Уравнение нормали к поверхности примеры

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Касательной плоскостью к поверхности σ в её точке М₀ называется плоскость, в которой лежат касательные ко всем кривым, проведённым на поверхности σ через точку М₀.
Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением z = f(x,y) , в точке M₀(x₀,y₀,z₀) имеет вид:

Пример №1 . Поверхность задана уравнением x 3 +5y . Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M₀(0;1).
Решение. Запишем уравнения касательной в общем виде: z — z₀ = f’_x(x₀,y₀,z₀)(x — x₀) + f’_y(x₀,y₀,z₀)(y — y₀)
По условию задачи x₀ = 0 , y₀ = 1 , тогда z₀ = 5
Найдем частные производные функции z = x^3+5*y :
f’_x(x,y) = (x 3 +5•y)’_x = 3•x 2
f’_x(x,y) = (x 3 +5•y)’_y = 5
В точке М₀(0,1) значения частных производных:
f’_x(0;1) = 0
f’_y(0;1) = 5
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М₀: z — 5 = 0(x — 0) + 5(y — 1) или -5•y+z = 0

Пример №2 . Поверхность задана неявным образом y 2 -1/2*x 3 -8z. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M₀(1;0;1).
Решение. Находим частные производные функции. Поскольку функция задана в неявном виде, то производные ищем по формуле:

Для нашей функции:

Тогда:

В точке М₀(1,0,1) значения частных производных:
f’_x(1;0;1) = -3 /₁₆
f’_y(1;0;1) = 0
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М₀: z — 1 = -3 /₁₆(x — 1) + 0(y — 0) или 3 /₁₆•x+z- 19 /₁₆ = 0

Пример . Поверхность σ задана уравнением z= y/x + xy – 5x 3 . Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности σ в точке М₀(x₀, y₀, z₀), принадлежащей ей, если x₀ = –1, y₀ = 2.
Найдем частные производные функции z= f(x, y) = y/x + xy – 5x 3 :
f_x’(x, y) = (y/x + xy – 5x 3 )’_x = – y/x 2 + y – 15x 2 ;
f_y’ (x, y) = (y/x + xy – 5x 3 )’_y = 1/x + x.
Точка М₀(x₀, y₀, z₀) принадлежит поверхности σ, поэтому можно вычислить z₀, подставив заданные x₀ = –1 и y₀ = 2 в уравнение поверхности:

Пример №1 . Дана функция z=f(x,y) и две точки А(х₀, y₀) и В(х₁,y₁). Требуется: 1) вычислить значение z₁ функции в точке В; 2) вычислить приближенное значение z₁ функции в точке В исходя из значения z₀ функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом; 3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z = f(x,y) в точке C(x₀,y₀,z₀).
Решение.
Запишем уравнения касательной в общем виде:
z — z₀ = f’_x(x₀,y₀,z₀)(x — x₀) + f’_y(x₀,y₀,z₀)(y — y₀)
По условию задачи x₀ = 1, y₀ = 2, тогда z₀ = 25
Найдем частные производные функции z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2:
f’_x(x,y) = (x 2 +3•x•y•+y 2 )’_x = 2•x+3•y 3
f’_x(x,y) = (x 2 +3•x•y•+y 2 )’_y = 9•x•y 2
В точке М₀(1,2) значения частных производных:
f’_x(1;2) = 26
f’_y(1;2) = 36
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М₀:
z — 25 = 26(x — 1) + 36(y — 2)
или
-26•x-36•y+z+73 = 0

Пример №2 . Написать уравнения касательной плоскости и нормали к эллиптическому параболоиду z = 2x 2 + y 2 в точке (1;-1;3).
Скачать решение

Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Пусть поверхность задана в неявном виде: $F(x,y,z)=0$ и пусть точка $M_0(x_0,y_0,z_0)$ принадлежит данной поверхности. Тогда уравнение касательной плоскости к этой поверхности в точке $M_0$ таково:

Уравнение нормали имеет вид:

Если же уравнение поверхности задано в явном виде $z=f(x,y)$, то уравнение касательной плоскости имеет вид:

