Уравнение неразрывности струи физический смысл

Уравнение неразрывности и уравнение Бернулли.

Уравнение неразрывности потока и уравнения Бернулли являются основными уравнениями гидродинамики. При изучении потоков жидкости вводится ряд понятий, характеризующий потоки с гидравлической и геометрической точек зрения.

Такими понятиями являются: площадь живого сечения потока(или живое сечение потока), расход и средняя скорость.

Площадью живого сечения потока, называют площадь сечения потока, приведенную нормально к направлению линии тока, т.е. перпендикулярно движению струйки жидкости. Живое сечение может быть ограничено твердыми стенками полностью или частично. Если стенки ограничивают поток полностью, то движение жидкости называют напорным; Если же ограничение частичное, то движение называется безнапорным.

Напорное движение характеризуется тем, что гидродинамическое давление в любой точке потока отлично от атмосферного и может быть как больше, так и меньше него. Безнапорное движение характеризуется постоянным давлением на свободной поверхности, обычно равным атмосферному.

Содержание статьи

Расходом потока называется количество жидкости, протекающей через поперечное сечение в единицу времени. Если рассматривать поток жидкости, представляющий собой совокупность большого числа элементарных струек, то очевидно, общий расход жидкости для всего потока в целом представляет собой сумму расходов всех отдельных струек.

Для нахождения этой суммы необходимо знать закон распределения скоростей в сечении потока. Так как во многих случаях движения такой закон неизвестен, в общем случае суммирование становится невозможным. Поэтому в гидродинамике вводится предположение, что все частицы жидкости по всему поперечному сечению потока движутся с одинаковой скоростью. Эту воображаемую фиктивную скорость называют средней скоростью потока υ_ср .

Таким образом уравнение расхода для потока будет

υ_ср – средняя скорость потока

F – площадь сечения потока.

Уравнение неразрывности потока жидкости

Теперь вооружившись основными понятиями перейдем к определению уравнения неразрывности потока.

Отделим сечениями 1-1 и 2-2 некоторый отрезок элементарной струйки. В этот отрезок в единицу времени через сечение 1-1 втекает объем жидкости равный

а через сечение 2-2 из него же вытекает объем, равный

Примем, что жидкость несжимаема и что в ней невозможно образование незаполненных жидкостью пространств – т.е. будем считать, что соблюдается условие сплошности или неразрывности движения.

Учитывая, что форма элементарной струйки с течением времени не изменяется и поперечный приток в струйку или отток из ней отсутствуют, приходим к выводу, что элементарные расходы жидкости, проходящие через сечение 1-1 и 2-2, должны быть одинаковы.

Такие соотношения можно составить для любых двух сечений струйки. Поэтому в более общем виде получаем, что всюду вдоль струйки

Это уравнение называется уравнением неразрывности жидкости – оно является первым основным уравнением гидродинамики. Переходя далее к потоку жидкости в целом получаем, что

т.е. средние скорости в поперечных сечениях потока при неразрывности движения обратно пропорциональны площади этих сечений.

Уравнение неразрывности струи жидкости. Уравнение Бернулли.

Вторым основным уравнением гидродинамики является уравнение Бернулли, устанавливающее взаимосвязь между скоростью и давлением в различных сечениях одной и той же струйки.

При рассмотрении уравнения Бернулли также как и в предыдущем случае ограничимся установившемся медленно изменяющимся движением. Выделим в объеме некоторой жидкости одну элементарную струйку и ограничим её в какой-то определенный момент времени Т сечениями 1-1 и 2-2.

Допустим, что через какой-то промежуток времени ΔТ указанный объем переместится в положение 1’ – 1’ и 2’ – 2’. Тогда применяя к движению этого сечению теорему кинетической энергии, определяем, что приращение кинетической энергии движущейся системы материальных частиц равняется сумме работ всех сил, действующих на систему.

Если всё это записать в виде формулы, то

где W – приращение кинетической энергии = m * υ 2 / 2

ΣA – сумма работ действующих сил = P *ΔS

В этих выражениях
m – масса
υ – скорость материальной точки
P – равнодействующая всех сил, приложенных к точке,
ΔS – проекция перемещения точки на направление силы.

