VMath
Инструменты сайта
Основное
Навигация
Информация
Действия
Содержание
Касательная, нормальная плоскость, соприкасающаяся плоскость, бинормаль, главная нормаль, репер Френе
Краткие теоретические сведения
Кривая в пространстве
Рассмотрим в пространстве гладкую кривую $\gamma$.
Пусть точка $M$ принадлежит данной кривой и отвечает значению параметра $t=t_0$. Тогда радиус-вектор и координаты данной точки равны:
\begin
Пусть в точке $M$ $ \vec
Касательная к кривой
Касательная к кривой, проведенная в точке $M$, имеет направляющий вектор коллинеарный вектору $\vec
Пусть $\vec
Здесь $\lambda\in(-\infty,+\infty)$ — параметр, определяющий положение точки на касательной (то есть разным значениям $\lambda$ будут соответствовать разные значения $\vec
Если $\vec
Нормальная плоскость
Плоскость, проходящую через данную точку $M$ кривой $\gamma$ перпендикулярно касательной в этой точке, называют нормальной плоскостью.
Пусть $\vec
Если расписать покоординатно, то получим следующее уравнение:
\begin
Соприкасающаяся плоскость
Плоскость, проходящую через заданную точку $M$ кривой $\gamma$ параллельно векторам $\vec
Если $\vec
Зная координаты точки и векторов, определяющих плоскость, запишем смешанное произведение через определитель. Получим следующее уравнение соприкасающейся плоскости:
\begin
Бинормаль и главная нормаль
Прямая, проходящая через точку $M$ кривой $\gamma$ перпендикулярно касательной к кривой в этой точке, называется нормалью.
Таких кривых можно провести бесконечно много, все они образуют нормальную плоскость. Мы выделим среди нормалей две — бинормаль и главную нормаль.
Нормаль, перпендикулярную соприкасающейся плоскости, называют бинормалью.
Нормаль, лежащую в соприкасающейся плоскости, называют главной нормалью.
Из определения бинормали (перпендикулярна касательной и перпендикулярна соприкасающейся плоскости) следует, что в качестве ее направляющего вектора мы можем взять векторное произведение $ \vec
Как и раньше, $\vec
Из определения главной нормали (перпендикулярна касательной и перпендикулярна бинормали) следует, что в качестве ее направляющего вектора можно взять векторное произведение $\vec
Уравнение в каноническом виде распишите самостоятельно.
Спрямляющая плоскость
Плоскость, проходящую через заданную точку $M$ кривой $\gamma$ перпендикулярно главной нормали, называют спрямляющей плоскостью.
Другое определение: Плоскость, определяемую касательной к кривой и бинормалью в той же точке, называют спрямляющей плоскостью.
Второе определение позволяет записать уравнение спрямляющей плоскости через смешанное произведение трех компланарных векторов, определяющих эту плоскость $\vec
Репер Френе
Орт (то есть единичный вектор) касательной обозначим: $$ \vec<\tau>=\frac<\vec
Правая тройка векторов $\vec<\tau>$, $\vec<\nu>$, $\vec<\beta>$ называется репером Френе.
Решение задач
Задача 1
Кривая $\gamma$ задана параметрически:
Точка $M$, принадлежащая кривой, соответствует значению параметра $t=0$. Записать уравнения касательной, бинормали, главной нормали, нормальной плоскости, соприкасающейся плоскости и спрямляющей плоскости, проведенных к данной кривой в точке $M$. Записать векторы репера Френе.
Решение задачи 1
Задачу можно решать разными способами, точнее в разном порядке находить уравнения прямых и плоскостей.
Начнем с производных.
\begin
\begin
\begin
Поскольку направляющий вектор главной нормали у нас был найден как векторное произведение направляющих векторов касательной и бинормали, тройка $\vec<\tau>$, $\vec<\nu>$, $\vec<\beta>$ не будет правой (по определению векторного произведения вектор $\vec<\tau>\times\vec<\beta>$ направлен так, что тройка векторов $\vec<\tau>$, $\vec<\beta>$, $\vec<\nu>=\vec<\tau>\times\vec<\beta>$
— правая). Изменим направление одного из векторов. Например, пусть
Теперь тройка $\vec<\tau>$, $\vec<\nu>$, $\vec<\tilde<\beta>>$ образует репер Френе для кривой $\gamma$ в точке $M$.
Задача 2
Написать уравнение соприкасающейся плоскости к кривой $$ x=t,\,\, y=\frac
Решение задачи 2
Нетрудно заметить, что точка $N$ не принадлежит заданной кривой $\gamma$. Следовательно соприкасающаяся плоскость проведена в какой-то точке $M(t=t_0)\in\gamma$, но при этом плоскость проходит через заданную точку $N(0,0,9)$.
Найдем значение параметра $t_0$.
Для этого запишем уравнение соприкасающейся плоскости, проведенной в произвольной точке $M(t=t_0)$. И учтем, что координаты $N$ должны удовлетворять полученному уравнению.