Уравнение нормали в случае явного задания поверхности таково:

Примечание (желательное для более полного понимания текста): показать\скрыть

Формулы (3) и (4) легко получить из формул (1) и (2). Если $z=f(x,y)$, то перенося $z$ в правую часть равенства получим: $f(x,y)-z=0$. Обозначая $F(x,y,z)=f(x,y)-z$, получим: $F_^<'>=\left(f(x,y)-z\right)_^<'>=f_^<'>(x,y)-0=f_^<'>(x,y)$. Аналогично и $F_^<'>=\left(f(x,y)-z\right)_^<'>=f_^<'>(x,y)-0=f_^<'>(x,y)$. Что же касается последней производной (т.е. производной по переменной $z$), то тут нужно учесть, что выражение $f(x,y)$ не содержит $z$, поэтому: $F_^<'>=\left(f(x,y)-z\right)_^<'>=0-1=-1$. Подставляя в формулы (1) и (2) вместо $F_^<'>$, $F_^<'>$, $F_^<'>$ соответственно $f_^<'>$, $f_^<'>$ и $-1$ и получим формулы (3) и (4).

Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности $z=3x^2y^4-6xy^3+5x-4y+10$ в точке $M_0(-2;1;20)$.

Поверхность задана в явном виде, посему для нахождения уравнений касательной плоскости и нормали будем применять формулы (3) и (4). Значения $x_0$, $y_0$, $z_0$ (координаты точки $M_0$) в нашем случае таковы: $x_0=-2$, $y_0=1$, $z_0=20$. Но перед тем, как переходить к решению, осуществим небольшую проверку. Убедимся, что точка $M_0$ действительно лежит на заданной поверхности. Эта проверка не является обязательной, но желательна, ибо ошибка в условиях подобных задач – дело вовсе не редкое. Подставим $x=x_0$, $y=y_0$ в уравнение нашей поверхности и убедимся, что $z_0$ действительно равно 20:

$$ z_0=3x_<0>^<2>y_<0>^<4>-6x_0y_<0>^<3>+5x_0-4y_0+10=3\cdot (-2)^2\cdot 1^4-6\cdot (-2)\cdot 1^3-4\cdot 1+10=12+12-4=20. $$

Проверка пройдена, точка $M_0$ действительно лежит на заданной поверхности. Теперь найдём частные производные, т.е. $z_^<'>$ и $z_^<'>$:

Нас интересуют значения частных производных именно в точке $M_0$, посему подставим $x=x_0$, $y=y_0$ в выражения частных производных:

Подставляя $x_0=-2$, $y_0=1$, $z_0=20$, $z_^ <'>\left(x_0, y_0\right)=-13$, $z_^ <'>\left(x_0, y_0\right)=80$ в формулу (3) получим уравнение касательной плоскости:

Подставляя $x_0=-2$, $y_0=1$, $z_0=20$, $z_^ <'>\left(x_0, y_0\right)=-13$, $z_^ <'>\left(x_0, y_0\right)=80$ в формулу (4) получим уравнение нормали:

Ответ: Касательная плоскость: $-13x+80y-z-86=0$; нормаль: $\frac<-13>=\frac<80>=\frac<-1>$.

Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности $z=5\sqrt-2xy-39$ в точке $M_0(3;-4;z_0)$.

Поверхность задана в явном виде, посему для нахождения уравнений касательной плоскости и нормали будем применять формулы (3) и (4). Значения $x_0$ и $y_0$ (первая и вторая координаты точки $M_0$) заданы по условию: $x_0=3$, $y_0=-4$. Третью координату (т.е. $z_0$) нужно определить самостоятельно, подставив в заданное уравнение $x=x_0$ и $y=y_0$:

Теперь, как и в предыдущем примере, перейдём к нахождению частных производных $z_^<'>$ и $z_^<'>$. После того, как мы найдём эти производные в общем виде, укажем их значения при $x=x_0$ и $y=y_0$:

Подставляя $x_0=3$, $y_0=-4$, $z_0=10$, $z_^ <'>\left(x_0, y_0\right)=11$, $z_^ <'>\left(x_0, y_0\right)=-10$ в формулы (3) и (4) получим уравнения касательной плоскости и нормали:

Ответ: Касательная плоскость: $11x-10y-z-63=0$; нормаль: $\frac<11>=\frac<-10>=\frac<-1>$.

Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности $3xy^2z+5xy+z^2=10xz-2y+1$ в точке $M_0(1;-2;3)$.

Перенесём все слагаемые в левую часть равенства и обозначим полученное в левой части выражение как $F(x,y,z)$:

Используем формулы (1) и (2). Значения $x_0$, $y_0$ и $z_0$ как и ранее обозначают координаты точки $M_0$, т.е. $x_0=1$, $y_0=-2$, $z_0=3$.

Проверим, действительно ли точка $M_0$ лежит на данной поверхности. Для этого подставим $x=x_0$, $y=y_0$ и $z=z_0$ в выражение $3xy^2z+5xy+z^2-10xz+2y-1$ и выясним, равен ли нулю полученный результат:

Итак, точка $M_0$ действительно лежит на данной поверхности. Естественно, что данная проверка не является обязательной, но она крайне желательна. Перейдём к дальнейшему решению. Нам нужно найти $F_^<'>$, $F_^<'>$ и $F_^<'>$:

Нас интересуют значения частных производных именно в точке $M_0$, посему подставим $x=x_0$, $y=y_0$ и $z=z_0$ в выражения частных производных:

Подставляя $x_0=1$, $y_0=-2$, $z_0=3$, $F_^ <'>\left(M_0\right)=-4$, $F_^ <'>\left(M_0\right)=-29$ и $F_^ <'>\left(M_0\right)=8$ в формулы (1) и (2) получим уравнения касательной плоскости и нормали:

Ответ: Касательная плоскость: $-4x-29y+8z-78=0$; нормаль: $\frac<-4>=\frac<-29>=\frac<8>$.

Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности $z^3+4xyz=-3x^2+5y+7$ в точке $M_0(0;-3;z_0)$.

Поверхность задана в неявном виде, посему для нахождения уравнений касательной плоскости и нормали будем применять формулы (1) и (2). Значения $x_0$ и $y_0$ (первая и вторая координаты точки $M_0$) заданы по условию: $x_0=0$, $y_0=-3$. Третью координату (т.е. $z_0$) нужно определить самостоятельно, подставив в заданное уравнение $x=x_0$ и $y=y_0$:

Перенесём все слагаемые в левую часть равенства:

Обозначим $F(x,y,z)=z^3+4xyz+3x^2-5y-7$ и применим формулы (1) и (2). Найдём частные производные первого порядка $F_^<'>$, $F_^<'>$ и $F_^<'>$. После того, как мы найдём эти производные в общем виде, укажем их значения в точке $M_0$:

Подставляя $x_0=0$, $y_0=-3$, $z_0=-2$, $F_^ <'>\left(M_0\right)=-24$, $F_^ <'>\left(M_0\right)=-5$ и $F_^ <'>\left(M_0\right)=12$ в формулы (1) и (2) получим уравнения касательной плоскости и нормали:

Ответ: Касательная плоскость: $-24x-5y+12z+9=0$; нормаль: $\frac<-24>=\frac<-5>=\frac<12>$.

Заметили ошибку, опечатку, или некорректно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).

Поверхности

Простые поверхности.

Будем говорить, что функция \(f(u, v)\) непрерывно дифференцируема на замкнутом множестве \(E \subset \boldsymbol^<2>\), если она определена и имеет непрерывные частные производные \(\partial f/\partial u\) и \(\partial f/\partial v\) на открытом множестве \(G\), содержащем замкнутое множество \(E\).

