Уравнение нейтральной линии сопромат формула

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ НЕЙТРАЛЬНОЙ ЛИНИИ

СОДЕРЖАНИЕ

1. Внутренние усилия и напряжения в сечении …….5

2. Определение положения нейтральной линии…….6

3. Расчеты на прочность …………………………….. 7

4. Построения ядра сечения………………………….. 9

5. Пример расчета ……………………………………10

7. Вопросы для самоконтроля ………………… ……18

8. Расчетно-графическая работа « Расчет жесткого бруса на внецентренное сжатие» ……………….18

ВВЕДЕНИЕ

Сложное сопротивление, при котором прямолиней-ный жесткий брус (рис.1) сжат или растянут силой, направленной параллельно его оси и не проходящей через центр тяжести сечения, называется внецентренном сжатием или внецентренном растяжением.

Рис.1. Схема приложения нагрузки

В том случае, когда на брус действуют несколько параллельных сил, то при расчетах будет рассматриваться их равнодействующая.

При внецентренном приложении нагрузки в попереч-ных сечениях элементов возникают продольная сила N и изгибающие моменты относительно осейy и z M_Y и M_Z .

Так как такие элементы конструкций как колонны, мостовые опоры или фундаменты сооружений обычно подвержены действию сжимающих сил, то ограничимся рассмотрением случая внецентренного сжатия.

Проанализируем, какие внутренние усилия и напряжения могут возникать в рассматриваемом нормальном поперечном сечении бруса при внецентренном сжатии.

Внутренние усилия и напряжения в сечении

На рис. 2 показана расчетная схема бруса с прямо-линейной осью х_с , к которому в точке D_F с координатами z_F и y_F приложена сжимающая сила F.

Оси у_с и z_c – главные центральные оси сечения (главные оси инерции). Для определения напряжение в точке В поперечного сечения, площадь которого обозна-чена символом А, необходимо знать величину и знак внутренних усилий, действующих в этом сечении. Внутренние усилия определяются по следующим формулам:

В приведенных формулах знак изгибающего момента определяется по следующему принципу: положительный изгибающий момент должен вызывать растяжение волокон с положительными координатами в выбранной системе отсчета, а отрицательный момент должен вызывать сжатие этих волокон.

Нормальные напряжения в точке В:

(2)

В этой формуле знак внутренних усилий принимается в соответствии с (1), а координаты точки В z_В и y_В вводятся со своими знаками.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ НЕЙТРАЛЬНОЙ ЛИНИИ

Так как нейтральная (нулевая) линия отделяет сжатую зону сечения от растянутой, то нормальные напряжения в точках, лежащих на нейтральной линии равны 0:

(3)

Подставляя в уравнение (3) значения внутренних усилий и квадраты радиусов инерции сечения относительно главных осей вместо осевых моментов инерции, получаем следующее выражение:

(4)

В выражении (4) , – квадраты радиусов инерции сечения относительно главных центральных осей. Так как отношение F/A ¹ 0, то

(5)

Уравнение (5) – уравнение нейтральной линии, которым удобнее пользоваться, приведя его к уравнению в отрезках:

(6)

Здесь a_Z и a_Y – отрезки, отсекаемые нейтральной линией на координатных осях, определяемые по формулам:

, (7)

Для построения нейтральной линии рассчитываются отрезки a_z и a_y, в масштабе откладываются от начала координат и нейтральная линия проводится через концы этих отрезков. Координаты полюса z_F и y_F должны вводится в расчет с учетом правила знаков.

РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ

При внецентренном сжатии нормальные напряжения в сечении изменяются по линейному закону пропорцио-нально расстоянию от нейтральной линии. На рис. 3 пока-зан полюс (точка Б, в которой приложена сжимающая сила F) и положение нейтральной линии сечения.

Наиболее удалены от нейтральной линии точка 1 c координатами z₁ и y₁ и точка 3, координаты которой z₃ и y₃. В этих точках возникают экстремальные напряжения: наибольшие сжимающие в т. 1, а наибольшие растягиваю-щие в т. 3. Величина напряжений в этих точках определя-ется в соответствии с (2):

.

Условия прочности для рассматриваемой схемы: s₁ ≤ R_сж и s₃ ≤ R_раст. Используя уравнение (4), можно записать условия прочности в следующем виде:

(8)

(9)

В эти уравнения координаты полюса и точек, в которых определяются напряжения, подставляются с учетом их знаков.

