Уравнение неразрывности сплошности потока жидкости

Уравнение неразрывности и уравнение Бернулли.

Уравнение неразрывности потока и уравнения Бернулли являются основными уравнениями гидродинамики. При изучении потоков жидкости вводится ряд понятий, характеризующий потоки с гидравлической и геометрической точек зрения.

Такими понятиями являются: площадь живого сечения потока(или живое сечение потока), расход и средняя скорость.

Площадью живого сечения потока, называют площадь сечения потока, приведенную нормально к направлению линии тока, т.е. перпендикулярно движению струйки жидкости. Живое сечение может быть ограничено твердыми стенками полностью или частично. Если стенки ограничивают поток полностью, то движение жидкости называют напорным; Если же ограничение частичное, то движение называется безнапорным.

Напорное движение характеризуется тем, что гидродинамическое давление в любой точке потока отлично от атмосферного и может быть как больше, так и меньше него. Безнапорное движение характеризуется постоянным давлением на свободной поверхности, обычно равным атмосферному.

Содержание статьи

Расходом потока называется количество жидкости, протекающей через поперечное сечение в единицу времени. Если рассматривать поток жидкости, представляющий собой совокупность большого числа элементарных струек, то очевидно, общий расход жидкости для всего потока в целом представляет собой сумму расходов всех отдельных струек.

Для нахождения этой суммы необходимо знать закон распределения скоростей в сечении потока. Так как во многих случаях движения такой закон неизвестен, в общем случае суммирование становится невозможным. Поэтому в гидродинамике вводится предположение, что все частицы жидкости по всему поперечному сечению потока движутся с одинаковой скоростью. Эту воображаемую фиктивную скорость называют средней скоростью потока υ_ср .

Таким образом уравнение расхода для потока будет

υ_ср – средняя скорость потока

F – площадь сечения потока.

Уравнение неразрывности потока жидкости

Теперь вооружившись основными понятиями перейдем к определению уравнения неразрывности потока.

Отделим сечениями 1-1 и 2-2 некоторый отрезок элементарной струйки. В этот отрезок в единицу времени через сечение 1-1 втекает объем жидкости равный

а через сечение 2-2 из него же вытекает объем, равный

Примем, что жидкость несжимаема и что в ней невозможно образование незаполненных жидкостью пространств – т.е. будем считать, что соблюдается условие сплошности или неразрывности движения.

Учитывая, что форма элементарной струйки с течением времени не изменяется и поперечный приток в струйку или отток из ней отсутствуют, приходим к выводу, что элементарные расходы жидкости, проходящие через сечение 1-1 и 2-2, должны быть одинаковы.

Такие соотношения можно составить для любых двух сечений струйки. Поэтому в более общем виде получаем, что всюду вдоль струйки

Это уравнение называется уравнением неразрывности жидкости – оно является первым основным уравнением гидродинамики. Переходя далее к потоку жидкости в целом получаем, что

т.е. средние скорости в поперечных сечениях потока при неразрывности движения обратно пропорциональны площади этих сечений.

Уравнение неразрывности струи жидкости. Уравнение Бернулли.

Вторым основным уравнением гидродинамики является уравнение Бернулли, устанавливающее взаимосвязь между скоростью и давлением в различных сечениях одной и той же струйки.

При рассмотрении уравнения Бернулли также как и в предыдущем случае ограничимся установившемся медленно изменяющимся движением. Выделим в объеме некоторой жидкости одну элементарную струйку и ограничим её в какой-то определенный момент времени Т сечениями 1-1 и 2-2.

Допустим, что через какой-то промежуток времени ΔТ указанный объем переместится в положение 1’ – 1’ и 2’ – 2’. Тогда применяя к движению этого сечению теорему кинетической энергии, определяем, что приращение кинетической энергии движущейся системы материальных частиц равняется сумме работ всех сил, действующих на систему.

Если всё это записать в виде формулы, то

где W – приращение кинетической энергии = m * υ 2 / 2

ΣA – сумма работ действующих сил = P *ΔS

В этих выражениях
m – масса
υ – скорость материальной точки
P – равнодействующая всех сил, приложенных к точке,
ΔS – проекция перемещения точки на направление силы.

Теперь рассмотрим обе части этого выражения по порядку.

Приращение кинетической энергии ΔW

В нашем случае приращение кинетической энергии определяется как разность значений кинетической энергии в двух положениях перемещающегося объема, т.е. как разность кинетической энергии объема образованного сечениями 1-1’ и объема, образованного сечениями 2 – 2’.

Эти объемы являются результатом перемещения за время ΔТ сечений выделенного участка элементарной струйки.

Вспоминая, что по условию неразрывности расход во всех сечениях элементарной струйки одинаков, а следовательно будет равен

масса в этом случае получается равной

Подставляя все это в выражение для кинетической энергии получаем цепочку

ΔW = m * υ 2 ₂ / 2 — m * υ 2 ₁ / 2 = ρ * q * ΔТ * υ 2 ₂ / 2 — ρ * q * ΔТ * υ 2 ₁ / 2

Работа сил действующих на систему ΣA

Теперь перейдем к рассмотрению работы сил, действующих на рассматриваемый объем жидкости. Работа сил тяжести A_Т равна произведению этой силы на путь, пройденный центром массы движущегося объема жидкости по вертикали.