Теперь рассмотрим обе части этого выражения по порядку.

Приращение кинетической энергии ΔW

В нашем случае приращение кинетической энергии определяется как разность значений кинетической энергии в двух положениях перемещающегося объема, т.е. как разность кинетической энергии объема образованного сечениями 1-1’ и объема, образованного сечениями 2 – 2’.

Эти объемы являются результатом перемещения за время ΔТ сечений выделенного участка элементарной струйки.

Вспоминая, что по условию неразрывности расход во всех сечениях элементарной струйки одинаков, а следовательно будет равен

масса в этом случае получается равной

Подставляя все это в выражение для кинетической энергии получаем цепочку

ΔW = m * υ 2 ₂ / 2 — m * υ 2 ₁ / 2 = ρ * q * ΔТ * υ 2 ₂ / 2 — ρ * q * ΔТ * υ 2 ₁ / 2

Работа сил действующих на систему ΣA

Теперь перейдем к рассмотрению работы сил, действующих на рассматриваемый объем жидкости. Работа сил тяжести A_Т равна произведению этой силы на путь, пройденный центром массы движущегося объема жидкости по вертикали.

Для рассматриваемой в нашем примере струйки работа сил тяжести будет равна произведению сил тяжести объема занимаемого сечениями 1-1’ и 2 – 2’ на расстояние Z1 –Z2.

Где Z1 и Z2 – расстояния по вертикали от горизонтальной плоскости, называемой плоскостью сравнения до центров масс объемов 1-1’ и 2 – 2’.

Силы давления А_Д , действующие на объем жидкости складываются из сил давления на его боковую поверхность и на концевые поперечные сечения. Работа сил давления на боковую поверхность равна нулю, так как эти силы за все время движения нормальны к перемещению их точек приложения.

Суммарно работа сил давления будет

Подставляя в начальное уравнение

Полученные выражения для ΔW и ΣA получаем

Разделим обе части этого уравнения на m = ρ*q*ΔТ и перегруппируем слагаемые

Учитывая, что сечения 1-1 и 2-2 взяты нами совершенно произвольным образом, это уравнение возможно распространить на всю струйку. Применив его для любых поперечных сечений, взятых по её длине, и представить в общем виде:

Записанные выше два уравнения представляют собой уравнение Бернулли для элементарной струйки жидкости. Сумма трех слагаемых, входящих в это уравнение, называется удельной энергией жидкости в данном сечении струйки. Различают такие энергии как:
Удельная энергия положения = qz
Удельная энергия давления = p/ ρ
Кинетическая удельная энергия = υ 2 / 2

В соответствии с этим уравнение Бернулли для струйки жидкости можно сформулировать следующим образом: для элементарной струйки идеальной жидкости полная удельная энергия, т.е. сумма удельной энергии положения, удельной энергии давления и кинетической удельной энергии – есть величина постоянная во всех сечениях струйки.

Видео по теме уравнение неразрывности

Полученные в результате многочисленных экспериментов данные из уравнения Бернулли и уравнения неразрывности потока жидкости нашли широкое применение в повседневной жизни.

Уравнение Бернулли широко используется для нахождения скорости истечения жидкости через отверстия.

Уравнение неразрывности обладает широкой универсальностью и справедливо для любой сплошной среды. Принцип уравнения неразрывности используется для формирования сильной и дальнобойной струи воды при тушении пожаров.

Кратко о гидродинамике: уравнения движения

Написав предыдущий пост, исторический и отчасти рекламный (хотя потенциальные абитуриенты такое вряд ли читают), можно перейти и к разговору «по существу». К сожалению, высокой степени популярности описания добиться вряд ли получится, но всё же постараюсь не устраивать курс сухих лекций. Хотя, от сухости избавиться не удалось, да и пост писался в результате ровно месяц.

В нынешней публикации описаны основные уравнения движения идеальной и вязкой жидкости. По возможности кратко рассмотрен их вывод и физический смысл, а также описаны несколько простейших примеров их точных решений. Увы, этими несколькими примерами доступные аналитически решения уравнений Навье-Стокса в значительной мере исчерпываются. Напомню, что Институт Клэя отнёс доказательство существования и гладкости решений к проблемам тысячелетия. Гении уровня Перельмана и выше — задача вас ждёт.

