Уравнение ньютона для вязкого течения

Течение вязких жидкостей и газов в трубах.

Формула Пуазейля
При течении реальных жидкостей слои в этих жидкостях движутся с различными скоростями. Вблизи стенки канала (трубы), в котором течет жидкость, скорость течения намного меньше, чем вдали от нее. Из слоя газа с большой скоростью движения переносится импульс (ко­личество движения) к слою, движущемуся с меньшей скоростью. За счет передачи импульса от одного слоя к другому поперек движения скорость движения слоев уменьшается. Вязкость проявляется в том, что любой слой газа или жидкости, движущийся относительно соседнего, испытывает действие некоторой тормозящей силы.

Как показывает опыт, сила трения между слоями газа равна

, (7.1)

Рис.7.1
Выражение (7.1) — закон Ньютона для вязкого течения жидкости или газа.

Коэффициент динамической вязкости  согласно (7.11) численно равен силе трения между слоями площадью 1 м 2 при величине гра­диента скорости (в направлении, перпендикулярном к слоям), равном единице (1 м/сек на 1 м длины). Размерность  в СИ []= Па · с (паскаль-секунда).

В случае стационарного ламинарного течения жидкости по трубке небольшого радиуса ^ R объем жидкости, протекший за секунду через сечение трубки прямо пропорционален разности давлений p ₁ и p₂ у входа в трубку и на выходе из нее, четвертой степени радиуса R трубки и обратно пропорционален длине l трубки и коэффициенту вязкости 

, (7.2)

где V_сек – секундный расход жидкости. Соотношение (7.12) представляет собой формулу Пуазейля.

Пример Вывод формулы Пуазейля с помощью закона Ньютона для вязкого трения

Выделим объем жидкости или газа в виде цилиндра длиной l и радиусом r. При стационарном течении с постоянной скоростью сумма всех сил, действующих на выделенный объем, равна нулю. На данный объем действуют сила вязкого трения F_тр, , которая уравновешивается силой F_д, возникающей из-за перепада давления на длине трубки (рис. 7.2).

Сила F_тр, действует вдоль поверхности выделенного цилиндра с площадью S = 2lr и согласно закону Ньютона (7.11) равна

. (7.3)

.

Так как F_тр,по модулю равна силе F_д, то приравнивая два последних выражения, получим

Разделяя переменные и интегрируя это уравнение, получим распределение скорости течения в радиальном направлении:

.

Постоянную С определим из условия равенства нулю скорости на стенке трубы:

.

С учетом последнего равенства:

. (7.4)

Объем жидкости dV, протекший за секунду через кольцевое сечение шириной dr (рис. 5-4), с учетом (7.14) равен:

.

Интегрирование последнего соотношения в пределах от 0 до R приводит к формуле (7.12).

Квазиупругие силы. Условие возникновения
гармонических колебаний Дифференциальное уравнение
линейного гармонического осциллятора и его решение
Колебательным движением называют такое движение, которое характеризуется повторяемостью во времени значений физических величин, определяющих это движение или состояние. Колебания проявляются в различных физических явлениях. Ниже будем рассматривать колебания материальной точки.

Любое колебание характеризуется следующими параметрами:

1. Амплитудой колебаний, т. е. величиной наибольшего отклонения от положения равновесия;

^ 2. Периодом колебаний, т. е. временем одного полного колебания; величина, обратная периоду называется частотой колебаний;

3. Фазой колебаний, характеризующей состояние колебаний в любой момент времени;

4. Законом изменения колеблющейся величины со временем. Колебание, которое подчиняется закону синуса или косинуса, называется гармоническим

где х  смещение точки от положения равновесия в момент времени t; А  амплитуда колебаний;  циклическая частота; ^ Т  период колебаний; α₀  начальная фаза, t + α₀  фаза колебаний в момент времени t.

Для возникновения механических колебаний необходимо выполнение определенных условий:

— наличие источника энергии, вызывающего смещение тела относительно положения равновесия,

— наличие возвращающей силы, направленной против движения, F_в .

— малые потери энергии на трение колеблющегося тела, т. е. диссипативные силы, которые являются непотенциальными (неконсервативными), должны быть достаточно малыми.