Условия (8) и (9) позволяют решать следующие три типа задач при внецентренном приложении нагрузки:

А. Проектная задача

Задано значение силы F, расчетные сопротивления материала бруса R_сж и R_раст, координаты полюса и точек сечения, в которых действуют экстремальные напряжения. Требуется рассчитать размеры поперечного сечения. Для выполнения поставленной задачи все геометрические характеристики (А, I_Z, I_Y) выражаются через один параметр – или высоту, или ширину сечения. Из двух значений площади, вычисленной по формулам (8) и (9), за искомую следует принять большую.

Б. Определение несущей способности

Задано: расчетные сопротивления материала бруса R_сж и R_раст, геометрические характеристики сечения А, I_Z, I_Y, координаты полюса и тех точек, в которых действуют экстремальные напряжения. Требуется определить предельное значение сжимающей силы F. Из двух полученных значений силы F, за искомое принимается наименьшее.

В. Проверочная задача

Задано: геометрические характеристики сечения А, I_Z, I_Y, координаты полюса и точек, в которых действуют экстремальные напряжения, расчетные сопротивления материала бруса R_сж и R_раст, значение силы F. Требуется проверить выполнение условий (8) и (9).

ПОСТРОЕНИЕ ЯДРА СЕЧЕНИЯ

В зависимости от точки приложения внешней сжимающей нагрузки к брусу, нейтральная линия может пересекать сечение, касаться его или проходить вне сечения. Эти варианты показаны на рис. 4.

При внецентренном приложении нагрузки к брусу, выполненному из таких хрупких материалов, как бетон, кирпичная или бутовая кладка, возникает задача о том, как приложить сжимающую силу F, чтобы в поперечном сечении возникали только сжимающие напряжения. Решение этой задачи производится путем построения ядра сечения.

Ядром сечения называется очерченная вокруг центра тяжести сечения область, обладающая следующим свойством: сила F, приложенная в этой области, вызовет по всему поперечному сечению напряжения одного знака.

Контур ядра сечения строится в следующей последовательности:

— проводятся несколько касательных вокруг контура сечения, которые принимаются за нейтральные линии;

— определяются а_z и a_y – отрезки, которые нейтраль-ные линии отсекают на осях z_c и y_c;

— используя зависимости (7), определяются координа-ты характерных точек ядра сечения:

y_я = ; z_я =

— по найденным точкам y_я и z_я строится контур ядра сечения.

ПРИМЕР РАСЧЕТА

На рис. 5 показана схема жесткого бруса и прило-женная к нему нагрузка.

Для поперечного сечения, расположенного в основании бруса, требуется: определить величину предельной силы F, приложенной в указанной точке, определить положение нейтральной линии, рассчитать напряжения в характерных точках контура, построить эпюру этих напряжений и построить ядро сечения.

Расчетные сопротивления материала бруса:

R_сж = 8 МПа, а R_раст = 2 МПа. Параметр «a» показанного на рис. 6 сечения равен 0,2м.

Последовательность расчета следующая.

1. Определение координат центра тяжести сечения

Для этого поперечное сечение сложной формы разбивается на простые фигуры, площади и положения центров тяжести которых известно. В рассматриваемом примере сечение разбито два прямоугольника и два одинаковых треугольника. Один прямоугольник площадью А₁ = 12а 2 , второй площадью А₂ = 2а 2 ; площадь каждого треугольника А₃ =2а 2 .

Статический момент площади сечения относительно произвольной начальной оси Z₀:

S_Z0 = 12a 2 × 2a – 2a 2 × a + 2(2a 2 × 8a / 3) = 32,67a 3 .

Расстояние у_С от оси Z₀ до оси Z_С

2. Вычисление квадратов радиусов инерции

Квадраты радиусов инерции сечения рассчитываются по формулам: i_z 2 = I_ZC /A, i_y 2 = I_YC /A, где

I_YC = I_Y1 – I_Y2 + 2(I_Y3 + А₃ × d₃ 2 ).

Подстановка этих значений в выражения

главных моментов инерции дает следующие

I_ZC = 17,111а 4 ; I_YC = 22,500а 4 .

Квадраты радиусов инерции сечения:

i_z 2 = 17,111a 4 /14a 2 = 1,222a 2 = 0,0489м 2 ;

i_y 2 = 22,5a 4 /14a 2 = 1,607a 2 = 0,0643м 2 .

