Уравнение общей касательной к двум параболам

Уравнение общей касательной к двум параболам

2018-12-13
К параболам, заданным уравнениями $y = x^ <2>+ 4$ и $y = — x^ <2>+ 2x$, проведены две общие касательные. Докажите, что четырехугольник, вершинами которого служат точки касания, является параллелограммом.

Первый способ. Так как данные параболы имеют противоположные коэффициенты при $x^<2>$, то существует точка С, при симметрии относительно которой одна из парабол переходит в другую. Точка $A(0; 4)$ — «вершина» параболы $y = x^ <2>+4; B(1; 1)$ — «вершина» параболы $y = -(x — 1)^ <2>+ 1$. Поэтому, $C \left ( \frac<1><5>; \frac<5> <2>\right )$ ). Общие касательные двух парабол являются неподвижными прямыми этой центральной симметрии, то есть проходят через точку С (для обоснования этого факта достаточно рассмотреть К — точку касания на одной из парабол и прямую КС, которая пройдет через точку касания другой параболы, так как при любом движении образ пересечения фигур равен пересечению их образов). Четырехугольник с вершинами в точках касания является параллелограммом, так как диагонали этого четырехугольника точкой С их пересечения делятся пополам.

Второй способ. Пусть прямая касается параболы $y = x^ <2>+ 4$ в точке с абсциссой $a$, тогда уравнение этой касательной: $y = 2ax — a^ <2>+ 4$. Пусть прямая касается параболы $y = — x^ <2>+ 2x$ в точке с абсциссой $b$, тогда уравнение этой касательной: $y = (-2b + 2)x + b^<2>$. Так как эта прямая одновременно является касательной к двум параболам, то можно составить систему уравнении:

$\begin 2a = — 2b + 2, \\ — a^ <2>+ 4 = b^ <2>\end$.

Координаты вершин четырехугольника:

Координаты середины отрезка с координатами концов $\left ( \frac <1 + \sqrt<7>><2>; \frac <12 + \sqrt<7>> <2>\right )$ и $\left ( \frac <1 - \sqrt<7>><2>; — \frac <2 + \sqrt<7>> <2>\right ) — \left ( \frac<1> <2>; 2 \frac<1> <2>\right )$. Координаты середины отрезка с координатами концов $\left ( \frac <1 - \sqrt<7>><2>; \frac <12 - \sqrt<7>> <2>\right )$ и $\left ( \frac <1 + \sqrt<7>><2>; \frac <-2 + \sqrt<7>> <2>\right ) — \left ( \frac<1> <2>; 2 \frac<1> <2>\right )$. Следовательно, четырехугольник с вершинами в точках касания — параллелограмм.

Помогите составить уравнение! Составте уравнение общей касательной к параболам f(x)=x^2-5x+6 и g(x)=x^2+x+1

Уравнение касательной к первой параболе в точке (х1; x1^2- 5x+ 6): y= (2×1- 5)x+ 6- x1^2 (1). Если абсциссу точки касания этой касательной второй параболы обозначить через х2, то у2= х2^2+ х2+ 1 (2). Притом эта вторая точка должна удовлетворить уравнению (1), т. е. у2= (2х1- 5)х2+ 6- х1^2 (3). И, наконец, угловой коэффициент общей касательной. рассчитанный по обеим параболам. разумеется, д. б. одинаковым: 2х1- 5= 2х2+1 (4). Дай бог кто-нибудь решит систему уравнений (2) — (4), и найденное отсюда х1 подставит в (1): это и будет искомое уравнение.
Впрочем. может быть, есть решение попроще. Не знаю.
Это и есть моя посильная помощь, о чём была просьба.

Касательная к графику функции, как составить уравнение, свойства, угловой коэффициент касательной проведенной к графику функции, формула, примеры решения

На экзаменах по дисциплинам с физико-математическим уклоном или при расчетах встречается тип задач о касательной к графику функции.

Однако следует разобраться в основных терминах и соотношениях.

Специалисты рекомендуют пользоваться специальным алгоритмом, позволяющим правильно находить точку касания прямой с какой-либо фигурой.