Понятие сплошной среды

В, если можно так выразиться, «традиционной» гидродинамике, сложившейся исторически, фундаментом является модель сплошной среды. Она отвлекается от молекулярной структуры вещества, и описывает среду несколькими непрерывными полевыми величинами: плотностью, скоростью (определяемой через суммарный импульс молекул в заданном элементе объёма) и давлением. Модель сплошной среды предполагает, что в любом бесконечно малом объёме содержится ещё достаточно много частиц (как принято говорить, термодинамически много — числа, близкие по порядку величины к числу Авогадро — 10 23 шт.). Таким образом, модель ограничена снизу дискретностью молекулярной структуры жидкости, что в задачах типичных пространственных масштабов совершенно несущественно.

Однако, такой подход позволяет описать не только воду в пробирке или водоёме, и оказывается куда более универсальным. Поскольку наша Вселенная на больших масштабах практически однородна, то, как ни странно, она начиная с некоторого масштаба превосходно описывается как сплошная среда, с учётом, конечно же, самогравитации.

Другими, более приземлёнными применениями сплошной среды являются описание свойств упругих тел, динамики плазмы, сыпучих тел. Также можно описывать топлу людей как сжимаемую жидкость.

Параллельно с приближением сплошной среды, в последние годы набирает обороты кинетическая модель, основанная на дискретизации среды на небольшие частицы, взаимодействующие между собой (в простейшем случае — как твердые шарики, отталкивающиеся при столкновении). Такой подход возник в первую очередь благодаря развитию вычислительной техники, однако существенно новых результатов в чистую гидродинамику не превнёс, хотя оказался крайне полезен для задач физики плазмы, которая на микроуровне не является однородной, а содержит электроны и положительно заряженные ионы. Ну и опять же для моделирования Вселенной.

Уравнение неразрывности. Закон сохранения массы

Самый элементарный закон. Пусть у нас есть какой-то совершенно произвольный, но макроскопический объём жидкости V, ограниченный поверхностью F (см. рис.). Масса жидкости внутри него определяется интегралом:

И пусть с жидкостью внутри него не происходит ничего, кроме движения. То есть, там нет химических реакций и фазовых переходов, нет трубок с насосами или чёрных дыр. Ну и всё происходит с маленькими скоростями и для малых масс вещества, потому никакой теории относительности, искривления пространства, самогравитации жидкости (она становится существенна на звёздных масштабах). И пусть сам объём и границы еего неподвижны. Тогда единственное, что может изменить массу жидкости в нашем объёме — это её перетекание через границу объёма (для определённости — пусть масса в объёме убывает):

где вектор j — поток вещества через границу. Точкой, напомним, обозначается скалярное произведение. Поскольку границы объёма, как было сказано, неподвижны, то производную по времени можно внести под интеграл. А правую часть можно преобразовать к такому же, как слева, интегралу по объёму по теореме Гаусса-Остроградского.

В итоге, в обеих частях равенства получается интеграл по одному и тому же совершенно произвольному объёму, что позволяет приравнять подинтегральные выражения и перейти к дифференциальной форме уравнения:

Здесь (и далее) использован векторный оператор Гамильтона. Образно говоря, это условный вектор, компоненты которого — операторы дифференцирования по соответствующим координатам. С его помощью можно очень кратко обозначать разного рода операции над скалярами, векторами, тензорами высших рангов и прочей математической нечистью, основные среди которых — градиент, дивергенция и ротор. Не буду останавливаться на них детально, поскольку это отвлекает от основной темы.

Наконец, поток вещества равен массе, переносимой через единичную площадку за единицу времени:

Окончательно, закон сохранения массы (называемый также уравнением неразрывности) для сплошной среды таков:

Это выражение наиболее общее, для среды, обладающей переменной плотностью. В реальности, эксперимент свидетельствует о крайне слабой сжимаемости жидкости и практически постоянном значении плотности, что с высокой точностью позволяет применять закон сохранения массы в виде условия несжимаемости:

которое с не менее хорошей точностью работает и для газов, пока скорость течения мала по сравнению со звуковой.