Соприкасающаяся плоскость определяется векторами $\vec
\begin
Задача 3
Через точку $P\left(-\frac45,1,2\right)$ провести плоскость, являющуюся спрямляющей для кривой: $$ x=t^2,\,\, y=1+t,\,\, z=2t. $$
Решение задачи 3
Как и в предыдущей задаче нам неизвестны координаты точки, в которой проведена спрямляющая плоскость к заданной кривой. Найдем их.
Спрямляющая плоскость определяется касательной и бинормалью, то есть векторами $\vec
Записываем уравнение спрямляющей плоскости: \begin
Раскрываем определитель. Подставляем в уравнение координаты точки $P$: $X=-4/5$, $Y=1$, $Z=2$. Упрощаем и получаем уравнение для нахождения $t_0$: \begin
Уравнения соприкасающихся плоскостей к заданной кривой, проходящих через $P$, принимают вид: \begin
Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Касательной плоскостью к поверхности σ в её точке М0 называется плоскость, в которой лежат касательные ко всем кривым, проведённым на поверхности σ через точку М0.
Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением z = f(x,y) , в точке M0(x0,y0,z0) имеет вид:
Пример №1 . Поверхность задана уравнением x 3 +5y . Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M0(0;1).
Решение. Запишем уравнения касательной в общем виде: z — z0 = f’x(x0,y0,z0)(x — x0) + f’y(x0,y0,z0)(y — y0)
По условию задачи x0 = 0 , y0 = 1 , тогда z0 = 5
Найдем частные производные функции z = x^3+5*y :
f’x(x,y) = (x 3 +5•y)’x = 3•x 2
f’x(x,y) = (x 3 +5•y)’y = 5
В точке М0(0,1) значения частных производных:
f’x(0;1) = 0
f’y(0;1) = 5
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М0: z — 5 = 0(x — 0) + 5(y — 1) или -5•y+z = 0
Пример №2 . Поверхность задана неявным образом y 2 -1/2*x 3 -8z. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M0(1;0;1).
Решение. Находим частные производные функции. Поскольку функция задана в неявном виде, то производные ищем по формуле:
Для нашей функции:
Тогда:
В точке М0(1,0,1) значения частных производных:
f’x(1;0;1) = -3 /16
f’y(1;0;1) = 0
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М0: z — 1 = -3 /16(x — 1) + 0(y — 0) или 3 /16•x+z- 19 /16 = 0
Пример . Поверхность σ задана уравнением z= y/x + xy – 5x 3 . Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности σ в точке М0(x0, y0, z0), принадлежащей ей, если x0 = –1, y0 = 2.
Найдем частные производные функции z= f(x, y) = y/x + xy – 5x 3 :
fx’(x, y) = (y/x + xy – 5x 3 )’x = – y/x 2 + y – 15x 2 ;
fy’ (x, y) = (y/x + xy – 5x 3 )’y = 1/x + x.
Точка М0(x0, y0, z0) принадлежит поверхности σ, поэтому можно вычислить z0, подставив заданные x0 = –1 и y0 = 2 в уравнение поверхности:
Пример №1 . Дана функция z=f(x,y) и две точки А(х0, y0) и В(х1,y1). Требуется: 1) вычислить значение z1 функции в точке В; 2) вычислить приближенное значение z1 функции в точке В исходя из значения z0 функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом; 3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z = f(x,y) в точке C(x0,y0,z0).
Решение.
Запишем уравнения касательной в общем виде:
z — z0 = f’x(x0,y0,z0)(x — x0) + f’y(x0,y0,z0)(y — y0)
По условию задачи x0 = 1, y0 = 2, тогда z0 = 25
Найдем частные производные функции z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2:
f’x(x,y) = (x 2 +3•x•y•+y 2 )’x = 2•x+3•y 3
f’x(x,y) = (x 2 +3•x•y•+y 2 )’y = 9•x•y 2
В точке М0(1,2) значения частных производных:
f’x(1;2) = 26
f’y(1;2) = 36
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М0:
z — 25 = 26(x — 1) + 36(y — 2)
или
-26•x-36•y+z+73 = 0
Пример №2 . Написать уравнения касательной плоскости и нормали к эллиптическому параболоиду z = 2x 2 + y 2 в точке (1;-1;3).
Скачать решение
Производная по направлению. Градиент. Уравнение касательной плоскости к поверхности. Уравнение нормали
Вектор с координатами , , называется градиентом функции u = f (x, y, z) в точке M(x, y, z) и обозначается grad u = + + .
Под производной функции u = f (x, y, z) в данном направлении понимается выражение = cosa + cosb + cosg, где cosa, cosb, cosg – направляющие косинусы вектора
Производная представляет собой скорость изменения функции в данном направлении.
Теорема. Производная функции по направлению равна проекции градиента этой функции на данное направление (в соответствующей точке).
Как известно, проекция вектора на другой вектор имеет максимальное значение, если оба вектора совпадают по направлению.
Градиент функции в данной точке указывает напрвление наиболее быстрого возрастания функции.
Величина градиента, т.е. | grad u | = обозначается tg j и определяет крутизну наибольшего ската или подъема поверхности u = f (x, y).