• Общие сведения
  • Определения и понятия
  • Геометрический смысл
• Касательные к фигурам и графикам
  • Одна и несколько окружностей
  • Эллипс, гипербола и парабола
• Примеры решения
  • Рекомендации специалистов
  • Упражнения и ход вычислений

Общие сведения

Касательной называется прямая, имеющая с фигурой или графиком заданной функции одну общую точку. Однако иногда она проходит через 2 точки. В этом случае ее называют секущей. Прямая задается следующим уравнением: y = kx + b. Значение «k» — это угловой коэффициент.

Для решения задач следует разобрать основные понятия, определения, формулы и свойства касательной.

Кроме того, очень важно понять ее геометрический смысл, поскольку без него будет сложно разобраться в более сложных дисциплинах с физико-математическим уклоном.

Определения и понятия

У касательной есть определенный параметр — угол наклона (а).

Его необходимо отсчитывать от оси абсцисс (только положительное направление) к прямой, заданной графиком y = kx + b.

От него зависит ее расположение.

Коэффициент «к» равен значению тангенса угла наклона, т. е. tg(a).

Математики сделали некоторые выводы, которые основываются на значении углового коэффициента:

В первом, втором и третьем случаях коэффициент является положительным, а в последнем — отрицательным. Эти факты следует учитывать при решении задач. Касательная прямая может являться и секущей, т. е. соприкасаться с графиком функции сразу в двух и более точках. Следует отметить, что при параллельности прямой оси ОХ (y = b), она может пересекать функцию бесконечное число раз.

Существует еще одно определение: касательной к функции вида y = f(x) в точке (х0, f(x0)) является прямая, которая проходит через эту точку с тем условием, что отрезок имеет множество значений, близких к ней (х -> x0).

Геометрический смысл

Пусть дана некоторая функция y = f(x) и секущая АВ (рис. 1). Координаты последней в точках А и В следующие: А(х0;f(x0)) и В(х0+zx;f(x0+zx)). Величина «zx» — приращение аргумента по х, которое показано стрелками. Если подставить координаты в функцию, то она имеет такой вид: zy = zf(x) = f(x0+zx) — f(zx).

Рисунок 1. Геометрический смысл.

Соотношение, которое было получено выше, называется производной. Если к графику в точке проведена секущая или касательная, то тангенс угла будет равен самой производной заданной функции в точке с координатой х0.

Из этого определения можно сделать вывод о существовании производной. Если значение последней равно 0, то, следовательно, не существует общих точек с заданной фигурой.

Касательные к фигурам и графикам

При решении задач следует обратить внимание на частные случаи. Нужно произвести расчеты уравнения прямой или найти точки соприкосновения с окружностью, эллипсом, гиперболой или параболой. Очень распространенная задача встречается также в механике о ременной передаче.

Частные случаи позволят найти оптимальное решение и метод расчета, поскольку экономия времени является важным элементом при научных исследованиях, написании контрольных работ и сдаче экзаменов. Важный этап — идентификация типа задачи. Касательная к вышеперечисленным фигурам — основной тип заданий, но существуют и более сложные функции.

Например, сложно составить уравнение прямой, которая имеет точки касания с какой-либо сложной функцией.

В некоторых случаях необходимо перед выполнением расчетов ее упростить, т. е. привести подобные слагаемые, раскрыть скобки или воспользоваться другими приемами для упрощения выражения.

Одна и несколько окружностей

Радиус, который проводится через точку касания, составляет с касательной прямой угол (перпендикулярен). Перпендикуляр к касательной, проходящий через точку касания, является радиусом или диаметром заданного круга. Из этого следует, что радиус является нормалью по отношению к прямой. Секущая — прямая, которая проходит через график или фигуру, но имеет от двух и более точек пересечения.

Формула окружности с центром в точке О (xc;yc) и радиусом R имеет следующий вид: sqr(х-хc) + sqr(y-yc) = R^2.

Для решения следует выразить значение у, но при этом нужно рассматривать 2 случая: