Уравнение нормали к прямой заданной уравнением

Нормальное (нормированное) уравнение прямой: описание, примеры, решение задач

В данной статье рассмотрим нормальное уравнение прямой на заданной плоскости. Получим нормальное уравнение, покажем не примере, дадим определение нормирующего множителя и разберем приведение общего уравнения к нормальному виду. Заключительной части посвятим основному приложению нормального уравнения прямой, то есть нахождение расстояние от точки до прямой на плоскости.

Нормальное уравнение прямой – описание и пример

Рассмотрим выведение нормального уравнения.

Фиксируем на плоскости систему координат О х у , где задаем прямую с точкой, через которую она проходит с нормальным вектором прямой. Нормальному вектору прямой дадим обозначение n → . Его начало обозначено точкой O . координатами являются cos α и cos β , углы которых расположены между вектором n → и положительными осями О x и O y . Это запишется так: n → = ( cos α , cos β ) . Прямая проходит через точку A с расстоянием равным p , где p ≥ 0 от начальной точки O при положительном направлении вектора n → . Если р = 0 , тогда A считается совпадающей с точкой координат. Отсюда имеем, что O A = p . Получаем уравнение, при помощи которого задается прямая.

Имеем, что точка с координатами M ( x , y ) расположена на прямой тогда и только тогда, когда числовая проекция вектора O M → по направлению вектора n → равняется p , значит при выполнении условия n p n → O M → = p .

O M → является радиус-вектором точки с координатами M ( x , y ) , значит O M → = ( x , y ) .

Применив определение скалярного произведения векторов, получим равенство вида: n → , O M → = n → · n p n → O M → = 1 · n p n → O M → = n p n → O M → = p

Тогда это же произведение будет иметь вид в координатной форме: n → , O M → = cos α · x + cos β · y

Отсюда cos α · x + cos β · y = p или cos α · x + cos β · y — p = 0 . Было выведено нормальное уравнение прямой.

Уравнение вида cos α · x + cos β · y — p = 0 называется нормальным уравнением прямой или нормированным уравнением прямой. Иначе говоря, уравнение прямой в нормальном виде.

Понятно, что такое уравнение представляет собой общее уравнение прямой A x + B y + C = 0 , где A и B имеют значения, при которых длина вектора n → = ( A , B ) равна 1 , а C является неотрицательным числом.

Теперь рассмотрим его геометрический смысл. Нормальное уравнение прямой вида cos α · x + cos β · y — p = 0 задает в системе координат О х у на плоскости прямую с наличием нормального вектора единичной длины n → = ( cos α , cos β ) , которая располагается на расстоянии равном p от начала координат по положительному направлению вектора n → .

Если дано уравнение прямой вида — 1 2 · x + 3 2 · y — 3 = 0 , то на плоскости задается прямая, у которой нормальный вектор с координатами — 1 2 , 3 2 . Удаление прямой от начала координат идет по направлению, совпадающему с направлением нормального вектора n → = — 1 2 , 3 2 .

Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду

Часто решение задач подразумевает использование нормального уравнения прямой, но само оно не дается в нормальном виде, поэтому необходимо для начала приводить к нормальному виду, после чего выполнять необходимые вычисления.

Нормальное уравнение получают из общего уравнения прямой. Когда на плоскости задается другим уравнением, то необходимо привести его к общему виду, после чего возможно приведение к нормальному. Если рассмотреть на примере, то это будет выглядеть так.

Для приведения общего уравнения прямой A x + B x + C = 0 к нормальному необходимо обе части умножить на нормирующий множитель, который имеет значение ± 1 A 2 + B 2 . Его знак определяется при помощи противоположности знака слагаемого C . При С = 0 знак выбирается произвольно.

Привести уравнение прямой 3 x — 4 y — 16 = 0 к нормальному виду.

Из общего уравнения видно, что А = 3 , В = — 4 , С = — 16 . Так как значение C отрицательное, необходимо брать положительный знак для формулы. Перейдем к вычислению нормирующего множителя:

1 A 2 + B 2 = 1 3 2 + ( — 4 ) 2 = 1 5

Теперь необходимо умножить обе части уравнения на одну пятую. Получим, что 1 5 · ( 3 x — 4 y — 16 ) = 0 ⇔ 3 5 · x — 4 5 · y — 16 5 = 0 .

Нормальное уравнение по заданной прямой найдено.

Ответ: 3 5 · x — 4 5 · y — 16 5 = 0 .

Нормальный вектор прямой

Вы будете перенаправлены на Автор24

В аналитической геометрии часто требуется составить общее уравнение прямой по принадлежащей ей точке и вектору нормали к прямой.

