Уравнение нивелирной сети параметрическим способом

Уравнивание нивелирной сети параметрическим способом

Рис. 3. Нивелирная сеть

Н_А = 100,000 м; Н_В = 115,000 м — отметки исходных пунктов.

h (м): 5,023; 10,012; 9,990; -10,005 — измеренные превышения.

S (км): 2; 4; 4; 2 — длины ходов.

p_i = c/S_i: 2; 1; 1; 2 — веса результатов измерений (с = 4 ).

В данной нивелирной сети число измерений n = 4, число необходимых измерений t = 2. Два параметра х₁ и х₂ — отметки вновь определяемых пунктов.

Параметрические уравнения связи составим по формуле:

— параметрические уравнения связи.

Определим приближенные значения параметров:

x₁ = х 0 ₁ + δх₁ и x₂ = x 0 ₂ + δx₂ подставим в систему параметрических уравнений связи.

Переходим к параметрическим уравнениям поправок:

Свободные члены l_i = F_i(x₁ 0 , x₂ 0 , . x_t 0 ) — y_i, (i = 1, 2, . n) выразим в сантиметрах или в миллиметрах для того, чтобы порядок коэффициентов и свободных членов был одинаков.

Переходим к системе нормальных уравнений:

Коэффициенты и свободные члены параметрических уравнений поправок поместим в табл. 10.

Таблица параметрических уравнений поправок

Система нормальных уравнений имеет вид:

Решение системы нормальных уравнений с определением элементов обратной матрицы выполним в схеме Гаусса (табл. 10).

Решение нормальных уравнений

Контроль δх_j: Контроль Q_ij: 2 · 0,364 + 0,273 — 1 = 0,001;

2 · 0,700 — 1,400 = 0. 2 · 0,273 + 0,455 — 1 = 0,001.

Вычислим значение параметров:

Вычислим уравненные результаты измерений, делаем контроль уравнивания (табл. 12).

Уравненные превышения. Контроль уравнивания

№ п/п	h_i + v_i	F(x₁, x₂)	№ п/п	h_i + v_i	F(x₁, x₂)
5,0160	Н_А — х₁	5,0160	10,0040	Н_В — х₂	10,0040
10,0120	х₂ — х₁	10,0120	-10,0120	х₁ — х₂	-10,0120

Сделаем оценку точности результатов измерений по материалам уравнивания:

— средняя квадратическая ошибка единицы веса (превышения по ходу в 4 км).

— средняя квадратическая ошибка на 1 км хода.

Оценку точности параметров и функции параметров выполним с использованием элементов обратной матрицы

по формулам (38) и (37):

— обратный вес первого параметра.

см — средняя квадратическая ошибка первого параметра.

— обратный вес второго параметра.

см — средняя квадратическая ошибка второго параметра.

— весовая функция — второе уравненное превышение.

— коэффициенты функции.

— обратный вес функции.

см — средняя квадратическая ошибка функции.

Параметрический способ уравнивания

При уравнивании сложных по построению геодезических сетей, в которых имеется обычно большое число избыточных измерений, применение коррелатного способа является практически менее выгодным. Это связано с тем, что в сложных сетях образуется сравнительно большое число геометрических условий (см. § 134), т.е. возникает необходимость решения значительного числа нормальных уравнений. При уравнивании сложных геодезических сетей предпочтение отдают параметрическому способу. В данном случае его рекомендуется применять практически для любых построений: обширных геодезических сетей триангуляции и трилатерации, для весьма сложных фигур триангуляции 3 и 4 классов, в схемах различных линейно-угловых построений и др.

Чаще всего при уравнивании плановых геодезических построений параметрическим способом в качестве неизвестных величин (или необходимых параметров t_j ) выбирают координаты определяемых пунктов, для которых из предварительных вычислений находят приближённые значения t_j o , а затем определяют поправки τ_j к этим приближённым значениям. В качестве уравниваемых величин в плановых построениях принимают измеренные направления, углы, дирекционные углы (азимуты), длины сторон сетей. Промежуточными уравниваемыми величинами (как косвенными величинами) могут явиться и приращения координат точек планового построения.

Для нахождения поправок при уравнивании параметрическим способом необходимо составить параметрические уравнения связи, которые в полной мере обеспечат решение поставленной задачи. Все измеренные величины практически можно выразить через координаты точек сети, т.е. через выбранные параметры t_j, что и требуется при уравнивании параметрическим способом. Так, дирекционные углы α и длины s сторон можно найти по разностям координат, горизонтальные углы, в свою очередь, выразить через разность дирекционных углов и т.п.