Для рассматриваемой в нашем примере струйки работа сил тяжести будет равна произведению сил тяжести объема занимаемого сечениями 1-1’ и 2 – 2’ на расстояние Z1 –Z2.

Где Z1 и Z2 – расстояния по вертикали от горизонтальной плоскости, называемой плоскостью сравнения до центров масс объемов 1-1’ и 2 – 2’.

Силы давления А_Д , действующие на объем жидкости складываются из сил давления на его боковую поверхность и на концевые поперечные сечения. Работа сил давления на боковую поверхность равна нулю, так как эти силы за все время движения нормальны к перемещению их точек приложения.

Суммарно работа сил давления будет

Подставляя в начальное уравнение

Полученные выражения для ΔW и ΣA получаем

Разделим обе части этого уравнения на m = ρ*q*ΔТ и перегруппируем слагаемые

Учитывая, что сечения 1-1 и 2-2 взяты нами совершенно произвольным образом, это уравнение возможно распространить на всю струйку. Применив его для любых поперечных сечений, взятых по её длине, и представить в общем виде:

Записанные выше два уравнения представляют собой уравнение Бернулли для элементарной струйки жидкости. Сумма трех слагаемых, входящих в это уравнение, называется удельной энергией жидкости в данном сечении струйки. Различают такие энергии как:
Удельная энергия положения = qz
Удельная энергия давления = p/ ρ
Кинетическая удельная энергия = υ 2 / 2

В соответствии с этим уравнение Бернулли для струйки жидкости можно сформулировать следующим образом: для элементарной струйки идеальной жидкости полная удельная энергия, т.е. сумма удельной энергии положения, удельной энергии давления и кинетической удельной энергии – есть величина постоянная во всех сечениях струйки.

Видео по теме уравнение неразрывности

Полученные в результате многочисленных экспериментов данные из уравнения Бернулли и уравнения неразрывности потока жидкости нашли широкое применение в повседневной жизни.

Уравнение Бернулли широко используется для нахождения скорости истечения жидкости через отверстия.

Уравнение неразрывности обладает широкой универсальностью и справедливо для любой сплошной среды. Принцип уравнения неразрывности используется для формирования сильной и дальнобойной струи воды при тушении пожаров.

Гидродинамика. Уравнение неразрывности движения жидкости.

Уравнение неразрывности потока демонстрирует закон сохранения массы: количество втекающей и вытекающей жидкости неизменно.

Проанализируем сечение 1 с площадью и скоростью движения частиц жидкости обозначим и₁. Элементарный расход для него представлен соотношением:

Далее проанализируем сечение 2 в этой же струйке с площадью сечения и скоростью обозначим и₂. Элементарный расход для него представлен соотношением:

Но согласно характерной особенности элементарной струйки притока и оттока жидкости через ее боковую поверхность не существует; на промежутке 1 — 2, которому свойственны постоянные размеры, отсутствуют пустоты и отсутствуют переуплотнения количества жидкости, протекающей в единицу времени сквозь сечения 1 и 2,будут одинаковыми, тогда:

Уравнение неразрывности для элементарной струйки — элементарный расход жидкости при установившемся движении величина одинаковая для всей элементарной струйки.

Проанализируем трубу с переменным живым сечением. Расход жидкости через трубу для всякого ее сечении постоянен, т.е. Q₁=Q₂= const, делаем вывод:

Значит, когда течение в трубе сплошное и неразрывное, то уравнение неразрывности станет:

Найдем отсюда скорость для выходного сечения:

Обратим внимание, что скорость возрастает обратно пропорционально площади живого сечения потока. Указанная обратная зависимость между скоростью и площадью выступает важным следствием уравнения неразрывности и нашла широкое применение. Так, к примеру, эта особенность используется пожарными при тушении пожара для формирования сильной и дальнобойной струи.

Что произойдет со скорость потока при сужении, когда диаметр напорной трубы d сузиться в два раза?

Площадь живого сечения трубы вычисляем на основе формулы w = πd 2 / 4. В этом случае соотношение площадей в формуле u₂ = u₁ w₁ / w₂ равняться 4.

Следовательно, в ситуации, когда диаметр трубы сужается в два раза — скорость потока возрастет в четыре раза. По аналогии, когда диаметр сузится в три раза — скорость увеличиться в девять раз.

Для круглого трубопровода и несжимаемой жидкости объемный расход

рассчитывается по уравнению:

Сплошной (неразрывный) поток жидкости – поток, в котором отсутствуют пустоты, движение происходит с непрерывным распространением массы; масса жидкости, проходящая через любое сечение, согласно закону сохранения массы, есть величина постоянная.

Уравнение неразрывности (сплошности) потока в дифференциальной форме:

– дифференциальное уравнение неразрывности потока для неустановившегося движения сжимаемой жидкости;

– дифференциальное уравнение неразрывности потока для установившегося движения сжимаемой жидкости;

=

– дифференциальное уравнение неразрывности потока для установившегося движения несжимаемой жидкости,

– изменение скоростей вдоль осей координат x,y,z.