Уравнение Эйлера. Закон сохранения импульса

Весь относительно громоздкий процесс колдовства преобразования интегралов, использованный выше, даёт нам не только уравнение неразрывности. Точно такие же по сути преобразования позволяют выразить законы сохранения импульса и энергии, и получить в итоге уравнения для скорости жидкости и для переноса тепла в ней. Однако пока не будем сильно торопиться, и займёмся не просто сохранением импульса, а даже сохранением импульса в идеальной несжимаемой жидкости — т.е. рассмотрим модель с полным отсутствием вязкости.

Рассуждения практически те же самые, только теперь нас интересует не масса, а полный импульс жидкости в том же самом объёме V. Он равен:

При тех же самых условиях, что и выше, импульс в объёме может меняться за счёт:

• конвективного переноса — т.е. импульс «утекает» вместе со скоростью через границу
• давления окружающих элементов жидкости
• просто за счёт внешних сил, например — от силы тяжести.

Соответствующие интегралы (порядок отвечает списку) дают такое соотношение:

Начнём их преобразовывать. Правда, для этого нужно воспользоваться тензорным анализом и правилами работы с индексами. Конкретнее, к первому и второму интегралам применяется теорема Гаусса-Остроградского в обобщённой форме (она работает не только для векторных полей). И если перейти к дифференциальной форме уравнения, то получится следующее:

Крестик в кружочке обозначает тензорное произведение, в данном случае — векторов.

В принципе, это уже уравнение Эйлера, однако его можно чуток упростить — ведь закон сохранения массы никто не отменял. Раскрыв здесь скобки в дифференциальных операторах и приведя затем подобные слагаемые, мы увидим, что три слагаемых благополучно собираются в уравнение неразрывности, и потому дают в сумме ноль. Итоговое уравнение оказывается таким:

Если перейти в систему отсчёта, связанную с движущейся жидкостью (не будем заострять внимание на том, как это делается), мы увидим, что уравнение Эйлера выражает второй закон Ньютона для единицы объёма среды.

Учёт вязкости. Уравнение Навье-Стокса

Идеальная жидкость, это, конечно, хорошо (правда, всё равно точно не решается), но во многих случаях учёт вязкости необходим. Даже в той же конвекции, в течении жидкости по трубам. Без вязкости вода вытекала бы из наших кранов с космическими скоростями, а малейшая неоднородность температуры в воде приводила бы к её крайне быстрому и бурному перемешиванию. Потому давайте учтём сопротивление жидкости самой себе.

Дополнить уравнение Эйлера можно различными (но эквивалентными, конечно же) путями. Воспользуемся базовой техникой тензорного анализа — индексной формой записи уравнения. И пока также отбросим внешние силы, чтобы не путались под руками / под ногами / перед глазами (нужное подчеркнуть). При таком раскладе всё, кроме производной по времени, можно собрать в виде дивергенции одного такого тензора:

По смыслу, это плотность потока импульса в жидкости. К нему и нужно добавить вязкие силы в виде ещё одного тензорного слагаемого. Поскольку они явно приводят к потере энергии (и импульса), то они должны вычитаться:

Идя обратно в уравнение с таким тензором, мы получим обобщённое уравнение движения вязкой жидкости:

Оно допускает любой закон для вязкости.

Принято считать очевидным, что сопротивление зависит от скорости движения. Вязкость же, как перенос импульса между участками жидкости с различными скоростями, зависит от градиента скорости (но не от самой скорости — тому мешает принцип относительности). Если ограничиться разложением этой зависимости до линейных слагаемых, получится вот такой жутковатый объект:

в котором величина перед производной содержит 81 коэффициент. Однако, используя ряд совершенно разумных предположений об однородности и изотропности жидкости, от 81 коэффициента можно перейти всего к двум, и в общем случае для сжимаемой среды, тензор вязких напряжений равен:

где η (эта) — сдвиговая вязкость, а ζ (зета или дзета) — объёмная вязкость. Если же среда ещё и несжимаема, то достаточно одного коэффициента сдвиговой вязкости, т.к. второе слагаемое при этом уходит. Такой закон вязкости

носит название закона Навье, а полученное при его подстановке уравнение движения — это уравнение Навье-Стокса:

Точные решения

Главной проблемой гидродинамики является отсутствие точных решений её уравнений. Как бы с этим ни боролись, но получить действительно всеобщих результатов не удаётся до сих пор, и, напомню, вопрос существования и гладкости решений уравнений Навье-Стокса входит в список Проблем тысячелетия института Клэя.