Рассмотрим различные виды уравнений поправок, применяемых при уравнивании параметрическим способом.

Уравнение поправок для измеренного дирекционного угла находится из параметрического уравнения связи между дирекционным углом и координатами точек данной линии:

(14.105)

. (14.106)

Известно, что и . С учётом этого возьмём частные производные от функции (14.106) по переменным x и y:

. (14.107)

Свободный член l_ki уравнения поправок может быть найден из уравнения

, (14.108)

где х о и у о – значения искомых координат точек i и k , полученные по результатам предварительных вычислений по измеренным величинам; α_ki o и α_ki‘ – соответственно вычисленное и измеренное значение дирекционного угла. (Вычисленные значения необходимо давать с тем же порядком точности (округления), что и непосредственно измеренные величины).

Параметрическое уравнение поправок для измеренного дирекционного угла имеет вид:

. (14.109)

Выразим поправки и в координаты х и у в дециметрах и обозначим их соответственно буквами ξ и η . Поправки в углы и свободный член уравнения – в секундах, а значение длины s — в километрах. С учётом этого можно записать, что

, (14.110)

, (14.111)

(14.112)

называются коэффициентами параметрического уравнения поправок.

При этом необходимо учитывать, что величины v_ki являются поправками для измеренных углов α_ki , а величины Δα_ki — поправками для вычисленных дирекционных углов α_ki o .

Уравнение поправок для измеренного направления может быть получено из следующего параметрического уравнения связи:

, (14.113)

где М_ki – измеренное направление; z_k – ориентирующий (дирекционный) угол начального направления в точке k.

Выразим значение α_ki через выбранные параметры (14.105) и запишем параметрическое уравнение связи (14.113) в виде

(14.114)

. (14.115)

Если при предварительных вычислениях значение ориентирующего угла z_k o определено с погрешностью δz_k , то для любого направления на данном пункте существует постоянная погрешность величиной δz_k.

Параметрическое уравнение поправок для измеренного направления M_ki будет иметь вид:

, (14.116)

похожий на уравнение (14.110). Если дирекционный (ориентирующий) угол в исходном пункте получен без погрешности (т.е. погрешность его определения весьма мала по сравнению с погрешностями измерений других величин), то в выражении (14.116) можно исключить δz_k .

Свободный член уравнения поправок в направления находят по формуле

где α_ki о — точное значение дирекционного угла, вычисленное по координатам точек (предварительным их значениям); M_ki‘ — измеренное значение направления; z_ki o — частные значения ориентирующего угла на пункте k ; z_k o — предварительное значение дирекционного (ориентирующего) угла находят как среднее арифметическое из его частных значений:

. (14.118)

В (14.118) n – число измеренных направлений на пункте k .

Отметим некоторые особенности уравнивания направлений на пункте k:

1. Сумма свободных членов на пункте должна быть равна нулю.

2. Из-за возможных погрешностей в вычислениях расстояния между пунктами следует определять дважды:

. (14.119)

3. Сумма поправок в направления на каждом пункте должна быть равна нулю.

4. Уравнения поправок для прямого и обратного направлений различаются только значениями δz и свободными членами.

5. Если а) – пункт i исходный, а пункт k определяемый, либо б) – пункт i определяемый, а пункт k исходный, либо в) – оба пункта исходные, то уравнения поправок в направления имеют соответственно следующий вид:

а)

б) (14.120)

в)

6. Порядок уравнивания направлений в триангуляции параметрическим способом следующий (в качестве измеренных величин обычно берут направления):

— вычисляют предварительные значения координат и дирекционных углов;

— составляют параметрические уравнения связи, вычисляют коэффициенты и свободные члены уравнений поправок; составляют уравнения поправок для направлений, измеренных на пункте;

— составляют и решают нормальные уравнения поправок к предварительно вычисленным координатам;

— вычисляют окончательные значения координат пунктов;

— вычисляют поправки в измеренные направления;

— выполняют контроль обработки и оценивают точность уравненных величин (элементов сети).

