Уравнение однополостного гиперболоида в пространстве

Что такое гиперболоид: уравнение, построение, общие характеристики

Чтобы читателю было легче представить себе, что такое гиперболоид — трехмерный объект, — сначала надо рассмотреть одноименную кривую гиперболу, помещающуюся в двумерное пространство.

У гиперболы есть две оси: действительная, на данном рисунке совпадающая с осью абсцисс, и мнимая — с осью ординат. Если мысленно начать проворачивать уравнение гиперболы вокруг ее мнимой оси, то поверхность, «заметенная» кривой, составит из себя однополостной гиперболоид.

Вам будет интересно: Почвенный покров: состав, структура, срез земли и описание с фото

Если же начать вращать таким образом гиперболу вокруг ее действительной оси, то каждая из двух «половинок» кривой составит свою отдельную поверхность, и вместе это будет называться двуполостным гиперболоидом.

Полученные с помощью вращения соответствующей плоской кривой, они называются соответственно гиперболоидами вращения. У них во всех направлениях, перпендикулярных оси вращения, сохраняются параметры, принадлежащие вращаемой кривой. В общем случае это не так.

Уравнение гиперболоида

В общем случае поверхность может быть задана следующими уравнениями в декартовых координатах(x,y,z):

В случае гиперболоида вращения его симметрия относительно оси, вокруг которой вращали, выражается в равенстве коэффициентов a=b.

Характеристики гиперболоида

У него есть фокус. Мы знаем, что фокусы есть у кривых на плоскости — в случае с гиперболой, например, модуль разности расстояний от произвольной точки, на гиперболе до одного фокуса и второго постоянен по определению, собственно, точек фокуса.

При переходе в трехмерное пространство определение практически не меняется: фокусы — это опять две точки, и разность расстояний от них до произвольной точки, принадлежащей поверхности гиперболоида, постоянна. Как видно, из изменений появилась только третья координата у всех возможных точек, потому что теперь они задаются в пространстве. Вообще говоря, определение фокуса эквивалентно выявлению типа кривой или поверхности: говоря о том, как расположены точки поверхности относительно фокусов, мы фактически отвечаем на вопрос, что такое гиперболоид и как он выглядит.

Стоит вспомнить, что у гиперболы есть асимптоты — прямые, к которым ее ветви стремятся на бесконечности. Если при построении гиперболоида вращения мысленно вращать асимптоты вместе с гиперболой, то кроме гиперболоида получится еще и конус, называемый асимптотическим. Асимптотический конус есть как у однополостных, так и у двуполостных гиперболоидов.

Еще одна важная характеристика, имеющаяся лишь у однополостного гиперболоида, — прямолинейные образующие. Как видно из названия, это линии, и они полностью лежат на заданной поверхности. Через каждую точку однополостного гиперболоида проходят две прямолинейные образующие. Они принадлежат соответственно двум семействам прямых, которые описываются следующими системами уравнений:

Таким образом, однополостный гиперболоид целиком можно составить из бесконечного числа прямых линий двух семейств, причем каждая линия одного из них будет пересекаться со всеми линиями другого. Поверхности, отвечающие таким свойствам, называются линейчатыми; их можно построить с помощью вращения одной прямой. Определение через взаимное расположение прямых (прямолинейных образующих) в пространстве также может служить однозначным обозначением того, что такое гиперболоид.

Интересные свойства гиперболоида

Кривые второго порядка и соответствующие им поверхности вращения каждая имеют интересные оптические свойства, связанные с фокусами. В случае с гиперболоидом это формулируется следующим образом: если из одного фокуса выпустить луч, то, отразившись от ближайшей «стенки», он примет такое направление, как будто шел из второго фокуса.

Гиперболоиды в жизни

Скорее всего, большинство читателей начинали свое знакомство с аналитической геометрией и поверхностями второго порядка с фантастического романа Алексея Толстого «Гиперболоид инженера Гарина». Однако писатель то ли сам хорошенько не знал, что такое гиперболоид, то ли пожертвовал точностью в угоду художественности: описываемое изобретение по физическим характеристикам скорее является параболоидом, который собирает все лучи в одном фокусе (в то время как оптические свойства гиперболоида связаны с рассеиванием лучей).

В архитектуре очень популярны так называемые гиперболоидные конструкции: это сооружения, по форме являющиеся однополостным гиперболоидом либо гиперболическим параболоидом. Дело в том, что только у этих поверхностей вращения второго порядка есть прямолинейные образующие: таким образом, изогнутую конструкцию можно соорудить только из прямых балок. Достоинства таких конструкций — в способности выдерживать большие нагрузки, например, от ветра: форму гиперболоида используют при строительстве высоких сооружений, например, телевышек.

6.6. Гиперболоиды

Их тоже два, и это тоже нечастые гости в массовой практике:

Однополостной гиперболоид

имеет каноническое уравнение , числа называют полуосями гиперболоида. Если его рассекать плоскостями , то будут получаться эллипсы: , которые неограниченно увеличиваются, когда мы уходим по оси вверх или вниз к бесконечности. Эллипс, лежащий в плоскости : называется горловым эллипсом, он самый маленький и хорошо просматривается на чертеже.

Если рассекать поверхность плоскостями, параллельными плоскостям , то в сечениях будут получаться гиперболы:

и эти гиперболы хорошо видны на поверхности. А посему и «гиперболоид».

Однополостной гиперболоид симметричен относительно всех координатных плоскостей, осей и начала координат.

Если , то мы имеем дело с гиперболоидом вращения: – он получен вращением гиперболы вокруг оси . Горизонтальные же сечения представляют собой окружности, в чём мы убедимся на конкретном примере:

Задача 182

Построить тело, ограниченное поверхностями

Решение: найдём пересечение гиперболоида с плоскостью : – горловая окружность радиуса 1. Найдём пересечение с плоскостью :
– окружность с центром в точке радиуса .

Изобразим на чертеже обе окружность и соединим их направляющими – 4 ветвями гиперболы.

Такой вот получился симпатичный горшок. …А вверху у меня чертёж, к слову, ассоциируется с унитазом 🙂

Двуполостной гиперболоид

имеет похожее каноническое уравнение . Поверхность представляет собой 2 бесконечные чаши с вершинами :

Для двуполостного гиперболоида справедливы почти все утверждения, что и для однополостного. Горизонтальные сечения плоскостями представляют собой эллипсы, а вертикальные – гиперболы. Но, естественно, тут нет горлового эллипса. Однако в плане симметрии всё так же.

Вообще, оба типа поверхностей можно назвать эллиптическими гиперболоидами, но это название не учитывает различие между ними. И поэтому их различают по количеству полостей – у предыдущего одна полость, а у этого – две.

И да, частный случай: – есть гиперболоид вращения.

Следующее задание для самостоятельного решения:

Задача 183

Построить тело, ограниченное поверхностями

С поверхностями всё! Теперь пару ласковых о координатах.

Как вы заметили, во всех случаях у нас фигурировала прямоугольная система координат, но в некоторых задачах бывают выгодны другие системы:

Гиперболоиды: однополостный и двуполостный

Определение гиперболоида

Однополостным гиперболоидом называется поверхность, определяемая в некоторой прямоугольной системе координат каноническим уравнением

Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, определяемая в некоторой прямоугольной системе координат каноническим уравнением

В уравнениях (4.48), (4.49) — положительные параметры, характеризующие гиперболоиды, причем .

Начало координат называют центром гиперболоида. Точки пересечения гиперболоида с координатными осями называются его вершинами. Это четыре точки однополостного гиперболоида (4.48) и две точки двуполостного гиперболоида (4.49). Три отрезка координатных осей, соединяющих вершины гиперболоидов, называются осями гиперболоидов. Оси гиперболоидов, принадлежащие координатным осям , называются поперечными осями гиперболоидов, а ось, принадлежащая оси аппликат , — продольной осью гиперболоидов. Числа , равные половинам длин осей, называются полуосями гиперболоидов.

Плоские сечения однополостного гиперболоида

Подставляя в уравнение (4.48), получаем уравнение линии пересечения однополостного гиперболоида с координатной плоскостью . Это уравнение в плоскости определяет эллипс, который называется горловым. Линии пересечения однополостного гиперболоида с другими координатными плоскостями являются гиперболами. Они называются главными гиперболами. Например, при получаем главную гиперболу , а при — главную гиперболу

Рассмотрим теперь сечение однополостного гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости . Подставляя , где — произвольная постоянная (параметр), в уравнение (4.48), получаем

При любом значении параметра уравнение определяет эллипс с полуосями . Следовательно, сечение однополостного гиперболоида плоскостью представляет собой эллипс, центр которого лежит на оси аппликат, а вершины — на главных гиперболах. Среди всех эллипсов, получающихся в сечениях плоскостями при различных значениях параметра , горловой эллипс (при ) является эллипсом с наименьшими полуосями.

Таким образом, однополостный гиперболоид можно представить как поверхность, образованную эллипсами, вершины которых лежат на главных гиперболах (рис.4.42,а)

Плоские сечения двуполостного гиперболоида

Сечения двуполостного гиперболоида координатными плоскостями и представляют собой гиперболы (главные гиперболы).