3. Определение положения нейтральной линии

Координаты точки приложения сжимающей силы F (координаты полюса): z_F = — 2,5a; y_F = 1,67a

Отрезки, отсекаемые нейтральной линией на коорди-натных осях: а_z = — i_y 2 /z_F, а_y = — i_z 2 /y_F.

а_y = — i_z 2 /y_F = -1,222a 2 /1,67a = — 0,732a = — 0,146м.

4. Определение предельного значения

Наиболее удалены от нейтральной линии следующие точки:

— в сжатой зоне точка 1, координаты которой z₁ = — 2,5a, y₁ = 1,67a;

— в растянутой зоне – точка 3 с координатами z₃ =1,5a, y₃ = — 2,33a.

Для этих точек должны соблюдаться условия прочности – напряжения в них не должны превышать расчетных сопротивлений материала:

(*)

(**)

Из выражения (*) предельная величина сжимающей силы F_пр, приложенной в т.1:

Подставляя числовые значения величин, входящих в это неравенство (с учетом знака R_сж), получим:

Из выражения (**) вычисляется значение F_пр:

Из этих двух полученных значений F_пр за расчетное принимается наименьшее (по модулю) F_пр = 0,218 МН.

5. Определение напряжений в сечении бруса

Нормальные напряжения в произвольной точке сечения определяются по формуле:

(10)

Подставляя в эту формулу значения N = (–)F_пр и координаты характерных контурных точек, вычисляют действующие в них напряжения.

В табл.1 показаны координаты характерных точек сечения и даны результаты выполненных расчетов по определению напряжений в этих точках.

Для построения эпюры, показывающей распределение нормальных напряжений по поперечному сечению бруса, сечение удобно показывать в изометрической проекции. Эпюра s приведена на рис. 9.

6. Построение ядра сечения

Для построения ядра сечения проводятся четыре касательные к контуру сечения, которые рассматриваются как нулевые линии и определяются отрезки, отсекаемые касательными (нулевыми линиями) на главных центральных осях инерции.

Касательная II-II: a_z = ¥, a_y = -2,33a

Касательная III-III: a_z =1,58а, a_y = -8,33a

Касательная IV-IV: a_z = -1,58а, a_y = -8,33a

Зная величину отрезков, отсекаемых нулевыми линиями на координатных осях, определяются координаты ядра сечения:

На рис.8 показаны нулевые линии и построено ядро сечения.

Результаты определения характерных точек ядра сечения обычно выполняются в табличном виде. Итоги выполненных расчетов приводятся в табл. 2, в которой даны координаты характерных точек ядра сечения.

Соединяя точки ядра 1-3-2-4 прямыми линиями, получаем контур ядра сечения.

ЛИТЕРАТУРА

1.Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление материалов: Учеб. для вузов.– 2-е изд. – М.: Высш. шк., 2001. -560с.

2. Сопротивление материалов с основами теории упру-гости и пластичности: Учеб. для вузов под ред. Г.С. Варда-няна. – М.: Изд-во АСВ, 1995. -568с.

3. Павлов П.А., Паршин Л.К., Мельников Б.Е., Шерсте-нев И.А. Сопротивление материалов: Учеб. пособ./под ред. Б.Е. Мельникова – СПб.: Изд-во «Лань», 2003. -528с.

4. Сопротивление материалов: Руководство для реше-ния задач и выполнения лабораторных и расчетно-графических работ / В.А. Копнов, С.Н. Кривошапко. – М.: Высш. шк., 2003. – 351с.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Как определяются внутренние усилия в сечениях жесткого бруса при внецентренном действии нагрузки?

2. Как определяется положение нейтральной (нулевой) линии при внецентренном сжатии или растяжении?

3. Указать, какой из перечисленных факторов повлияет на положение нейтральной линии:

— изменение величины приложенной внешней силы;

— изменение точки приложения этой силы;

— изменениие знака приложенной внешней силы.

4. Как определяется напряжение в заданной точке сечения при внецентренном действии нагрузки?

5. Что называется ядром сечения? Как строится ядро?

6. Какие типы задач позволяет решить условие прочнос-ти при внецентренном приложении нагрузки?

Уравнение нейтральной линии сопромат формула

§1 Понятие изгиба. Нейтральная линия.

Определение: Изгибом называется вид деформации, при котором происходит искривление оси бруса. В дальнейшем будем рассматривать деформацию плоского прямого изгиба, при котором силовая плоскость проходит через одну из главных центральных осей сечения.

Кроме прямого, может возникать косой изгиб, при котором силовая плоскость совпадает только с одной центральной осью, т.е. происходит под некоторым углом к главным центральным осям.