Возвращающая сила, которая пропорциональна отклонению точки от положения равновесия, называется квазиупругой:

Запишем дифференциальное уравнение колеблющейся точки с учетом (7.6):

. (7.7)

Обозначим , тогда получим уравнение:

, (7.8)

которое называется дифференциальным уравнением линейного осциллятора. Решением уравнения (7.8) является функция (7.1), описывающее гармонические колебания, которая представляет закон движения линейного осциллятора.

ω₀ называется собственной частотой колебаний, которая зависит от упругой постоянной k и массы колеблющейся точки. Таким образом, гармонические колебания возникают под действием квазиупругой возвращающей силы.

Уравнение (7.4) носит универсальный характер и называется дифференциальным уравнением гармонических колебаний вдоль оси x. Коэффициент при x в данном уравнении равен квадрату собственной циклической частоты.

Пример Скорость и ускорение при гармоническом колебательном движении.

Скорость и ускорение колеблющейся точки вдоль оси х определяются соотношениями:

(7.9)

также изменяются по гармоническому закону, при этом скорость и ускорение опережают смещение (7.1) по фазе соответственно на /2 и на .
Частоты собственных колебаний маятников
(математического, пружинного и физического)
При малых отклонениях от положения равновесия такие колебания имеют место в таких системах как пружинный маятник, математический маятник и физический маятник.

Пружинный маятник представляет собой невесомую пружину, к концу которой прикреплено тело массой m. При смещении шарика на величину х от положения равновесия на него будет действовать упругая сила

Уравнение, описывающее колебания пружинного маятника, ничем не отличается от дифференциального уравнения (7.8) гармонического осциллятора. Частота собственных колебаний пружинного маятника равна:

. (7.10)

Период колебаний пружинного маятника равен:

. (7.11)

Математическим маятником называют материальную точку, подвешенную на невесомой нерастяжимой нити. При отклонении маятника на угол φ из положения равновесия (рис. 7.2) силу тяжести маятника можно разложить на две составляющие и .

С
оставляющая стремится возвратить маятник в положение равновесия. На отклоненную точку действует момент силы M = –F₁ l = –mgl sin φ. Согласно основному уравнению динамики вращательного движения I = M имеем:

.

Учитывая, что для малых  sin φ  φ, и разделив обе части последнего равенства на ml 2 , получим:

,

где – частота собственных колебаний математического маятника. Тогда период колебаний математического маятника не зависит от массы тела и равен:

. (7.12)

Если измерить период колебаний математического маятника, то можно определить и ускорение свободного падения g.

Ф
изическим маятником называется любое твердое тело, колеблющееся под действием силы тяжести, которое не является математическим маятником, имеющее неподвижную горизонтальную ось вращения, не проходящую через его центр тяжести.

В этом случае на тело действует вращающий момент силы, равный M = –mgl₀ sin φ. Согласно основному уравнению вращательного движения в проекции на горизонтальную ось вращения х, проходящую через точку О и перпендикулярную плоскости рисунка имеем

.

Учитывая, что sin φ  φ для малых φ, и разделив обе части последнего равенства на I_x , получим:

. (7.13)

Из уравнения (7.9) следует, что частота собственных колебаний физического маятника равна:

.

Период собственных колебаний физического маятника равен:

. (7.14)

Сравнивая выражения для периода колебания физического маятника (7.10) с выражением для периода колебаний математического маятника (7.8) удобно ввести понятие приведенной длины физического маятника. Эта величина равна

.

Если отложить от точки О вдоль линии ОС расстояние, равное L₀ , то получим точку О₁ , которая лежит ниже точки С и называется центром качания маятника. Если перевернуть маятник и закрепить его так, чтобы центр качания О₁ стал точкой подвеса, то приведенная длина для «перевернутого» маятника равна приведенной длине L₀ и период колебания T₁ = T₂ . Такой «перевернутый» маятник называется оборотным маятником и используется для определения ускорения свободного падения.
^ 7.3 Сложение колебаний одинакового направления методом
векторных диаграмм.
Суть этого метода векторной диаграммы . заключается в следующем. Из точки О на оси x откладывают вектор , модуль которого ^ A равен амплитуде колебаний, и направленный к оси х под углом, равным начальной фазе колебаний α₀ (рис. 7.4). При вращении этого вектора с циклической частотой ₀ его проекция на ось х в любой момент времени будет равна

Видно, что проекции вращающегося вектора на ось по форме совпадают с уравнением гармонических колебаний, если угловой скорости вектора сопоставить угловую частоту колебаний, а начальному углу — начальную фазу. Поэтому, сложение колебаний можно представить как сложение представляющих их векторов.

Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты.

(7.16)

Результирующее колебание представим в виде:

Воспользуемся векторной диаграммой (рис. 7.5). На основании теоремы косинусов имеем:

, (7.17)

где A, A₁ и A₂ — модули векторов , и.

Из рисунка видно, что

. (7.18)

Из выражения (7.17) следует, что

если разность фаз α₂ – α₁ равна нулю, то амплитуда результирующего колебания равна сумме A₁ и A₂ ,

если разность фаз α₂ – α₁ равна  или – (колебания совершаются в противофазе), то амплитуда результирующего колебания равна |A₁ – A₂ |.

Рассмотрим сложение двух одинаково направленных колебаний, частоты которых мало отличаются друг от друга. ^ Результирующее движение при этих условиях можно рассматривать как гармонические колебания с пульсирующей амплитудой. Такое колебание называется биением. Пусть частота одного колебания равна ₁, второго ₂ =₁ + , при этом  ₁t, x₂ = Acos₂t.

. (7.19)

Выражение (7.19) показывает, что результирующее колебание также совершается вдоль оси x, а амплитуда результирующего колебания меняется со временем по закону (рис. 7.6).

Биения представляют собой колебания с усредненной частотой =(₂ +₁)/2, а при каждом обращении амплитуды в ноль фаза биений скачком меняется на π.
^ Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Рассмотрим сложение гармонических колебаний совершающихся во взаимно перпендикулярных направлениях, в которых участвует материальная точка. Уравнения складываемых колебаний:

(7.20)

Чтобы получить уравнение траектории, исключим из уравнений (7.20) время t. После математических преобразований получим уравнение:

. (7.21)

Выражение (7.21) — уравнение эллипса, оси которого ориентированы относительно координат х и у произвольно.

Рассмотрим некоторые частные случаи.

а) Разность фаз α равна нулю. В этом случае уравнение (7.17) принимает вид

,

откуда следует уравнение прямой

. (7.18)

Результирующее движение точки является гармоническим колебанием вдоль прямой (7.18) с частотой  и амплитудой, равной (рис. 6-7).

б
) Разность фаз α = . Уравнение (7.17) примет вид , откуда результирующее движение представляет собой гармоническое колебание вдоль прямой (рис. 6-8).

в
) При уравнение (7.16) переходит в

, (7.19)

т. е. в уравнение эллипса, приведенного к координатным осям. При равенстве амплитуд A₁ и A₂ эллипс вырождается в окружность.

Если , то движение совершается по часовой стрелке; при движение происходит против часовой стрелки.

Если частоты двух складываемых колебаний не одинаковы, но кратны друг другу, то траектория имеет вид сложных кривых (фигуры Лиссажу).

Основные законы движения жидкостей и газов

Для расчета движения воды в трубопроводе нужно знать не так уж и много. Для этого не надо глубоко изучать физику, но всё же некоторое основные понятия изучить придется.

В этой статье я приведу самые основные формулы, которые вам пригодятся не только для расчетов, но и для общего понимания, что может влиять в вашем водопроводе на его течение. Иногда общее понимание процессов поможет вам избежать ошибок при монтаже системы.

Например, не все знают, что в части водопровода с трубами меньшего диаметра давление на стенки меньше, чем на участке с трубами большего диаметра. Почему возникает кавитация и вообще, что это такое. А это надо знать.

Статья будет обновляться и дополняться.

Уравнение неразрывности

Для жидкости, текущей в трубе, этот закон используют в такой форме (называемой уравнением неразрывности):

Где v — скорость жидкости S — площадь сечения трубы, по которой течёт жидкость. Сформулировать этот закон можно и так:

Сколько вливается жидкости в ёмкость, в данном случае в трубу, столько должно и выливаться, если условия течения не изменяются.

Скорость в узких участках трубы должна быть выше, чем в широких.