Пусть \(\Omega\) — ограниченная область в \(\boldsymbol^<2>\), а функции \(\varphi(u, v)\), \(\psi(u, v)\) и \(\chi(u, v)\) непрерывно дифференцируемы на замкнутом множестве \(\overline <\Omega>= \Omega \cup \partial \Omega\), где \(\partial \Omega\) — граница области \(\Omega\). Тогда отображение \(F: \overline <\Omega>\rightarrow \boldsymbol^<3>\), определяемое формулами
$$
x = \varphi(u, v),\quad y = \psi(u, v),\quad z = \chi(u, v),\quad (u, v) \in \overline<\Omega>,\label
$$
называется непрерывно дифференцируемым.

Если при этом в каждой точке \((u, v) \in \Omega\) ранг функциональной матрицы
$$
\begin\varphi_(u, v)&\psi_(u, v)&\chi_(u, v)\\\varphi_(u, v)&\psi_(u, v)&\chi_(u, v)\end\label
$$
равен двум, то отображение \(F: \rightarrow \boldsymbol^<3>\) называется гладким.

Если \(\overline<\Omega>\) есть замкнутое ограниченное множество в \(\boldsymbol^<2>\), a \(F: \overline <\Omega>\rightarrow \boldsymbol^<3>\) есть такое гладкое отображение, что соответствие между множествами \(\overline<\Omega>\) и \(\Sigma = F(\overline<\Omega>)\) является взаимно однозначным, то будем множество \(\Sigma\) называть простой поверхностью в \(\boldsymbol^<3>\), а уравнения \eqref будем называть параметрическими уравнениями простой поверхности \(\Sigma\).

Пусть область \(\Omega\) ограничена простым гладким или кусочно гладким контуром \(\gamma\). Образ кривой \(\gamma\) при гладком отображении \(F: \overline <\Omega>\rightarrow \boldsymbol^<3>\) будем называть краем простой поверхности \(\Sigma\) и обозначать через \(\partial \Sigma\).

Если уравнение кривой \(\gamma\) имеет вид
$$
u = u(t),\quad v = v(t),\quad \alpha \leq t \leq \beta,\nonumber
$$
то уравнение \(\partial\Sigma\) задается следующими формулами:
$$
x = \varphi(u(t), v(t)),\quad y = \psi(u(t), v(t)),\quad z = \chi(u(t), v(t)),\quad \alpha \leq t \leq \beta.\label
$$

График функции \(z = f(x, y)\), непрерывно дифференцируемой на замкнутом ограниченном множестве \(\overline <\Omega>\subset \boldsymbol^<2>\), есть простая поверхность, определяемая параметрическими уравнениями
$$
x = u,\quad y = v,\quad z = f(u, v),\quad (u, v) \in \overline<\Omega>.\label
$$

В этом случае матрица \(\beginx_&x_\\x_&y_\end\) является единичной, а поэтому ранг матрицы \eqref равен двум.

Например, график функции \(z = x^ <2>+ y^<2>\), \((x, y) \in \overline<\Omega>\), где \(\overline <\Omega>= \ <(x, y): x^<2>+ y^ <2>\leq 1\>\), есть простая поверхность. Окружность, получаемая при пересечении параболоида вращения \(z = x^ <2>+ y^<2>\) и плоскости \(z = 1\), является краем рассматриваемой простой поверхности.

Уравнения \eqref простой поверхности можно записать и в векторной форме:
$$
\boldsymbol = \boldsymbol(u, v),\quad (u, v) \in \overline<\Omega>,\quad \boldsymbol(u, v) = \varphi(u, v) \boldsymbol + \psi(u, v) \boldsymbol + \chi(u, v) \boldsymbol.\label
$$

С механической точки зрения формулы \eqref определяют гладкую (без разрывов и изломов) деформацию плоской области \(\Omega\) в множество \(\Sigma\) (простую поверхность в пространстве \(\boldsymbol^<3>\)). Для практических целей только простых поверхностей недостаточно. Например, сфера \(x^ <2>+ y^ <2>+ z^ <2>= a^<2>\) не является простой поверхностью в \(\boldsymbol^<3>\). Интуитивно ясно, что сферу нельзя получить никакой гладкой деформацией плоской области.

Имея в виду приложения теории поверхностных интегралов, введем в рассмотрение класс почти простых поверхностей.