В зависимости от возникающих в балке внутренних силовых факторов (ВСФ) различают чистый и поперечный изгиб (рис. 6.3).

Чистым изгибом называется изгиб, при котором в сечении балки возникает только изгибающий момент, а поперечным называется изгиб, при котором действуют как изгибающий момент, так и поперечная сила.

К

ак показывают расчеты нейтральная линия проходит через главную центральную ось сечения, расположенную перпендикулярно к силовой линии.

Нейтральную линию иногда называют нулевой линией, т.к. в ее точках нормальные напряжения и продольные деформации отсутствуют (σ = 0; ε = 0).

§2 Напряжения при чистом и поперечном изгибе.

Основное условие прочности.

В теории изгиба принимаются такие допущения:

1) Справедлива гипотеза плоских сечений.

2) По высоте сечения бруса волокна не имеют веса, т.е. не давят друг на друга. Принимается упрощенная схема напряженного состояния.

3
) по ширине сечения бруса напряжения являются постоянными.

С учетом принятых допущений и рассматривая четыре стороны задачи для чистого изгиба, при котором возникают только нормальные напряжения можно использовать следующую расчетную зависимость.

где σ(y) – нормальные напряжения в точке

сечения бруса, находящейся на

расстоянии y под нейтральной

M_изг – изгибающий момент в данном

I_x – осевой момент инерции сечения

y – ордината последней точки.

Анализируя зависимость (15.1) можно заключить, что нормальное напряжение изменяется по линейному закону, увеличиваясь от центра сечения к его краям. Причем максимальные напряжения, возникающие в крайних волокнах можно определить по известной формуле:

где – осевой момент сопротивления [м 3 ].

Зависимость (15.1) и (15.2) графически можно представить в виде следующей эпюры напряжений (рис. 6.8).

При проектировании балочных конструкций целесообразно применять профили, имеющие рациональную форму с точки зрения полученной эпюры напряжений. Считается, что профиль (или сечение), у которого большая часть материала располагается в крайних волокнах является рациональным. Например, двутавр, швеллер, пустотелый прямоугольник, сдвоенный уголок.

Расчет на прочность при чистом изгибе производится по следующему условию прочности

Условие (15.3) является основным условием прочности при изгибе. При помощи этого условия можно выполнить известные виды расчетов: проверочный, проектировочный и максимальной нагрузки.

– проверочный по (15.3)

При расчете на прочность балок из разных материалов необходимо учитывать их способность сопротивляться растягивающим и сжимающим напряжениям. При этом следует придерживаться следующих рекомендаций:

1. Если балка изготовлена из пластичного материала, одинаково работающего на растяжение-сжатие, т.е. ([σ_р] = [σ_c]), то целесообразно использовать сечения, симметричные относительно нейтральной линии. В этом случае на прочность проверяются крайние точки сечения балки σ_max = |σ_min| (рис.6.9).

2. Если материал балки хрупкий, лучше работающий на сжатие, чем на растяжение ([σ_р] >l, в противном случае этими напряжениями можно пренебрегать.

§3 Главные напряжения при изгибе.

Полная проверка прочности балок при изгибе

В общем случае при изгибе в сечениях балки действуют как нормальные, так и касательные напряжения. Любая точка балки находится в упрощенном плоском напряженном состоянии.

Решая обратную задачу можно найти положение главной площадки и величины главных напряжений (σ₁, σ₃).

Анализируя напряженное состояние при изгибе для опасных точек балки и используя (16.3)-(16.6) можно выполнить полную проверку прочности балки при изгибе, для этого необходимо рассмотреть три типа опасных точек в разных сечениях исследуемой балки. Проведем т0акую проверку, выбрав следующую расчетную схему (рис. 6.15)

Полная проверка прочности балки при изгибе выполняется по трем типам опасных точек. Опасная точка I типа: по длине балки находится сечения, где действует максимальный по модулю изгибающий момент (сечение I-I), а по высоте балки – в крайних волокнах от нейтральной линии, где имеют место максимальные нормальные напряжения (точки 1 и 5). В этих точках имеет место линейное напряженное состояние. Условие прочности для точек I типа имеет такой вид (основное условие прочности)

О
пасные точки II типа располагаются по длине балки в сечениях с максимальной поперечной силой (сечение II-II левое и правое), а по высоте балки – на уровне нейтральной линии (точка 3 левая и правая), где действует максимальное касательное напряжение. В этих точках возникает частный случай плоского напряженного состояния – чистый сдвиг. Условие прочности имеет такой вид

Опасные точки III типа располагаются в сечениях балки, где возникает неблагоприятное сочетание больших изгибающего момента и поперечной силы (сечение III-III левое и правое), а по высоте балки – между крайними волокнами и нейтральной линией, где одновременно большие нормальные и касательные напряжения (точки 2 и 4 левая, правая). в этих точках возникает упрощенное плоско-напряженное состояние. Условие прочности для точек III типа записывается согласно теории прочности (например, для пластичного материала: по III или IV теории).