Уравнение Бернулли стационарного движения

Одно из важнейших уравнений гидромеханики было получено в 1738 г. швейцарским учёным Даниилом Бернулли (1700 — 1782). Ему впервые удалось описать движение идеальной жидкости, выраженной в формуле Бернулли.

Идеальная жидкость — жидкость, в которой отсутствуют силы трения между элементами идеальной жидкости, а также между идеальной жидкостью и стенками сосуда.

Уравнение стационарного движения, носящее его имя, имеет вид:

где P — давление жидкости, ρ − её плотность, v — скорость движения, g — ускорение свободного падения, h — высота, на которой находится элемент жидкости.

Смысл уравнения Бернулли в том, что внутри системы заполненной жидкостью (участка трубопровода) общая энергия каждой точками всегда неизменна.

В уравнении Бернулли есть три слагаемых:

• ρ⋅v 2 /2 — динамическое давление — кинетическая энергия единицы объёма движущей жидкости;
• ρ⋅g⋅h — весовое давление — потенциальная энергия единицы объёма жидкости;
• P — статическое давление, по своему происхождению является работой сил давления и не представляет собой запаса какого-либо специального вида энергии («энергии давления»).

Это уравнение объясняет почему в узких участках трубы растёт скорость потока и падает давление на стенки трубы. Максимальное давление в трубах устанавливается именно в месте, где труба имеет наибольшее сечение. Узкие части трубы в этом отношении безопасны, но в них давление может упасть настолько, что жидкость закипит, что может привести к кавитации и разрушению материала трубы.

Явление кавитации

Кавитация (от латинского cavitas — «углубление», «полость») — процесс образования полостей (пузырьков) в движущейся жидкости вследствие понижения давления.

Явление кавитации также объясняется уравнением Бернулли. Если скорость течения жидкости значительно возрастает, то давление сильно понизится — настолько, что жидкость закипит. Такую скорость можно получить, если пропускать жидкость через очень узкий участок трубы или при быстром обращении лопатки в водяном насосе.

Пузырьки по ходу движения жидкости попадают в области жидкости с нормальным давлением и там схлопываются. Это схлопывание сопровождается гидродинамическими эффектами, способными привести к разрушению трубы или стенок насоса.

Гидродинамика Эйлера и Навье-Стокса

Уравнение Бернулли позволяет объяснить очень много интересных гидродинамических явлений, но гораздо больше явлений, происходящих в движущихся жидкостях и газах, с его помощью объяснить нельзя, потому что этот закон для идеальной жидкости, т.е для жидкости, которая не обладает внутренним трением, а значит не создает гидравлическое сопротивление..

Реальная жидкость отличается от идеальной и обладает внутренним трением, или по другому называют вязкостью. Два соприкасающиеся элемента жидкости, двигающиеся в одном и том же направлении, но с разными скоростями, воздействуют друг на друга. Сила взаимодействия ускоряет медленно движущийся элемент жидкости и замедляет более быстрый.

Закон вязкого трения Ньютона

Ньютон предположил, что величина этой силы (называемой силой внутреннего трения) пропорциональна разности скоростей элементов жидкости. Следовательно, сила внутреннего трения F пропорциональна изменению скорости жидкости v в направлении, перпендикулярном движению, и зависит от площади S соприкосновения элементов жидкости:

η − коэффициент динамической вязкости.

Жидкости, в которых внутреннее трение подобным образом зависит от изменения скорости, называются ньютоновскими, или жидкостями с линейной вязкостью.

Величину коэффициента динамической вязкости (и справедливость данного закона) Ньютон определил с помощью несложного опыта: он передвигал по поверхности жидкости пластинку с той или иной скоростью. Для того чтобы поддерживать эту скорость постоянной, требовалась сила, которая при небольшой глубине жидкости оказалась прямо пропорциональна площади S и скорости пластинки v и обратно пропорциональна глубине жидкости h:

И хотя при увеличении глубины жидкости h сила вязкого трения пластинки не становится исчезающе малой, эта формула довольно точно описывает взаимодействие между соприкасающимися элементами жидкости.

Чем больше разность скоростей, тем больше сила, с которой они воздействуют друг на друга, заставляя притормаживать слишком быстро движущиеся элементы и разгоняя слишком медленные.

