webkonspect.com — надёжное место для хранения небольших файлов.

Течение. Линии тока. Трубка тока. Стационарное движение. Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости. Уравнение Бернулли.

Движение жидкости называют течением, а совокупность частиц движущейся жидкости потоком.

Графически движение жидкостей изображается с помощью линий тока. Линии, в каждой точке которых касательная совпадает с вектором скорости частиц жидкости, называются линиями тока. Линии тока проводятся так, чтобы густота их была больше там, где больше скорость течения жидкости, и меньше там, где жидкость течет медленнее.

Таким образом, по картине линий тока можно судить о направлении и модуле скорости в разных точках пространства, т. е. можно определить состояние движения жидкостей.

Трубка тока – часть жидкости, ограниченная линиями тока.

Стационарное (установившееся) движение – движение жидкости, когда форма и расположение линий тока, а также значения скоростей в каждой её точке со временем не изменяются.

Несжимаемая жидкость – жидкость, плотность которой сохраняется при изменении давления.

Произведение скорости течения несжимаемой жидкости на поперечное сечение трубки есть величина постоянная для данной трубки тока. Это уравнение неразрывностидля несжимаемой жидкости.

Уравнение Бернулли – выражение закона сохранения энергии применительно к установившемуся течению идеальной жидкости. Оно хорошо выполняется и для реальных жидкостей, внутреннее трение которых не очень велико.

Величина p в формуле называется статическим давлением, величина ρv 2 /2 – динамическим давлением, — гидростатическое давление.

Для горизонтальной трубки тока (h1=h2) выражение принимает вид:

Манометр – прибор для измерения давления.

Вязкость жидкости. Кинематическая и динамическая вязкость. Ламинарное и турбулентное течение. Число Рейнольдса.

Вязкость – свойство реальных жидкостей оказывать сопротивление перемещению одного слоя жидкости относительно другого.

Где коэффициент пропорциональности η («эта»), зависящий от природы жидкости, называется динамической вязкостью. Динамическую вязкость (η) обычно выражают в пуазах (пз).

Градиент скорости — физическая величина, которая показывает, как быстро изменяется скорость вдоль рассматриваемого направления.

Кинематическая вязкость жидкости:

— плотность жидкости.

Кинематическую вязкость обычно выражают в стоксах (ст).

Жидкость может течь по трубам по-разному. Различают ламинарное и турбулентное течение.

Ламинарное, когда каждый слой жидкости движется параллельно друг другу и они не смешиваются.

Турбулентное течение – движение потока, в результате которого происходит интенсивное вихреобразование и перемешивание слоёв.

Характер течения зависит от безразмерной величины, называемой числом Рейнольдса:

v – средняя скорость, d –диаметр трубы, — кинематическая вязкость

При малых значениях числа Рейнольдса (менее 1000) наблюдается ламинарное течение. От 1000 до 2000 – турбулентное.

Термодинамический метод исследования. Термодинамическая система. Термодинамические параметры. Термодинамический процесс. Термодинамическое равновесие. Температура.

Термодинамический метод исследования оперирует законами превращения энергии и величинами, характеризующими системы в целом (объём, давление, температура).

Термодинамическая система – совокупность макротел, которые обмениваются друг с другом энергией. Если она не обменивается энергией с внешними телами, то такая система называется замкнутой.

Каждая термодинамическая система характеризуется рядом параметров: давлением, объёмом, температурой.

Термодинамический процесс — это совокупность изменений состояний термодинамической системы при её переходе из одного состояния в другое.

Термодинамическое равновесие — состояние системы, при котором остаются неизменными по времени макроскопические величины этой системы (температура, давление, объём, энтропия) в условиях изолированности от окружающей среды.

Температура – физическая величина, характеризующая состояние термодинамического равновесия системы и определяющая направление обмена энергией между телами.

Последнее изменение этой страницы: 2017-03-14; Просмотров: 936; Нарушение авторского права страницы