Пусть М – точка поверхности S. Плоскость, содержащая точку М и обладающая тем свойством, что расстояние от этой плоскости до переменной точки M1 поверхности S является бесконечно малым по сравнению с расстоянием ММ1, называется касательной плоскостью к поверхности S в точке М.
Если поверхность в трехмерном пространстве задана уравнением f(x; y; z) = 0, где функция f достаточное число раз дифференцируема, то уравнение плоскости, касательной к этой поверхности в точке М(хМ; уМ; zМ), имеет вид:
, (**)
где – частные производные функции трех переменных f(x; y; z) по этим переменным.
Если же поверхность задана уравнением, разрешенным относительно аппликаты z, т.е. имеет вид z = z(x; y), то уравнение (**) касательной плоскости принимает вид:
(конечно, предполагается, что функция z имеет непрерывные первые частные производные).
Нормаль (франц. normal, от лат. normalis — прямой) к кривой (к поверхности) в данной её точке — прямая, проходящая через эту точку и перпендикулярная к касательной
прямой (касательной плоскости) в этой же точке кривой (поверхности). Плоская кривая имеет в каждой точке единственную Нормаль, расположенную в плоскости кривой. Если х = f (t) и у = g (t) — параметрические уравнения плоской кривой L, то уравнение Нормаль в точке (x0, y0) кривой L, соответствующей значению t0 параметра t, может быть записано в виде:
.
Для плоской кривой, заданной уравнением F (х, у) = 0, уравнение Нормаль имеет вид:
.
Пространственная кривая имеет в каждой своей точке бесчисленное множество Нормаль, заполняющих некоторую плоскость (нормальную плоскость). Нормаль, лежащая в соприкасающейся плоскости, называется главной нормалью. Нормаль, перпендикулярную к соприкасающейся плоскости, называется бинормалью. Касательная, главная Нормаль и бинормаль образуют подвижный триэдр кривой.
Для поверхности, заданной уравнением F (х, у, z) = 0, Нормаль может быть представлена уравнениями:
.
Понятие Нормаль играет существенную роль не только в дифференциальной геометрии, но и в различных её приложениях: в геометрической оптике (например, в формулировке основных законов преломления и отражения световых лучей), в механике (материальная точка или тело при перемещениях по гладким линиям или поверхностям испытывают реакцию, направленную по Нормаль, в консервативном поле силовые линии в каждой точке имеют направление Нормаль к изопотенциальной поверхности, проходящей через эту точку, и т.д.).
58. Екстремум функції двох змінних.
Понятие максимума, минимума, экстремума функции двух переменных аналогичны соответствующим понятиям функции одной независимой переменной (см. п. 25.4).
Пусть функция z = ƒ(х;у) определена в некоторой области D, точка N(x0;y0) Î D.
Точка (х0;у0) называется точкой максимума функции z=ƒ(х;у), если существует такая d-окрестность точки (х0;у0), что для каждой точки (х;у), отличной от (хо;уо), из этой окрестности выполняется неравенство ƒ(х;у) ƒ(х0;у0).
На рисунке 210: N1 — точка максимума, а N2 — точка минимума функции z=ƒ(x;у).
Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции называют ее экстремумами.
Отметим, что, в силу определения, точка экстремума функции лежит внутри области определения функции; максимум и минимум имеют локальный (местный) характер: значение функции в точке (х0;у0) сравнивается с ее значениями в точках, достаточно близких к (х0; у0). В области D функция может иметь несколько экстремумов или не иметь ни одного.
59. Найбільше та найменше значення функції багатьох змінних у замкненій області.
Рассматривается множество . Если определено правило, по которому каждой точке ставится в соответствие некоторое число (единственным образом), то говорят, что на множестве D определена (однозначная) функция . Как обычно, множество D называется областью определения функции, а множество всех соответствующих значений u: Q = <u> – множеством значений. Часто функцию u = F(x) называют отображением
При n = 2 уравнение F(x,y) = C задает линии уровня поверхности z = F(x,y), а при n = 3 уравнение F(x,y,z) = С – поверхности уровня.
Задание ФНП может быть неявным: F(x,u) = 0 или параметрическим .
Примеры .Поверхности 2 – го порядка.
Как и в случае одной переменной, определяется предел ФНП:
Вместо условия можно писать .
Справедливы все общие свойства пределов: арифметические свойства, переход к пределу в неравенствах и т.д.
Тем не менее, понятие предела ФНП оказывается более сложным за счет того, что стремление т. х к х о может осуществляться большим числом способов, нежели в случае одной переменной.
Пример.
По аналогии с функциями одной переменной, вводятся бесконечно малые и большие величины и понятие непрерывности:
Функция называется бесконечно малой при , если
Функция называется бесконечно большой при , если
Функция называется непрерывной в т. , если Функция непрерывна на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.
Остаются верными все свойства непрерывных функций: арифметические свойства, теорема о сохранении знака. Теоремы об ограниченности непрерывной функции, о переходе через промежуточные значения и о достижении максимума и минимума формулируются для замкнутых областей. Верна также теорема о непрерывности сложной функции: пусть функция непрерывна в т. х о , а функции в т. В этом случае функция
http://math.semestr.ru/math/tangent-plane.php
http://mydocx.ru/6-78704.html