Уравнение неразрывности потока в интегральной форме – уравнение постоянства расхода:

Скорости капельной жидкости в различных поперечных сечениях трубопровода обратно пропорциональны площадям этих сечений:

.

Гидравлический радиус– отношение площади S сечения потока к смоченному периметру П, характеризует каналы некруглого сечения:

Эквивалентный диаметр – геометрическая характеристика канала некруглого сечения, равен отношению учетверенной площади живого сечения, через которое протекает жидкость, к смоченному периметру:

Движение жидкости – перемещение жидкости по трубопроводам, аппаратам, каналам и т.д. Различают установившееся и неустановившееся, свободное и вынужденное, напорное и безнапорное движения. При установившемся движении поля давлений и скоростей не изменяются во времени, а при неустановившемся – изменяются. Свободное движение возникает за счет разности плотностей в различных точках объема жидкости. Вынужденное движение создается внешними силами, создаваемыми насосами, мешалками, центрифугами и др. При напорном течении жидкость заполняет все сечение трубопровода, при безнапорном – только часть сечения заполнена жидкостью, имеется свободная поверхность. Различают ламинарный и турбулентный режимы движения жидкостей.

Критерий Рейнольдса — единый безразмерный комплекс, по численному значению которого можно судить о режимах течения жидкости, является мерой соотношения между силами инерции и силами вязкости. Переход от ламинарного режима к турбулентному осуществляется тем легче, чем больше массовая скорость жидкости ρw, чем больше диаметр трубы и чем меньше вязкость жидкости:

Ламинарный режим движения– все частицы жидкости перемещаются равномерно по параллельным траекториям. Наблюдается при значениях критерия Рейнольдса меньше критического Re_кр (Re Re_кр =2320) в прямых и гладких трубах постоянного сечения. В интервале значений 2320 2 /g2 напоров (высот) есть величина постоянная, равная суммарному (полному) гидродинамическому напору; данное уравнение выражает закон сохранения энергии – для движущейся среды любого сечения потока при установившемся движении идеальной жидкости сумма удельной (отнесенной к 1Н жидкости) потенциальной

энергий есть величина постоянная:

или для двух поперечных сечений потока

Дифференциальные уравнения движения реальной жидкости Навье – Стокса – выражают связь между массовыми, поверхностными, инерционными и вязкостными силами в потоке, характеризуют закон сохранения энергии при движении вязкой жидкости:

где ∇ 2 w_x, ∇ 2 w_y ∇ 2 w_z – операторы Лапласа, представляют собой суммы вторых производных по осям координат. Согласно второй теореме подобия решение уравнений Навье – Стокса можно представить в виде обобщенного критериального уравнения гидродинамики:

для установившегося движения реальной жидкости

где Eu – критерий Эйлера, определяемый критерий; Re, Fr, Ho — критерии Рейнольдса, Фруда, гомохронности, являются определяющими критериями; Г – симплекс геометрического подобия.

В виде степенной зависимости критериальное уравнение принимает вид:

где A, m, n, p, q – постоянные, определяемые опытным путем для группы подобных явлений.

Основные критерии гидродинамического подобия представлены в табл. 2.

1. Какие процессы называются тепловыми?

2. Дайте определение движущей силы тепловых процессов.

3. Сформулируйте определения температурного поля, изотермической поверхности и температурного градиента.

4. Какими способами осуществляется перенос тепла в теплообменных процессах?

5. Запишите закон теплопроводности Фурье. Сформулируйте физический смысл и укажите размерность коэффициента теплопроводности.

6. В каких единицах измеряется коэффициент температуропроводности?

7. Запишите уравнения теплопроводности плоской и цилиндрической стенок.

8. Сформулируйте законы теплового излучения.

9. Что называется процессом теплоотдачи? От каких факторов зависит коэффициент теплоотдачи, в каких единицах измеряется?

10. Назовите основные критерии теплового подобия и сформулируйте их физический смысл.

11. Каким образом определяется коэффициент теплоотдачи в случае пленочной конденсации?

12. Что такое теплопередача? Укажите физический смысл, размерность коэффициента теплопередачи.

13. Каким образом определяется средняя движущая сила процесса теплопередачи при различных взаимных направлениях теплоносителей?

14. Что является целью расчета теплообменного аппарата?

15. Дайте классификацию теплообменных аппаратов.

16. Назовите основные греющие агенты в зависимости от температуры нагреваемой среды.

17. Каким образом осуществляется умеренное и глубокое охлаждение?

18. Какие типы конденсаторов различают по способу охлаждения?

19. Что такое выпаривание?

20. Дайте классификацию выпарных установок.

21. Перечислите основные типы выпарных аппаратов.

22. Запишите тепловой и материальный балансы однокорпусного выпаривания.

23. Сформулируйте понятия первичного и вторичного паров.

24. Что такое температурные потери и полезная разность температур?

25. Каким образом рассчитывается температура кипения раствора?