Однако, несмотря на столь грустные факты, некоторые результаты есть. Здесь будут представлены далеко не все, а лишь самые простые случаи.

Потенциальные течения

Особый интерес представляют течения, в которых жидкость не завихряется. Для такой ситуации можно отказаться от рассмотрения векторного поля скорости, поскольку она выражается через градиент скалярной функции — потенциала. Потенциал же удовлетворяет хорошо изученному уравнению Лапласа, решение которого полностью определяется тем, что задано на границах рассматриваемой области:

Более того, при отсутствии вязкости из уравнения Эйлера можно однозначно выразить и давление, что вовсе замечательно и приводит нас к полному решению задачи. Ах, если бы так было всегда… то гидродинамики, наверное, уже бы и не было как современной и актуальной отрасли.

Дополнительно можно упростить задачу предположением, что течение жидкости двумерно — скажем, всё движется в плоскости (x,y), и ни одна частица не перемещается вдоль оси z. Можно показать, что в таком случае скорость может быть также заменена скалярной функцией (на этот раз — функцией тока):

которая при потенциальном течении удовлетворяет условиям Коши-Лагранжа из теории функций комплексной переменной и воспользоваться соответствующим математическим аппаратом. Полностью совпадающим с аппаратом электростатики. Теория потенциальных течений развита на высоком уровне, и в принципе хорошо описывает большой спектр задач.

Простые течения вязкой жидкости

Решения для вязкой жидкости чаще всего удаётся получить, когда из уравнения Навье-Стокса благодаря свойствам симметрии задачи выпадает нелинейное слагаемое.

Сдвиговое течение Куэтта

Самая элементарная задачка. Канал с неподвижной нижней и подвижной верхней стенкой, которая движется равномерно с некоторой скоростью. На границах жидкость прилипает к ним, так что скорость жидкости равна скорости границы. Этот результат является экспериментальным фактом, и как-то даже авторы первых экспериментов не упоминаются, просто — по совокупности экспериментов.

В такой ситуации от уравнения Навье-Стокса останется уравнение вида v» = 0, и потому профиль скорости в канале окажется линейным:

Данная задача является практически базовой для теории смазки, т.к. позволяет непосредственно определить силу, которую требуется приложить к верхней стенке для её движения с конкретной скоростью.

Течение Пуазейля

Вторая по элементарности — ламинарное течение в канале. Или в трубе. Результат оказывается один — профиль скорости является параболическим:

На основе решения Пуазейля можно определить расход жидкости через сечение канала, но, правда, только при ламинарном течении и гладких стенках. С другой стороны, для турбулентного потока и шероховатых стенок точных решений нет, а есть лишь приближённые эмпирические закономерности.

Стекание слоя жидкости по наклонной плоскости

Тут — почти как в задаче Пуазейля, только верхняя граница жидкости будет свободной. Если предположить, что по ней не бегут никакие волны, и вообще сверху нет трения, то профиль скорости будет практически нижней половинкой предыдущего рисунка. Правда, если из полученной зависимости вычислить скорость течения для средней равнинной речки, она составит около 10 км/с, и вода должна самопроизвольно отправляться в космос. Наблюдаемые в природе низкие скорости течения связаны с развитой завихренностью и турбулентностью потока, которые эффективно увеличивают вязкость воды примерно в 1 млн. раз.

В следующем посте планируется рассказать о законе сохранения энергии и соответствующих ему уравнениях переноса тепла при течении жидкости.

Уравнение неразрывности струи физический смысл

Гидродинамика представляет собой раздел механики сплошных сред, в котором изучается движение несжимаемых жидкостей и взаимодействие несжимаемых жидкостей с твердыми телами.