Нормаль – синоним для слова перпендикуляр.

Общее уравнение прямой на плоскости выглядит как $Ax + By + C = 0$. Подставляя в него различные значениях $A$, $B$ и $C$, в том числе нулевые, можно определить любые прямые.

Можно выразить уравнение прямой и другим способом:

Это уравнение прямой с угловым коэффициентом. В нем геометрический смысл коэффициента $k$ заключается в угле наклона прямой по отношению к оси абсцисс, а независимого члена $b$ — в расстоянии, на которое прямая отстоит от центра координатной плоскости, т.е. точки $O(0; 0)$.

Рисунок 1. Варианты расположения прямых на координатной плоскости. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Нормальное уравнение прямой можно выразить и в тригонометрическом виде:

$x \cdot \cos <\alpha>+ y \cdot \sin <\alpha>— p = 0$

где $\alpha$ — угол между прямой и осью абсцисс, а $p$ — расстояние от начала координат до рассматриваемой прямой.

Возможны четыре варианта зависимости наклона прямой от величины углового коэффициента:

1. когда угловой коэффициент положителен, направляющий вектор прямой идёт снизу вверх;
2. когда угловой коэффициент отрицателен, направляющий вектор прямой идёт сверху вниз;
3. когда угловой коэффициент равен нулю, описываемая им прямая параллельна оси абсцисс;
4. для прямых, параллельных оси ординат, углового коэффициента не существует, поскольку тангенс 90 градусов является неопределенной (бесконечной) величиной.

Готовые работы на аналогичную тему

Чем больше абсолютное значение углового коэффициента, тем круче наклонен график прямой.

Зная угловой коэффициент, легко составить уравнение графика прямой, если дополнительно известна точка, принадлежащая искомой прямой:

$y — y_0 = k \cdot (x — x_0)$

Таким образом, геометрически прямую на координатной всегда можно выразить с помощью угла и расстояния от начала координат. В этом и заключается смысл нормального вектора к прямой — самого компактного способа записи ее положения, если известны координаты хотя бы одной точки, принадлежащей этой прямой.

Вектором нормали к прямой, иначе говоря, нормальным вектором прямой, принято называть ненулевой вектор, перпендикулярный рассматриваемой прямой.

Для каждой прямой можно найти бесконечное множество нормальных векторов, равно как и направляющих векторов, т.е. таких, которые параллельны этой прямой. При этом все нормальные векторы к ней будут коллинеарными, хотя и не обязательно сонаправлены.

Обозначив нормальный вектор прямой как $\vec(n_1; n_2)$, а координаты точки как $x_0$ и $y_0$, можно представить общее уравнение прямой на плоскости по точке и вектору нормали к прямой как

$n_1 \cdot (x — x_n) + n_2 \cdot (y — y_0) = 0$

Таким образом, координаты вектора нормали к прямой пропорциональны числам $A$ и $B$, присутствующим в общем уравнении прямой на плоскости. Следовательно, если известно общее уравнение прямой на плоскости, то можно легко вывести и вектор нормали к прямой. Если прямая, задана уравнением в прямоугольной системе координат

то нормальный вектор описывается формулой:

При этом говорят, что координаты нормального вектора «снимаются» с уравнения прямой.

Нормальный к прямой вектор и ее направляющий вектор всегда ортогональны по отношению друг к другу, т.е. их скалярные произведения равны нулю, в чем легко убедиться, вспомнив формулу направляющего вектора $\bar

(-B; A)$, а также общее уравнение прямой по направляющему вектору $\bar

(p_1; p_2)$ и точке $M_0(x_0; y_0)$:

В том, что вектор нормали к прямой всегда ортогонален направляющему вектору к ней можно убедиться с помощью скалярного произведения:

$\bar

\cdot \bar = -B \cdot A + A \cdot B = 0 \implies \bar

\perp \bar$

Всегда можно составить уравнение прямой, зная координаты принадлежащей ей точки и нормального вектора, поскольку направление прямой следует из его направления. Описав точку как $M(x_0; y_0)$, а вектор как $\bar(A; B)$, можно выразить уравнение прямой в следующем виде:

$A(x — x_0) + B(y — y_0) = 0$

Составить уравнение прямой по точке $M(-1; -3)$ и нормальному вектору $\bar(3; -1)$. Вывести уравнение направляющего вектора.

Для решения задействуем формулу $A \cdot (x — x_0) + B \cdot (y — y_0) = 0$

Подставив значения, получаем:

$3 \cdot (x — (-1)) — (-1) \cdot (y — (-3)) = 0$ $3 \cdot (x + 1) — (y + 3) = 0$ $3x + 3 — y — 3 = 0$ $3x — y = 0$

Проверить правильность общего уравнения прямой можно «сняв» из него координаты для нормального вектора:

$3x — y = 0 \implies A = 3; B = -1 \implies \bar(A; B) = \bar(3; -1),$

Что соответствует числам исходных данных.