Пусть \(\Omega\) — плоская область и \(F: \overline <\Omega>\rightarrow \boldsymbol^<3>\) — непрерывно дифференцируемое отображение. Будем множество \(\Sigma = F(\overline<\Omega>)\) называть почти простой поверхностью в \(\boldsymbol^<3>\), если найдется расширяющаяся последовательность ограниченных областей \(\<\Omega_\>\) таких, что \(\overline<\Omega>_ \subset \Omega_\), \(\Omega = \displaystyle\bigcup_^<\infty>\Omega_\) и поверхности \(\Sigma_ = F(\overline<\Omega>_)\) простые.

Сфера \(S = \ <(x, y, z): x^<2>+ y^ <2>+ z^ <2>= a^<2>\>\) есть почти простая поверхность.

\(\vartriangle\) Введем сферические координаты. Тогда сфера \(S\) есть образ прямоугольника \(\overline <\Omega>= \displaystyle\left\<(\varphi, \psi): 0 \leq \varphi \leq 2\pi,\ -\frac<\pi> <2>\leq \psi \leq \frac<\pi><2>\right\>\) при непрерывно дифференцируемом отображении \(F: \overline <\Omega>\rightarrow S\), определяемом формулами
$$
x = a \cos \varphi \cos \psi,\qquad y = a \sin \varphi \cos \psi,\qquad z = a \sin \psi.\nonumber
$$

Образами отрезков \(\varphi = \varphi_<0>\), \(\displaystyle-\frac<\pi> <2>\leq \psi \leq \frac<\pi><2>\) являются меридианы, а при \(\displaystyle|\psi_<0>| Рис. 52.1

Конус \(K = \ <(x, y, z): x^<2>+ y^ <2>= z^<2>\>\) есть почти простая поверхность.

\(\vartriangle\) Введем цилиндрические координаты. Тогда конус \(K\) есть образ полуполосы
$$
\overline <\Omega>= \ <(r, \varphi): 0 \leq r Рис. 52.2

Легко проверить, что \(\overline<\Omega>_ \subset \Omega_\), \(\Omega = \displaystyle\bigcup_^<\infty>\Omega_\) и что поверхности \(\Sigma_ = F(\overline<\Omega>_)\) являются простыми. Поэтому конус \(K\) — почти простая поверхность. \(\blacktriangle\)

Если \(\Sigma\) есть простая поверхность, заданная векторным уравнением \eqref, а непрерывно дифференцируемые функции
$$
u = u(u’, v’),\ v = v(u’, v’),\ (u’, v’) \in \Omega’\nonumber
$$
задают взаимно однозначное отображение замыкания области \(\Omega’\) на замыкание ограниченной области \(\Omega\), причем якобиан отображения
$$
\frac<\partial(u, v)> <\partial(u’, v’)>= \begin\displaystyle\frac<\partial u><\partial u’>&\displaystyle\frac<\partial u><\partial v’>\\\displaystyle\frac<\partial v><\partial u’>&\displaystyle\frac<\partial v><\partial v’>\end\nonumber
$$
отличен от нуля в \(\overline<\Omega>’\), то уравнение
$$
\boldsymbol = \boldsymbol (u(u’, v’), v(u’, v’)) \equiv \boldsymbol<\rho>(u’, v’);\quad (u’, v’) \in \Omega’,\label
$$
определяет ту же простую поверхность, что и уравнение \eqref. Уравнения \eqref и \eqref называют различными параметризациями поверхности \(\Sigma\).

Как и в случае кривых, можно расширить класс параметризаций, допуская и такие замены параметров, при которых непрерывная дифференцируемость, взаимная однозначность и необращение в нуль якобиана отображения нарушаются на границе области. Тогда можно получить такие параметризации простой поверхности, задаваемые функциями, непрерывная дифференцируемость которых не имеет места на границе области \(\Omega\).