Уравнение поправок для угла может быть получено на основании того, что значение угла равно разности дирекционных углов двух направлений:

(14.121)

. (14.122)

С учетом (14.116) можно записать, что

(14.123)

. (14.124)

Вычисление свободных членов l_ij k контролируют невязками W треугольников:

вычисляют из предварительных определений дирекционных углов и значениям измеренных горизонтальных углов β.

Уравнение поправок для измеренного расстояния находят из параметрического уравнения связи

(14.127)

. (14.128)

Если продифференцировать функцию (14.128) по переменным х и у, то получим частные производные

. (14.129)

В этом случае параметрические уравнения поправок для измеренного расстояния будут иметь вид:

, (14.130)

, (14.131)

. (14.132)

определяют по значениям координат х о и у о , полученных из предварительных вычислений, а s_ki — измеренное значение расстояния.

В уравнении поправок (14.130) все линейные величины должны быть выражены в одних и тех же единицах.

Как было сказано выше, решение задачи уравнивания параметрическим способом основано на представлении всех измеренных величин в виде функций некоторых выбранных параметров. Пусть, например, в треугольнике из n искомых элементов измерено k необходимых величин. В данном случае все избыточные элементы r можно выразить в виде их функций, т.е. здесь не возникает задачи уравнивания. Например, в треугольнике АВС измерены углы А и В и длина линии АВ = с. Остальные элементы можно найти из соотношений:

(14.133)

Если же измерены избыточные (r ) параметры С, а и b либо один из них, то возникает задача уравнивания.

Обозначим необходимые элементы буквой Т_j. Для указанного треугольника в этом случае имеем: А = Т₁, В = Т₂, с = Т₃. Соотношения (14.133) здесь можно записать в виде:

(14.134)

Пусть, как и в коррелатном способе уравнивания, истинные значения Х₁, Х₂, …, Х_n (нам неизвестные) измерены, в результате чего получены значения х₁, х₂, …, х_n , из которых k – необходимые, а r =( n – k) – избыточные. Значения x_i получены с весами p_i .

Выберем такие независимые между собой параметры Т_j (j = 1, 2, …, k), функциями которых можно выразить все измеренные величины x_i (i = 1, 2,…, n) Очевидно, что число таких параметров должно быть равно k необходимых измерений. Получим функции

(14.135)

Равенства (14.135) называют параметрическими уравнениями связи.

Поскольку истинные значения Т_j бывают неизвестными, то в процессе уравнивания получают их вероятнейшие значения, а затем находят уравненные значения всех измеренных величин.

Обозначим уравненные значения параметров T_j буквой t_j , тогда

Из (14.136) следует, что

Если уравнения (14.136) имеют нелинейный вид, то решение этой системы уравнений практически невозможно.

Для решения системы уравнений (14.136) для параметров t_j находят такие значения t_j о (с такой их точностью), чтобы равенства (14.136) можно было привести к линейному виду разложением в ряд Тейлора с ограничением только членами первого порядка.

Для значений t_j можно записать, что

где τ_j – поправки в приближенные значения параметров t_j о . Тогда

Разложим функцию (14.139) в ряд Тейлора, ограничиваясь первыми членами разложения:

. (14.140)

(14.141)

Первый индекс при параметре а показывает номер параметрического уравнения связи (измеренной величины), а второй – номер параметра t (и поправки τ. В общем виде

. (14.142)

Найдём разности между вычисленными значениями x_i o через приближённые значения параметров t_i o и измеренными значениями x_i . Эти разности l_i называются свободными членами параметрических уравнений поправок:

C учётом (14.143) систему уравнений (14.139) можно записать в развёрнутом виде:

(14.144)

В системе n уравнений (14.144) содержится (n+k) неизвестных, в связи с чем эта система является неопределённой. Так же, как и в коррелатном способе уравнивания, решение данной системы определяется условием минимума сумм квадратов поправок, т.е. [pv 2 ] = min.

Опуская промежуточные математические преобразования (о них можно посмотреть в соответствующей геодезической литературе), приведём окончательный вид системы нормальных уравнений, которая состоит из k уравнений с k неизвестными τ_j с учётом весов p_i измеренных величин и значений l_i свободных членов параметрических уравнений поправок:

В выражениях (14.145) индексы при коэффициентах а соответствуют вторым индексам коэффициентов a_ij в выражениях (14.144).

Для раскрытия гауссовых сумм в (14.145) составим матрицу коэффициентов a_ij с весами p_i результатов измерений и со свободными членами l_i (табл. 14.15).