Подставив реальные значения, проверим, удовлетворяет ли точка $M(-1; -3)$ уравнению $3x — y = 0$:

Равенство верно. Осталось лишь найти формулу направляющего вектора:

$\bar

(-B; A) \implies \bar

(1; 3)$

Ответ: $3x — y = 0; \bar

(1; 3).$

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 04 03 2021

Касательная и нормаль к графику функции

Основные формулы

Пусть на некотором интервале X задана функция . Нас интересуют геометрические характеристики графика этой функции в некоторой заданной точке при значении аргумента , где . Пусть функция имеет в производную, которую будем обозначать как . Тогда через точку мы можем провести касательную к графику. Тангенс угла α между осью абсцисс x и касательной равен производной функции в точке :
(1) .
А само уравнение касательной имеет вид:
(2) .
В аналитической геометрии тангенс угла между прямой и осью абсцисс называют угловым коэффициентом прямой. Таким образом производная равна угловому коэффициенту касательной в .
См. Геометрический смысл производной

Прямая, перпендикулярная касательной, проведенной через точку , называется нормалью к графику функции в этой точке. Уравнение нормали имеет вид:
(3) .
См. Уравнение прямой с угловым коэффициентом ⇓

Пусть две кривые и пересекаются в точке . Тогда угол φ между касательными к этим кривым в точке называется углом между кривыми. Он определяется по формуле:
(4) , где .
Отсюда .
при .
Вывод формулы ⇓

Определения

Здесь мы приводим определения, которые встречаются в литературе, и имеют отношение к касательной и нормали. Вывод формул приводится в примере 1 ⇓.

Определение касательной приводится здесь. Уравнение касательной:
.

Касательная TM₀, нормаль M₀N, подкасательная TP, поднормаль PN. Нормалью к графику функции в точке называется прямая, перпендикулярная касательной, проведенной через эту точку. Уравнение нормали:
.
Отрезком касательной называют отрезок между точкой пересечения касательной с осью абсцисс и точкой .
.
Отрезком нормали называют отрезок между точкой пересечения нормали с осью абсцисс и точкой .
.
Подкасательной называют отрезок между точкой пересечения касательной с осью абсцисс и проекции точки на эту ось.
.
Поднормалью называют отрезок между точкой пересечения нормали с осью абсцисс и проекции точки на эту ось.
.
Углом между кривыми в точке их пересечения называют угол между касательными к кривым, проведенных через точку .

Полезные формулы из аналитической геометрии

Далее приводятся некоторые сведения из аналитической геометрии, которые могут оказаться полезными при решении задач.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и :
.
Здесь – направляющий вектор прямой.

Умножив это уравнение на , получим уравнение прямой в другом виде:
.
Здесь – вектор нормали прямой. Тогда само уравнение означает равенство нулю скалярного произведения векторов и .

Уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору имеет вид:
.
Вектор называется направляющим вектором данной прямой. Это уравнение можно написать в параметрическом виде, введя параметр t :

Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору имеет вид:
.
Вектор называется вектором нормали данной прямой.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом k , проходящей через точку :
.
Угол α между прямой и осью x определяется по формуле:
.
Если две прямые взаимно перпендикулярны, то их угловые коэффициенты и связаны соотношением:
.

Уравнение прямой в отрезках, пересекающей оси координат в точках :
.

Примеры решения задач

Все примеры Ниже рассмотрены примеры решений следующих задач.
1. Найти уравнения касательной и нормали к кривой в точке . Найти длины отрезков касательной, нормали, подкасательной и поднормали. Решение ⇓
2. Составить уравнения касательной и нормали к циссоиде, заданной в параметрическом виде
, проведенных в точке . Решение ⇓
3. Заданной в неявном виде . Решение ⇓
4. Найти угол между кривыми и Решение ⇓

Пример 1

Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке . Найти длины отрезков касательной, нормали, подкасательной и поднормали.

Находим значение функции при :
.

Находим производную:
.
Находим производную в точке :
;
.

Находим уравнение касательной по формуле (2):
;
;
;
– уравнение касательной.
Строим касательную на графике. Поскольку касательная – это прямая, то нам нужно знать положения двух ее точек, и провести через них прямую.
При ;
при .
Проводим касательную через точки и .

Касательная и нормаль к графику функции y=x 2 в точке M₀(1;1).

Найдем угол α между касательной и осью абсцисс по формуле (1):
.
Подставляем :
;
.