Если по мере выполнения расчетов прочность по одному из условий не выполняется, то необходимо увеличить размеры сечения балки или увеличить номер профиля согласно таблиц сортамента.

Приведенный выше анализ напряженного состояния балок при изгибе позволяет грамотно конструировать элементы сооружений и рационально выбирать их поперечные сечения, например, для железобетонных конструкций целесообразно использовать стальную арматуру и располагать её по линиям, совпадающим с траекторией главных растягивающих напряжений.

§4 Деформации при изгибе. Общие понятия.

В теории изгиба расчет на прочность в большинстве случаев выполняется расчетом на жесткость. В этом случае оценивается упругая податливость балки и определяются такие её размеры, чтобы возникающие деформации не превышали допустимых пределов, т.е. условие жесткости можно представить в таком виде

где f_max – максимальная расчетная деформация;

[f] – допускаемая деформация.

Рассмотрим основные элементы деформированного состояния балки (рис.6.16).

упругая линия (у.л.) – искривленная ось балки под действием нагрузки;

y – прогиб – вертикальное перемещение, отсчитываемое перпендикулярно к исходной оси балки;

u – горизонтальное перемещение или смещение балки (обычно бесконечно малая величина, ≈ 0);

θ – угол поворота сечения к заданной точке.

При изгибе балки линейная и угловая деформации (y и θ) имеют свои правила знаков согласно следующей схеме (рис.6.17).

Правило знаков для y:

Правило знаков для θ:

против часовой стрелки «+»,

по часовой стрелке «–».

Для левой системы координат наоборот.

Между прогибом и углом поворота существует дифференциальная зависимость, которую можно получить рассматривая координаты некоторой плоской кривой (рис.6.18).

При нахождении линейных или угловых деформаций для реальных балок необходимо знать её уравнение упругой линии УУЛБ (уравнение упругой линии балки), имеющее такой общий вид:

Рассмотрим некоторые методы нахождения деформаций при изгибе, основанные на составлении и решении уравнения упругой линии балки.

§5 Дифференциальное уравнение упругой линии балки и его интегрирование.

Из теории изгиба известна зависимость кривизны балки следующего вида

С другой стороны из курса высшей математики кривизна плоской кривой может быть представлена через её координаты следующим образом:

Приравнивая (18.3) и (18.4) получим точное ДУУЛБ

Полученное дифференциальное уравнение имеет большие трудности при решении, поэтому его упрощают, учитывая известную гипотезу малости деформаций

Учитывая небольшие углы поворота сечений для реальных балок получаем следующее приближенное ДУУЛБ, которое будет называться в дальнейшем основным дифференциальным уравнением упругой линии балки.

Данное уравнение справедливо для правой системы координат.

Полученное уравнение решается путем двойного интегрирования

В этом решении произвольные постоянные интегрирования представляют собой по геометрическому смыслу соответственно угол поворота и прогиб в начале координат

Произвольные постоянные интегрирования определяются из граничных или начальных условий построения расчетной схемы балки. Рассмотрим основные разновидности граничных условий.

Виды граничных условий

Рассмотренный выше метод расчета перемещений при изгибе называется методом непосредственного интегрирования дифференциального уравнения упругой линии балки МНИ ДУУЛБ.

Для его применения необходимо:

1. Выбрать систему координат (в крайнем сечении балки)
2. Для каждого силового участка балки составляется общее уравнение моментов, которое подставляется в основное ДУУЛБ.
3. Решается ДУУЛБ путем двойного интегрирования и определяется произвольная постоянная интегрирования из граничных условий.
4. В полученное уравнение упругой линии балки подставляются поочередно абсциссы искомых точек и определяются прогибы. Аналогично находятся углы поворотов с использованием дифференциальной зависимости (18.1).