В результате относительное движение в жидкости прекращается (но иногда это может произойти не очень скоро).

Уравнение Навье — Стокса для вязких жидкостей

В более строгой формулировке линейная зависимость вязкого трения от изменения скорости движения жидкости называется уравнением Навье — Стокса. Оно учитывает сжимаемость жидкостей и газов и, в отличие от закона Ньютона, справедливо не только вблизи поверхности твёрдого тела, но и в каждой точке жидкости (у поверхности твёрдого тела в случае несжимаемой жидкости уравнение Навье — Стокса и закон Ньютона совпадают).

Любые газы, для которых выполняется условие сплошной среды, подчиняются и уравнению Навье — Стокса, т.е. являются ньютоновскими жидкостями.

Вязкость жидкости и газа обычно существенна при относительно малых скоростях, потому иногда говорят, что гидродинамика Эйлера — это частный (предельный) случай больших скоростей гидродинамики Навье — Стокса.

При малых скоростях в соответствии с законом вязкого трения Ньютона сила сопротивления тела пропорциональна скорости. При больших скоростях, когда вязкость перестаёт играть существенную роль, сопротивление тела пропорционально квадрату скорости (что впервые обнаружил и обосновал Ньютон).

Критерий Рейнольдса

Такую зависимость вывел английский физик и инженер Осборн Рейнольдс (1842 — 1912).

Критерий, который помогает ответить на вопрос, есть ли необходимость учитывать вязкость, является число Рейнольдса Re. Оно равно отношению энергии движения элемента текущей жидкости к работе сил внутреннего трения.

Рассмотрим кубический элемент жидкости с длиной ребра n. Кинетическая энергия элемента равна:

Согласно закону Ньютона, сила трения, действующая на элемент жидкости, определяется так:

Работа этой силы при перемещении элемента жидкости на расстояние n составляет

а отношение кинетической энергии элемента жидкости к работе силы трения равно

Сокращаем и получаем:

Re — называется числом Рейнольдса.

Таким образом, Re — это безразмерная величина, которая характеризует относительную роль сил вязкости.

Например, если размеры тела, с которым соприкасаются жидкость или газ, очень малы, то даже при небольшой вязкости Re будет незначительно и силы трения играют преобладающую роль. Наоборот, если размеры тела и скорость велики, то Re >> 1 и даже большая вязкость почти не будет влиять на характер движения.

Однако не всегда большие числа Рейнольдса означают, что вязкость не играет никакой роли. Так, при достижении очень большого (несколько десятков или сотен тысяч) значения числа Re плавное ламинарное (от латинского lamina — «пластинка») течение превращается в турбулентное (от латинского turbulentus — «бурный», «беспорядочный»), сопровождающееся хаотическими, нестационарными движениями жидкости. Этот эффект можно наблюдать, если постепенно открывать водопроводный кран: тонкая струйка течёт обычно плавно, но с увеличением скорости воды плавность течения нарушается. В струе, вытекающей под большим напором, частицы жидкости перемещаются беспорядочно, колеблясь, всё движение сопровождается сильным перемешиванием.

Появление турбулентности весьма существенно увеличивает лобовое сопротивление. В трубопроводе скорость турбулентного потока меньше скорости ламинарного потока при одинаковых перепадах давления. Но не всегда турбулентность плоха. В силу того что перемешивание при турбулентности очень значительно, теплообмен — охлаждение или нагревание агрегатов — происходит существенно интенсивнее; быстрее идёт распространение химических реакций.

Формула Бернулли закон по которому течет жидкость на любом отрезке трубы, что значительно помогает при проектировании трубопроводов, особенно с естественной циркуляцией.

Все материалы, представленные на сайте, носят исключительно справочный и ознакомительный характер и не могут считаться прямой инструкцией к применению. Каждая ситуация является индивидуальной и требует своих расчетов, после которых нужно выбирать нужные технологии.

Не принимайте необдуманных решений. Имейте ввиду, что то что сработало у других, в ваших условиях может не сработать.

Администрация сайта и авторы статей не несут ответственности за любые убытки и последствия, которые могут возникнуть при использовании материалов сайта.

Сайт может содержать контент, запрещенный для просмотра лицам до 18 лет.