\(\vartriangle\) Переход от уравнений \eqref к уравнениям \eqref задается формулами
$$
u = a \cos \varphi \cos \psi,\quad v = a \sin \varphi \cos \psi,\quad (\varphi, \psi) \in \Omega’.\label
$$

Якобиан отображения \eqref равен \(a^ <2>\sin \varphi \cos \psi\) и обращается в нуль при \(\psi = 0\), то есть на части границы области \(\Omega’\). Это приводит к тому, что при переходе к параметризации \eqref частные производные функции \(z = \sqrt-u^<2>-v^<2>>\) стремятся к бесконечности при приближении точки \(u, v\) к окружности \(u^ <2>+ v^ <2>= a^<2>\). \(\blacktriangle\)

Как правило, в дальнейшем для простых поверхностей будут рассматриваться только такие параметризации, которые задаются непрерывно дифференцируемыми на замкнутом ограниченном множестве функциями.

Криволинейные координаты на поверхности.

Пусть простая поверхность \(\Sigma\) задана векторным уравнением \eqref. Предположим, что область \(\Omega\) выпукла, \([a, b]\) есть проекция области \(\Omega\) на ось \(u\). Если \(u_ <0>= \in (a, b)\), то прямая \(u = u_<0>\) будет пересекаться с областью \(\Omega\) по отрезку \(u = u_<0>\), \(\alpha \leq v \leq \beta\) (рис. 52.3). Образ этого отрезка при отображении \eqref есть кривая
$$
\boldsymbol = \boldsymbol (u_<0>, v),\ \alpha \leq v \leq \beta,\label
$$
лежащая на поверхности \(\Sigma\). Будем называть ее координатной кривой \(u = u_<0>\). Придавая \(u_<0>\) все значения из отрезка \([a, b]\), получим семейство координатных кривых \(u = \operatorname\). Аналогично строится и семейство координатных кривых \(v = \operatorname\).

Рис. 52.3

В силу взаимной однозначности отображения \eqref каждая точка \(A\) поверхности \(S\) однозначно определяется как пересечение двух координатных кривых, \(u = u_<0>\) и \(v = v_<0>\). Пара чисел \((u_<0>, v_<0>)\) называется криволинейными координатами точки \(A\) поверхности. Запись \(A(u_<0>, v_<0>)\) означает, что точка \(A\) поверхности \(\Sigma\) задана криволинейными координатами \((u_<0>, v_<0>)\).

Например, в сферических координатах часть сферы \(x^ <2>+ y^ <2>+ z^ <2>= a^<2>\), ограниченная двумя меридианами и двумя параллелями, задается в криволинейных координатах \(\varphi\), \(\psi\) следующим образом:
$$
\varphi_ <1>\leq \varphi \leq \varphi_<2>,\quad \psi_ <1>\leq \psi \leq \psi_<2>.\nonumber
$$

На сфере координатные кривые \(\varphi = \operatorname\) — меридианы, а координатные кривые \(\psi = \operatorname\) — параллели.

На прямом круговом цилиндре координатными линиями будут образующие цилиндра и окружности, получающиеся при пересечении цилиндра плоскостями, перпендикулярными образующей.

Вектор-функция \(\boldsymbol (u_<0>, v)\) есть непрерывно дифференцируемая функция параметра \(v\), и, следовательно, координатная кривая \(u = u_<0>\), определяемая равенством \eqref, является непрерывно дифференцируемой. Вектор \(\boldsymbol_ (u_<0>, v_<0>)\) является касательным к этой кривой в точке \(A(u_<0>, v_<0>)\). Аналогично, вектор \(\boldsymbol_ (u_<0>, v_<0>)\) касателен к координатной кривой \(v = v_<0>\) в точке \(A(u_<0>, v_<0>)\). Заметим, что векторы \(\boldsymbol_ (u_<0>, v_<0>)\) и \(\boldsymbol_ (u_<0>, v_<0>)\) не могут обратиться в нуль, так как в этом случае ранг матрицы \eqref будет меньше двух. Следовательно, для простой поверхности координатные кривые являются гладкими.

Если область \(\Omega\) не является выпуклой, а точка \((u_<0>, v_<0>)\) лежит внутри \(\Omega\), то нужно взять выпуклую окрестность точки \((u_<0>, v_<0>)\), лежащую внутри \(\Omega\). Тогда образ этой выпуклой окрестности будет куском поверхности \(\Sigma\) и координатные кривые можно строить на этом куске поверхности (локально).

Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Пусть \(\Sigma\) есть простая поверхность, заданная уравнениями \eqref или векторным уравнением \eqref. Рассмотрим точку \(A(u, v)\) на поверхности \(\Sigma\), где \((u, v)\) — внутренняя точка области \(\Omega\). Построим координатные линии \(u = \operatorname\) и \(v = \operatorname\), проходящие через точку \(A(u, v)\). Векторы \(\boldsymbol_ (u, v)\) и \(\boldsymbol_ (u, v)\) будут касательными к соответствующим координатным линиям.

В любой точке \(A(u, v)\) простой поверхности \(\Sigma\) векторы \(\boldsymbol_ (u, v)\) и \(\boldsymbol_(u, v)\) неколлинеарны. Направление вектора \(N = [\boldsymbol_, \boldsymbol_]\) при изменении способа параметризации или не меняется, или изменяется на противоположное.

\(\circ\) Рассмотрим вектор \(N = [\boldsymbol_, \boldsymbol_]\) во всех точках поверхности \(\Sigma\). Тогда
$$
\boldsymbol=\beginy_&z_\\y_&z_\end\boldsymbol + \beginz_&x_\\z_&x_\end\boldsymbol + \beginx_&y_\\x_&y_\end\boldsymbol.\nonumber
$$
Если \(\boldsymbol = \boldsymbol<0>\), то все компоненты вектора \(\boldsymbol\) равны нулю, и ранг матрицы \eqref будет меньше двух, что невозможно для простой поверхности. Пусть поверхность \(\Sigma\) параметризована двумя способами, \eqref и \eqref. Тогда, воспользовавшись правилом нахождения частных производных сложной функции и аддитивностью и кососимметричностью векторного произведения, получаем
$$
\boldsymbol’ = [\boldsymbol<\rho>_, \boldsymbol<\rho>_] = [\boldsymbol_ \frac<\partial u> <\partial u’>+ \boldsymbol_ \frac<\partial v><\partial u’>,\ \boldsymbol_ \frac<\partial u> <\partial v’>+ \boldsymbol_ \frac<\partial v><\partial v’>] =\\= [\boldsymbol_, \boldsymbol_] \left(\frac<\partial u><\partial u’>\frac<\partial v><\partial u’>-\frac<\partial u><\partial v’>\frac<\partial v><\partial v’>\right) = [\boldsymbol_, \boldsymbol_] \frac<\partial(u, v)><\partial(u’, v’)>,\nonumber
$$
то есть
$$
\boldsymbol’ = \boldsymbol \frac<\partial(u, v)><\partial(u’, v’)>.\label
$$
Так как якобиан \(J = \displaystyle\frac<\partial(u, v)><\partial(u’, v’)>\) не обращается в нуль в области \(\Omega’\), то векторы \(\boldsymbol’\) и \(\boldsymbol\) коллинеарны. Эти векторы сонаправлены, если \(J > 0\), и противоположно направлены, если \(J Лемма 2.

Вектор нормали к простой поверхности \(\Sigma\) в точке \(A(u_<0>, v_<0>)\) ортогонален ко всем гладким кривым, лежащим на поверхности и проходящим через точку \(A(u_<0>, v_<0>)\).

\(\circ\) В самом деле, такая кривая есть образ при отображении \eqref некоторой гладкой кривой, лежащей в области \(\Omega\) и задаваемой уравнениями \(u = u(t)\), \(v = v(t)\), \(\alpha \leq t \leq \beta\).

Уравнение кривой на поверхности тогда имеет вид
$$
\boldsymbol = \boldsymbol(u(t), v(t)),\ \alpha \leq t \leq \beta,\ u(t_<0>) = u_<0>,\ v(t_<0>) = v_<0>.
$$

Касательный вектор \(\boldsymbol<\tau>\) к этой кривой в точке \(A\) есть
$$
\boldsymbol <\tau>= \frac