Уравнение образа плоскости при гомотетии

Уравнение образа плоскости при гомотетии

Документальные учебные фильмы. Серия «Геометрия».

Преобразование плоскости называется преобразованием подобия или просто подобием, если существует такое число , что для любых двух точек А и В и их образов А’ и В’ выполняется равенство . Число называется коэффициентом подобия.
При =1 преобразование подобия сохраняет расстояния, т. е. является движением. Следовательно, движение — частный случай преобразования подобия. Рассмотрим пример преобразования подобия, отличного от движения.
Зададим точку М₀ и вещественное число . Каждой точке М плоскости поставим в соответствие точку М’ так, чтобы

Такое отображение является преобразованием плоскости и называется гомотетией. Точка М₀ называется центром гомотетии, а число m — коэффициентом гомотетии. Докажем, что гомотетия — преобразование подобия. Действительно, пусть М₁, М₂ — произвольные точки плоскости, а и — их образы. Из равенства (1) получаем: , поэтому

Отсюда получаем: . Таким образом, гомотетия с коэффициентом m является преобразованием подобия с коэффициентом подобия .
При m = 1 из равенства (1) получаем: . Отсюда следует, что любая точка М плоскости совпадает с ее образом, т. е. гомотетия с коэффициентом m = 1 является тождественным преобразованием. При m = — 1 из равенства (1) получаем, что гомотетия — центральная симметрия. В остальных случаях (т. е. когда ) гомотетия — преобразование подобия, отличное от движения, т. е. преобразование плоскости, не сохраняющее расстояния между точками.

Выберем ортонормированный репер (О, Е₁, E₂) так, чтобы точка О совпала с центром гомотетии. Если М (х, у) —произвольная точка плоскости, а точка M′ (х’, у’) — ее образ, то из формулы (1) получаем аналитическое выражение гомотетии:
. (3)

Рассмотрим простейшие свойства гомотетии.

1) Гомотетия с коэффициентом переводит прямую, не проходящую через центр гомотетии, в параллельную ей прямую, а прямую, проходящую через центр гомотетии, — в себя.

□ Пусть Ах+Ву+С = 0 — уравнение данной прямой . Подставив сюда значения х, у из (3), получаем уравнение образа этой прямой: Ах’+By’+Сm = 0. Этим уравнением определяется прямая. Если С ≠ 0, то || , а если С = 0, то и совпадают.

2) Гомотетия сохраняет простое отношение трех точек.

□ Пусть А, В и С — три точки прямой, а А′, В’ и С’ — их образы, и . По определению простого отношения трех точек имеем: . По формуле (2) получаем: , где m — коэффициент гомотетии. Следовательно, . Таким образом, , т. е. (АВ, С) = (А’В’, С’).

Из этих свойств следует, что гомотетия переводит отрезок в отрезок, луч в луч и полуплоскость в полуплоскость.

3) Гомотетия переводит угол в равный ему угол.

□ Пусть ВАС — данный угол, а В′ А′ С’ — образы точек В, А и С. По формуле (2) получаем:

Отсюда следует, что

4) Гомотетия сохраняет ориентацию плоскости.

□ Пусть (А, В, С) — произвольный репер, а (А′, В’, С’) — его образ. Используя формулы (4), получаем: . Итак, в гомотетии любой репер и его образ ориентированы одинаково, т. е. гомотетия сохраняет ориентацию плоскости.

Нетрудно доказать, что если и — преобразования подобия с коэффициентами и , то — преобразование подобия с коэффициентом . Действительно, является преобразованием плоскости. Докажем, что для любых двух точек А и В и их образов A’ = ( ) (А), B’ = ( ) (В) выполняется равенство A’B’= AB. Если А₁= (А), B₁=( B), то А’ = (А₁), B’ = (B₁). По определению подобия А₁В₁ = АВ, А’В’ = A₁B₁, поэтому А’В’ = AB.

Теорема 1. Пусть — преобразование подобия с коэффициентом , a h — гомотетия с тем же коэффициентом и с центром в произвольной точке М₀. Тогда существует одно и только одно движение такое, что

Оно является преобразованием подобия с коэффициентом , т.е. движением. Из равенства (6) получаем: , или . Таким образом, существует движение , удовлетворяющая условия (5).

Пусть теперь — произвольное движение, удовлетворяющее равенству . Отсюда получаем: . Учитывая равенство (6), мы приходим к выводу, что = .

Гомотетия обладает всеми свойствами 1° — 8° движений. Доказанная теорема позволяет заключить, что и преобразование подобия обладает теми же свойствами. Следовательно, имеет место утверждение: преобразование подобия прямую переводит в прямую, параллельные прямые — в параллельные прямые, сохраняет простое отношение трех точек, полуплоскость переводит в полуплоскость, отрезок — в отрезок, луч — в луч. Преобразование подобия угол переводит в равный ему угол, а перпендикулярные прямые — в перпендикулярные прямые.
Итак, доказано, что любое преобразование подобия можно представить в виде (5): , где — движение, a — гомотетия. Так как сохраняет ориентацию плоскости, т. е. любой репер переводит в репер той же ориентации, то если сохраняет ориентацию плоскости, то, очевидно, и сохраняет ориентацию плоскости, а если меняет ориентацию плоскости, то и меняет ориентацию плоскости. Таким образом, любое преобразование подобия либо сохраняет ориентацию плоскости, либо меняет ее ориентацию. В первом случае оно называется преобразованием подобия первого рода, а во втором случае — преобразованием подобия второго рода.