C учётом табл. 14.15 и выражений (14.145) приведём принцип раскрытия гауссовых сумм.

Матрица коэффициентов, свободных членов и весов

j i	…	j	…	k	l_i	p_i
a₁₁	a₁₂	a₁₃	a_1j	a_1k	l₁	p₁
a₂₁	a₂₂	a₂₃	a_2j	a_2k	l₂	p₂
a₃₁	a₃₂	a₃₃	a_3j	a_3k	l₃	p₃
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
i	a_i1	a_i2	a_i3	a_ij	a_ik	li	p_i
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
n	a_n1	a_n2	a_n3	a_nj	a_nk	l_n	p_n

Уравнение 1.

Коэффициент при τ₁ равен сумме произведений веса с индексом аргумента (измеренной величины) на квадрат коэффициента 1-го столбца (диагональный коэффициент), т.е.

Коэффициент при τ₂ равен сумме произведений веса соответствующего аргумента и коэффициентов 1-го и 2-го столбцов, т.е.

Подобные действия производятся для остальных параметров τ перемножением коэффициентов 1-го столбца и столбца с индексом τ .

Свободный член уравнения 1 равен сумме произведений веса р_i, свободного члена l_i и коэффициента a соответствующего столбца, т.е.

Уравнение 2.

Коэффициент при τ₁ равен сумме произведений веса соответствующего аргумента и коэффициентов 2-го и 1-го столбцов, т.е.

Коэффициент при τ₂ равен сумме произведений веса с индексом аргумента на квадрат коэффициента 2-го столбца (диагональный коэффициент), т.е.

Коэффициент при τ₃ равен сумме произведений веса соответствующего аргумента и коэффициентов 2-го и 3-го столбцов, т.е.

Далее выполняются действия со 2-м столбцом и последующими оставшимися столбцами.

Свободный член уравнения 2 равен сумме произведений веса р_i, свободного члена l_i и коэффициента a соответствующего столбца, т.е.

Вычисление коэффициентов остальных уравнений аналогично. Коэффициенты последнего уравнения с индексом k являются диагональными.

Здесь, как и в коррелатном способе уравнивания, коэффициенты с с противоположными индексами равны друг другу. Следовательно, достаточно определить все диагональные коэффициенты и все коэффициенты, находящиеся справа от диагональных, а остальные записать в уравнениях поправок такими же, как и противоположные им по индексам.

Таким образом, получается система линейных уравнений поправок τ_j:

(14.146)

Из решения системы уравнений (14.146) находят значения неизвестных поправок τ_j к приближенным значениям параметров t_j 0 , определяют поправки ν_i по формулам (14.144) и вычисляют уравненные значения измеренных величин и выбранных параметров T_j (t_j = t_j 0 + τ_j).

Приведем последовательность уравнивания геодезических построений параметрическим способом.

Шаг 1.Определяют число необходимых (k), число избыточных (r) в массиве общего числа n измерений x_i, имеющих веса p_i .

Шаг 2.Осуществляют выбор параметров t_j таким образом, чтобы они не имели между собой никаких математических связей, т.е. были независимыми. Число таких параметров должно быть равно k – числу необходимых измерений. При этом все измеренные величины должны выражаться функционально через выбранные параметры t_j .

Шаг 3.Определяют вид функций значений x_i от аргументов t_j , т.е. вид параметрических уравнений связи (14.135).

Шаг 4.Вычисляют приближенные значения t_j 0 параметров t_j. Часто для этого выполняют предварительные вычисления (обработку) в схемах геодезических построений. Иногда выполняют предварительное уравнивание упрощенными способами, часто способом раздельного уравнивания.

Шаг 5.Вычисляют по формулам (14.141), в общем виде – (14.142) или (14.144), коэффициенты a_ij и свободные члены l_i параметрических уравнений поправок v_i (14.143), т.е. функции (14.135) приводят к линейному виду.

Шаг 6. Составляют таблицу коэффициентов a_ij, свободных членов l_i и весов p_i (табл. 14.15) и с помощью неё получают нормальные уравнения (14.145), из решения которых находят значения поправок τ_j к параметрам t_j o .

Шаг 7. Выражают поправки v_i к измеренным величинам x_i через значения поправок τ_j (14.143) и определяют их значения.

Шаг 8. Bыполняют уравнивание измеренных величин x_i‘ =( x_i + v_i) и параметров t_j =( t_j o + τ_j) и контролируют правильность решения задачи по равенствам (14.135).

Возможны несоблюдения указанных равенств из-за неточного выбора параметров t_j либо их приближённых значений t_j o . Из-за этого могли использоваться такие величины поправок, при которых необходимо было учитывать нелинейность систем уравнений. Несоблюдение равенств может быть также и из-за погрешностей в вычислениях. Поэтому в первую очередь следует выполнить повторные вычисления (контрольные, лучше во вторую руку: т.е. взаимно попросить кого-нибудь из друзей повторить Ваши вычисления, а Вы такие же вычисления повторно сделаете в его задании; поверьте, так будет и быстрее, и надёжнее).

Если уравнивание, при отсутствии погрешностей в вычислениях, не удовлетворяет условиям (14.135), то полученные значения считают их первым приближением, т.е. уточнёнными значениями t_j o , и уравнивают систему вторично.

В качестве рекомендации следует отметить, что предварительные вычисления в уравниваемых построениях лучше выполнять после предварительного, нестрогого уравнивания. Например, в полигонометрическом ходе выполнить уравнивание углов, затем – приращений координат. В цепочке треугольников выполнить предварительное уравнивание углов отдельных треугольников и т.п.

Параметрическое уравнивание нивелирной сети

Схема нивелирной сети III класса.

№ ходов	Названия ходов	Н	h	L, км
А – Узл 2	196,852	+5,702	13,4
В – Узл 2	202,308	+0,228	5,4
А – Узл 1	196,852	-19,201	7,5
Узл 2 – Узл 1	-24,895	15,6
С – Узл 1	169,949	+7,728	19,8

Обозначим приближенные отметки узловых реперов через xо, yо

Поправки к ним ,

Уравненные отметки x, y

x = xо +

y = yо +

Уравнивание будем выполнять в такой последовательности:

1. От репера А по ходу 3 и от репера В по ходу 2, вычисляем приближенные высоты узловых точек

Xо = Hв + h2 = 202,536

yо = Ha + h3 = 177,651

Составим уравнение поправок, причем начинать надо с точки, на которую указывает стрелка

V1 = xо + — На – h1 = — 1,8(см.)

V2 = xо + — Нв – h2 = + 0

V3 = yо + — Нa – h3 = + 0

V4 = yо + — xо — – h4 = – + 1,0 (см.)

V5 = yо + — Нс – h5 = — 2,6 (см.)

Составим таблицу коэффициентов уравнений поправок. Так как измерения неравноточные, вычисляем веса ходов.

№	a	b	l,см	S	P=20/L	V,см	V,мм	PV	P	PlV
=0,701	=0,452
+1	-1,8	-0.8	1,49	-1,09	-10,9	-1,62	1,77	2,92
+1	+1	3,70	0,701	7,0	2,59	1,82
+1	+1	2,67	0,452	4,5	1,21	0,55
-1	+1	+1,0	+1	1,28	0,751	7,5	0,96	0,72	0,96
+1	-2,6	-1,6	1,01	-2,148	-21,5	-2.17	4,66	5,64
+1	+3	-3,4	0,6	10,15	0,97	9,52	9,52

Где S – сумма по строчкам для контроля.

Таблица нормальных уравнений

a]	b]	l]	s]	Контроль
[Pa	6,47	-1,28	-3,96	1,23	1,23 = 1,23
[Pb	Учитываем при контроле	4,96	-1,35	2,33	2,33 = 2,33

Решение нормальных уравнений.

		l	S	Контроль
N1	6,47	-1,28	-3,96	+1,23
	-1,00	0,198	0,612	-0,190	-0,190
N2	4,96	-1,35	2,33
	-0,25	-0,78	0,24
N2	4,71	-2,13	2,57	2,58
2	-1,00	0,452	-0,546	-0,548

= 0,452

= 0,198*0,452 + 0,612 = 0,701

Примечание к таблице:

N1 – первое нормальное уравнение

— элиминационное уравнение ( каждый член первого уравнения делим на первый коэффициент с противоположным знаком и получаем )

N2 – второе нормальное уравнение

— произведение второго коэффициента элиминационного уравнения на все члены первого нормального уравнения.

N2 – преобразованное второе нормальное уравнение ( складываем N2 и
)

2 = второе элиминационное уравнение ( каждый член второго преобразованного уравнения делим на первый коэффициент с противоположным знаком и получаем )