МНИ обладает существенным недостатком, который заключается в том, что для решения балок с большим количеством силовых участков необходимо определить большое количество произвольных постоянных интегрирования (например, для n участков будет 2n таковых), поэтому данный метод целесообразно использовать только для балок, имеющих один или два участка. Для устранения названного недостатка предлагается более совершенный метод, основанный на ДУУЛБ и более рациональном его решении.

§6 Метод начальных параметров.

Универсальное уравнение упругой линии балки (УУУЛБ).

В отличие от предыдущего метода в предлагаемом методе ДУУЛБ составляется таким образом, что независимо от количества силовых участков балки приходится находить только две произвольных постоянных интегрирования – прогиб и угол поворота в начале координат (y₀, θ₀). Это достигается путем применения специальных правил при составлении уравнения моментов или уравнений прогибов. В этом случае все решение сводится к составлению УУУЛБ применительно к заданной расчетной схеме балки.

Общий вид УУУЛБ будет следующим:

После дифференцирования (18.13) получим универсальное уравнение углов поворота балки УУУЛБ.

где y₀, θ₀ – геометрические начальные параметры, т.е. прогиб и угол поворота в начале координат, определяются по граничным условиям;

М₀, Q₀ – статические начальные параметры, т.е. изгибающий момент и поперечная сила в начале координат; они определяются по условиям нагружения или по уравнениям равновесия.

M_i, F_i, q_i – момент, сосредоточенная сила и распределенная нагрузка в i том сечении балки соответственно. Они включаются в уравнение со своими знаками в соответствии с «правилом зонтика» для изгибающего момента.

k_i – величина, характеризующая неравномерно распределенную нагрузку, например, треугольную или трапециевидную.

Д
ля решения задач по нахождению перемещений в балках методом начальных параметров необходимо (пример: рис.6.23):

2) Для последнего силового участка балки составляется универсальное уравнение упругой линии балки УУУЛБ.

Для составления выражения для распределенной нагрузки её предварительно продолжают до конца (последнего) сечения и вводят дополнительную компенсирующую нагрузку обратного направления.

3) Определяются начальные параметры УУУЛБ.

Геометрические начальные параметры.

Статические начальные параметры.

4) Подставляются все найденные начальные параметры в исходное УУУЛБ и путем дифференцирования получается универсальное уравнение углов поворота балки УУУЛБ.

В этом же пункте определяются искомые перемещения, для чего в соответствующее уравнение подставляется абсцисса искомой точки и отбрасываются слагаемые, характеризующие внешние нагрузки, которые находятся за пределами рассматриваемого участка.

Рассмотренный метод начальных параметров является достаточно простым и универсальным, но имеет следующие недостатки.

1) Он не применим для балок с ломаной осью, рамным систем и кривых брусьев.

2) Не позволяет определить перемещение в произвольных направлениях, кроме вертикального.

Для устранения этих недостатков в курсе сопротивления материалов широко применяются так называемые энергетические способы, основанные на известном законе сохранения энергии.

§7 Потенциальная энергия упругой деформации (ПЭУД)

в общем случае нагружения бруса. Теорема Кастильяно.

На основании закона сохранения энергии работа внешних сил на перемещениях точек системы равна потенциальной энергии упругой деформации

Основываясь на положениях этого закона можно зная величину энергии, накопленной брусом, найти перемещение ее точек при известных внешних нагрузках. Получим общую зависимость для ПЭУД произвольного бруса, находящегося под воздействием разнообразных внешних нагрузок, для этого составим сумму работ, совершаемых шестью внутренними силовыми факторами.

Учитывая известное выражение работ для простых деформаций получим следующее выражение

k_x, k_y – безразмерные коэффициенты, характеризующие форму сечения бруса при сдвиге.

Для нахождения перемещений с помощью ПЭУД применяется так называемая теорема Кастильяно:

Обобщенные перемещения в точке приложения некоторой обобщенной нагрузки представляют собой частную производную потенциальной энергии по заданной обобщенной нагрузке.

где δ_k – обобщенное перемещение в точке К, где приложена внешняя обобщенная нагрузка, по ее направлению.

F_K – обобщенная нагрузка, действующая в точке К.

Под обобщенным перемещением понимается перемещение, вызываемое соответствующей обобщенной нагрузкой. В частности,

Д
анная теорема обладает тем недостатком, что позволяет находить только перемещения, соответствующие данной обобщенной нагрузке, только в точке её приложения и только по ее направлению.

§8 Метод для нахождения перемещений в упругих системах.

Недостатки теоремы Кастильяно можно устранить, если использовать прием, предложенный Мором-Максвеллом. Этот метод основан на применении так называемой фиктивной обобщенной нагрузки Φ.