1.6.1. Линии и трубки тока. Неразрывность струи

Состояние движения жидкости можно определить, указав для каждой точки пространства вектор скорости как функцию времени. Совокупность векторов , заданных для всех точек пространства, образует поле векторов скорости. Проведем в движущейся жидкости линии так, чтобы касательная к ним в каждой точке совпадала по направлению с вектором (Рис. 1.6.1). Эти линии называются линиями тока .

Рис. 1.6.1. Линии тока в жидкости

Густота линий (отношение числа линий к единичной площадке) пропорциональна величине скорости в данном месте.

Картина линий тока может непрерывно меняться. Если вектор скорости в каждой точке пространства остается постоянным, то такое движение называется установившимся, или стационарным . Линии тока в этом случае совпадают с траекториями частиц.

Часть жидкости, ограниченная линиями тока, называется трубкой тока . Вектор скорости будет касательным к поверхности трубки тока; следовательно, частицы жидкости при своем движении не пересекают стенок трубки тока.

Возьмем перпендикулярное к направлению скорости сечение трубки тока S (Рис. 1.6.2).

Рис. 1.6.2. Трубка тока

Предположим, что скорость движения частиц жидкости одинакова во всех точках этого сечения. За время dt через сечение S пройдут все частицы, расстояние которых от S в начальный момент времени не превышает значения vdt. Следовательно, за время dt через сечение S пройдет объем жидкости, равный Svdt, а за единицу времени через сечение S пройдет объем жидкости, равный Sv. Возьмем трубку тока, настолько тонкую, что в каждом ее сечении скорость можно считать постоянной. Если жидкость несжимаема (ее плотность одинакова и не изменяется), то количество жидкости между сечениями S₁ и S₂ (Рис.1.6.3) будет оставаться неизменным.

Рис. 1.6.3. К теореме о неразрывности струи

Отсюда следует, что объемы жидкости, протекающие за единицу времени через сечения S₁ и S₂, должны быть одинаковыми (считаем, что через боковую поверхность трубки тока частицы жидкости не проходят):

Данный результат представляет собой содержание теоремы о неразрывности струи . Из соотношения (1.6.1) следует, что при переменном сечении трубки тока частицы несжимаемой жидкости движутся с ускорением. В горизонтальной трубке тока (Рис.1.6.4) это ускорение может быть обусловлено только непостоянством давления вдоль оси трубки — в местах, где скорость меньше, давление должно быть больше, и наоборот.

Рис. 1.6.4. Изменение скорости струи

1.6.2. Уравнение Бернулли

Рассматривая движение жидкостей, во многих случаях можно считать, что перемещение одних частей жидкости относительно других не связано с трением. Жидкость, в которой внутреннее трение (вязкость) полностью отсутствует, называется идеальной.

Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости трубку тока малого сечения (Рис.1.6.5). Рассмотрим малый объем жидкости, ограниченной стенками трубки тока и перпендикулярными сечениями S₁ и S₂. За время Δt этот объем переместится вдоль трубки тока (сечение S₁ переместится в положение S₁‘, пройдя путь Δl₁, сечение S₂ переместится в положение S₂‘, пройдя путь Δl₂). В силу неразрывности струи заштрихованные объемы будут иметь одинаковую величину: ΔV₁ = ΔV₂ =ΔV.

Рис. 1.6.5. К выводу уравнения Бернулли

Энергия каждой частицы жидкости складывается из ее кинетической энергии и потенциальной энергии в поле силы тяжести. Вследствие стационарности течения частица, находящаяся спустя время Δt в любой из точек незаштрихованного объема (например, в точке О), имеет такую же скорость, какую имела частица, находившаяся в той же точке в начальный момент времени. Поэтому приращение энергии ΔЕ можно вычислить как разность энергий заштрихованных объемов ΔV₁ и ΔV₂.