Пусть — преобразование подобия коэффициентом . Выберем прямоугольную систему координат и найдем аналитическое выражение преобразования в системе . Для этого рассмотрим гомотетию с центром О и коэффициентом и воспользуемся теоремой 1. Пусть — движение, удовлетворяющее равенству (5). Запишем в системе аналитические выражения преобразований и :

Таким образом, если М (х, у) — произвольная точка плоскости, а М'(х′, у’) — ее образ в преобразовании то

где =1, если — преобразование подобия первого рода, и = — 1, если — преобразование подобия второго рода. Используя формулы (7), докажем теорему.

Теорема 2. Любое преобразование подобия, отличное от движения, имеет одну и только одну неподвижную точку.

□ Пусть равенства (7) — аналитическое выражение данного преобразования подобия. Точка М (х, у) является неподвижной точкой этого преобразования тогда и только тогда, когда

Рассмотрим определитель этой системы. Если =1, то , а если = — 1, то . Таким образом, при для любого имеем: . Отсюда следует утверждение теоремы.
Следствие. Любое преобразование подобия, имеющее более чем одну неподвижную точку или не имеющее неподвижных точек, является движением.
Используя доказанную теорему и ее следствие, можно провести классификацию преобразований подобия в зависимости от наличия неподвижных точек и инвариантных прямых.
А. Классификация преобразований подобия первого рода. Пусть f — преобразование подобия первого рода. Если f имеет более чем одну неподвижную точку или не имеет неподвижных точек, то по следствию предыдущей теоремы оно является движением, поэтому — параллельный перенос.
Остается рассмотреть случай, когда преобразование с коэффициентом имеет только одну неподвижную точку, которую обозначим через О. Пусть — гомотетия с коэффициентом и центром О. По теореме 1 существует такое движение , что . Так как и — подобия первого рода, то — движение первого рода, причем . Таким образом, — поворот вокруг точки О. Возможны три случая.

1) — тождественное преобразование. В этом случае , т. е. — гомотетия с положительным коэффициентом , .

2) — центральная симметрия. Ясно, что в этом случае — гомотетия с отрицательным коэффициентом .

3) — вращение на угол ; . В этом случае является произведением гомотетии на вращение . Оно называется центрально-подобным вращением.

Таким образом, преобразование подобия, имеющее только одну неподвижную точку, является либо гомотетией с коэффициентом , либо центрально-подобным вращением.

В. Классификация преобразований подобия второго рода. Пусть — преобразование подобия второго рода. Если имеет более чем одну неподвижную точку или не имеет неподвижных точек, то по аналогии со случаем А мы приходим к выводу, что преобразование является либо осевой симметрией, либо скользящей симметрией.
Рассмотрим случай, когда преобразование подобия с коэффициентом имеет только одну неподвижную точку О. Ясно, что , так как в противном случае — движение второго рода, но оно не может иметь только одну неподвижную точку. Пусть — гомотетия с коэффициентом к и центром О. По теореме 1 , где — движение второго рода. Точка О — неподвижная точка движения , поэтому — осевая симметрия. В этом случае называется центрально-подобной симметрией.

Итак, существует шесть типов преобразования подобия, которые приведены в следующей таблице:

Преобразование пространства называется преобразованием подобия или просто подобием, если существует такое число , что для любых двух точек А и В и их образов А’ и В’ выполняется равенство . Число называется коэффициентом подобия.
При преобразование подобия сохраняет расстояния, т. е. является движением. Следовательно, движение — частный случай подобия. Примером преобразования подобия, отличного от движения, является гомотетия, которая в пространстве вводится точно так же, как и в плоскости. Зададим точку М₀ и вещественное число . Каждой точке М поставим в соответствие точку М’ так, чтобы

Это отображение называется гомотетией с центром Мо и коэффициентом m. Для двух точек M₁ и М₂ и их образов и из формулы (1) получаем:

Отсюда следует, что . Таким образом, гомотетия с коэффициентом m является преобразованием подобия с коэффициентом .
Выберем ортонормированный репер (О, Е₁, Е₂, Е₃) так, чтобы точка О совпала с центром гомотетии. Если М (х, у, z)—произвольная точка пространства, а точка М’ (х′, у′, z′) — ее образ, то из формулы (1) получаем аналитическое выражение гомотетии в пространстве:
(3)

Пользуясь формулами (3), можно доказать, что гомотетия переводит плоскость (прямую), не проходящую через центр гомотетии, в параллельную плоскость (прямую), а плоскость (прямую), проходящую через центр гомотетии,— в себя. Аналогично, пользуясь формулой (2), убеждаемся в том, что гомотетия сохраняет простое отношение трех точек. Отсюда следует, что гомотетия переводит отрезок в отрезок, луч — в луч, полуплоскость — в полуплоскость и полупространство — в полупространство. Из формулы (2) следует также, что гомотетия переводит угол в равный ему угол.
Докажем, что гомотетия с коэффициентом m сохраняет ориентацию пространства, если , и меняет его ориентацию, если . Действительно, пусть (А, В, С, D) — произвольный репер, а (А′, В’, С’, D’) — его образ. По формуле (2) получаем: , , поэтому

Отсюда и следует сформулированное выше утверждение.