1) В заданной точке системы прикладывается соответствующая обобщенная параметром фиктивная нагрузка, которая условно принимается равной единице.

Направление приложения фиктивной нагрузки соответствует искомому направлению. Для прогиба удобно единичную силу направлять снизу вверх согласно положительному направлению прогиба (см. правило знаков для прогиба). Единичный момент направляется против часовой стрелки в соответствии с положительным направлением угла поворота.

2) Определяется потенциальная энергия упругой деформации всей системы, которая подставляется в зависимость , выражающую теорему Кастильяно и производится расчет частной производной по данной фиктивной нагрузке.

В полученном выражении исключается фиктивная нагрузка, т.к. ее на самом деле нет.

Для удобства практического расчета все преобразования рассмотренные выше исключаются и расчет перемещений выполняется по формуле, называемой интегралом Мора (запишем применительно к деформации изгиба).

где – изгибающий момент от действия единичной фиктивной нагрузки в i том сечении системы.

– изгибающий момент от действия внешней нагрузки для i того сечения.

Рассмотрим следующий пример (рис.6.25).

Выбирается вспомога­тельная схема, которая загружается соответству­ющей единичной нагрузкой. Чтобы взять вспомогатель­ную схему, надо на исходной схеме отбросить все внешние нагрузки.

Для исходной и вспомо­гательной схем составляются общие выражения изгибающих моментов по всем участкам, которые подставляются в интеграл Мора.

Метод Мора является самым сильным по возможности расчета перемещений (его можно применить для любой схемы), однако его недостатком является высокая трудоемкость при расчете систем с большим количеством силовых участков.

Для сокращения сложности таких расчетов интеграл Мора обычно заменяют операцией умножения согласно способа Верещагина (1924 г.).

§9 Способ Верещагина и его применение

Предлагаемый способ является графо-аналитическим способом решения интеграла Мора, который заключается в «перемножении» эпюр изгибающих моментов по силовым участкам заданной системы. Такое решение возможно благодаря тому, что для систем, имеющих прямолинейные участки эпюра изгибающих моментов от единичной нагрузки имеет линейные очертания (прямоугольник, треугольник, трапеция).

Согласно способа Верещагина искомое перемещение представляет собой произведение площади грузовой эпюры на ординату единичной эпюры, которая располагается под центром тяжести грузовой эпюры на данном участке.

где ω_i – площадь грузовой эпюры на i том участке.

– ордината единичной эпюры под центром тяжести грузовой на i том участке.

Рассмотрим пример (рис.6.28)

При использовании способа Верещагина для упрощения расчетов можно учитывать следующие рекомендации.

1) При перемножении эпюр, имеющих линейные очертания можно использовать площадь одной из них, а ординату другой в прямом и обратном порядке.

2) Если перемножаемые эпюры имеют сложную форму, то можно их разбивать на простые части и перемножать по отдельности.

3) В некоторых случаях сложные эпюры удобно перемножать, используя прием расслоения эпюр. В этом случае в пределах данного участка строятся эпюры от каждой нагрузки в отдельности, которые перемножаются поочередно с единичной эпюрой.

4) При перемножении эпюры, имеющей форму скрученной трапеции, ее целесообразно дополнить до двух треугольников, которые затем перемножаются по отдельности с другой эпюрой.

5) Когда обе перемножаемые эпюры имеют сложную форму можно использовать так называемую формулу Симпсона.

Способ Верещагина является достаточно удобным и простым для расчета перемещений в упругих системах при любых видах деформаций. Однако его нельзя применить для систем, имеющих криволинейные участки.

§10 Статически неопределимые системы при изгибе.

Каноническое уравнение метода сил (КУМС).

Статически неопределимая система (СНС) при изгибе обладает теми же свойствами, что СНС при растяжении-сжатии и кручении, однако имеют следующую особенность.

Степень неопределимости в таких системах может быть образована как внешними, так и внутренними признаками построения СНС.

Система неопределима внешним образом, если её элементы имеют ограничения по перемещению в пространстве. Такие ограничения накладываются опорными связями и в этом случае степень СНС по внешним признакам находится по известной формуле

где R – число неизвестных реакций опор СНС,

У – число уравнений статики.

Степень СНС образована внутренними признаками, если они накладывают ограничения на относительные перемещения точек системы по отношению друг к другу. К ним относятся дополнительные элементы, шарниры, узлы и прочие геометрические факторы.