Рассмотрим теперь сечения двуполостного гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости . Подставляя , где — произвольная постоянная (параметр), в уравнение (4.49), получаем

При уравнение не имеет действительных решений (правая часть уравнения отрицательная, а левая неотрицательная), т.е. плоскость не пересекает двуполостный гиперболоид. При уравнение имеет нулевое решение . Следовательно, плоскости касаются двуполостного гиперболоида в его вершинах . При c» png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADoAAAAVBAMAAADlb+D4AAAAKlBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAHrpZrAAAADnRSTlMAg0KoBP0QXdEhwHEx4v6hyb4AAADaSURBVCjPY2DAD/ZAae4D2GSFGBiqlgNpRgUcsofD8ckyh+GT5W2Ay1piyk4VgMtOXoQhW1q9WAFm8uTlMAn2VWZgWdMm5gtweye3Q2i25mkXwbJXJzDGIFyVCJHOaGAMBMlyBjIwByC5OfEiiBQtYFMAybKHM7AaIMmmN4LIUKirgN49ugHJ5O4EEBUFleVtYBHNMYDJToS6KpiBgRMkmyrAsIL5AMxHUEkGCwY2c5CsqgLDXnOM0MhaaAx2FQ/QjASILJsRIpiSEiBhBQY4Y4Fs2U2wlINFFgCrpSqpbSiUhgAAAABJRU5ErkJggg==» style=»vertical-align: middle;» /> получаем уравнение эллипса с полуосями . Следовательно, сечение двуполостного гиперболоида плоскостью при c» png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADoAAAAVBAMAAADlb+D4AAAAKlBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAHrpZrAAAADnRSTlMAg0KoBP0QXdEhwHEx4v6hyb4AAADaSURBVCjPY2DAD/ZAae4D2GSFGBiqlgNpRgUcsofD8ckyh+GT5W2Ay1piyk4VgMtOXoQhW1q9WAFm8uTlMAn2VWZgWdMm5gtweye3Q2i25mkXwbJXJzDGIFyVCJHOaGAMBMlyBjIwByC5OfEiiBQtYFMAybKHM7AaIMmmN4LIUKirgN49ugHJ5O4EEBUFleVtYBHNMYDJToS6KpiBgRMkmyrAsIL5AMxHUEkGCwY2c5CsqgLDXnOM0MhaaAx2FQ/QjASILJsRIpiSEiBhBQY4Y4Fs2U2wlINFFgCrpSqpbSiUhgAAAABJRU5ErkJggg==» style=»vertical-align: middle;» /> представляет собой эллипс с центром на оси аппликат, вершины которого лежат на главных гиперболах.

Таким образом, двуполостный гиперболоид можно представить как поверхность образованную эллипсами, вершины которых лежат на главных гиперболах (рис.4.43,а).

Гиперболоиды вращения

Гиперболоид, у которого поперечные полуоси равны , называется гиперболоидом вращения . Такой гиперболоид является поверхностью вращения, а его сечения плоскостями (для двуполостного гиперболоида при c» png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADoAAAAVBAMAAADlb+D4AAAAKlBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAHrpZrAAAADnRSTlMAg0KoBP0QXdEhwHEx4v6hyb4AAADaSURBVCjPY2DAD/ZAae4D2GSFGBiqlgNpRgUcsofD8ckyh+GT5W2Ay1piyk4VgMtOXoQhW1q9WAFm8uTlMAn2VWZgWdMm5gtweye3Q2i25mkXwbJXJzDGIFyVCJHOaGAMBMlyBjIwByC5OfEiiBQtYFMAybKHM7AaIMmmN4LIUKirgN49ugHJ5O4EEBUFleVtYBHNMYDJToS6KpiBgRMkmyrAsIL5AMxHUEkGCwY2c5CsqgLDXnOM0MhaaAx2FQ/QjASILJsRIpiSEiBhBQY4Y4Fs2U2wlINFFgCrpSqpbSiUhgAAAABJRU5ErkJggg==» style=»vertical-align: middle;» />) представляют собой окружности с центрами на оси аппликат. Однополостный или двуполостный гиперболоиды можно получить, вращая вокруг оси гиперболу (рис.4.42,б) или сопряженную гиперболу (рис.4.43,б) соответственно. Заметим, что уравнение последней можно записать в форме .

Гиперболоид, у которого поперечные оси различны , называется трехосным (или общим).

1. Плоскости определяют в пространстве основной прямоугольный параллелепипед , вне которого находится двуполостный гиперболоид (рис.4.43,в). Две грани параллелепипеда касаются гиперболоида в его вершинах.

2. Сечение однополостного гиперболоида плоскостью, параллельной оси аппликат и имеющей одну общую точку с горловым эллипсом (т.е. касающейся его), представляет собой две прямые, пересекающиеся в точке касания. Например, подставляя в уравнение (4.48), получаем уравнение двух пересекающихся прямых (см. рис.4.42,а).

3. Однополостный гиперболоид является линейчатой поверхностью, т.е. поверхностью, образованной движением прямой (см. рис.4.42,в). Например, однополостный гиперболоид вращения можно получить, вращая прямую вокруг другой прямой, скрещивающейся с ней (но не перпендикулярной).

4. Начало канонической системы координат является центром симметрии гиперболоида, координатные оси — осями симметрии гиперболоида, координатные плоскости — плоскостями симметрии гиперболоида.

В самом деле, если точка принадлежит гиперболоиду, то точки с координатами при любом выборе знаков также принадлежат гиперболоиду, поскольку их координаты удовлетворяют уравнению (4.48) или (4.49) соответственно.