Уравнение нулевой линии при внецентренном сжатии

(или ≤R)

где – прогиб в плоскости оси Х от силы Р_х ; – прогиб в плоскости оси У от силы Р_у.

Внецентренное сжатие (растяжение).

Если сжимающая сила не проходит через центр тяжести поперечного сечения стержня, то стержень будет испытывать внецентренное сжатие (растяжение).

	Для расчета стержня приложим в центре тяжести поперечного сечения две силы Р противоположно направленные. Тогда сила Р зачеркнутая дважды вызывает осевое сжатие, а пара сил зачеркнутых однажды создают момент равный Р×е=М(чистый изгиб). Как нам известно при осевом сжатии и при чистом изгибе напряжения во всех сечениях будет одинаковые, поэтому рассмотрим произвольное сечение (сс). Отбросим верхнюю часть и рассмотрим оставшуюся нижнюю.
	Найдем напряжение σ в точке К (X;Y).Эти напряжения складываются из напряжений от осевого сжатия и от напряжений чистого изгиба. При осевом сжатии напряжения будут равны (-Р/A). Что касается чистого изгиба, мы его разложим на два изгиба, действующих по главным осям инерции. От изгибающего момента напряжения будут .От момента имеем напряжение. Суммарное напряжение равно:
(1)

По формуле (1) можно найти напряжение в любой точке поперечного сечения для этого следует координаты X и У подставить с учетом их знака.

;

Формула (1) справедлива также и при растяжении. В этом случае вместо (-) имели бы (+) перед формулой, где :

Найдем положение нулевой линии. Для этого приравняем правую часть формулы (1) к нулю.

; ; значит

— уравнение нулевой линии, которая является прямой линией.

Поэтому для нахождения положения нулевой линии найдем отрезки, отсекаемые ею на осях Х и У. Для чего принимаем у=0 ; х=а_х. подставив в уравнение получим

— отрезок отсекаемый нулевой линией на оси Х.

Примем , получим

— отрезок отсекаемый нулевой линией на оси У.

Нулевая линия делит сечение на две части: на одной стороне, возникают сжимающие напряжения, а на другой растягивающие.

Прочность при внецентренном сжатии (растяжении) проверяется по формулам:

(или ≤Rcж). (или ≤Rр), где ХL и YL — координаты точки L; ХN и УN — координаты точки N.

Как видно положение нулевой линии зависит от координат . Если сила приложена в точке 1 / ; то нулевая линия пройдет по (1 / ;1 / ). Если точку приложения силы перемещать вдоль луча ОА, то нулевая линия будет также перемещаться, оставаясь параллельно самой себе. Таким образом можно найти такую точку 1 для которой нулевая линия коснётся контура сечения будет (1;1). Таким же образом можно на луче ОВ найти точку 2, для которой нулевая линия пройдет по (2;2). В итоге приняв несколько точек 1;2;3;4… и соединив их получим ядро сечения.

Ядро сечения – это область, очерченная вокруг центра тяжести и обладающая теми свойствами, что если приложить внутри этой области силу, то все поперечное сечение стержня будет иметь напряжение одинакового знака.

Для построения ядра сечения следует провести несколько линий касающихся контура сечения, вычислить для этих линий a_х и a_у, а затем найти значения по формулам: ;

Пример1. Найти ядро сечения для прямоугольника.

Проведем линию (1-1): ; ; Линия (2-2): ; ; Аналогично получаем 3 и 4 точки.

Дата добавления: 2016-02-13 ; просмотров: 2225 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Внецентренное растяжение или сжатие

7. ВНЕЦЕНТРЕННОЕ РАСТЯЖЕНИЕ ИЛИ СЖАТИЕ.

На практике часто изгиб сочетается с растяжением (сжатием), что обусловлено внецентренном приложением нагрузки, параллельной оси стержня, когда равнодействующая F не совпадает с осью балки (рис. 7.1)

Такая задача очень часто встречается в мостостроении при расчете опор мостов и в гражданском строительстве при расчете колонн зданий.

Обозначим координаты точки приложения действующих сил и , а расстояние этой точки до оси z, называемое эксцентриситетом — e. Внутренние усилия в любом сечении равны:

; ; .

Напряжения в произвольной точке сечения определяются формулой

(7.1)

. (7.2)

Эту формулу можно выразит также через радиусы инерции

, (7.3)

где

Уравнение нейтральной линии () находим из (7.3)

. (7.4)

Отрезки, отсекаемые нейтральной линией на осях и (рис. 7.2), найдем из (7.4), положив ,

; . (7.5)

Из (7.4) следует, что нейтральная линия пересекает координатные оси в точках, принадлежащих квадранту, противоположенному тому, в котором находится точка F приложения силы.

Условия прочности для точек с наибольшими растягивающими и наибольшими сжимающими напряжениями (соответственно точек A и B на рис. 7.2) можно записать в виде:

(7.6)

(7.7)

Эпюра напряжений приведена на рис. 7.2.

Для стержня прямоугольного сечения условие прочности удобно представить следующим образом:

. (7.8)

Формулы (7.6)-(7.8) справедливы и в случае, когда сила F является сжимающей, при условии, что нет опасности потери ее устойчивости.

Расстояние нейтральной оси от центра тяжести и величины зон сечения, испытывающих растягивающие и сжимающие усилия, зависят от эксцентриситета e, Очевидно, одна из зон может отсутствовать (при растяжении — зона сжатия, при сжатии — зона растяжения), а нейтральная линия не будет пересекать сечение.

Представляет большой практический интерес, особенно при внецентренном сжатии колонн из материалов, плохо сопротивляющихся растяжению (например, кирпичной кладки). Знать то максимальное значение эксцентриситета, при котором в сечении не будут возникать напряжения растяжения, т. е. нейтральная линия будет касательной к сечению.

Область вокруг центра тяжести сечения, внутри которой приложение силы F вызывает во всех точках поперечного сечения напряжения одного знака, называется ядром сечения. Для определения ядра сечения необходимо задаваться различными положениями нейтральной линии [9], проводя ее касательно к контуру и нигде не пересекая его, и вычислять координаты соответствующих точек приложения силы по следующим, вытекающим из (7.5), формулам:

; .

Вычисленные таким образом точки и определяют контур сечения.

Для построения ядра сечения какой-либо фигуры, например прямоугольник (рис.7.3), необходимо рассмотреть ряд положений нейтральной линии, совпадающих со сторонами сечения. Совместив нейтральную линию со стороной CD (положение 1 — 1) получим: , ; тогда на основании (7.5)

;

, .

Таким образом, мы определим координату точки 1 ядра сечения. Совмещая положение нейтральной линии со стороной AD (положение 2 — 2), аналогично получим

,.,

а координатами точки 2 ядра будут

;

Задаваясь соответствующими положениями нейтральной линии 3 — 3 и 4 — 4, по аналогии определим координаты точек ядра 3 и 4.

На столб заданного поперечного сечения в точке верхнего торца D действует растягивающая или сжимающая нагрузка F=100кН (рис.7.4). Растягивающая сила обозначена точкой в кружке, а сжимающая – крестом.

-показать положение главных центральных осей инерции вычислить значения осевых моментов инерции, радиусов инерции сечения и площадь поперечного сечения;

-найти положение нулевой линии и показать ее на схеме сечения;

-определить наибольшие (растягивающие и сжимающие) напряжения в поперечном сечении и построить эпюру напряжений;

-построить ядро сечения и указать координаты его характерных точек.

Все расчетные схемы необходимо выполнять, строго соблюдая масштаб.