Находим уравнение нормали по формуле (3):
;
;
;
;
;
– уравнение нормали.
Строим нормаль по двум точкам.
При ;
при .
Проводим нормаль через точки и .

Находим длину отрезка касательной . Из прямоугольника имеем:
.
Поясним использованную формулу. Поскольку , то . Тогда
.
Подставляем :
.

Находим длину отрезка подкасательной . Из прямоугольника имеем:
.
Подставляем :
.

Находим длину отрезка нормали . Поскольку и , то треугольники и подобны. Тогда . Из прямоугольника имеем:
.
Подставляем :
.

Находим длину отрезка поднормали . Из прямоугольника имеем:
.

Примечание.
При выводе формул, можно сначала определить длины отрезков подкасательной и поднормали, а затем из прямоугольников, по теореме Пифагора, найти длины отрезков касательной и нормали:
;
.

Уравнение касательной: ; уравнение нормали: ;
длина отрезка касательной: ; длина отрезка нормали: ; длина подкасательной: ; длина поднормали: .

Пример 2

Составить уравнения касательной и нормали к циссоиде, заданной в параметрическом виде , проведенных в точке .

Находим значения переменных при .
;
.
Обозначим эту точку как .

Находим производные переменных x и y по параметру t .
;
;
;
;
.

Подставляя , находим производную y по x в точке .
.

Касательная и нормаль к циссоиде в точке (2;2).

Применяя формулу (2), находим уравнение касательной к циссоиде, проходящей через точку .
;
;
;
.

Применяя формулу (3), находим уравнение нормали к циссоиде в точке .
;
;
;
.

Уравнение касательной: .
Уравнение нормали: .

Пример 3

Составить уравнения касательной и нормали к циссоиде, заданной в неявном виде:
(П3) ,
проведенных в точке .

Для получения уравнение касательной и нормали, нам нужно знать значение производной функции в заданной точке. Функция (П3) задана неявно. Поэтому применяем правило дифференцирования неявной функции. Для этого дифференцируем (П3) по x , считая, что y является функцией от x .
;
;
;
.
Отсюда
.

Находим производную в заданной точке, подставляя .
;
.

Находим уравнение касательной по формуле (2).
;
;
;
.

Находим уравнение нормали по формуле (3).
;
;
;
.

Касательная и нормаль к циссоиде изображены на рисунке ⇑.

Уравнение касательной: .
Уравнение нормали: .

Пример 4

Найти угол между кривыми и .

Найдем множество точек пересечения кривых, решая систему уравнений.

Левые части равны. Приравниваем правые части и выполняем преобразования.
;
(П4) .
Поскольку функция строго монотонна, то уравнение (П4) имеет один корень:
.
При . Кривые пересекаются в единственной точке . Обозначим ее как , где .

Введем обозначения для функций, с помощью которых заданы кривые:
.
Найдем их производные.
;
.
Найдем значения производных в точке , подставляя .
;
.

Ниже приводятся графики функций ⇓ и вывод формулы угла между кривыми.

Вывод формулы для угла между кривыми

Изложим вывод формулы (4). Для иллюстрации используем только что рассмотренный пример ⇑, в котором .

Рассмотрим две кривые, заданные уравнениями и , и пересекающиеся в некоторой точке . Докажем, что угол между кривыми определяется по формуле (4):
, где .
Или ;
при .

Проведем касательные к графикам функций в точке . Углы, которые образуют касательные с осью x обозначим как и . За положительное направление выберем направление против часовой стрелки. На рисунке . Считаем, что значения углов принадлежат интервалам . Согласно геометрическому смыслу производной,
.

В аналитической геометрии принято, что угол φ между прямыми равен наименьшему значению угла между ними.
Если , то ;
если , то .
Таким образом величина угла φ между касательными может находиться только в пределах
(Ф2) .

На рисунке угол между лучами и больше 90°, а между лучами и – меньше. Поэтому .

При доказательстве мы будем использовать соотношение:
, которое выполняется при .
Тогда в силу (Ф2),
.
Случай мы рассмотрим отдельно.

1) Пусть .
Тогда угол между прямыми . И мы имеем:
.
В конце мы подставили (Ф1).

2) Пусть .
Тогда ; . Поэтому . Это можно записать так: . Также применим формулу: . В результате получаем:

.

Этот случай изображен на рисунке ⇑.

3) Пусть .
При этом касательные взаимно перпендикулярны, . В этом случае , что указано в (4).

Использованная литература:
П.Е. Данько, А.Г. Попов, Т.Я.Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 1. Москва, Высшая школа, 1980.
Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин. Сборник задач по математическому анализу. Том 1. Москва, Физматлит, 2003.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 30-06-2021