Теорема 1, сформулированная и доказанная (см. выше), полностью переносится на пространство, т. е. любое преобразование подобия пространства с коэффициентом является произведением гомотетии с тем же коэффициентом и произвольным центром на некоторое движение. Отсюда следует, что подобие пространства переводит плоскость (прямую) в плоскость (прямую), параллельные плоскости (прямые) —в параллельные плоскости (прямые). Подобие сохраняет простое отношение трех точек, поэтому оно переводит отрезок в отрезок, луч — в луч, полуплоскость — в полуплоскость, полупространство — в полупространство. Подобие переводит угол в равный ему угол, взаимно перпендикулярные прямые (плоскости) — во взаимно перпендикулярные прямые (плоскости).
Точно так же, как и на плоскости, можно доказать, что любое преобразование подобия либо сохраняет ориентацию пространства, либо меняет ее. В первом случае оно называется преобразованием подобия первого рода, а во втором случае — преобразованием подобия второго рода. Таким образом, гомотетия с положительным коэффициентом является преобразованием подобия первого рода, а гомотетия с отрицательным коэффициентом (в частности, центральная симметрия, ) — преобразованием подобия второго рода.

Свойства, типы и примеры гомотетии

homotecia представляет собой геометрическое изменение в плоскости, где расстояния от фиксированной точки, называемой центром (O), умножаются на общий коэффициент. Таким образом, каждая точка P соответствует другой точке P ‘, являющейся произведением преобразования, и они выровнены с точкой O.

Тогда гомотетия — это соответствие между двумя геометрическими фигурами, где преобразованные точки называются гомотетическими, и они выровнены с фиксированной точкой и сегментами, параллельными друг другу..

• 1 гомотеция
• 2 свойства
• 3 типа
  • 3.1 Прямая гомотетия
  • 3.2 Обратная гомотетия
• 4 Композиция
• 5 примеров
  • 5.1 Первый пример
  • 5.2 Второй пример
• 6 Ссылки

homotecia

Гомотетия — это преобразование, которое не имеет конгруэнтного изображения, потому что из рисунка будет получена одна или несколько фигур большего или меньшего размера, чем исходная фигура; то есть гомотетия превращает многоугольник в другой подобный.

Чтобы гомотетия была выполнена, они должны соответствовать точка-точка и прямая-прямая, чтобы пары гомологичных точек были выровнены с третьей фиксированной точкой, которая является центром гомотетии..

Аналогично, пары линий, которые соединяют их, должны быть параллельными. Соотношение между такими сегментами является константой, называемой коэффициентом гомотетии (k); таким образом, что гомотетия может быть определена как:

Чтобы сделать этот тип преобразования, вы начинаете с выбора произвольной точки, которая будет центром гомотетии..

С этой точки отрезки линий рисуются для каждой вершины фигуры, которая должна быть преобразована. Масштаб, в котором выполняется воспроизведение нового рисунка, определяется по причине гомотетии (k)..

свойства

Одним из основных свойств гомотетии является то, что по причине гомотетии (k) все гомотетические фигуры схожи. Среди других выдающихся свойств являются следующие:

— Центр гомотетии (O) — единственная двойная точка, и она превращается в себя; то есть не меняется.

— Линии, проходящие через центр, трансформируются (они двойные), но точки, составляющие его, не являются двойными.

— Прямые, которые не проходят через центр, превращаются в параллельные линии; таким образом, углы гомотетии остаются неизменными.

— Образ сегмента с помощью гомотетии центра O и отношения k представляет собой отрезок, параллельный этому, и имеет k-кратную длину. Например, как видно на следующем изображении, сегмент AB с помощью гомотетики приведет к другому сегменту A’B ‘, так что AB будет параллельным A’B’, а k будет:

— Гомотетические углы конгруэнтны; то есть они имеют одинаковую меру. Следовательно, изображение угла — это угол, имеющий одинаковую амплитуду..

С другой стороны, гомотетия варьируется в зависимости от значения ее отношения (k), и могут возникнуть следующие случаи:

— Если константа k = 1, все точки фиксированы, потому что они трансформируются. Таким образом, гомотетическая фигура совпадает с оригиналом и преобразование будет называться тождественной функцией.

— Если k ≠ 1, единственной фиксированной точкой будет центр гомотетии (O).

— Если k = -1, гомотетия становится центральной симметрией (C); то есть вращение вокруг C будет происходить под углом 180 или .

— Если k> 1, размер преобразованного рисунка будет больше размера исходного.

— Да 0 0; то есть гомотетические точки находятся на одной стороне относительно центра:

Коэффициент пропорциональности или отношения сходства между прямыми гомотетическими фигурами всегда будет положительным.