В этом случае степень СНС по внутренним признакам находится по следующей формуле

где K – число замкнутых контуров СНС (например, рамок),

У – число шарниров, врезанных в элемент СНС в пересчете на простые шарниры.

П
ростым называется шарнир, в котором сходятся только два стержня.

Сложный шарнир, в котором сходятся более 3 х стержней можно заменить n–1 простыми шарнирами (n – число стержней, сходящихся в сложном шарнире).

Таким образом, степень СНС можно определить сложив зависимости (21.1) и (21.2).

Для решения СНС при изгибе в курсе сопротивления материалов применяются метод сил, метод перемещений и комбинированный метод. Наиболее часто применяется метод сил, в частности прием сравнения перемещений, канонические уравнения метода сил (КУМС) и уравнения трех моментов.

Удобно и математически относительно несложно провести решение СНС с применением КУМС.

Д
ля составления канонических уравнений устанавливается число лишних связей системы. Эти лишние связи (например, реакции опор) обозначаются буквами X_i независимо от того сила это или момент (рис.6.34)

Для каждой лишней опоры составляется уравнение деформаций в виде суммы перемещений, вызванных действиями всех лишних связей и внешних нагрузок, причем эти деформации на опорах должны равняться нулю. Для удобства записи и решения эти уравнения составляются по определенному правилу (или канону).

В общем случае КУМС записывается так:

где δ_ij – перемещение в i той точке под действием единичной силы, приложенной к j той точке.

δ₁₁, δ₂₂, δ₃₃, . δ_nn – главные коэффициенты КУМС, представляющие собой единичные перемещения в i той точке под действием единичной силы, приложенной в той же точке. Они определяются по способу Верещагина путем перемножения эпюр от единичных сил «самих на себя».

δ₁₂, δ₁₃, . δ_ij – побочные коэффициенты, представляющие собой единичные перемещения, определяемые по способу Верещагина путем перемножения единичных эпюр между собой.

Δ_1F, Δ_2F, . Δ_nF – грузовое перемещение, определяемое как перемещение в i той точке под действием системы внешних нагрузок.

По способу Верещагина оно находится путем перемножения грузовой эпюры момента на единичную эпюру под действием i той единичной силы.

Определив все единичные и грузовые перемещения КУМС, решается данная система и определяются неизвестные усилия X₁; X₂; X₃ . X_i . X_n.

По завершении раскрытия неопределимости СНС строятся необходимые эпюры (для рамы – N, Q и M). и выполняются две проверки – статическая и деформационная.

Статическая проверка заключается в проверке равновесия элементов или узлов системы (см. задачу № 12 РПР-2).

Деформационная проверка сводится к расчету перемещений тех точек системы, где действуют лишние связи (X_i). Обычно проверяется равенство нулю перемещений в опорах системы. Для этого необходимо по способу Верещагина перемножить конечную эпюру изгибающих моментов с единичной эпюрой, построенной для i той лишней связи.

В некоторых случаях при решении СНС можно уменьшить количество перемножений эпюр, если использовать эффект симметрии геометрического построения или силового нагружения системы (рис.6.35).

В следующем случае система рассекается по оси симметрии и в качестве лишних связей выбираются внутренние силовые факторы в проведенном сечении.

Тогда единичные эпюры от соответствующих внутренних силовых факторов будут иметь либо симметричную, либо кососимметричную формы

Следовательно, при перемножении симметричной эпюры на кососимметричную получаем перемещение равное нулю.

Машины должны работать. Люди должны думать. Девиз компании «IBM»
ещё >>

Определение положения нулевой линии (нейтральной оси) при внецентренном растяжении (сжатии)

Определение положения нулевой линии (нейтральной оси) при внецентренном растяжении (сжатии)

Линия, соединяющая все точки сечения колонны, в которой напряжения равны нулю, называется нулевой линии (нейтральной оси).

Пусть произвольная точка расположена на нулевой линии. Обозначим ее координаты , . Согласно определению, имеем

Так как , то выражение в скобках должно быть равным нулю

Перенесем и в знаменатель знаменателя

Так как и не зависят от координат точки сечения. Обозначим их

Тогда уравнение можно записать в следующем виде

Полученное уравнение — это уравнение прямой линии в отрезках. Здесь

это отрезки, отсекаемые нулевой линией на главных центральных осях инерции (рис. 120).

Эта теория взята со страницы подробного решения задач по предмету «Сопротивление материалов»:

Дополнительные страницы которые вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института