Возьмем сечение трубки тока и отрезки Δl настолько малыми, чтобы всем точкам каждого из заштрихованных объемов можно было приписать одно и то же значение скорости v, давления р и высоты h. Тогда приращение энергии запишется следующим образом (ρ — плотность жидкости):

В идеальной жидкости силы трения отсутствуют. Поэтому приращение энергии (1.6.2) должно равняться работе, совершаемой над выделенным объемом силами давления. Силы давления на боковую поверхность перпендикулярны в каждой точке к направлению перемещения частиц, к которым оно приложены, и работы не совершают. Отлична от нуля лишь работа сил давления, приложенных к сечениям S₁ и S₂:

Приравнивая (1.6.2) и (1.6.3), после упрощения получим:

Сечения S₁ и S₂ были взяты совершенно произвольно. Поэтому полученный результат можно сформулировать следующим образом: в стационарно текущей идеальной жидкости вдоль любой линии тока выполняется условие:

Данное соотношение носит наименование уравнения Бернулли . Несмотря на то, что оно получено в приближении идеальности жидкости, оно достаточно хорошо выполняется для реальных жидкостей, внутреннее трение в которых не слишком велико.

Пусть жидкость течет так, что скорость имеет во всех точках одинаковую величину. Тогда будет выполняться равенство:

откуда следует, что распределение давления в этом случае будет таким же, как и в покоящейся жидкости.

Для жидкости, текущей горизонтально, выполняется:

т.е. давление оказывается меньшим в тех точках, где скорость больше.

1.6.3. Силы внутреннего трения

Всем реальным жидкостям и газам присуща вязкость, или внутреннее трение. Вязкость проявляется в том, что возникшее в жидкости или газе движение после прекращения действия причин, его вызвавших, постепенно прекращается.

Рассмотрим такой опыт. Пусть в жидкость погружены две параллельные друг другу пластины (Рис. 1.6.6), линейные размеры которых значительно превосходят расстояние d между ними.

Рис. 1.6.6. Внутреннее трение в жидкостях

Считаем нижнюю пластину неподвижной, а верхняя приводится в движение относительно нижней с некоторой скоростью v₀. Опыт показывает, что для перемещения верхней пластины с постоянной скоростью v₀ необходимо действовать на нее с вполне определенной постоянной силой . Поскольку пластина не получает ускорения, то действие этой силы уравновешивается равное по величине, но противоположно направленной силой .

Из опыта следует, что выполняется:

где S — площадь пластин, h — коэффициент пропорциональности, зависящий от природы и состояния жидкости, называемы коэффициентом внутреннего трения или коэффициентом вязкости.

Нижняя пластина при перемещении верхней пластины также оказывается подверженной действию силы , по величине равной силе . Чтобы нижняя пластина оставалась неподвижной, должно выполняться: . Воздействие пластин друг на друга осуществляется через жидкость, заключенную между пластинами, передаваясь от одного слоя к другому. Если в любом месте зазора провести плоскость, параллельную пластинам, то можно утверждать, что часть жидкости, лежащая над этой плоскостью, действует на часть жидкости, лежащую под плоскостью, с силой . Следовательно, соотношение (1.6.8) определяет не только силу трения, действующую на пластины, но и силу трения между соприкасающимися частями жидкости.

Если исследовать скорость частиц жидкости в разных слоях, то оказывается, что она изменяется в направлении z, перпендикулярном к пластинам, по линейному закону:

Действительно, частицы жидкости, непосредственно соприкасающиеся с пластинами, как бы прилипают к ним и движутся с той же скоростью, что и пластины. Из (1.6.9) следует:

Подставляя (1.6.10) в (1.6.8), имеем:

Следовательно, сила трения пропорциональна градиенту скорости.

Единицей вязкости в СИ является такая вязкость, при которой градиент скорости, равный 1 м/с на 1 м, приводит к возникновению силы внутреннего трения в 1 Н на 1 м&sup2 поверхности касания слоев (1 Н·с/м&sup2). В СГС единицей вязкости служит 1 пуаз (пз), равный такая вязкость, при которой градиент скорости, равный 1 см/с на 1 см, приводит к возникновению силы внутреннего трения в 1 дин на 1 см&sup2 поверхности касания слоев. 1 Н·с/м&sup2 = 10 пз.

Коэффициент вязкости зависит от температуры, причем у жидкостей вязкость сильно уменьшается с температурой, у газов, напротив, коэффициент вязкости с температурой возрастает. Такое различие указывает на различие механизма внутреннего трения в жидкостях и газах. При повышении температуры сильно возрастает подвижность молекул в жидкости, что и влечет уменьшение ее вязкости.

© ФГОУ ВПО Красноярский государственный аграрный университет, 2013